Вступ до фінансової математики

Тип работы:
Методичка
Предмет:
Финансы


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Міністерство освіти і науки України

Ніжинський державний педагогічний університет

імені Миколи Гоголя

О.І. ПОНОМАРЕНКО

ВСТУП ДО ФІНАНСОВОЇ МАТЕМАТИКИ

НІЖИН

2003

ББК 1. 65

М 48

Рекомендовано до публікації

Рецензенти: доц. Кладинога В. С., доц. Ковальчук Ю. О.

Оригінал-макет: Посашков С. В., Шуренков Г. В.

Пономаренко О.І.

Вступ до фінансової математики. Ніжин, 2003, с. 80.

Навчальний посібник присвячений викладанню основ сучасної фінансової математики. Даються базові відомості з фінансової системи економіки, функціювання фінансових ринків і фінансових інституцій, висвітлюються моделі математики простих і складних процентів, стохастичний аналіз портфелю цінних паперів, моделі САРМ і АРТ, питання моделювання динаміки цін фінансових активів, аналіз ціноутворення деривативів; фундаментальний та технічний аналіз фінансових ринків. Поряд з традиційними розділами фінансової математики наводяться й інноваційні результати.

Посібник розрахований на студентів математичних спеціальностей, вузів та студентів, що спеціалізуються з економічної кібернетики, а також актуаріїв та фінансових аналітиків.

Посібник підготовлено за підтримкою програми TEMPUS-TACIS, проект N 22 012−2001.

ББК 1. 65

© О. І. Пономаренко, 2003

Зміст

Передмова

Глава 1. Сфера фінансів та фінансової математики

1.1 Фінансова система економіки та її структура

1.2 Гроші й ціни як основа функціонування системи фінансів

1.3 Фінансові інституції та їхня діяльність

1.4 Функціювання фінансових ринків

1.5 Предмет, методи, принципи й моделі фінансової математики

Глава 2. Математика простих і складних процентів

2. 1 Базові моделі нарахування процентів

2.2 Застосовування простих процентів

2.3 Основні поняття й формули, пов’язані із застосуванням базових схем складних процентів

2.4 Неперервне нарахування процентів і неперервне дисконтування

Глава 3. Потоки платежів, ренти, ануїтети та планування капітальних інвестицій

3.1 Потоки платежів та їхня класифікація

3.2 Постійні ренти пренумерандо та постнумерандо. Довічні ренти

3.3 Відстрочені, — кратні та неперервні ренти. Найпростіші зміни ренти

3.4 Задача оцінки інвестиційних і комерційних проектів. Узагальнені моделі потоків платежів

3.5 Внутрішня норма доходності інвестиційного проекту

3.6 Термін окупності капіталовкладень, індекс рентабельності інвестиційного проекту

Глава 4. Проблеми оцінювання цінних паперів й моделювання динаміки їх вартостей

4.1 Цінні папери. Оцінювання акцій і парадокс Модільяні-Міллера

4.2 Проблема прогнозування динаміки цін цінних паперів. Фінансова інженерія, технічний і фундаментальний аналіз

Глава 5. Стохастичний аналіз портфельних інвестицій. Теорії портфелю Марковітца і Тобіна. Моделі САРМ і АРТ

5.1 Портфель цінних паперів та його характеристики

5.2 Задача формування портфелю ЦП Марковіца і Тобіна

5.3 Ризик портфелю і внесок кожного активу в сподівану ефективність портфелю

5.4 Статистика ринку цінних паперів

5.5 Практичні застосування портфельного аналізу

5.6 Рівновага на конкурентному фондовому ринку. Модель ціноутворення капіталовкла день САРМ

5.7 Арбітражна теорія ціноутворення капіталовкладень АРТ

Глава 6. Загальний стохастичний аналіз платіжних зобов’язань. Моделі ціноутворення для опціонів

6.1 Загальні принципи аналізу платіжних зобов’язань

6.2 Модель Башельє ціни опціону колл європейського типу

6.3 Модель Блека-Шоулса вартості опціону покупця європейського типу

6.4 Модель Кокса-Росса-Рубінштейна

6.5 Платіжні зобов’язання на неповних ринках

Література

Передмова

Фінансова математика є новою навчальною дисципліною для студентів математичних спеціальностей вузів, що почалася вводитися у відповідні навчальні плани протягом останнього десятиліття, разом з такими дисциплінами як математична економіка та актуарна (страхова) математика. Всі перераховані напрями сучасної прикладної математики є добре розвинутими, самостійними науковими теоріями, багатими на оригінальні моделі, методи та серйозні аналітичні результати, що сприяли становленню й розвитку багатьох сучасних розділів математичної науки. Введення таких навчальних дисциплін в учбові програми математичних спеціальностей вузів значно збагачує рівень знань і фахової підготовки, урізноманітнює навчальні програми, де раніше галузями застосування математичних методів і моделей вважалися тільки природничі науки і, в першу чергу, механіка, астрономія і фізика. Крім того, подібної трансформації математичної освіти вимагають і процеси соціально-економічної трансформації суспільства, що виражаються у переході до ринкової економіки і так званого «відкритого суспільства». В цих умовах фахівці-математики повинні бути готовими до прикладних досліджень в економічно-фінансовій сфері та суміжних галузях соціогуманітарних дисциплін, а також до викладення аналітичних результатів економіки, фінансів, елементів теорії ризику й страхування у різноманітних навчальних закладах від середніх до вищих.

Але слід зауважити, що й досі залишається дуже гострою проблема наявності сучасних підручників і посібників з таких тісно взаємопов'язаних дисциплін як фінансова і актуарна математики, призначених саме для математичних спеціальностей вузів. В даному посібнику відображений досвід викладення фінансової математики, набутий на механіко-математичному факультеті Київського університету та фізико-математичному факультеті Ніжинського державного педагогічного університету імені Миколи Гоголя.

На закінчення передмови слід звернути увагу майбутніх математиків ще й на той факт, що в сучасному світі (особливо у високо розвинутих країнах) вже давно діють нові математичні професії - фінансових аналітиків і актуаріїв (фахівців зі страхової математики у її зв’язку з фінансовою математикою), які є дуже престижними і значущими. Становлення подібних професій починається і в країнах бувшого СРСР, зокрема в Росії і на Україні. Фахове володіння методами й моделями фінансової математики (включаючи її сучасні розділи зі стохастичними моделями, теорії ризику тощо) є головним ядром вказаних нових математичних професій. В більшості країн Європи діють національні товариства фінансових аналітиків,(об'єднані в Європейську Федерацію Товариств Фінансових Аналітиків — EFFAS), які займаються гармонізацією й офіційним визначенням професійної компетентності аналітиків, встановлюють навчальні програми, стандарти професійної поведінки й етичні норми для аналітиків, розвивають нові методики фінансового аналізу, приймають офіційні іспити на звання сертифікованого Європейського Фінансового Аналітика (CEFA — Certified European Finance Analyst). Сертифіковані аналітики працюють у різноманітних фінансових інституціях: інвестиційних компаніях і фондах, банках, фондових біржах, пенсійних фондах, страхових компаніях тощо.

Глава 1. Сфера фінансів та фінансової математики

1.1 Фінансова система економіки та її структура

Категорія фінансів є однією з основних в сучасній економічній науці. Вона пройшла тривалий розвиток і має складний характер. Сам термін фінанси пов’язується з латинським словом financia, що означало готівку або дохід, та похідним від нього французьким словом finance, що позначало грошові кошти. В сучасному розумінні фінанси охоплюють сукупність всіх грошових коштів й засобів, які знаходяться у розпорядженні економічних суб'єктів, та сукупність відповідних економічних відносин, пов’язаних з їхнім формуванням, розподілом та використанням. Грошові кошти в економіці виступають у формі централізованих та децентралізованих фондів грошових ресурсів (фінансових активів). Суб'єктами фінансових відносин виступають підприємства (фірми), громадські організації, державні установи, вся держава й населення країни, тобто всі юридичні й фізичні особи суспільства. Взаємодія суб'єктів фінансів здійснюється в процесі формування й використання виробничих, інвестиційних, соціальних, страхових, державних та інших фондів. Фінанси обслуговують кругообіг та обіг виробничих фондів у грошовій, виробничій і товарній формах, а також охоплюють широкий спектр податкових платежів населення, позики, лотереї, вклади у фінансово-юридичні установи тощо.

Фінанси функціонують через фінансову систему, що складається з різноманітних фінансових інституцій суспільства, форм організації фінансових відносин між ними, включаючи грошові відносини між державою і підприємствами, між підприємствами, організаціями та їх об'єднаннями, відносини держави, підприємств і організацій з населенням (домогосподарствами). Важливими елементами фінансової системи є Міністерство фінансів країни, Нацбанк, їхні органи на місцях, податкові та митні служби, банківський та страховий сектори економіки (комерційні банки й страхові компанії), фондові й валютні біржі, пенсійні та інвестиційні фонди та інші фінансові фірми та організації.

Звичайно фінансову систему країни поділяють на три підсистеми: 1) фінанси підприємств, організацій і закладів; 2) державні фінанси; 3) фінанси населення.

Фінанси підприємств і організацій — це система грошово-економічних відносин, яка пов’язана з формуванням, розподілом й використанням доходів і нагромаджень, утворенням і використанням фондів коштів, за допомогою яких забезпечуються господарська діяльність, виробничі та соціальні потреби суспільства, а також їхній розвиток. Фінанси підприємств і організацій поділяються на фінанси комерційних та некомерційних інституцій. Серед перших розрізняють фінансові фірми, що займаються фінансовим посередництвом й фінансовими послугами, страхові організації та нефінансові комерційні підприємства.

Фінанси держави складаються з системи грошових фондів, що формуються державними установами і спрямовуються на фінансове забезпечення державних функцій: управління, регулювання, контроль, забезпечення правопорядку, оборону, соціальні гарантії, охорону навколишнього середовища тощо. Державні фінанси включають кошти державного бюджету, позабюджетні фонди і фонди державного кредиту.

Фінанси населення є грошовими фондами, які утворюються у жителів країни з надходжень й фінансових активів отриманих від трудової, господарської та інших видів діяльності, що спрямовуються на споживання, відновлення людських ресурсів, заощадження, примноження власності та підвищення добробуту фізичних осіб.

Важливою складовою фінансової системи є загальний фінансовий ринок, що складається з різноманітних каналів циркулювання грошових коштів та фінансових послуг, включаючи: 1) канали прямого фінансування, за яким кошти пересуваються безпосередньо від власників заощаджень до позичальників та користувачів шляхом продажу цінних паперів, надання субсидій, грантів тощо; 2) канали непрямого фінансування, за якими потоки грошових коштів від власників до позичальників спрямовуються через фінансових посередників.

1.2 Гроші й ціни як основа функціонування системи фінансів

Основою побудови фінансової системи є гроші. Гроші в економіці виступають як специфічний товар, що є загальним еквівалентом всіх інших товарів та виконує в ній функції засобу обігу (купівлі й продажу товарів), засобу накопичення цінностей та міри вартостей.

Існують різні типи грошей: повноцінні (металеві гроші з благородних металів), паперові (найпоширеніший платіжний засіб), кредитні (безготівкові гроші банківських розрахунків, чекові депозити, електронні кредитні картки тощо). Як всякий товар гроші характеризуються обсягами попиту й пропозиції, вартістю на внутрішньому й зовнішньому ринках. Кількісні теорії грошей намагаються дати моделі залежності між попитом на гроші, грошовою масою в обігу та рядом інших макроекономічних показників. Так, наприклад, у трансакційній теорії грошей І. Фішера, основною залежністю є рівняння обігу грошей MV=PY, де M — маса грошей в обігу, V — швидкість обігу, P — середній індекс цін в економіці та Y — сукупна пропозиція виробничих благ за певний період часу (наприклад, квартал, рік). Ліва частина рівності характеризує рівноважну пропозицію грошей, а права — відповідний попит на гроші.

Звичайно в державі обсяг пропозиції грошей регулює Нацбанк, до задач якого входить підтримка довіри населення до національних грошей, особливо кредитних. Важливість грошей полягає не тільки у спрощенні обміну товарів й послуг в економіці. Змінюючи пропозицію грошей держава може впливати на загальний рівень економічної активності та темпи зміни інфляції (знецінювання грошей або відповідного зростання середніх індексів цін). За допомогою статистичних індексів можливо визначити, як зросли ціни на товари й послуги за певний період часу або як співвідносяться між собою реальні доходи (виражені через їх купівельну спроможність) отримані в різних місцях або в різні моменти часу. Порівняння ж номінальних величин не дає вірної оцінки, бо не враховує, що купівельна спроможність (цінність) грошей в різні моменти і в різних місцях — різна. Найчастіше застосовують індекс середнього рівня цін поточного періоду

де — кількість товарів, — номер товару, — ціна — го товару в поточний період, — ціна — го товару в базовий період, — кількісні показники товарів в базовому періоді. Так розраховують індекси споживчих цін (тоді - споживчий кошик базового періоду) та індекси цін виробників товарів.

