Відображення, що диференціюються

Тип работы:
Курсовая
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Міністерство освіти і науки України

Житомирський державний університет

ім. Івана Франка

Кафедра математичного аналізу

Курсова робота на тему:

«ВІДОБРАЖЕННЯ, ЩО ДИФЕРЕНЦІЮЮТЬСЯ

Виконав

Студент ІІІ курсу 35 групи

Тичинський Олександр Валерійович

Науковий керівник:

Грищук Сергій Вікторович

Житомир 2010

Вступ

Диференціальне числення -- розділ математики, в якому вивчаються похідні, диференціали та їх застосування в дослідженні властивостей функцій. Формування диференціального числення пов’язано з іменами Ісаака Ньютона. Саме вони чітко сформували основні положення та вказали на взаємообернений характер диференцюювання та інтегрування. Створення диференціального числення (разом з інтегральним) відкрило нову епоху у розвитку математики. З цим пов’язані такі дисципліни як теорія рядів, теорія диференціальних рівнянь та багато інших. Методи математичного аналізу знайшли використання у всіх розділах математики. Дуже поширилася область застосування математики у природничих науках та техніці.

Диференціальне числення базується на наступних найважливіших поняттях математики, визначення та дослідження яких і складають предмет введення до математичного аналізу: дійсні числа (числова пряма), функція, границя, неперервність. Всі ці поняття отримали сучасне трактування у ході розвитку й обгрунтування диференціального та інтегрального числень.

Основна ідея диференціального числення складається у вивченні функції у малому околі. Точніше диференціальне числення дає апарат для дослідження функцій, поведінка яких у досить малому околі кожної точки близька до поведінки лінійної функції чи многочлена. Таким апаратом слугують центральні поняття диференціального числення: похідна і диференціал.

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ВІДОБРАЖЕНЬ З в

1. ВІДОБРАЖЕННЯ, ЩО ДИФЕРЕНЦІЮЮТЬСЯ, І ЇХ ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ

1.1 Поняття диференційованості, похідної, диференціала

Нагадаємо, що диференційованість функції скалярного аргументу в точці х рівносильна існуванню в цій точці кінцевої похідної

(1)

Для функцій векторного аргументу (тобто коли, п > 1) ліва частина рівності (1) втрачає сенс, оскільки в цьому випадку в неї входила б операція ділення на вектор h? Rn, яка при п > 1 не має сенсу. Тому, бажаючи узагальнити властивість диференційованості на відображеннях з в, ми повинні виходити з такого визначення диференційованості функцій однієї змінної, яка не містить операцію ділення, наприклад із співвідношення

(2)

де — лінійна (тобто однорідна і адитивна) функція від приросту.

Переносячи в рівності (2) член L (h) в ліву частину, беручи модулі від обох частин отриманої рівності і ділячи на |h|, можна переписати його в наступному рівносильному вигляді:

(3)

Така форма визначення диференційованості вже допускає узагальнення на відображення з в Rm, оскільки в рівності (3) немає ділення на вектор, а під можна розуміти лінійного оператора, не обов’язково уявний у вигляді твору L (h)= Ah.

Переходячи безпосередньо до визначення диференційованості відображення припускатимемо, що множина A є областю (тобто відкритим і зв’язним множиною), що спрощує ситуацію. Відвертість дозволяє відвернутися від вивчення складного питання диференційованості в граничних точках. Зв’язність робить розгляд наочнішим, оскільки завжди можна замість відображення розглядати його звуження на зв’язні компоненти множини A.

Визначення 1. Відображення

називається таким, що диференціюється (по Фреше) в точці x? A, якщо існує лінійне відображення (оператор) таке, що виконується рівність

(4)

Визначення 2. Похідній відображення у точці х? А називається лінійний оператор

для якого виконується рівність (4).

Похідну прийнято позначати наступними символами:

де L — лінійний оператор з рівності (4).

Визначення 3. Диференціалом відображення у точці х умовимося називати його похідну L в цій точці, коли ця похідна задається аналітичним способом

Позначення dy для диференціала називатимемо класичним. Приведемо інші, що зустрічаються в літературі, позначення для диференціала

Ліва частина цієї рівності є найбільш точним позначенням для диференціала і читається так: «диференціал відображення у точці х на векторі h». Цим підкреслюється залежність диференціала від приросту h, притому лінійна.

Для того, щоб обґрунтувати коректність визначення (2), необхідно ще довести єдиність, тобто що може існувати не більш за одного оператора L, для якого виконується рівність (4).

Теорема 1. Якщо відображення, що диференціюється в точці х? A, то його похідна визначається рівністю (4) однозначно.

< Нехай? два лінійні оператори, для яких виконується рівність (4), тобто

(5)

Треба показати, що L =M, тобто що. Оскільки обидва цих оператора — лінійні, то L (0)=М (0)= 0. Хай тепер h 0. Через нерівність трикутника маємо

Переходячи, тут до межі при h?0 і враховуючи рівність (5), отримуємо

Вважаючи тут h=t l, де l = |h| > 0 |l| = 1, маємо

Звідси отримуємо тотожність L (l) М (l), яке після множення на t приймає вид L (h) М (h). Отже, L= M.

Теорема 2. Якщо відображення, що диференціюється в точці х А, те воно і безперервно в цій точці.

< Для того, щоб диференціювати в точці х відображення з рівності (4) витікає наступна рівність:

(7)

Застосовуючи нерівність трикутника, оцінимо модуль приросту відображення:

0 (8)

Перший доданок в правій частині цих нерівностей нескінченно малий через рівність (7), а другий — через неперервність лінійного оператора і того, що L (0)= 0. Переходячи до межі у нерівностях (8) при, отримуємо або, що рівносильне,

1.2 Теореми про диференційованість деяких відображень

Визначення 4. Нормою лінійного оператора називається число.

Теорема 3. Для будь-якого лінійного оператора орма ||L|| існує, причому |L (x)|||L||*|x| при любому x?.

Оскільки функція х? L|(х)| - безперервна, а сфера |х|=1 — компактна, то по теоремі Вейерштраса множина — обмеженa. Тому існує число ||L||: =

Так як |=1 при 0, то, звідки

Теорема 4 (про диференційованість похідної). Припустимо, що відображення

, що диференціюється в точці, а відображення, що диференціюється в точці. Тодi, диференціюється в точці а, причому

(9)

Теорема 5. (лінійність операції диференціювання). Якщо відображення

,

диференційовані в точці, то відображення диференціюється в точці, причому

. (10)

< Для доказу проведемо слідуючу оцінку:

При h?0 в силу диференційності відображень і в точці. Звідси маємо

що рівносильне рівнянню (10).

Визначення 5. Відображення від двох векторних аргументів називається білінійним, якщо воно лінійне по кожному зі своїх аргументів при будь-якому фіксованому значенні іншого аргументу. Нормою білінійного відображення назвемо число

Теорема 6. Якщо — білінійне відображення, то: (а) для будь-яких

Маємо

(b) відображення неперервно на;

© норма || || існує., причому.

< (а) Для доведення рівності (12) досить застосувати властивість лінійності спочатку по одній змінній, потім по іншій.

(b) Розкладаючи вектори х і у по векторах стандартних базисів і використовуючи властивість білінiйності, маємо

Звідси видно, що координатні функції білінійного відображення — цілі раціональні функції від координат векторів i тому безперервні. Значить, і безперервно на.

© Оскільки безліч Т := y — компактне (як Декартовий добуток компактних множин), а функція T?: (x, y)?||? неперервна, то вона обмежена на Т і, значить, І, на кінець, при маємо

Приклади білінійних відображень:

1) Rде? добуток скалярів;

2) ?де? скалярна добуток векторів із;

3) де? векторна добуток векторів із

Зауваження. Аналогічно білінійному може бути введене поняття трилінійного і взагалі будь-якого n-лiнійного (полілінійного) відображення і його норми. Не зупиняючись на відповідних визначеннях, обмежимося лише прикладами.

1) Позначимо

Відображення для якого

,

являється трилінійним.

2) Позначимо Відображення

для якого, є n-лінійним.

Теорема 7. Якщо відображення? білінійне, то воно і диференціюється, причому (13)

Використовуючи властивість білінійності, маємо

при Звідси випливає рівність

Яке рівносильне твердженню теореми.

В якості прикладів, в яких використовується рівність (13), знайдемо диференціали тих білінійних відображень, які були приведені вище:

Відзначимо, що теорема, аналогічна теоремі 7, справедлива для будь-яких полілінійних

Відображень (а не тільки для білінійних).

Теорема 8. Якщо функції диференційовані в точці то їх сума, добуток, а при і частинно диференційовані в точці, причому

2. ЧАСТИННІ ПОХІДНІ І МАТРИЦЯ ЯКОБІ

2.1 Частинні похідні 1-го порядку

Нехай — скалярна функція векторного аргументу, визначена в області. Розглядаючи її як функцію одного із змінних при фіксованих значеннях решти змінних, ми приходимо до поняття частинної похідної від по Позначаючи через стандартний базис в, дамо наступне визначення.

Визначення 6. Частинна похідна 1-го порядку від функції по змінній в точці а? А визначається рівністю

Приведемо інші, що зустрічаються в літературі, позначення для частинних похідних

Тут під знаком функції значення тих змінних, які не отримують приростів (фіксуються), замінені трьома точками. Відзначимо, що позначення (з круглою буквою д) застосовується виключно для позначення частинних похідних на відміну від звичайних похідних, тобто похідних від функцій одного змінного, що позначаються символом. Враховуючи, що частинна похідна рівна звичайній похідній від функції у точці легко пояснити геометричний зміст частинної похідної. Саме, частинна похідна рівна кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції у точці.

Розглянемо прості приклади на обчислення частинних похідних.

Приклад 1. Для функції маємо

Приклад 2. Для функції маємо

Після невеликої практики можна добитися такої ж легкості при обчисленні частинних похідних, як і при обчисленні звичайних похідних.

Відзначимо тепер застосування частинних похідних для дослідження локальних екстремумів функцій векторного аргументу (визначення локальних екстремумів функцій векторного аргументу формою не відрізняється від відповідного визначення для функцій скалярного аргументу, і ми його тут не приводимо).

Теорема 9 (необхідна умова екстремуму). Якщо локальний екстремум скалярної функції визначеною в області A? R, досягається в точці а? А, і якщо існує кінцева частинна похідна, то

< Позначимо, як завжди

Фіксуючи значення всіх змінних окрім, розглянемо функцію

одного змінного. Ця функція є звуженням функції на одновимірну підмножину множини А. Так як функція має екстремум в точці про, то і функція має екстремум у відповідній точці =. По необхідній умові екстремуму функцій однієї змінної маємо що рівносильне рівності

Зауваження. Доведена необхідна умова екстремуму не є достатньою. Так, у випадку функція екстремумів не має, однак

У випадку недостатність умов теореми 10 може проявитись більш ефективно. Розглянемо, наприклад, функцію графік якої зображено на рис. 2. Для неї однак вона не має екстремуму в точці (0,0). Насправді але при та відповідно. Ці ж нерівності показують, що обидві функції та мають екстремуми на початку координат, причому перша має мінімум, а друга? максимум.

2.2 Частинні похідні вищих порядків

Нехай скалярна функція визначена в області. Припустимо, що при будь-якому існує кінцева частинна похідна Тим самим визначається функція

і можна ставити питання про частинні похідні цієї нової функції, які і називаються частинними похідними 2-го порядку від функції.

Визначення 7. Частинні похідні 2-го порядку від функції у точці а визначаються наступною рівністю

Частинні похідні 3-го і вищих порядків визначаються аналогічно, по індукції.

Оскільки в рівності (20) індекси і можуть незалежно один від одного приймати значення 1, …, n, то всього може існувати різних частинних похідних 2-го порядку від функції. Частинні похідні називаються чистими, а частинні похідні при? змішаними. Поняття чистих і змішаних похідних має зміст і для частинних похідних вищих порядків.

Утворюємо -матрицу з частинних похідних 2-го порядку від скалярної функції у точці а (названу також матрицею Гессе, а її визначник — гессианом):

Важливим для математичного аналізу є питання про те, чи симетрична ця матриця, тобто з’ясувати умови, при виконанні яких має місце рівність

Зауваження. У загальному випадку рівність (22) виконується не завжди. Розглянемо, наприклад, функцію

Знайдемо її частинні похідні і. При маємо

при отримаємо

Аналогічно до попереднього знаходимо

Таким чином, і, значить рівність (22) не виконується. Наступна теорема дає достатні умови, для забезпечення виконання рівності (22).

Теорема 10 (про змішані похідні). Якщо змішані частинні похідні и функції існують в деякому околі точки, а і неперервні в точці а, то

/

/

2.3 Матриця Якобі

Похідна в точці а відображення була визначена як деякий лінійний оператор

З алгебри відомо, що всякий лінійний оператор з в можна задати матрицею розмірів, якщо в цих просторах зафіксувати базиси. Наша найближча мета — отримати вираз для матриці лінійного оператора, якщо в просторах і зафіксовані стандартні базиси. Знання цієї матриці значно полегшує обчислення похідних.

Визначення 8. Матрицею Якобі в точці а? A відображення називається матриця розмірів т х п, складена з частинних похідних 1-го порядку координатних функцій відображення у точці а

В зв’язку з цим означенням зручно ввести поняття градієнта.

Визначення 9. Градієнтом скалярної функції в точці а називається п-вимірний вектор (рядок), координати якого рівні частинним похідним функції у точці а, тобто

Порівнюючи праві частини рівності (31) і (32), бачимо, що градієнт — це той окремий випадок матриці Якобі, коли вона складається з одного рядка.

Нехай — лінійний оператор. Символом [L] умовимося позначати його матрицю в стандартних базисах.

Теорема 11. Припустимо, що відображення, що диференціюється в точці. Тоді:

(а) у точці а існують всі частинні похідні всіх координатних функційвідображення;

(b) матриця лінійного оператора в стандартних базисах співпадає з матрицею Якобі, тобто

Оскільки відображення, що диференціюється в точці а, то в цій точці диференційовані всі його координатні функції, причому

де стандартний базис в узятий у вигляді:

Тут і надалі верхній індекс t означає транспонування. Далі, за визначенням диференційованості для координатних функцій маємо наступну рівність:

Вважаючи тут, де — стандартний базис в, отримаємо

Звідси видно, що де тобто існують всі частинні похідні, і твердження (а) доведене.

Для доказу твердження (b) покажемо

і перетворимо диференціал

де множення матриць проводиться за стандартним правилом «рядок на стовпець». Отже, рівність (33) встановлена. _

Зауваження. Рівність

дає представлення диференціала відображення через приватні похідні і у зв’язку з цим широко використовується. У частинному випадку, коли — скалярна функція, вона спрощується і може бути записана в наступному вигляді:

Перепишемо цю рівність в класичних позначеннях, вважаючи

Запис такого типу, хоча і часто зустрічається в літературі, є менш точним, чим позначення (28).

Теорема 12. Припустимо, що відображення, що диференціюється в точці а? A, а відображення, що диференціюється в точці. Тоді матриця Якобі рівна добутку (у тому ж порядку) матриць Якобі відображень, обчислених у відповідних точках, тобто

По теоремі про похідну

З алгебри відомо, що матриця лінійних операторів рівна добутку (у тому ж порядку) матриць операторів. Таким чином, з рівності (38) виходить рівність (29).

Приклад. Знайти матрицю Якобі відображення ,

заданого наступними системами рівностей:

По формулі (29) маємо

2.4 Похідні по вектору і по напряму

диференціал відображення матриця теорема

Нехай — ненульовий вектор, а є скалярна функція векторного аргументу.

Визначення 10. Похідній від функції у точці а по вектору називається межа

Вважається, що похідна по вектору існує, якщо ця межа існує і є, числом.

Теорема 13. Якщо функція диференційована в точці а, де її похідна по будь-якому вектору існує, причому

Оскільки функція диференційована в точці а, то

Вважаючи тут, і умножаючи на, отримаємо

що рівносильно рівності (40). _

Зауваження. З похідній функції по напряму називається похідна по вектору, довжина якого рівна 1. З теореми 13 витікає існування похідної по будь-якому напряму і рівність

Звідси, зокрема, витікає, що похідні по напрямах векторів стандартного базису рівні відповідним частинним похідним, тобто

Крім того, справедлива нерівність

Дійсно, застосовуючи до правої частини рівності (33) нерівність Коші - Буняковського і враховуючи, що 1, отримаємо нерівність (34). _

Більше того, рівність в нерівності (34) досягається тоді і тільки тоді, коли вектори і колінеарні. Згадуючи, що похідна виражає швидкість зростання функції, знаходимо, що напрям найбільшої швидкості зростання функції в даній точці співпадає з напрямом її градієнта в цій точці.

2.5 Достатні умови диференційованості

Диференційованість скалярної функції скалярного аргументу в точці рівносильна існуванню в цій точці кінцевої похідної. У разі відображень з в ситуація ускладнюється. Через теорему 11 з диференційованості відображення в точці слідує існування в цій точці всіх його частинних похідних 1-го порядку в цій точці. Зворотне, проте, невірно, тобто з факту існування кінцевих частинних похідних (матриці Якобі) в точці н е слідує диференційованість відображення в цій точці. Покажемо це на прикладі.

Приклад. Розглянемо функцію

Для неї

Якби дана функція була такою, що диференціюється в точці (0, 0), то її похідна була б рівна нуль-оператору, оскільки було б

Крім того, повинна була б виконуватися рівність

рівносильне наступному

Але ця остання межа насправді не існує, оскільки, переходячи до полярних координат

,, можна перетворити його до вигляду

де отриманий результат залежить від напряму. Отримана суперечність.

Проте при деяких обмеженнях на частинні похідні функції, диференційованість має місце, як показує наступна теорема.

Теорема 14. Якщо всі частинні похідні функції відображення, існують в околі точки і неперервні в самій точці а, те відображення, що диференціюється в цій точці.

3. ТЕОРЕМИ ПРО «СКІНЧЕННІ ПРИРОСТИ», ДИФЕРЕНЦІАЛИ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ І ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ВІДОБРАЖЕНЬ З в

3.1 Теореми про «скінченні прирости»

Узагальнення теореми Лагранжа про «скінченні прирости» на випадок відображень з в можливі, але вони виявляються різними залежно від того, чи є дане відображення скалярнозначним або векторнозначним. Розгляд цього питання почнемо з найбільш простого випадку скалярної функції векторного аргументу. Заздалегідь введемо поняття прямолінійного відрізка (або інтервалу), розміщеного в.

Визначення 11. Прямою лінією, розміщеною в просторі, називається множина всіх точокзаданих рівнянням або системою

де — фіксовані точки, — змінна, що пробігає всю числову вісь. Якщо змінна пробігає відрізок або інтервал, то його образ при відображенні (35) називається відповідно прямолінійним відрізком або інтервалом в.

Умовимося позначати розміщені в проміжки тими ж символами, що і проміжки числової осі.

Теорема 15 (перша теорема «про cкінченні прирости»). Нехай скалярна функція диференційована в області. Якщо [а, а + h] А, то існує точка така, що

Розглянемо допоміжну функцію, визначену рівністю. Вона диференційована як функція, що диференціюються. Її похідну можна обчислити за формулою

оскільки визначення цієї похідної співпадає з визначенням 10 похідній від функції по вектору в точці. Застосовуючи до функції F теорему Лагранжа «про скінченні прирости» для функцій скалярного аргументу, маємо, де, або, що рівносильно. Вважаючи в цій рівності, отримаємо рівність (36). _

Приведемо простий додаток цієї теореми.

Теорема 16. Якщо всі частинні похідні відображення тотожно рівні нулю в області, то — постійне відображення.

Оскільки постійність векторнозначного відображення рівносильна постійності всіх його координатних функцій, то, не обмежуючи спільності, вважатимемо, що т = 1, тобто що — скалярна функція. Оскільки всі частинні похідні цієї функції - постійні, то вони безперервні в А, звідки на підставі теореми 14 розуміємо, що функція — диференціюється, причому. Якщо, а? А і, то зважаючи на теорему 15 маємо, звідки при. Таким чином, функція — локально постійна (тобто постійна в околиці кожної точки, а? A). Для того, щоб показати, що функція — глобально постійна, введемо в розгляд дві відкриті множини:

Відкритість множини V витікає з локальної постійності функції, а відкритість множини V — з локальної властивості безперервної функції (теорема 14). Припускаючи, що, маємо

тобто множина, А не є зв’язною, а в умові теореми сказано, що, А — область, тобто зв’язна множина. Отримана суперечність означає, що V =, і означає, U = А, тобто функція — глобально постійна.

/

/

Розглянемо тепер приклади, що показують, теорема «про скінченні прирости «для скалярних функцій (рис. 3) перестає бути вірною для векторнозначних відображень.

Зауваження. 1. Пригадаємо геометричний еквівалент теореми Лагранжа «про скінченні прирости» для скалярних функцій (рис. 3): серед внутрішніх точок графіка функції, що диференціюється існує точка М, в якій дотична паралельна хорді. Тут виявляється істотним те, що весь цей графік лежить в одній площині.

Для просторових кривих це властивість, взагалі кажучи, невірна. Візьмемо, наприклад, гладкий виток спіралі, показаний на (рис. 4). Його хорда АВ — вертикальна, а дотичні в усіх точках — «майже горизонтальні», і тому на ньому немає точок, в яких дотична була б паралельна хорді. З іншого боку, цей виток спіралі є годографом вектор-функції і, значить, для неї неможлива рівність типу (45).

2. Нехай вектор-функція задана своїми координатними функціями

Припускаючи, що існує така, що знаходимо

. Таким чином, передбачуваного значення

3. Нехай тепер відображення задано своїми координатними функціями

Припускаючи, що для цього відображення справедлива рівність (36) і припускаючи

, отримаємо

Переписуючи цю рівність у векторно-матричній формі, приходимо до суперечності:

Наступна теорема є узагальненням теореми 16 на випадок векторнозначних відображень, але вже у формі нерівності.

Теорема 17 (друга теорема «про скінченні прирости»). Якщо відображення що диференціюється в області, і, то

де sup береться по всiх

< Введемо в розгляд допоміжне відображення, що задається рівністю

, і допоміжну функцію Ф: [0,1], що задається рівністю

Обидва ці відображення диференціюються як композиції диференційованих відображень, а їх похідні рівні

Далі маємо

Звідси знаходимо

Оскільки, то у випадку нерівність (37) очевидна. Якщо ж то, ділячи нерівність (47) на, отримуємо

Вважаючи далі

звідки безпосередньо слідує нерівність (46).

3.2 Диференціали вищих порядків

Нехай — відображення, що диференціюється в області. В цьому випадку в області А визначено операторнозначне відображення

зване похідним відображенням 1-го порядку, і можна ставити питання про диференційованість цього операторнозначного відображення. Похідна відображення (39) в точці х називається похідною 2-го порядку відображення у точці х і позначається символом. Ця похідна є лінійний оператор, що діє з простору в простір лінійних операторів, тобто. Похідну (р + 1) -го порядку можна визначати аналогічно, по індукції, як похідну в точці х від похідного відображення р-го порядку, тобто

Вивчення похідних вищих порядків утруднене тим, що всі вони виявляються операторнозначними відображеннями, а простори лінійних операторів, в яких вони діють, ускладнюються з збільшенням порядків похідних. З точки зору алгебри похідна порядку р в точці х опиняється полілінійним (р-линейным) відображенням від приростів аргументу х. Проте вивчення алгебри полілінійних відображень програмами університетського курсу не передбачено, тому тут похідні вищих порядків детальніше розглядати не будемо. Замість них розглядатимемо диференціали вищих порядків, простіші з погляду алгебри і важливіші з погляду аналізу. Оскільки диференціали будь-яких порядків можна визначати покоординатно, тому тут розглядатимемо тільки скалярні функції

Між поняттями похідної і диференціала 1-го порядку по суті немає відмінності: похідна — лінійний оператор, а диференціал — той же оператор, але що розглядається як лінійна форма

Відмінність з’являється, починаючи з 2-го порядку. Визначимо спочатку поняття диференціала 2-го порядку і вивчимо деякі його властивості. Заздалегідь введемо позначення для диференціала, що розглядається як функція змінної х при фіксованому прирості h, тобто

Визначення 12. Диференціалом 2-го порядку функції у точці х на векторі h (двічі) називається квадратична форма що задається рівністю

Теорема 18. Якщо всі частинні похідні 2-го порядку функції існують в околі точки х і безперервні в точці х, то існує, причому матриця квадратичної форми (41) співпадає е матрицею Гессе (26).

«Нехай Функція

при фіксованому h диференційована як лінійна комбінація диференційованих функцій. Тому вираз (50) можна представити в наступному вигляді:

Звідси видно, що матрицею квадратичної форми є матриця Гессе, якщо вона симетрична. Але вона і справді симетрична через теорему 10 (про змішані похідні).

Для визначення диференціалів вищих порядків нагадаємо поняття форми ступеня р від п змінних.

Визначення 13. Формою ступеня р? N від п змінних називається однорідна ціла раціональна функція степеня р від змінних, тобто функція виду

Природно чекати, що диференціали вищих порядків можна визначити по індукції, і всі вони є формами відповідних ступенів від приросту. Так воно насправді і є.

Визначення 14. Диференціалом порядку р функції у точці х на векторі h (р разів) називається відображення, що задається рівністю

Теорема 19. Якщо всі частинні похідні р-го порядку функції існують в околі точки х і неперервні в точці х, то диференціал існує і є формою ступеня р від змінних

* При будь-яких фіксованих значеннях змінних функція

є лінійною комбінацією частинних похідних порядку р? 1 функції з числовими коефіцієнтами. Для цієї функції виконуються, таким чином, умови теореми 14. Значить, ця функція диференційована. Знайдемо і перетворимо її диференціал

Очевидно, що права частина останньої рівності є формою ступеня р від

Зауваження. Враховуючи залежність між диференціалом і похідною по вектору, маємо

Якщо всі частинні похідні порядку р неперервні в точці х то через теорему про змішані похідні оператори i — перестановочнi між собою. Тому із степенем оператоpa

можна звертатися так, як із степенем звичайного многочлена. Застосувавши поліноміальну формулу, отримаємо наступне визначення диференціалу р-го порядку:

Зокрема, диференціал р-го порядку функції двох змінних можна обчислювати за наступною формулою, для виведення якої використовується аналог формули бінома Ньютона:

3.3 Формула Тейлора для функцій векторного аргументу

Теорема 20. Нехай функція має в точці x області диференціали до порядку р включно. Якщо, то справедлива рівність

де

Покладемо, де. Розглянемо допоміжну функцію, визначену рівністю. Вона р-кратно диференційована в точці, а її послідовні похідні рівні

Для функції в околиці точки t=0 має місце, формула Маклорена

де при. Підставляючи сюди замість і її похідних через отримаємо рівність (51), де позначене при.

Теорема 21. Нехай функція має в області диференціали до порядку р + 1 включно. Якщо то залишковий член формули Тейлора (51) можна представити у формі Лагранжа

при деякому

В умовах теореми введена вище функція має скінченні похідні до порядку р + 1 включно, і, згідно рівності (43), отримаємо

Залишковий член формули Маклорена (53) можна представити у формі Лагранжа

при деякому. Вважаючи і враховуючи, що, маємо

Висновок

Мета даної курсової роботи розкрити деякі питання застосування диференціального числення відображень і похідної: для дослідження функцій на монотонність та екстремум, знаходження найбільшого та найменшого значення функцій, розглянули теореми та їх доведення, зроблені необхідні зауваження, а також приклади на дослідження функцій.

Для цього ми побудували роботу таким чином: спочатку наведені всі необхідні теоретичні відомості, далі наводиться приклади, які розв’язані з повним поясненням.

Приклади розташовані у порядку зростання складності, що дає можливість поступово засвоювати викладення матеріалу. В роботі наводяться необхідні геометричні інтерпретації.

Всі розглянуті приклади взяті із математичної літератури з математики для вищих навчальних зкладів.

На мою думку робота буде корисною для студентів фізико-математичних спеціальностей.

Література

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1 М.: 1968.

Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по численным методам. М.: 1979.

Математический практикум. М.: 1960.

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой