Центральные единицы целочисленных групповых колец знакопеременных групп

Тип работы:
Диссертация
Предмет:
Физико-математические науки
Страниц:
86


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Диссертация посвящена исследованию вопроса о центральных единицах групповых колец знакопеременных групп.

Групповые кольца — естественный и важный объект современных алгебраических исследований. Результаты, относящиеся к групповым кольцам, широко используются не только во многих разделах алгебры, но и в других разделах математики, например, в топологии. В теории групповых колец можно выделить два основных направления: исследование кольцевой структуры и исследование мультипликативной структуры. Данное исследование в основном касается второго направления, то есть изучаются группы единиц (обратимых элементов) групповых колец.

Сначала вопросы мультипликативной структуры колец рассматривались для колец целых элементов полей алгебраических чисел. Например, теорема Дирихле о группах единиц колец целых полей алгебраических чисел, результаты Синнота о группах единиц колец целых абелевых полей (полей с абелевой группой Галуа над полем рациональных чисел). Хигман исследовал группы обратимых элементов групповых колец над конечными алгебраическими расширениями кольца целых чисел.

Классическим объектом исследований в теории групповых колец являются целочисленные групповые кольца конечных групп. Интерес к таким кольцам связан с тем, что именно для них наиболее ярко проявляются самые важные характеристики групповых колец конечных групп. Если рассматривать групповые алгебры над полями характеристики 0, то классическая теория представлений сводит их изучение к матричным кольцам над телами.

Так как группа центральных единиц совпадает с центром группы всех единиц, то получение информации об этой группе является важной задачей при исследовании группы всех единиц. Дополнительную значимость этому придает тот факт, что в большинстве случаев на центре заканчивается верхний центральный ряд группы единиц. Кроме того, полные описания групп всех единиц целочисленных групповых колец получены лишь для некоторых групп небольших порядков.

В мультипликативной теории групповых колец можно выделить две основные области исследований: построение подгрупп единиц, имеющих определен3 ные свойства (свобода, центральность, конечность индекса и др.), и выяснение свойств групп всех единиц.

Автору удалось получить результаты как о свойствах отдельных центральных единиц, так и о свойствах групп всех центральных единиц. В исследовании применяются методы теории конечных групп, теории характеров, теории чисел и компьютерной алгебры. Для вычислений используется компьютерная система GAP и разработанные автором программы на Java и С++.

Все основные результаты являются новыми. Они позволяют в группах центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп:

• находить центральные единицы-

• строить подгруппы конечного индекса-

• находить ранги групп центральных единиц-

• полностью описывать группы центральных единиц таких колец.

В работе также впервые дано полное описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца знакопеременной группы степени 14.

Результаты диссертации докладывались на VII Международной школе-конференции посвященой 60-летию A.C. Кондратьева (г. Челябинск, 2008), на Международной молодежной школе — конференции & quot-Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей& quot- (г. Новосибирск, 2010), на 40 и 41 молодежной школе-конференции & quot-Проблемы теоретической и прикладной математики& quot- (г. Екатеринбург, 2009, 2010), на I, II и III научной конференции аспирантов и докторантов ЮУрГУ (г. Челябинск, 2009, 2010, 2011). По результатом работы автор неоднократно выступал на городском алгебраическом семинаре (г. Челябинск, 2008−2011).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [19]-[26].

Диссертация состоит из введения, четырех глав, библиографии и приложений. Она изложена на 87 страницах, библиография содержит 26 наименований.

1. Липский В. Комбинаторика для программистов / В. Липский // Москва: Мир, 1988.

2. Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел / А. Г. Постников // Москва: Наука, 1971. Финхтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц // T. II, Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

3. Фробениус Г. Теория характеров и представлений групп / Г. Фробениус // Харьков: Гос. науч. -техн. изд Украины, 1937.

4. Шпаковский Г. И. Программирование для многопроцессорных систем в стандарте MPI / Г. И. Шпаковский Г. И, Н. В. Серикова // Минск: БГУ, 2002. 63

5. Эндрюс Г. Теория разбиений / Г. Эндрюс // Москва: Наука, 1982.

6. Aleev R. Z Higman’s central unit theory, units of integral group rings of finite cyclic groups and Fibonacci numbers / R. Z. Aleev // Intern. J. of Algebra and Сотр., 1994, vol. 4, № 3, p. 309−358.

7. Ayoub R. An introduction to the analytic theory of numbers / R. Ayoub // American mathematical society, 1963.

8. Ferraz R.A. Simple components and central units in group rings / R.A. Ferraz // Journal of Algebra, 2004, vol. 279, № 1, p. 191−203.

9. Flajolet P. Analytic Combinatorics / P. Flajolet, R. Sedgewick // Cambridge University Press, 2009.

10. GAP. The GAP Group, GAP — Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.4. 2- 2004 // http: //www. gap-system. org.

11. Rota G.C. The number of Partitions of a Set / G.C. Rota // The American Mathematican Monthly. Huntsville: 1964, vol. 71, № 5, p. 498−504. Работы автора по теме диссертации

12. А леев Р. Ж. Ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп / Р. Ж. Алеев, А. В. Каргаполов, В. В. Соколов // Фундамент, и прикл. матем. Москва: 2008, том 14, N2 7, с. 15−21.

13. Каргаполов А. В. Параллельный алгоритм для нахождения рангов групп центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп / А. В. Каргаполов // Труды 40-й Всероссийской молодежной конф. Екатеринбург: УрО РАН, 2009, с. 395−401.

14. Каргаполов A.B. Приближенные формулы для рангов групп центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп / A.B. Каргаполов // Тезисы 41-й Всероссийской молодежной конф. Екатеринбург: УрО РАН, 2010, с. 34−40.

15. Каргаполов A.B. Группа центральных единиц целочисленного группового кольца знакопеременной группы степени 14 / A.B. Каргаполов // Вестник ЮУрГУ. Серия & laquo-Математика. Механика. Физика. »-. Челябинск: ЮУрГУ, 2011, № 10, с. 18−24.

16. Aleev R. Zh. The ranks of central unit groups of integral group rings of alternating groups / R. Zh. Aleev, A.V. Kargapolov, V.V. Sokolov // Journal of Mathematical Sciences. New York: Springer, 2010, vol. 164, № 2, p. 163−167.

ПоказатьСвернуть

Содержание

1 Предварительные сведения и результаты

1.1 Теория центральных единиц.

1.2 Теория разбиений.

1.2.1 Графическое представление разбиений.

1.2.2 Бесконечные произведения производящих функций одного переменного

1.2.3 Асимптотическая формула для р (п).

1.2.4 Алгоритм нахождения всех разбиений.'.

1.3 Применение динамического программирования.

2 Вычисление рангов U (Z (ZАп))

2.1 Алгоритм для вычисления рангов с использованием параллеле-лизма.

2.2 Улучшений алгоритм для вычисления рангов.

2.3 Полученные результаты.

3 Приближенные формулы для рангов U (Z (ZАп))

3.1 Комбинаторный подход.

3.2 Рекуррентная формула для г (п).

3.3 Асимптотическая формула для rank (п)

3.4 Вычисление г (moci 4) (п) и rank (п).

4 Построение U (Z {ZAn))

4.1 Локальный случай.

4.2 Изучение U (Z (ZAU)).

4.2.1 Таблица характеров.

4.2.2 Локальный случай.

4.2.3 Глобальный случай.

4.3 Локальные центральные единицы.

Заполнить форму текущей работой