Монетаристи переконані, що зміна обсягу (пропозиції грошей) прямо впливає на економіку та рівень цін. Кейнсіанці вважають, що грошово-кредитна політика впливає на економіку через механізм зміни процентних ставок і через вплив на готовність й спроможність населення до заощаджень та інвестицій через використання фінансово-кредитних установ.

1. 3 Фінансові інституції та їхня діяльність

В кожний період часу бюджет будь-якої економічної одиниці (агента) може знаходитися в одному з трьох станів: 1) збалансованості (рівності доходів і планових видатків); 2) профіциту (доходи перевищують видатки); 3) дефіциту (видатки перевищують доходи). Основною задачею фінансової системи в економіці є якнайбільш ефективне переміщення коштів від одиниць з профіцітним бюджетом (ОПБ) до одиниць з дефіцитним бюджетом (ОДБ). До ОДБ відносяться частина домогосподарств, деякі державні установи, уряд та значна частина фірм. Інші економічні суб'єкти можливо віднести до ОПБ. В цілому переважно фірми і державні установи належать до ОДБ, а домогосподарства до ОПБ.

Пересування коштів від ОПБ до ОДБ здійснюється через: 1) пряме фінансування (при якому ОДБ в обмін на фінансові зобов’язання отримують гроші прямо від ОПБ); 2) шляхом непрямого (опосередкованого) фінансування.

Функцією таких фінансових інституцій як брокерські та дилерські контори, а також інвестиційні банки й фонди є полегшення проведення прямих фінансових угод. При цьому брокери й дилери часто об'єднуються в спеціалізованих фінансових біржах, обслуговуючи своїх клієнтів в купівлі й продажу різноманітних цінних паперів. Дохід дилера обумовлюється різницею між ціною попиту й пропозиції на цінний папір (спредом). Інвестиційні банки допомагають здійснювати первинне розміщення фінансових зобов’язань (акцій, облігацій тощо), причому часто вони знижують емісійний ризик зобов’язань шляхом їх гарантованого розміщення (андеррайтинга).

Інші фінансові посередники (депозитарні інститути та ощадні установи, що діють на контрактній основі, фінансово-кредитні фірми) є інституціями, що займаються непрямим фінансуванням. Фінансовими установами депозитарного типу є комерційні банки, позичково-ощадні асоціації, взаємоощадні банки й кредитні спілки. Найбільш важливими фінансовими посередниками в економіці є комбанки, що надають кредити фірмам і споживачам та оперують закладними. Комбанки залучають кошти шляхом продажу фінансових зобов’язань у вигляді різноманітних депозитних внесків. Короткострокові депозити також є джерелами коштів й інших депозитарних інститутів, які трансформують їх у більш довгострокові споживчі комерційні та іпотечні (на базі застави) позички.

До ощадних інституцій, що діють на контрактній основі належать компанії із страхування життя, від нещасливих випадків та пенсійні фонди. Вони одержують кошти через довгострокові контракти і розміщають їх на ринках капіталів. Вони здатні здійснювати довгострокові інвестиції, бо приток коштів до них носить стійкий характер, а відтік є прогнозованим.

Діяльність фінансових інституцій супроводжується рядом фінансово-комерційних ризиків, до основних з яких належать: 1) ризик не повертання кредитів; 2) ризик зміни процентних ставок; 3) ризик падіння ліквідності (можливості реалізації) фінансових активів; 4) ризик зміни обмінного валютного курсу; 5) політичні ризики.

1. 4 Функціонування фінансових ринків

На фінансових ринках здійснюється купівля й продаж різноманітних фінансових зобов’язань, оформлених у вигляді контрактів (до них відносяться різні типи кредитів, численні види цінних паперів, що звичайно розподіляються на три класи: а) пайові папери (різні типи акцій); б) боргові зобов’язання (облігації, сертифікати, векселі, заставні); в) похідні папери або деривативи (форвардні контракти, опціони, ф’ючерси; та інші активи), а також їхній обмін).

Первинними називаються ринки, де вперше здійснюється продаж фінансових зобов’язань, що випущенні (емітовані) ОДБ з метою поповнення наявних коштів. Такі продажі здійснюються за допомогою андеррайтерів.

Вторинними є ринки, де обертаються фінансові зобов’язання, що були емітовані раніше. Населення переважно використовує вторинні ринки для коректування своїх портфелів активів або для отримання грошей від їхнього продажу, тому воно прагне здійснювати купівлю фінансових зобов’язань на первинному ринку.

Фінансові ринки поділяються на ринки грошей, ринки капіталів та страхові ринки (ринки страхових послуг). На ринках грошей здійснюється продаж і купівля національної та іноземних валют та ряду фінансових зобов’язань короткотермінованого характеру (з терміном погашення не більше року), на ринках капіталу продаються більш довгострокові фінансові зобов’язання (з дією понад рік), і такі ринки розпадаються на ринки довгострокових кредитів та ринки цінних паперів. Грошові ринки дозволяють економічним суб'єктам керувати ліквідністю їхніх активів, бо на цих ринках продають великі обсяги високоліквідних, відносно надійних фінансових інструментів.

На ринках угод зі сплатою готівкою (спот-ринках) операції з цінними паперами здійснюються на умовах негайної купівлі й проведення розрахунків по контракту протягом декількох днів.

На ринках строкових угод продаються форвардні контракти з розрахунком по майбутньому курсу валюти або майбутньому рівню процентної ставки. Обсяги цих контрактів та строки їх виконання встановлюються за угодою учасників. На ф’ючерсному ринку продаються контракти на майбутню поставку цінних паперів по майбутнім цінам. Ці контракти реалізуються на ф’ючерсних біржах, котрі самі встановлюють їх обсяги, строки поставки й інші умови. На ринку опціонів ведуться торги опціонами двох видів — пут і колл. Вони дають їх власникам право (але не зобов’язання) продати (чи купити) конкретні активи за ціною, вказаною в контракті, протягом терміну його дії. На біржовому ринку надається місце й встановлюються правила проведення торгу. На позабіржових ринках угоди між учасниками (напр. дилерами різних міст) здійснюються через лінії зв’язку (телефонні, радіотелефонні тощо).

Фінансові ринки через свою алокаційну, інформаційну та операційну ефективність покращують роботу економічної системи в цілому. Інформація про стан ринку вкрай важлива для його ефективного функціонування. Через це учасники ринку готові оплачувати великими коштами свіжі дані про стан позичальників та угоди, що здійснюються. Органи, що здійснюють контроль над роботою ринку, вимагають від емітентів цінних паперів негайного подання інвесторам (тим, хто вкладає кошти) відомостей про зміни, що відбуваються. Комп’ютеризація ринків підвищує їх операційну ефективність, але утворює певні проблеми, щодо ідентифікації клієнтів-замовників. Тому комп’ютеризовані ринки звичайно обмежуються цілодобовими торгами при виконанні невеликих замовлень.

В цілому через діяльність фінансових посередників між емітентами та інвесторами, якими виступають дилери й брокери, трейдери і скальпери** скальпер (scalper) — дрібний фінансовий спекулянт, що намагається здійснювати велику кільність дрібних операцій., угоди на ринку здійснюються більш активно, підвищується також інформаційна активність ринку. Нацбанк сприяє успішному функціюванню ринків державних фондів та державних цінних паперів.

1.5 Предмет, методи, принципи й моделі фінансової математики

Згідно сучасних уявлень теорія фінансів і фінансовий аналіз повинні досліджувати властивості фінансових структур і технологій, займатися тим як найбільш раціональним чином використовувати фінансові ресурси з врахуванням факторів часу, ризику й характеру економіко-фінансового довкілля (як правило випадкового) за допомогою різноманітних фінансових інструментів й операцій.

Будь-яка фінансова операція, інвестиційний проект або комерційна угода передбачають наявність ряду умов їхнього виконання, з якими погоджуються причетні сторони. До таких умов відносяться суми фінансових активів (зокрема грошей), часові параметри, процентні ставки, різноманітні додаткові величини й показники. Кожна з перерахованих характеристик може бути представлена різноманітним чином. В рамках однієї фінансової операції подібні показники утворюють деяку взаємопов'язану систему, що підпорядковується певній логіці. В зв’язку з множинністю параметрів кінцеві результати (крім самих елементарних ситуацій) не є очевидними. Зміна однієї або більшої кількості величин, змінює результати операцій. Звідси подібні системи мусять бути об'єктом застосування кількісного фінансового аналізу. Методи й моделі такого кількісного аналізу складають предмет сучасної фінансової математики (ФМ).

Апарат ФМ призначений для розв’язання різноманітних задач, які можливо поділити на дві великі групи: 1) традиційні (або класичні); 2) нетрадиційні (або стохастичні), постановка і розробка яких відносяться до останніх 50-ти років. Кількісний фінаналіз застосовується як в умовах визначеності, так і невизначеності. В першому дані для аналізу відомі й фіксовані. Тоді аналіз проводиться методами традиційної ФМ (як наприклад, при емісії звичайних облігацій, коли однозначно визначені всі параметри — строк, купонна доходність, порядок викупу). Аналіз значно ускладнюється, коли доводиться враховувати невизначеність — динаміку фінансових ринків (рівні процентних ставок, коливання курсів цінних паперів, валютних курсів тощо) та поведінку контрагентів. Тут доводиться застосовувати різноманітні «ймовірнісно-статистичні» теорії (стохастичні процеси й числення, статистику таких процесів, стохастичну оптимізацію тощо) та напрацювання сучасної фінансової інженерії, у вигляді частково емпіричних, частково аналітичних методів й моделей аналізу та прийняття рішень в складних ситуаціях.

Рамки ФМ досить широкі - від елементарних підрахунків процентів, до складних підрахунків для динамічних стохастичних й статистичних моделей фінансових явищ й операцій. Серед основних задач ФМ можна вказати: 1) вимірювання кінцевих фінансових результатів угод, контрактів тощо для причетних сторін; 2) розробка планів виконання операцій з врахуванням фінансових ризиків та застосування методів їх редукції; 3) вимірювання залежності кінцевих результатів операції від її параметрів; 4) визначення припустимих критичних значень цих параметрів та розрахунок (в разі потреби) параметрів еквівалентної (справедливої беззбиткової) зміни первісних умов операції.

Область застосування методів кількісного фінансового аналізу в процесі його історичного розвитку послідовно розширювалося. Коротко прослідуємо головні етапи цього розвитку.

Є свідоцтва того, що на зорі цивілізації (Месопотамія) вже застосовувалося нарахування процентів у простих позичкових операціях. Значний поштовх розвитку методів фінансового аналізу, обліку й управління дали в часи Відродження у Середньовічній Європі праці італійського математика Лукі Пачолі (1445−1514). Дослідження засновника економічної теорії та статистики Вільяма Петті (1623−1687) та його школи виявили важливість кількісних методів фінансової економіки (зокрема страхування). Аналіз результатів Пачолі в листуванні П. Ферма і Б. Паскаля (1652р.) призвів до виникнення початків теорії ймовірності та теорії ігор. Протягом ХІХ ст. і початку ХХ ст. основна увага традиційної ФМ зосередилася на вивченні потоків платежів, аналізі інвестиційних проектів. В 1900р. Луї Башельє (1870−1946) вперше розглянув еволюцію вартостей акцій як випадковий процес арифметичного броунівського руху та отримав формулу для раціональної ціни опціона-колл, котру покупець мусив сплатити продавцю, що зобов’язався продати покупцеві акції в майбутній момент за певною ціною виконання угоди.

В традиційній ФМ, що розглядала кількісні моделі в припущеннях повної визначеності, значну роль відіграли роботи І. Фішера, Ф. Модільяні і М. Міллера, що розглянули питання оптимальних фінансових рішень домогосподарств і фірм.

В напрямку розвитку моделей оптимальної поведінки економіко-фінансових агентів велику роль зіграли роботи Дж. фон Неймана з концепції сподіваної користі 40-х рр. ХХст., що знайшли подальший розвиток в дослідженнях К. Ерроу і В. Пратта з вимірювання ризиковості дій таких агентів.

Значну роль у становленні стохастичної ФМ мали роботи Г. Марковітца (1952р.) і М. Кендала (1953р.) з основ теорії портфелю цінних паперів інвестора та його оптимізації та стохастичний динаміці цін активів. Ці роботи стимулювали створення класичних теорій САМР (моделі ціноутворення основних фондів) В. Шарпом в 1964р.; АРТ (Арбітражної теорії розрахунків) С. Россом в 1976р. та «Теорії ефективного ринку» (ЕСМТ).

В 1973р. була створена перша біржа по заключенню стандартних контрактів з опціонами (СВОЕ — Chikago Board Options Exchange) і опубліковані роботи Ф. Блека і М. Шоулса, а також Р. Мертона з ціноутворення опціонів, що визвали революційні зміни в методології фінансових розрахунків і закріпили створення стохастичної ФМ.

Свідотством важливості розвитку ФМ ХХст. є той факт, що переважна частина авторів вищевказаних результатів стала Нобелівськими лауреатами з економіки.

Інтенсивний розвиток ФМ супроводився в останні два десятиліття становленням й успіхами суміжних напрямів фінансового аналізу та їх кількісних методів й моделей. Сюди насамперед слід віднести різні розділи фінансової інженерії, пов’язані з розробкою й впровадженням нових фінансових інструментів, удосконаленням методів фундаментального й технічного аналізів фінансових ринків, широким застосуванням методів статистичного імітаційного моделювання, нейронних сіток тощо. Особливо слід відмітити процес інформаційно-комп'ютерних технологій в фінансах і фінансовому аналізі (системний аналіз, інформатика, експертні системи тощо). Ці технології дозволили приймати, запам’ятовувати, зберігати й обробляти гігантську інформацію про рахунки, угоди, зміни цін, а також використовувати це в режимі реального часу. В результаті багато видів фінансових фірм набули нового структурного устрою, технічно остали можливими автоматизовані системи управління фінансовими ризиками.

Сформулювалася так дисципліна як економетрика фінансових ринків, що призвело до виникнення нових статистично-фінансових моделей динаміки вартості фінансових активів: ARCH, GARCH, FIARCH, FIGARCH тощо.

Всі ці нові напрямки кількісного фінансового аналізу утворюють разом з традиційною ФМ та стохастичною ФМ і актуарною математикою основне ядро сучасної фінансової економіки — фінансову математику в широкому розумінні.

Але слід додати, що в цілому, незважаючи на бурхливий розвиток ФМ в останні десятиліття фінансовий ринок ще залишається недостатньо вивченим та науково зрозумілим явищем.

До інноваційних напрямів сучасної фінансової математики слід віднести різноманітні моделі, пов’язані з неповним фінансовими ринками, зокрема ринками з випадковими волатильностями руху цін фінансових активів, різноманітними обмеженнями тощо. Протягом останніх років інтенсивно розвивалися фрактальні моделі фінансових ринків, в основі яких лежить явище статистичної само подібності коливань вартості цінних паперів. Подібні моделі використовують такий випадковий процес, як фрактальний броунівський рух, та побудовані на ньому стохастичні числення. Відповідний напрямок досліджень добре представлений у Київському національному університеті (проф. Мішура Ю.С. та її учні).

Новою парадигмою фінансової економіки став досить революційний підхід до розуміння ймовірності як науки та відповідного фінансового моделювання, розроблений Г. Шафером і В. Вовком, який вони назвали «теоретико-ігровим». В його основі лежить не припущення про існування деякого механізму випадковості (датчика випадковості) типу підкидання монети, колеса рулетки тощо, а тільки припущення про можливість робити грошові ставки на майбутній хід подій (чим спокін віків займаються фінансові агенти та спекулянти). Ця парадигма веде до нових уявлень про «правильну організацію» фінансових потоків.

Глава 2. Математика простих і складних процентів

2.1 Базові моделі нарахування процентів

Фактор часу грає дуже важливу роль у фінансових операціях (ФО). Тому моделі ФО є динамічними, що розділяються на моделі з дискретним часом, коли час фігурує у вигляді послідовності деяких моментів, і на моделі з неперервним часом, коли час змінюється неперервно на деякому проміжку (скінченому або нескінченному). В залежності від напрямку течії часу в процесі, що описується моделлю, розрізняють моделі з прямим часом та зворотнім часом. При моделюванні звичайно вважається, що час вимірюється в деяких зарані фіксованих одиницях (рік, місяць, день тощо).

Нехай стан фінансів на момент часу, що може змінюватися на дискретному або неперервному часовому проміжку, позначається як і є сумою грошей фінансового агента на момент. Тоді для характеризації ефективності ФО (угоди, контракту) застосовують такі показники як відносне зростання або дохід (ставка — interest rate, return) та відносна знижка (або дисконт — discount rate), що визначаються формулами:

Вони показують відносний приріст капіталу до його початкового значення (дохід або інтерес) та до кінцевої суми (дисконт). З виразу (1) випливають наступні формули зв’язку введених величин:

Формули (3) показують, що фінансову угоду можливо характеризувати як ланцюг «початкова сума — ставка — кінцева сума», або як «кінцева сума — дисконт — початкова сума» (в схемі зі зворотнім часом). Моделі (2)-(4) також часто характеризують з допомогою таких показників як дисконт-фактор та коефіцієнт нарощення:

Зауважимо, що часто в практиці фінансів та виражають у процентах, помножуючи відповідні величини на 100%. Це пояснює застосування термінів «ставка проценту» замість зростання, процентний цінний папір замість позичкового зобов’язання, процентщик замість лихвар.

Приклад 1. Якщо грошовий кредит наданий на один рік у сумі 1 млн. грн. з умовою повернення 2 млн. грн., то відносний дохід (ставка) складає 1(або 100%), а дисконт — Ѕ (або 50%). Якщо кредит надано у сумі 3 млн. грн. зі ставкою 50%, то через рік доведеться повертати 4,5 млн. грн. Якщо ж кредит виданий з умовою повернення через рік 3 млн. грн. з дисконтом 20%, то дебітор отримає 2,4 млн. грн. При цьому дисконт-фактор буде 0,8.

Звичайно в умовах фінансової угоди вказують ставку або дисконт за певний базовий період часу, протягом якого здійснюється виплата прибутку (період конверсії або капіталізації прибутку (інтересу)). Найчастіше базовим періодом є рік, іноді - півроку, квартал, місяць, день. Тоді відповідну виплату за період часу протяжністю в базових періодах обчислюють за певними правилами, що випливають з умов угоди. Практично застосовують дві схеми простих процентів (simple interest), або дві схеми складних процентів (compound interest), приймаючи у 1-му випадку і (лінійні функції часу з коефіцієнтами і, що називаються процентною ставкою і обліковою ставкою за період конверсії), а у 2-му випадку, покладаючи

де — (складна) ставка проценту, а — (складна) облікова ставка. Зауважимо, що фінансовий термін «процент» походить від латинського виразу pro centum, що в перекладі означає «на сто» (тобто соту частину цілого), що передається синонімічним терміном «відсоток». Але термін «відсоток» не вживається у фінансовій практиці, де загальноприйнятим міжнародним терміном є «процент».

Таким чином в схемах з процентною ставкою (звичайною ставкою %) з дискретним часом, коли одиниця часу є періодом конверсії сума в разі простих процентів змінюється як арифметична прогресія

а в разі складних процентів — як геометрична прогресія

Для схем з обліковою ставкою маємо в разі простих і складних процентів відповідно формули

або

Сучасна практика фінансових ринків дає велику різноманітність величин процентних ставок і по різним типам кредитів, вкладень грошей та іншим ФО. Виникає питання чому взагалі сплачуються проценти і чому існують різні процентні ставки? Гроші приносять вигоду й добробут не самі по собі, а лише як засіб обміну, коли за них купуються реальні блага (товари й послуги). Вкладаючи або інвестуючи гроші економічний агент відмовляється від можливості обернути їх в реальні блага, що дають пряму користь, втрачаючи потенціальну користь, що вимагає певну часову компенсацію. Інвестиції ведуть до невизначеності відносно майбутньої вартості інвестованих грошей через можливі типи ризиків, що можуть зменшувати вигоду або добробут. До основних фінансових ризиків належать ризик втрати купівельної спроможності грошей або інфляційний ризик, ризик невиконання зобов’язань через не передбачувані обставини, ризик втрати потенційних вигод у майбутньому. Це дає позитивну часову перевагу (positive time preference) для грошей, коли економічні агенти віддають перевагу наявним грошам перед обіцянками надати їх пізніше.

Проценти виражають інтерес (чистий дохід, прибуток) власника грошей від ФО, що компенсує його видатки на операцію і неможливість задовольняти позитивну часову перевагу грошей при їх альтернативному використанні (усереднено компенсує можливі ризики, вказані вище). Різні величини процентних ставок враховують різні ступені можливих в майбутньому ризиків. Так наприклад, якщо іпотечна позика (позика під матеріальну заставу) надається під річну ставку =7%, то банківський овердрафт (позика у формі дозволу перевищувати суму грошей на банківському рахунку клієнта) навіть для досить надійних клієнтів має ставку =22%.

Порівняємо наслідки користування схемами простих та складних при тих же самих процентних ставках.

Приклад 2. Сума депозиту (банківського вкладу) дорівнює 100 тис. грн. При ставці =30% річних. Визначимо нарощену вартість депозиту за простими і складними процентами за ряд періодів часу з Ѕ, 1,2,5,10,20 років. Використовуючи формули (7), (8) будемо мати результати, що надані в наступній таблиці (в тис. грн.).

Проценти

Періоди нарощення суми

Півроку

1 рік

2 роки

5 років

10років

20 років

Прості

115

130

160

250

400

700

Складні

114,02

130

169

285,61

482,68

2329,81

Переходячи у формулах (7) і (8) до неперервного часу при і використовуючи біноміальний розклад для, легко отримати такі порівняльні результати:

при ,

при.

(при =1 очевидно результати співпадають).

Це дає такі фінансові висновки: 1) при періоді часу меншому року прості проценти більш вигідні кредитору (банку); 2) при рік схеми простих і складних процентів дають однакові результати; 3) при складні проценти більш вигідні кредитору (банку). Такий висновок пояснює поширеність у фінансовій практиці простих процентів зі звичайною ставкою для періодів часу менших року і складних процентів при року.

Задача. Порівняти нарощені суми для різних періодів часу в схемах простих і складних процентів з обліковою ставкою. Порівняти нарощені суми для процентних схем з процентною ставкою і обліковою ставкою при умові рівності.

2.2 Застосування простих процентів

Схеми простих процентів є поширеною фінансовою моделлю при позичально-кредитних операціях з терміном, що не перевищує року. До подібних ситуацій відносяться операції короткострокового банківського й ломбардного кредиту, споживчого кредиту, ведення поточних банківських рахунків тощо. Якщо в моделі з дискретним часом період конверсії співпадає з обраною одиницею часу, то відповідні ставки і називаються фактичними, а якщо період конверсії не співпадає з базовою одиницею часу, то ставки називається номінальними (вони умовно відносяться до одиниці часу). Звичайно в практичних ситуаціях в базовій одиниці часу вкладається ціле число періодів конверсії. Тоді для розрахунків застосовують так звану релятивну процентну ставку r/m або релятивну облікову ставку d/m, так що відповідні формули набувають вигляду

або ,

де час вимірюється в нових одиницях, що дорівнюють періоду конверсії.

Приклад 1. Нехай є початковий капітал в 1 тис. грн. Покладений на депозит з номінальною річною ставкою =6% з квартальним нарахуванням процентів. Тоді релятивна ставка є 1,5% сплачується наприкінці кожного кварталу, так що за півроку капітал зросте до 1,03 тис. грн.

Складніше стає ситуація коли періодом конверсії стає день. Тоді або протяжність року приймається за 360 днів (12 місяців однаковою протяжністю в 30 днів) і в цьому разі прості проценти називають звичайними, а якщо рік вимірюється фактичною кількістю днів (365 для звичайного і 366 для високосного року), то відповідні проценти називаються точними.

Отже виникає 4 схеми розрахунків простих процентів: 1) точні проценти з точним числом днів (ця найбільш точна схема застосовується, наприклад, у банках Великобританії, США, Португалії); 2) звичайні проценти з точним числом днів (Франція, Бельгія, Іспанія, Швейцарія); 3) звичайні проценти з наближеним числом днів (найменш точна схема, що застосовується в Німеччині). Схема точних процентів з наближеним числом днів — практично не застосовується.

Приклад 2. Виданий кредит в сумі 1 млн. грн. з 15. 01. 02 по 15. 03. 02 під 20% річних (=0,2). Тоді при точних процентах схеми 1) =1 032 328 грн. 77 коп., а при звичайних процентах схеми 3) =1 033 333 грн. 33 коп.

Припустимо, що інфляція або інші зміни кон’юнктури змушують часто змінювати ставку (floating rate). Нехай в період угоди відбуваються зміна в моменти часу. Позначимо і розіб'ємо період на проміжків зі сталою ставкою, щоб на вона складала величину.

Тоді якщо сума розміщена під прості проценти при описаних змінах ставки та відсутності проміжних операцій, то коефіцієнт нарощення на проміжку складає величину

Формула (1) є прямим наслідком принципу нарахування простих процентів на сталу початкову суму.

Приклад 3. Контракт передбачає нарахування простих процентів: за 1-й рік — 60%, а в кожному наступному півріччі (семестрі) ставка підвищується на 10%. Визначити нарощення, А за 2,5 роки.

Маємо

і. Тому.

Якщо в моменти зміни ставки, нарощена сума вилучається й негайно знов вкладається під новий простий процент, то така схема називається реінвестуванням простих процентів.

Пропозиція. При описаному реінвестуванні з початковою інвестицією нарощена на сума складає:

Формула (2) легко перевіряється індукцією за числом.

Наслідок. При

і

реінвестування дає схему складних процентів:.

Приклад 4. На суму щомісячно протягом кварталу нараховують прості проценти за ставкою в 9% за 1-й місяць, =10% за 2-й місяць і =11% за 3-й. Тоді при реінвестуванні

.

Зауважимо, що через можливість реінвестування банки практично не користуються схемою простих процентів для депозитів, що тривають більше ніж один період конверсії, хоч вона є для них більш вигідною.

Приклад 5. Нехай позичальник заборгував сум, що погашаються після днів (тобто в різні терміни) за простими процентними ставками відповідно. Позичальнику іноді вигідно сплатити весь борг разом, але кредитор погодиться на це тільки коли він не понесе збитку. Тоді за принципом еквівалентності фінансових зобов’язань один термін повертання боргу в днів (середній термін погашення позики одному кредитору) за однією (середньою процентною ставкою) повинен давати ту же суму платіжу, що й сума процентних платежів за попередніми угодами. Це дає таке співвідношення (рівняння еквівалентності) для і:

,

де — базове число днів у році. Легко побачити, що рівняння еквівалентності може бути ефективно розв’язане відносно у таких випадках: 1) коли

і;

Тоді

— середнє арифметичне окремих термінів погашення;

2) — різні, але

;

тоді

— середнє зважене окремих термінів з вагами

; 3); тоді очевидно за потрібно взяти, звідки середня ставка

— середнє зважене.

Приклад 6. Споживчий кредит сумою наданий на умовах річної простої процентної ставки і має бути сплачений за місяців з однаковими місячними виплатами основного боргу (без нарахування процентів). Скласти модель погашення кредиту (модель амортизаційного плану місячних сплат).

Тут процентний платіж за користування кредитом розраховується «вперед»: за 1-й місяць платіж розраховується на весь борг, а на кожний наступний місяць — на залишок боргу (на величину боргу, зменшену на вже сплачену частину). Тоді платіж в 1-ому місяці є у другому місяці

і т.д. Тоді в — тому місяці

Тоді загальна сума виплат за користування кредитом (інтерес кредитора) буде

Отже загалом на погашення кредиту йде сума, де дається формулою (4).

Приклад 7. Скласти план погашення кредиту в 15 000 грн. з =12% і терміном погашення в 6 місяців.

Користуючись формулами (3) і (4) маємо амортизаційний план, що представлений такою таблицею:

Місяць

Борг

% платіж

Виплата боргу

Місячний платіж

15 000

12%

1

12 500

150

2500

2650

2

10 000

125

2500

2625

3

7500

100

2500

2600

4

5000

75

2500

2575

5

2500

50

2500

2550

6

25

2500

2525

разом

525

15 000

15 525

Схема простих процентів зі звичайною процентною ставкою, що є нормою прибутку за один період конверсії (капіталізації), як випливає з вищевказаних розглядів, пов’язана зі сплатою (нарахуванням) процентів наприкінці кожного з періодів капіталізації протягом часу, що складається з ряду таких послідовних періодів. Такий спосіб нарахування процентів називається декурсивним (наступним), а самі відповідні прості проценти — процентами «потім» (постнумерандо), що виражає факт їх нарахування наприкінці періоду конверсії. Схема простих процентів з обліковою ставкою пов’язана з нарахуванням і сплатою процентного прибутку на початку кожного періоду капіталізації. Процентний прибуток називається тоді авансовим (на відміну від рекурсивної схеми, де він є заборгованим), а сама величина прибутку називається дисконтом (на відміну від рекурсивної системи, де він називається інтересом). Сама подібна схема капіталізації прибутку на початку періодів конверсії називається антисипативною, а відповідні процентні платежі - платіжними «вперед» (попередньо або пренумерандо).

Доведемо вказаний факт. Нехай фактична ставка дисконту (облікова ставка),. Інвестор, що вкладає суму на один період конверсії зі ставкою пренумерандо буде негайно отримувати процентний прибуток, цей прибуток негайно приєднується до його доходу, інвестується і дає прибуток інвестування якого дає прибуток і т.д. до нескінченності. Таким чином загальний дохід інвестора (сума інвестованого капіталу плюс всі прибутки) складає величину

(в очевидних припущеннях, що, бо пов’язана з еквівалентною їй за результатами процентною ставкою відношенням через рівність

).

Формально рівність (5), що втілює антисипативний характер нарахування простих процентів з обліковою ставкою є наслідком розкладу

.

Зауважимо, що зв’язок еквівалентних ставок і можна переписати у вигляді, звідки випливає, що. Отже тоді.

Антисипативна за своєю сукупністю схема простих процентів з обліковою ставкою прямо налаштована на підрахунок сучасного, приведеного або поточного значення (present value) інвестиції тобто суми по її майбутній вартості (future value)

: ,

бо при її використанні легше підраховується дисконт-фактор ніж при рекурсивній схемі зі ставкою, коли. При цьому величина дисконту є знижкою до сучасної вартості.

Подібний підхід зручно застосовувати при ФО пов’язаних з обліком боргових цінних паперів (БЦП) — векселів і облігацій. Вексель (В) є письмовим борговим зобов’язанням, що укладено у відповідності із законом та дає право його власнику після настання строку оплати отримати від юридичної або фізичної особи, яка видала В, обумовлену ним суму. В — це цінний папір (ЦП), який підтверджує факт надання позики, або купівлі товару в кредит під проценти і який може знаходитися як і інші ЦП в обігу на фінансовому ринку, тобто перепродаватися й куплятися, змінюючи власника. Виникає проблема оцінювання В при таких ФО, що відбуваються до настання строку платежу (date of maturity) за векселем. Звичайно банк або інша фірма, що купляє В до цього строку (враховує його) з деяким дисконтом (знижкою) відносно його номінальної вартості. Ця Ф О здійснюється із застосуванням облікової ставки, тобто ціна обліку (врахування) В обчислюється за формулою, де — номінальна ціна В, а час в періодах конверсії до яких прив’язана ставка до строку погашення векселя. При цьому дохід банку (дисконт врахування В) є.

Приклад 7. Тратта (перевідний В) виданий на суму 10 000 грн. зі сплатою (погашенням)17. 11. 2002. Власник В врахував його у банку 23. 09. 2002 по річній обліковій ставці =20%. Яку суму він отримав і який дисконт (дохід) отримав при цьому банк?

Звичайно облік В здійснюється при часовій базі року =360 днів з точним числом днів позики, що в даному прикладі дорівнює 55 дням. Тому =10000(1-(55/360)0,2)=9694 грн. 44 коп. Отже дисконт банку складає величину

грн.

2. 3 Основні поняття й формули, пов’язані із застосуванням базових схем складних процентів

На відміну від простих процентів, де процентний платіж нараховується на одну й ту ж саму величину первісного капіталу протягом всього часу ФО, в схемах складних процентів процентний платіж у кожному розрахунковому періоді (періоді конверсії) додається до капіталу попереднього періоду, а процентний платіж наступного періоду обчислюється на нарощений капітал попереднього періоду як було з’ясовано в пункті 2.2. Прикладом збільшення капіталу зі складними процентами є регулярне реінвестування коштів, вкладених під прості проценти на один період конверсії. Спосіб обчислення процентних платежів за складними процентами називається нарахуванням «процентів на процент».

З пунктів 2.2 і 2.1 випливає, що є дві базові схеми нарахування складних процентів: перша найбільш поширена — декурсивна схема з нарахуванням платежів % за звичайною ставкою наприкінці кожного розрахункового періоду; друга менш поширена — антисипативна (попередня або авансова) схема, коли платіж % за обліковою ставкою нараховується та додається до капіталу на початку кожного періоду конверсії. Якщо періоди конверсії є відповідно роком, півріччям, кварталом, місяцем, тижнем або днем, то відповідні % ставки називаються річними, піврічними, квартальними, місячними, тижневими або денними.

Для дискретного часу, початкового моменту і капіталу маємо такі закони динаміки (нарощення) капіталу для моментів часу за декурсивною (антисипативною) схемою складних процентів:

де і фактичні процентна і облікова ставки відповідно. Зауважимо, що формули (1) при певній інтерпретації, що буде приведена в подальшому, зберігаються і для моделей з неперервним часом. При цьому складні коефіцієнти нарощення акумуляції процентів визначаються рівностями

З формул (1) випливають корисні формули для визначення ставок і за величинами капіталу та тривалості розрахункового періоду:

Має місце такий принцип стабільності фінансового ринку: якщо не враховувати податки та інші надкладні видатки, то коефіцієнт нарощення на деякому проміжку часу є добутком таких коефіцієнтів, на які розбитий основний проміжок (ланцюгове правило). Очевидно, що загальне ланцюгове правило еквівалентно його виконанню два двох проміжків часу: при довільних

.

З ланцюгового правила випливає загальний вигляд коефіцієнтів нарощення в умовах змінної ставки процентів: якщо послідовні значення, що діють протягом проміжків часу тривалостей відповідно, то коефіцієнт за весь термін буде

.

Приклад 1. Нехай ставка за позикою є 30% плюс маржа (доплата на накладні видатки або комісійні) в 2% на квартал в перший рік та складає 40% плюс маржа 3% за півроку на другий рік. Тоді за два роки буде.

Нехай — ставка складних процентів за період нарахування в від основного періоду часу (напр. року) зі ставкою. Тоді для часу. Якщо є релятивною ставкою, що відповідає номінальній ставці, , то. Як відомо з математичного аналізу монотонно зростає по і має границю при довільному. Отже використання релятивної ставки замість номінальної при кратному зменшуванні періоду конверсії збільшує дохід інвестора для будь-якого періоду капіталовкладення.

Приклад 2. При річній номінальній ставці =6% квартальному періоді конверсії відповідає релятивна ставка =1,5%, яка дає нарощення за рік, тобто відповідає фактичній річній ставці =6,136%.

Приклад 3. Знайти період подвоєння початкової інвестиції при однаковій ставці простих і складних процентів і порівняти їх для різних. Покладаючи відповідні коефіцієнти нарощення рівними 2 має для простих процентів (з рівності) і для складних — (з рівності). Вибираючи =5,10,15,25,50,75, маємо такі порівняльні дані:

(у %)

5

10

15

25

50

75

20

10

6,7

4

2

1,33

14,2

7,3

5,0

3,1

1,7

1,24

Нехай термін інвестиції не є цілим числом, де — ціла частина, а — дробова частина. Тоді складні проценти за ставкою можна порахувати: 1) за загальною формулою

2) комбінованим методом (тобто для нараховуються складні проценти, а для періоду — прості):

Неважко встановити, що формула (5) дає більшу суму ніж (4) (тобто для депозиторів є вигідним метод 2), а для банків — 1).

Нехай — номінальна процентна ставка за базову одиницю часу (напр. рік), але період конверсії становить базової одиниці. Розглянемо сукупність еквівалентних їй номінальних ставок для, для яких відповідні релятивні ставки для періоду конверсії дають той же результат за базову одиницю, що й застосування:. Тоді сім`я ставок описується рівністю

Оскільки є реально діючою ставкою для базової одиниці часу при використанні ставок з періодом конверсії, то вона називається ефективною ставкою для сім`ї номінальних ставок і позначається як. При цьому очевидно, що

.

В загальному випадку, коли період нарахування процентів може і не вкладатися ціле число разів в базову одиницю часу (напр. рік), то ефективна ставка для ставки визначається формулою.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой