Высшая математика

Тип работы:
Контрольная
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Задача 1

Провести полное исследование функций и построить их графики

Решение:

1) Область определения, функция общего вида, т.к.

y (-x)?-y (x), y (-x)?y (x);

2) => x=-4

точка разрыва 2-го рода

3) Нули функции

4) Интервалы монотонности

возможные точки экстремума

не существует при

-12

4

0

0

-

0

-27

-

0

Функция возрастает при

.

Функция убывает при.

— точка максимума.

5. Выпуклость и вогнутость кривой.

при

не существует при

при кривая выпукла

при кривая вогнута

тч. перегиба

6) Асимптоты.

а) вертикальные: х=-4.

б) наклонные:

, =>

— наклонная асимптота

7) График функции

Задача 2

Фирма планирует собирать S шт. /год телевизоров. Она периодически закупает кинескопы одинаковыми партиями размером q, шт. /партию. Издержки по поставке не зависят от размера партии и равны СП, руб. /поставку. Хранение одного кинескопа на складе в течение года обходится в СХ. руб. /шт. год. Сборка телевизоров производится равномерно, с постоянной интенсивностью. Требуется определить оптимальные параметры системы снабжения кинескопами, при которых суммарные годовые издержки пополнения и хранения запаса кинескопов минимальны.

Таблица 1 — Параметры системы снабжения фирмы кинескопами

S

СП

СХ

12

62 000

1650

68

Указания к задаче 2:

1) Запишите формулы для годовых издержек пополнения запасов ИП(q), издержек хранения ИХ(q) и суммарных издержек И (q) > min;

2) Сформулируйте критерий нахождения экстремума суммарных издержек;

3) Рассчитайте оптимальные значения параметров системы (партия поставок q, число поставок в год Nо, период между поставками То, издержки пополнения ИПо, издержки хранения ИХо, суммарные издержки Ио);

4) Постройте график изменения текущего запаса кинескопов в течение года;

5) Исследуйте характер изменения трех видов издержек как функций размера партииq и постройте графики этих функций на новом рисунке.

Решение:

Годовые издержки пополнения запасов ИП можно определить как произведение числа поставок N на стоимость одной поставки СП.

ИП = N * СП

Число поставок можно выразить через общий объем поставок S и размер партии q:

N =

Тогда можно записать функцию годовых издержек пополнения запасов в зависимости от размера партии:

ИП(q) = СП *

Функцию годовых издержек хранения ИХ можно определить как произведение стоимости хранения единицы СХ на среднее число кинескопов на складе.

Среднее число единиц хранения при равномерном расходе определяется как полусумма максимального и минимального числа кинескопов. Примем за минимальный уровень нулевое значение (без страхового запаса). Тогда максимальный уровень будет равен размеру партии, т.к. сразу после поставки на складе будет лежать q кинескопов.

Исходя из вышесказанного, можно записать функцию годовых издержек хранения:

ИХ(q) = CX * = CX *

Запишем функцию суммарных издержек:

И (q) = ИП(q) + ИХ(q) = СП * + CX *

Экстремум функции суммарных издержек от размера партии определим из условия равенства нулю первой производной. Это экстремум соответствует минимуму суммарных издержек и определяет оптимальный размер партии.

И'(q) = (СП * + CX *)'= - +

Составим и решим уравнение:

— + = 0; =; q2 =; q =.

Отрицательное значение корня не имеет физического смысла.

В результате получили формулу для определения оптимального размера партии.

Рассчитаем оптимальные значения параметров системы.

Найдем оптимальный размер партии:

q = = 1735 шт.

Найдем число поставок в год:

Nо = S / q = 62 000 / 1735 = 35,7 36 раз

Найдем период между поставками:

То = 360 / 36 = 10 дней

Найдем издержки пополнения:

ИПо = СП * N = 1650 * 36 = 59 400 руб.

Найдем издержки хранения:

ИХо = CX * = 68 * 1735 / 2 = 58 990 руб.

Найдем суммарные издержки

Ио = ИПо + ИХо = 59 400 + 58 990 = 118 390 руб.

Построим график запасов:

Рис. 1

Рассмотрим функции издержек.

Годовые издержки пополнения запасов ИП(q) = СП * являются обратной гиперболической функцией, которая монотонно убывает с увеличением размера партии q. С возрастанием q скорость убывания падает.

Годовые издержки хранения ИХ(q) = CX * являются линейной функцией, которая монотонно возрастает с увеличением размера партии q. Минимальное значение функции нулевое. С возрастанием q скорость увеличения издержек хранения не изменяется.

Суммарные издержки являются суммой двух предыдущих функций. В силу этого, функция сначала убывает — когда издержки пополнения запасов существенно выше издержек хранения, а после выравнивания размеров издержек начинает возрастать — когда издержки хранения превышают размер издержек пополнения. Функция суммарных издержек имеет один минимум в районе примерного равенства входящих в нее функций.

Построим графики изменения трех видов издержек как функций размера партииq:

Рис. 2

Задача 3

Фирма собрала сведения об объемах продаж своей продукции (Yi) за 6 последних месяцев (Xi =1… 6) и представила их в виде таблицы. Перед отделом маркетинга поставлена задача аппроксимировать эмпирические данные подходящей функцией, чтобы использовать ее для целей краткосрочного прогнозирования (на один и два месяца вперед, Xj =7, 8).

Таблица 1 — Данные о помесячных объемах продаж фирмы

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

12

14

13

11

14

13

16

Указания к задаче 3:

1) выполните аппроксимацию эмпирических данных линейной функцией у = a0x + a1;

2) выведите нормальные уравнения метода наименьших квадратов для линейной функции;

3) выведите формулы Крамера для параметризации аппроксимирующей линейной функции;

4) для расчета параметров аппроксимирующей линейной функции составьте таблицу.

Таблица.2 — Параметризация аппроксимирующей линейной функции.

i

Xi

Yi

Xi2

XiYi

1

2

3

4

5

6

Сумма

5) запишите выражение для аппроксимирующей линейной функции и рассчитайте ее значения о точках Xi = 1… 8; результаты расчетов оформите в виде таблицы;

6) изобразите на одном рисунке в большом масштабе график аппроксимирующей линейной функции и нанесите эмпирические точки.

Решение:

Аппроксимацию эмпирических данных будем выполнять линейной функцией

у = a0x + a1

Сущность метода наименьших квадратов состоит в подборе таких a1 и a0, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной. Так как каждое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений будет функцией F этих параметров: F (a0, a1) = или F (a0, a1) =

Для отыскания минимума приравняем нулю частные производные по каждому параметру:

=

=

Выполнив элементарные преобразования сумм, получим систему из двух линейных уравнений относительно a1 и a0:

Решим данную систему методом Крамера:

Тогда можно вывести формулы расчета параметров:

Построим расчетную таблицу

Таблица 3 — Расчетная таблица

i

Xi

Yi

Xi2

XiYi

1

1

14

1

14

2

2

13

4

26

3

3

11

9

33

4

4

14

16

56

5

5

13

25

65

6

6

16

36

96

Сумма

21

81

91

290

Найдем значения параметров:

Тогда формула аппроксимирующей линейной функции будет равна

= 0,3714·Xi + 12,2

Найдем значения аппроксимирующей функции:

Таблица 4 — Расчет значений аппроксимирующей функции

i

Xi

1

1

12,5714

2

2

12,9428

3

3

13,3142

4

4

13,6856

5

5

14,057

6

6

14,4284

7

7

14,7998

8

8

15,1712

Построим график аппроксимирующей функции

Рис. 1

Задача 4

Найти приращение и дифференциал функции y=a0x3+a1x2+a2x (таблица). Рассчитать абсолютное и относительное отклонения dy от Дy.

Решение:

y=4x3-2x2-3x

Приращение функции

y (x+Дx)-y (x)= 4(x+Дx)3-2(x+Дx)2-3(x+Дx) — (4x3-2x2-3x)=

=4(x3+3x2Дx + 3xДx2 + Дx3) -2(x2+2 xДx +Дx2)-3x-3Дx -4x3+2x2+3x=

=4x3+12x2Дx + 12xДx2 + 4Дx3 -2x2-4 xДx -2Дx2-3Дx -4x3+2x2=

=12x2Дx + 12xДx2 + 4Дx3-4 xДx -2Дx2-3Дx =

=(12x2-4 x-3)Дx +((12x-2)Дx2 + 4Дx3)

Линейная по Дx часть приращения есть дифференциал, то есть

dy=(12x2-4 x-3)Дx или заменяя Дx на dx получим dy=(12x2-4 x-3)dx

Абсолютное отклонение:

Дy- dy = (12x2-4 x-3)Дx +((12x-2)Дx2 + 4Дx3) — (12x2-4 x-3)Дx =(12x-2)Дx2 + 4Дx3

Относительное отклонение:

Задача 5

Используя дифференциал, рассчитайте приближенное значение функции, оцените относительную погрешность и вычислите значение с 6 знаками.

n=3, x=63

Решение:

Возьмем

=64

=>

Тогда

Относительная погрешность

Задача 6. Найти неопределенные интегралы, используя метод разложения.

Решение:

1)

2)

Задача 7

Найти неопределенные интегралы, используя метод замены переменной.

Решение:

1) 2)

Задача 8

Найти неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям.

Решение:

1)

2)

Задача 9. Нарисуйте прямоугольный треугольник с вершинами в точках О (0,0), А (а, 0), В (0,b). Используя определенный интеграл выведите формулу площади прямоугольного треугольника.

Решение:

Уравнение гипотенузы найдем как уравнение прямой по 2-м точкам:

=>

Тогда площадь треугольника равна:

Задача 10. Нарисуйте треугольник произвольной формы, расположив его вершины в точках А11, 0), А22, 0), В (0,b). Используя определенный интеграл, выведите формулу площади треугольника произвольной формы.

Решение:

Уравнение сторон найдем как уравнения прямых по 2-м точкам:

А1В: =>

А2В: =>

Тогда площадь треугольника равна:

Задача 11. Начертите четверть круга радиуса R с центром в точке О (0,0). Используя определенный интеграл, выведите формулу площади круга. (Уравнение окружности x2+y2=R2)

Решение:

Из уравнения окружности:

Тогда четверти круга равна:

Тогда площадь круга равна:

Задача 12

Используя определенный интеграл, вычислите площадь, ограниченную кривой y=lnx, осью ОХ и прямой х=е. Нарисуйте чертеж.

Решение:

Найдем точки пересечения y=lnx =0 (y=lnx с осью ОХ: y=0)=>, тогда искомая площадь:

Задача 13

Вычислите площадь сегмента, отсекаемого прямой y=3−2x от параболы y=x2. Нарисуйте чертеж.

Решение:

Найдем точки пересечения y= x2 =3−2x => x2 +2x-3=0 =>, тогда искомая площадь:

Задача 14

Вычислить площадь между кривой y=1/x2 и осью ОХ, располагающуюся вправо от линии x=1. Нарисуйте чертеж.

Решение:

Искомая площадь:

Вычислить приближенное значение интеграла по формуле трапеции, принимая n = 5.

Формула трапеций имеет вид

Длина интервала

Для удобства вычислений составим таблицу:

N

0

1

1,0000

1

2

0,2500

2

3

0,1111

3

4

0,0625

4

5

0,0400

5

6

0,0278

Тогда по формуле трапеций имеем:

Точное значение

Относительная погрешность

Повторим вычисления для 10 отрезков.

Длина интервала

Для удобства вычислений составим таблицу:

N

0

1

1,0000

1

1,5

0,4444

2

2

0,2500

3

2,5

0,1600

4

3

0,1111

5

3,5

0,0816

6

4

0,0625

7

4,5

0,0494

8

5

0,0400

9

5,5

0,0331

10

6

0,0278

Тогда по формуле трапеций имеем:

Относительная погрешность

Как видно, большее число разбиения дает более точный результат.

Задача 15. Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Решение:

1)

Разделим переменные

2)

Разделим переменные

Задача 16

Преобразовать дифференциальные уравнения к однородному вида. Выполнить замену y/x и решить.

Решение:

1)

Разделим обе части на xy

2)

Разделим обе части на x

или

Задача 17

Привести линейное дифференциальное уравнение к виду и решить его применив подстановку y=u (x)•v (x).

Решение:

1)

Преобразуем

=>

Пусть x=uv, тогда x?=u?v+uv?,

=> =>, ,

2)

Преобразуем

=>

Пусть x=uv, тогда x?=u?v+uv?,

=> =>, ,

2)

Разделим обе части на x

или

Задача 18

Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Решение:

1)

Запишем характеристическое уравнение:

л2-л-6=0 => л1,2=3; -2 =>

Тогда общее решение дифференциального уравнения:

y = C1e3x + C2e-2x

2)

Найдем решение однородного дифференциального уравнения:

запишем характеристическое уравнение

: л2-6л+9=0 => л1,2= 3 =>

y0 = (C1+ C2x)e3x

Запишем частное решение по виду правой части:

y = C3x2+ C4x+ C5

Найдем

y? = 2C3x-C4

y ?? = 2C3

Подставим в исходное уравнение, получим:

2C3 — 6(2C3x-C4)+9(C3x2+ C4x+ C5) =9C3x2+(9C4-12C3)x+(2C3 + 6C4+9C5)= x2

=> C3 = 1/9, => C4 = 4/27, => C5 = -10/81

y = y0 + y = (C1+ C2x)e3x +

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой