Доказательство теоремы о представлении дзета-функции Дедекинда

Тип работы:
Курсовая
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Содержание

  • Введение
  • Глава 1. Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда произведением L-рядов Дирихле
  • Глава 2. Вывод функционального уравнения дзета-функции Дедекинда
  • Заключение
  • Список используемой литературы

Введение

В данной работе мы рассмотрим теорему о представлении дзета-функции Дедекинда в виде произведения L-функций и пример приложения этой теоремы к выводу функционального уравнения дзета-функции Дедекинда.

Определим некоторые понятия. Пусть k — конечное расширение поля Q, a — некоторый главный идеал поля k. Рассмотрим его разложение на простые идеалы

где для почти всех p.

Через N (a) обозначим абсолютную норму идеала a, т. е. Определим дзета-функцию Дедекинда:

Кроме того каждому характеру сопоставим L-ряд

Глава 1. Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда произведением L-рядов Дирихле

Докажем следующую теорему

Теорема. Пусть K — конечное абелево расширение поля k; тогда

где произведение справа распространяется на все примитивные характеры, согласованные с характерами группы классов где S — исключительное множество в k, — группа всех идеалов поля k, взаимно простых с S, — подгруппа конечного индекса, образованная теми элементами из, которые содержат нормы относительно k идеалов из K, взаимно простых с S, — подгруппа в подгруппе главных идеалов в, состоящая из таких главных идеалов, для которых и

Доказательство проводится в терминах локальных множителей, причем мы рассмотрим по отдельности неразветвленный и разветвленный случаи.

1. Пусть p — неразветвленный простой идеал из k, т. е.

где — различные простые идеалы в K. Согласно теории полей классов,

где

Поэтому соответствующий локальный множитель слева равен

в то время как соответствующий локальный множитель справа равен

Ввиду того, что f — наименьшее положительное число такое, что для всех, имеет место следующее легко проверяемое тождество

отсюда, если положить, следует нужное равенство.

2. Доказательство для разветвленных простых идеалов сложнее и использует функциональные уравнения, которым удовлетворяют различные L-функции. Начнем с равенства

и докажем, что функциятождественно равна единице. равна произведению конечного числа выражений вида

соответствующих разветвленным идеалам p.

теорема дзета функция дедекинд

Если это произведение непостоянно, оно имеет полюс или нуль в некоторой чисто мнимой точке, где. В силу функционального уравнения представляет собой отношение гамма-функций и, следовательно, имеет только вещественные нули и полюсы. Поэтому, также является полюсом или нулем функции g. Мы знаем, однако, что не является нулем или полюсом ни для L-рядов, ни для функций. Следовательно, g постоянна, а именно равна 1.

Глава 2. Вывод функционального уравнения дзета-функции Дедекинда

Пусть k=Q, K=Q (), где — первообразный корень из 1 степени m,. Тогда

(1)

где — дзета-функция Римана, — L-функция Дирихле, произведение справа распространяется на все неглавные рациональные характеры по модулю m.

Выведем функциональное уравнение

Воспользуемся функциональным уравнением для:

,

где сумма Гаусса. Воспользуемся (1), получим

,

,

используя свойство сумм Гаусса, получим

,

.

Пусть для любого вещественного характера, тогда

,

.

Известно, что для каждого комплексного характера существует сопряжённый, тогда получим

,

,

,

.

Используя функциональное уравнение для дзета-функции Римана:

получим

где D — дискриминант поля K.

Таким образом мы получили функциональное уравнение для дзета-функции Дедекинда в случае, когда k=Q, K=Q ().

Заключение

В данной работе мы доказали теорему о представлении дзета-функции Дедекинда в виде произведения L-функций и с помощью этой теоремы вывели функциональное уравнение дзета-функции Дедекинда в случае k=Q, K=Q (), где — первообразный корень из 1 степени m.

Список используемой литературы

1. Касселс Дж., Фрёлих А. Алгебраическая теория чисел. — М., «Мир», 1969, с. 328 — 330

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой