Вычисления по теории вероятностей

Тип работы:
Контрольная
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Задача 1. В партии из 60 изделий 10 — бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными:

а) ровно 2 изделия;

б) не более 2 изделий.

Решение.

А)

Используя классическое определение вероятности:

Р (А) — вероятность события А, где, А — событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными ровно 2 изделия;

m — кол-во благоприятных исходов события А;

n — количество всех возможных исходов;

Б)

Р (А') — вероятность события А', где А' - событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными не более 2 изделий,

;

— кол-во благоприятных исходов события;

— кол-во благоприятных исходов события;

— кол-во благоприятных исходов события;

n' - количество всех возможных исходов;

Ответ: вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными: а) ровно 2 изделия равна 16%. б) не более 2 изделий равна 97%.

Задача 2. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй — 2%, третий — 3%. Определить вероятность попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата в цех поступило соответственно 20, 10, 20 деталей.

Решение.

По формуле полной вероятности:

где, А — взятие хорошей детали, — взятие детали из первого (второго / третьего) автомата, — вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата, — вероятность взятия хорошей детали из первого (второго / третьего) автомата, — вероятность попадания на сборку небракованной детали.

; (т. к.) = 1% = 0. 01)

;

;

Ответ: Вероятность попадания на сборку небракованной детали равна 98%.

Задача 3. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй — 2%, третий — 3%. С каждого автомата поступило на сборку соответственно 20, 10, 20 деталей. Взятая на сборку деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата.

Решение.

По формуле полной вероятности:

где А' - взятие бракованной детали, — взятие детали из первого (второго / третьего) автомата, — вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата, — вероятность взятия бракованной детали из первого (второго / третьего) автомата, — вероятность попадания на сборку бракованной детали.

; (согласно условию)

;

;

Согласно формуле Байеса:

Ответ: Вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата равна 20%.

Задача 4. Рабочий обслуживает 18 станков. Вероятность выхода станка из строя за смену равна. Какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков? Каково наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену?

Решение.

Используя формулу Бернулли, вычислим, какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков:

где n — кол-во станков, m — кол-во станков, которые придётся чинить, p — вероятность выхода станка из строя за смену, q =1-р — вероятность, не выхождения станка из строя за смену.

.

Ответ: Вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков равна 15%. Наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену равно 3.

Задача 5. В двух магазинах, продающих товары одного вида, товарооборот (в тыс. грн.) за 6 месяцев представлен в таблице. Можно ли считать, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором? Принять = 0,05.

Все промежуточные вычисления поместить в таблице.

Магазин № 1

Магазин № 2

20,35

20,01

20,60

23,55

32,94

25,36

37,56

30,68

40,01

35,34

25,45

23,20

Пусть, a1 — товарооборот в 1 магазине, a2 — товарооборот во 2 магазине.

Формулируем гипотезы Н0 и Н1:

Н0: a1 = a2

Н1: a1? a2

xi

xi-a1

(xi-a1)2

yi

yi-a2

(yi-a2)2

20,35

-9,135

83,44 823

20,01

-6,35

40,32

20,6

-8,885

78,94 323

23,55

-2,81

7,896

32,94

3,455

11,93 703

25,36

-1

1

37,56

8,075

65,20 563

30,68

18,66

40,01

10,525

110,7756

35,34

4,32

80,64

25,45

-4,035

16,28 123

23,20

8,98

9,98

?

176,91

366,591

158,14

-3,16

158,496

a1 = = = 29,485, a2 = =

1 = = 73. 32

2 = =

n 1 = n 2 = n =6

Вычислю выборочное значение статистики:

ZВ = * =

Пусть = 0,05. Определяем необходимый квантиль распределения Стьюдента: (n1+n2-2)= 2. 228.

Следовательно, так как ZВ=0,74 < =2,228, то мы не станем отвергать гипотезу Н0, потому что это значит, что нет вероятности того, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором.

Задача 6. По данному статистическому ряду:

Построить гистограмму частот.

Сформулировать гипотезу о виде распределения.

Найти оценки параметров распределения.

На уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о распределении случайной величины.

Все промежуточные вычисления помещать в соответствующие таблицы.

Интервал

Частота случайной величины

1 — 2

5

2 — 3

8

3 — 4

19

4 — 5

42

5 — 6

68

6 -7

44

7 — 8

21

8 — 9

9

9 — 10

4

1. Гистограмма частот:

2. Предположим, что моя выборка статистического ряда имеет нормальное распределение.

3. Для оценки параметров распределения произведем предварительные расчеты, занесем их в таблицу:

Интервалы

Частота,

mi

Середина

Интервала, xi

xi*mi

xi2*mi

1

1−2

5

4,5

7,5

112,5

2

2−3

8

2,5

20

50

3

3−4

19

3,5

66,5

232,75

4

4−5

42

4,5

189

350,5

5

5−6

68

5,5

374

2057

6

6−7

44

6,5

286

1859

7

7−8

21

7,5

157,5

1181,25

8

8−9

9

8,5

76,5

650,25

9

9−10

4

9,5

38

361

?

n=220

1215

7354,25

Найдем оценки параметров распределения:

= = 5,523

2= 2 = 2,925 = = 1,71

4. все вычисления для проверки гипотезы о распределении занесем в таблицы.

Интервалы

Частоты, mi

t1

t2

Ф (t1)

Ф (t2)

pi

1

-? — 2

5

-?

-2,06

0

0,0197

0,0197

2

2−3

8

-2,06

-1,47

0,0197

0,0708

0,0511

3

3−4

19

-1,47

-0,89

0,0708

0,1867

0,1159

4

4−5

42

-0,89

-0,31

0,1867

0,3783

0,1916

5

5−6

68

-0,31

0,28

0,3783

0,6103

0,232

6

6−7

44

0,28

0,86

0,6103

0,8051

0,1948

7

7−8

21

0,86

1,45

0,8051

0,9265

0,1214

8

8−9

9

1,45

2,03

0,9265

0,9788

0,0523

9

9-?

4

2,03

?

0,9788

1

0,0212

Где: t1=, t2 =, ai, bi — границы интервала, Ф (t) — Функция распределения нормального закона.

pi = Ф (t2) — Ф (t1)

Так как проверка гипотезы о распределении производится по критерию, составляем еще одну таблицу для вычислений:

№ интервала

pi

mi

n* pi

1

2

0,0708

13

15,57

0,4242

3

0,1159

19

25,5

1,6569

4

0,1916

42

42,15

0,0005

5

0,232

68

51,04

5,6336

6

0,1948

44

42,86

0,0303

7

0,1214

21

26,71

1,2207

8

9

0,0735

13

16,17

0,6214

?

9,5876

Согласно расчетам, = = 9,5876

Выбираем уровень значимости = 0,05 и вычисляем 1-? (k-r-1), где k — число подмножеств, r — число параметров в распределении.

0,95(7−2-1) = 0,95(4) = 9,49.

Сравнив полученное значение с расчетным можно сделать вывод, что так как расчетное значение больше, следовательно, гипотеза о нормальном распределении выборки статистического ряда не принимается.

Задача 7. По данным выборки вычислить:

а) выборочное значение коэффициента корреляции;

б) на уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции.

Решение

Формулируем гипотезы Н0 и Н1:

Н0: a1 = a2

Н1: a1? a2

xi

xi-a1

(xi-a1)2

yi

yi-a2

(yi-а2)2

xi*yi

4,40

-0,476

0,2266

3,27

-0,47

0,2209

14,388

5,08

0,204

0,0416

4,15

0,41

0,1681

21,082

4,01

-0,866

0,7499

2,95

-0,79

0,6241

11,829

3,61

-1,266

1,6027

1,96

-1,78

3,1684

7,075

6,49

1,614

2,605

5,78

2,04

4,1616

37,512

4,23

-0,646

0,4173

3,06

-0,68

0,4824

12,944

5,79

0,914

0,8354

4,45

0,71

0,5041

25,765

5,52

0,644

0,4147

4,23

0,49

0,2401

23,349

4,68

-0,196

0,0384

3,54

-0,2

0,04

16,567

4,95

0,074

0,0055

4,01

0,27

0,0729

19,849

?

48,76

-

6,9371

37,4

-

9,6626

190,36

a1 = = 4,876, a2 = = 3,74

1 = = 0,7708

2 = = 1,0736

n 1 = n 2 = n =6

а) Вычислим выборочное значение коэффициента корреляции

=

б) Проверим на уровне значимости =0,05 гипотезу о значимости коэффициента корреляции:

(n-2)=2,306

Вычислим величину

=

получаем, что >0. 6319 т. е. попадает в критическую область, следовательно, коэффициент корреляции можно считать значимым.

Задача 8. По данным выборки найти:

а) точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

б) с доверительной вероятностью р =1- найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.

?

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

0. 01

3,85

8,87

21,26

6,72

0,29

15,48

7,48

0,33

0,34

1,37

Решение

а) Вычислим математическое ожидание и дисперсию. Промежуточные значения поместим в таблицу.

xi

mi

mixi

mixi2

3,85

1

3,85

14,822

8,87

1

8,87

78,677

21,26

1

21,26

451,987

6,72

1

6,72

45,158

0,29

1

0,29

0,0840

15,48

1

15,48

239,630

7,48

1

7,48

55,950

0,33

1

0,33

0,109

0,34

1

0,34

0,115

1,37

1

1,37

1,877

?65,99

10

65,99

888,409

Математическое ожидание:

m==

Дисперсия:

?2==

б) с доверительной вероятностью р =1- найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, считая, что выборка получена из нормальной совокупности.

Определим из таблиц значение, где;

Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:

Подставив полученные значения, найдем доверительный интервал для математического ожидания:

0,271< M<12. 927

Доверительный интервал для дисперсии имеет вид:

Доверительный интервал для дисперсии равен: 23,192< D<240,79.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой