Доказательство Великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры

Тип работы:
Статья
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Доказательство теоремы Ферма методами элементарной алгебры

Бобров А.В.

г. Москва

Контактный телефон — 8 (495)193−42−34

bobrov-baltika@mail. ru

В теореме Ферма утверждается, что равенство для натуральных и может иметь место только для целых.

Рассмотрим равенство

, (1)

где и — натуральные взаимно простые числа, то есть числа, не имеющие общих целых множителей, кроме 1. В этом случае два числа всегда нечетные. Пусть — нечетное число, и — натуральные числа. Для всякого действительного положительного числа выполнима операция нахождения арифметического значения корня, то есть равенство (1) можно записать в виде:

, (2)

где и — действительные положительные множители числа В соответствии со свойствами показательной функции, для любого

из действительных положительных чисел и существуют единственные значения чисел, удовлетворяющие равенствам

, (3)

Из равенств (2) и (3) следует:

,. (4)

Поскольку p> q, всегда имеет место p-q=k, или аp= аk аq, то есть числа и содержат общий множитель, что противоречит условию их взаимной простоты. Это условие выполнимо только при, то есть при. Тогда равенства (4) принимают вид:

, (5)

откуда следует

, (6)

то есть для взаимно простых и числа и всегда являются двумя последовательными целыми числами. Еще Эвклидом доказано, что всякое нечетное число выражается, как разность квадратов двух последовательных целых чисел, то есть равенство (1) для натуральных взаимно простых и может быть выражено только в виде равенства

. (7)

Справедливость приведенного доказательства можно проиллюстрировать следующим примером.

Пусть в равенстве Ферма числа и — целые взаимно простые, — четное. Тогда числа, , их сумма и разность — также целые, показатель степени p> q.

Целые числа и

являются взаимно простыми, если не содержат общих целых множителей, кроме 1. Это условие выполнимо только тогда, когда общий целый множитель, то есть, .

Тогда разность, что для одновременно целых и может иметь местотолько при, то есть при или, что и позволило Пьеру де Ферма сделать почти 370 лет назад свою запись на полях арифметики Диофанта.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой