Условия сходимости орторекурсивных разложений в гильбертовых пространствах

Тип работы:
Диссертация
Предмет:
Вещественный, комплексный и функциональный анализ
Страниц:
69


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Теория ортогональных рядов (рядов Фурье) — одно из традиционных направлений математики, изначально появившееся при изучении различных физических явлений: теплопроводности, колебаний струны, распространения звука. Одним из основоположников этой теории стал Даламбер, проинтегрировавший в 1747 году уравнение звучащей струны, что послужило началом для целого ряда работ, раскрывших понятие произвольной функции. Первоначальный вопрос, стоявший перед Даламбером, был таким: если произвольно отклонить струну от ее положения равновесия, существует ли формула, точно изображающая начальное положение этой струны?

Фурье дал утвердительный ответ на этот вопрос, предложив метод вычисления коэффициентов тригонометрического ряда, изображающего & laquo-произвольную функцию& raquo-. Он использовал свои методы для создания теории теплопроводности, но они достаточно быстро стали мощным инструментом исследований в астрономии, акустике, теории приливов и других прикладных науках. Более подробная информация о задаче Фурье и смежных вопросах содержится, например, в [1].

Несмотря на то, что работы Фурье не отличались полной строгостью (достичь ее удалось только во времена Гильберта), они коренным образом изменили представления своего времени — тогда большинство, включая Эйлера, считало, что каждому аналитическому выражению соответствует кривая, последовательные части которой зависят друг от друга. Однако Фурье доказал, что такое понимание ошибочно, так как физик, чертящий кривую, всегда может изменить ее направление, и любую начерченную кривую возможно задать одной формулой.

В дальнейшем стали рассматривать ортогональные ряды не только по тригонометрической системе, но и по другим системам- рядами Фурье стали называть разложения по произвольному ортогональному базису в произвольном гильбертовом пространстве. История вопроса и некоторые результаты исследований изложены в работах [2]-[7].

Ряды Фурье обладают многими полезными для приложений свойствами: простое вычисление коэффициентов- быстрое вычисление погрешности благодаря равенству Бесселя- отсутствие необходимости пересчета коэффициентов. если понадобилось увеличить точность приближения. По этой причине по мере развития информационных технологий расширилась сфера применения рядов Фурье — они стали применяться при обработке, передаче и хранении различных сигналов, таких, как изображения, аудиофрагменты, видео. При этом нужный сигнал моделируется некоторым элементом пространства со скалярным произведением- пространство и базис в нем выбираются, исходя из особенностей конкретной задачи.

Однако у рядов Фурье есть и недостатки. Если система, по которой в данной задаче удобно производить разложение, неортогональна, то разложить в ряд Фурье по ней нельзя, поэтому существенно ограничивается область применения разложений в ряды Фурье. Кроме того, если при передаче или вычислении коэффициентов появилась погрешность, ее нельзя устранить, вычисляя остальные коэффициенты: ряд с неверными коэффициентами не может сходиться к разлагаемому элементу.

Ввиду изложенных недостатков возникает задача определить процесс разложения, наследующий преимущества классических ортогональных разложений, но лишённый перечисленных недостатков. В работе рассматривается один из возможных способов решения этой задачи — орторекурсивные разложения (ОРР). Изучается случай абстрактного гильбертова пространства с заданной в нем системой элементов и имеющий прикладное значение случай разложения по системе подпространств — рассмотрен случай с произвольными подпространствами и некоторые частные случаи систем функций в Ь2.

Орторекурсивные разложения в гильбертовом пространстве

Исследование сходимости ОРР является достаточно новой областью, изучавшейся в работах Т. П. Лукашенко, В. В. Галатенко, А. Ю. Кудрявцева ([8] - [13]). Понятие орторекурсивных разложений было введено Т. П. Лукашенко в 2000—2001 годах (см. [12]). Напомним определение ОРР.

Пусть % - гильбертово пространство и? — {еп}^=1 — система нормированных векторов из Л.

Определение 1. Пусть / - произвольный вектор, лежащий в У. Индуктивно определим последовательность коэффициентов {/к}ь=1 и последовательность остатков {г/с}^. Положим

ГО = /,

1к+1 = {гк, ек+1), Гк+1 = Г к — /к+1вк+1

Ряд 1пеп называется орторекурсивным рядом Фурье элемента / по системе ?. а последовательность {Д}^ - последовательностью орторекурсивных коэффициентов Фурье элемента / по системе ?.

Для введенных разложений сохраняются такие свойства обычных рядов

Фурье, как равенство Бесселя п

1К (/)||2 = ||Л12-Ей2 к=1 и неравенство Бесселя

00

Л12< �������������

�����������������������������������������������������������������

��������������������

�������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������

������������

������������������������������������������������������������������

��������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������

��������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������

�����������������������������

��������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������

������������������������������������������������

�������������

��еделение 5. Ряд ^ /п называется обобщенным орторекурсивным п= 1 рядом Фурье элемента / по системе подпространств

Для разложений по системам подпространств остаются справедливыми аналоги равенства и неравенства Бесселя, эквивалентность равенства Пар-севаля сходимости разложения к разлагаемому элементу [16]. Равенство Бесселя принимает вид п 2

1ы/)||2ч1/112-Еш к=1 неравенство Бесселя — вид

ОО ш2& lt-

М. Ж1 ^ и |'2 к=1 а равенство Парсеваля, также верное тогда и только тогда, когда разложение сходится к разлагаемому элементу, — вид ос ii/*ii2 = ii/ii2k=i

Доказательства этих утверждений аналогичны соответствующим доказательствам для ОРР по системе векторов (см. [16]).

Заметим, что в случае 7in = (еп) разложение совпадает с введенным выше разложением по системе элементов {en}n=i

А. Ю. Кудрявцевым рассматривались орторекурсивные разложения по системам сжатий и сдвигов фиксированной функции.

Определение 6. Пусть (/?(х) G Z/2[0- 1), ||(/?(ж)||2 = 1 И (р (х) = 0 вне [ОД).

Система ры{х) = 2У2< ������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������

���������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������

���������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������

��танавливается критерий, связывающий сходимость орторекурсив-ных разложений и матрицу Грама системы, по которой происходит разложение (задача, поставленная в 2007 году Б. С. Кашиным).

— Выясняется, как связаны критерий сходимости, полученный для общего случая, и известный ранее критерий В. В. Галатенко для двумерного пространства (задача, поставленная в 2010 году Б. С. Кашиным).

— Исследуется связь матрицы, обратной к нижнетреугольной половине матрицы Грама, и ОРР.

— Исследуется связь между устойчивостью ОРР к ошибкам и матрицей Грама системы.

— Находятся формулы, связывающие орторекурсивные коэффициенты и матрицу Грама системы, по которой осуществляется разложение.

— Устанавливается условия сходимости обобщенных орторекурсивных разложений.

— Изучаются системы сжатий и сдвигов на предмет сходимости ОРР по ним.

Структура и основные результаты работы

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы из 31 наименования. В данной работе формулы, леммы и теоремы имеют номера из двух чисел, первое из которых — номер главы, а второе — номер формулы (леммы, теоремы) в этой главе. Определения нумеруются сквозным образом. Результаты других авторов нумеруются сквозным образом латинскими буквами.

Во введении дается общий обзор исследуемой проблемы, формулируются решаемые задачи и приводятся основные результаты работы.

Заключение

В работе исследованы общие свойства ОРР, а также сходимость ОРР по системам сжатий и сдвигов. В работе установлены следующие основные результаты.

— Получен критерий, связывающий сходимость орторекурсивных разложений с матрицей Грама системы, по которой происходит разложение.

— Установлена связь критерия сходимости, полученного для общего случая, и известного ранее критерия В. В. Галатенко для двумерного пространства.

— Исследована связь матрицы, обратной к нижнетреугольной половине матрицы Грама, и ОРР.

— Получено необходимое условие устойчивости ОРР к любому конечному числу ошибок в терминах матрицы Грама.

— Найдены формулы, позволяющие выразить орторекурсивные коэффициенты через матрицу Грама системы, по которой производится разложение.

— Установлены достаточные условия сходимости обобщенных орторекурсивных разложений.

— Изучена сходимость ОРР по обобщенным системам сжатий и сдвигов.

ПоказатьСвернуть

Содержание

Орторекурсивные разложения в гильбертовом пространстве. 6 Орторекурсивные разложения по системам подпространств

Цель работы.

Структура и основные результаты работы

1 ОРР в матричном виде.

1.1 Общие сведения об операциях над бесконечными матрицами

1.1.1 Определение бесконечных матриц и основных операций над ними

1.1.2 Обращение бесконечных матриц.

1.2 Критерий сходимости ОРР.

1.3 Связь между формулировками в двумерном случае.

1.4 Связь между матрицей Грама системы векторов и орторекур-сивными разложениями по подсистемам этой системы.

1.5 Необходимое условие устойчивости к ошибкам в терминах матрицы Грама.

1.6 Формула для вычисления орторекурсивных коэффициентов с помощью матрицы Грама.

2 Достаточные условия сходимости обобщенных ОРР.

2.1 Основные определения.

2.2 Система вложенных подпространств.

2.3 Достаточные условия сходимости.

3 Сходимость ОРР по системам сжатий и сдвигов.

3.1 Приближения КуСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ функциями В ½.

3.2 Доказательство теоремы о сходимости ОРР по системе двоичных сжатий и сдвигов.

3.3 Обобщенные системы сжатий и сдвигов.

3.3.1 Системы сжатий и сдвигов с недвоичными сжатиями

3.3.2 Системы сжатий и сдвигов нескольких функций

3.3.3 Системы сжатий и сдвигов произвольного семейства функций.

3.4 Системы сжатий и сдвигов на квадрате.

Список литературы

1. Лузин H.H., Интеграл и тригонометрический ряд. — М., ФИЗМАТ-ЛИТ, 2009.

2. Алексия Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов — М.: ИЛ, 1963.

3. Бари Н. К. Об устойчивости свойства полноты системы функций // Докл. АН СССР. 1942. 37. 99−103.

4. Голубов Б. И., Ефимов A.B., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уо-лша. Теория и применения — М.: Наука, 1987.

5. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам — Ижевск: РХД, 2001.

6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. тт. 1, 2. — М.: Мир, 1965.

7. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов — М.: ГИФМЛ, 1958.

8. Галатенко В. В. Об орторекурсивном разложении по некоторой системе функций // Известия РАН. Сер. матем. 66: 1(2002). 59−70.

9. Галатенко В. В. Об орторекурсивном разложении по системе сигнумов II Современные исследования в математике и механике. Труды XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. М. :Изд-во ЦПИ при мех-мат ф-те МГУ, 2001. 92−94.

10. Галатенко В. В. О скорости сходимости орторекурсивных разложений по некоторой системе функций // Труды XXIV Конференции молодыхученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. — М. :Изд-во ЦПИ при мех-мат ф-те МГУ, 2002. 47−49.

11. Кудрявцев А. Ю., Орторекурсивные разложения по системам сжатий и сдвигов фиксированной функции // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Воронежской зимней математической школы — Воронеж, 2001. 161−162.

12. Лукашенко Т. П., Об орторекурсивных разложениях по системе Фабера-Шаудера // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 10-й Саратовской зимней школы. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 2000. 83.

13. Лукашенко Т. П., О свойствах орторекурсивных разложений по неортогональным системам // Вестн. Моск. ун-та. Матем. механ. 2001. № 1. 6−10.

14. Галатенко В. В., Об орторекурсивном разложении с ошибками в вычислении коэффициентов // Изв. РАН. Сер. матем. 69: 1(2005), 3−16.

15. Лукашенко Т. П., Садовничий В. А. Орторекурсивные разложения по подпространствам // Доклады Российской Академии наук 445: 2(2012), 135−138.

16. Лукашенко Т. П., Садовничий В. А. О рекурсивных разложениях по цепочке систем // Доклады Российской Академии наук 425: 6(2009), 741- 746.

17. Словеснов A.B., Рекурсивные разложения по цепочке подпространств // Фундамент, и прикл. матем. 2010. 16: 3(2010), 205−226

18. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme //Math. Ann. 1910. 69. 331−371.

19. Daubechies I., Orthonormal bases of compactly supported wavelets // Communs. Pure and Appl. Math. 41: 7(1988). 909−996.

20. Meyer Y., Wavelets and operators — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1992.

21. Oswald P., Filippov V. I., Representation in Lp by series of translates and dilates of one function // J. Approx. theory. 82: 1(1995). 15−29.

22. Кук P., Бесконечные матрицы и пространства последовательностей М. :Физматлит, 1960.

23. Кашин B.C., Саакян A.A., Ортогональные ряды 2-е изд., доп. М., Изд-во АФЦ, 1999.

24. Научные работы автора по теме диссертации

25. Политов A.B., Орторекурсивные разложения в гильбертовых пространствах //Вестник МГУ. Сер.1. Матем., мех. 2010, № 3. 3−7.

26. Политов A.B., Критерий сходимости орторекурсивных разложений в евклидовых пространствах //Мат. заметки, 93: 4(2013), 637−640.

27. Политов A.B., Орторекурсивные разложения в гильбертовых пространствах // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 14-й Саратовской зимней школы — Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 2008. 146−147.

28. Политов A.B., Орторекурсивные разложения по системе сжатий и сдвигов нескольких функций // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Воронежской зимней математической школы Воронеж, ВГУ, 2009. 144−145.

29. Политов A.B., Критерий сходимости орторекурсивных разложений в гильбертовых пространствах // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 15-й Саратовской зимней школы — Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 2010. 141−142.

30. Политов A.B., Критерий сходимости орторекурсивных разложений в гильбертовых пространствах // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Воронежской зимней математической школы Воронеж, ВГУ, 2011. 268−269.

31. Политов A.B., Достаточные условия сходимости орторекурсивных разложений на квадрате // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 16-й Саратовской зимней школы — Саратов: Изд-во Саратов, ун-та. 2012. 135.

Заполнить форму текущей работой