Динамічні процеси та теорія хаосу

Тип работы:
Курсовая
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Курсова робота на тему:

Динамічні процеси та теорія хаосу.

ПЛАН

  • Вступ
  • 1. Відображення і потоки
    • 1.1. Три образи хаосу
    • 1.2. Аттрактор Лоренца і хаос в рідині
    • 1.3. Універсальне відображення для нелінійних коливань
    • 1.4. Стохастичні аттрактори
  • 2. Хаотичні коливання
    • 2.1. Перемежана і перехідний хаос
    • 2.2. Консервативний хаос
  • 3. Фізичні експерименти з хаотичними системами
    • 3.1. Хаос в пружній безперервній середі
    • 3.2. Тривимірні пружні стрижні і струни
    • 3.3. Хаос в матричному друкуючому пристрої
    • 3.4. Нелінійні ланцюги
  • 4. Фрактальні властивості хаосу
    • 4.1. Фрактали
    • 4.2. Фрактали і хаос
    • Висновок
  • Список використаної літератури

Вступ

Для багатьох вивчення динаміки почалося і закінчилося другим законом Ньютона F = mA. Якщо задані сили, що діють між частками, а також початкові положення і швидкості часток, то за допомогою достатнього великого комп’ютера можна передбачити рух або розвиток системи для будь-якого скільки завгодно пізнього часу. Проте поява великих комп’ютерів і швидких комп’ютерів не привела до обіцяної нескінченної передбаченості в динаміці. Було виявлено що рух деяких дуже простих динамічних систем не завжди можна передбачити на великий інтервал часу. Такі рухи були названі хаотичними, і їх дослідження привабило в динаміку деякі нові математичні ідеї.

Побутове поняття хаосу дуже древньо і часто асоціюється з безладним або некерованим фізичним станом або поведінкою людей. Хаос лякає. Правда, завжди залишається надія дізнатися потаєні сили або причини цього хаосу або пояснити, чому виявляються непередбачуваними події, на вигляд випадкові.

Отже, основна мета даної роботи полягає у вивченні моделей хаосу.

1. Відображення і потоки

1.1 Три образи хаосу

Простим прикладом динамічної моделі, що виявляє хаотичну поведінку є логістичне рівняння, або рівняння зростання популяції:

xn + 1 = axn - bx2n (1. 1)

Перший член в правій частці описує зростання або народження, а нелінійний член ответствен за обмеження зростання, зв’язане, наприклад, з обмеженістю енергетичних або харчових ресурсів. Якщо нехтувати нелінійним членом (b = 0), то можна виписати явне вирішення лінійного рівняння, що виходить:

xn + 1 = axn; xn =x0 an (1. 2)

Це рішення стійке при | а | < 1 і нестійкий при | а | > 1. У останньому випадку з лінійної теорії виходить нереалістичне передбачення необмеженого зростання.

Нелінійну модель (1. 1) зазвичай переписують в безрозмірному вигляді

xn + 1 = _xn (1 — xn) (1. 3)

При _ > 1 є дві точки рівноваги (тобто х = _х (1 — х)). Для з’ясування стійкості відображення хn + 1 = f (хn) слід обчислити величину нахилу | f' (x) | у точці спокою. Якщо | f' | > 1, точка спокою нестійка. При 1 < _ < 3 логістичне рівняння (1. 3) має дві точки спокою: х = 0, (_ -- 1) /_; при цьому початок координат -- нестійка крапка, а друга точка спокою стійка.

Проте при _ = 3 нахил при x = (_ -- 1)/ _ перевищує одиницю (f' = 2 — _) і обидві точки рівноваги стають нестійкими. При значеннях параметра _, увязнених між 3 і 4, це просте різницеве рівняння описує безліч багатоперіодичних і хаотичних рухів. При _ = 3 стає нестійким стаціонарне рішення, але залишається стійким бицикл або двоперіодична орбіта. Ця орбіта показана на мал. 1.1. Величинах xn повторюється через кожну ітерацію.

Рис 1.1. Можливі типи вирішень логістичного рівняння (1. 3). Вгорі - стаціонарний рух з періодом 1; посередині - рух з періодом 2 і періодом 4; внизу — хаотичний рух.

При подальшому збільшенні _ двоперіодична орбіта стає нестійкою і виникає цикл з періодом 4, який унаслідок біфуркації швидко замінюється циклом з періодом 8 при ще більших значеннях _. Цей процес подвоєння періоду продовжується до тих пір, поки _ не досягає значення _: = 3,56 994… Поблизу цього значення послідовність значень параметра, при яких відбуваються подвоєння періоду, підкоряється точному закону

(1. 4)

Це граничне відношення називається числом Фейгенбаума -- на ім'я фізики, який виявив ці властивості даного відображення.

При значеннях _, що перевищують _: , можуть виникати хаотичні ітерації, тобто поведінка моделі на великих часах не укладається в рамки простого періодичного руху. У інтервалі _: < _ < 4 також присутні певні вузькі інтервали s_, для яких існують періодичні орбіти. Хаотична орбіта логістичного відображення показана на мал. 2 за допомогою залежності х n+ 1 від хn.

Рис. 1.2. Графічне вирішення різницевого рівняння першого порядку.

Роль цього відображення не лише в тому, що воно дає зразок хаосу. Було показано, що і інші відображення виду хп + 1 = f (xn), де f (x) -- квадратична або складніша функція, поводяться приблизно так само, задовольняючи тому ж закону (1. 4). Явище подвоєння періоду або регулярної зміни бифуркационного параметра називають універсальною властивістю певних класів одновимірних різницевих моделей динамічних процесів.

Подвоєння періоду і відношення Фейгенбаума (1. 4) виявляються в багатьох фізичних експериментах. Це означає, що в багатьох безперервних еволюційних процесах зведення до різницевого рівняння за допомогою перетину Пумнкаре приводить до квадратичного відображення (1. 1); звідси слідує важлива роль відображень в дослідженні диференціальних рівнянь.

1.2 Аттрактор Лоренца і хаос в рідині

У 1963 р. фахівець з фізики атмосфери на ім'я Е. Н. Лоренц з Массачусетсського технологічного інституту запропонував просту модель теплової конвекції в атмосфері. Рідина, що підігрівається знизу, легшає і спливає, а важча рідина опускається під дією гравітації. Такі рухи часто організовуються в конвективні валики, подібні до рухів рідини в тривимірному торі, показаному на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Вгорі - схема ліній струму рідини в конвективному вічку при стаціонарному русі; внизу — одновимірна конвекція в кільцевій трубці під дією сили тяжіння і градієнта температури.

У математичній моделі конвекції, яку запропонував Лоренц, використовуються три змінні (х, біля, z), що описують стани системи. Змінна х пропорційна амплітуді швидкості, з якою рідина циркулює в рідкому кільці, а змінні біля і z відображають розподіл температури по кільцю. Так звані рівняння Лоренца можна формально отримати з рівняння Навьє -- Стоксу, рівняння в приватних похідних механіки рідини. У безрозмірному виді рівняння Лоренца записуються таким чином:

(1. 5)

Параметри _ і? пов’язані відповідно з числами Прандтля і Релея, а третій параметр d описує геометрію системи. Відзначимо, що єдині нелінійні члени -- це хz і ху в другому і третьому рівняннях.

При _ = 10 і d = 8/3 (набір параметрів, що віддається перевага фахівцями в цій області) і при? > 1 є три положення рівноваги, з яких те, яке розташоване на початку координат, є нестійкою седловой крапкою (рис. 1. 4).

Рис 1.4. Локальні схеми руху поблизу трьох крапок рівноваги для рівнянь Лоренца (1. 5).

1.3 Універсальне відображення для нелінійних коливань

Структура відображення. Рівняння (1. 6), званий гамильтониан породжує рівняння руху

(1. 7)

де необурена частота нелінійних коливань визначається вираженням

(1. 8)

Ці рівняння є диференціальними. Дискретна форма рівнянь руху у вигляді кінцевих різниць переважно для аналізу можливості появи стохастичності. Тому слід знатися на тому, як від рівнянь (1. 7) перейти до їх різницевої форми і яка структура останніх.

Допустимо, що виділена деяка послідовність моментів часу t0, t1, t2 … , і систему (1. 7) удається звести до дискретної системи

яка зв’язує значення змінних (I ?) в двох послідовних моментах часу. Зручно ці рівняння записати в такій формі:

(1. 9)

де індекс n опущений, межа стоїть замість індексу n + 1 і g1, g2 -- функції, залежні від виду обурення. Надалі оператор (mod 2H) при фазі будемо, як правило, опускати.

Форма (1. 9) є настільки спільною, що не містить ніякої інформації. У гамильтоновском випадку відображення (1. 9) повинне зберігати міру, тобто повинна виконуватися умова

(1. 10)

Це означає, що

Для того, щоб система (1. 9) знайшла який-небудь сенс, в неї слід вкласти фізичний зміст.

Хай змінна I є дією. Її зміна має бути пов’язане з деякою неадіабатичністю руху. У адіабатичному випадку, наприклад, sI експоненціально мало. У неадіабатичному випадку вважатимемо, що зміна дії в основному відбувається в деякій області часу st, в якій порушується адіабатична інваріантність. Повна зміна дії системи накопичується підсумовуванням різних окремих змін sI. Хай Т є характерний інтервал часу між двома послідовними областями порушення адіабатичної інваріантності. Це має на увазі нерівність

T > st (1. 11)

яке відразу вирішує питання про те, як природним чином ввести відображення (1. 9).

Якщо виконана умова (1. 11), то існує природна структура відображення (1. 9). Вона включає послідовність моментів {tk}, розділених інтервалами ~T між областями, де відбувається помітна зміна дії. Рівняння відображення виходять в результаті зшивання цих змін на двох послідовних інтервалах.

Вся відмінність в змінах дії поміщена у вигляді функцій g1, g2.

Ці прості міркування дозволяють без великих втрат виключити деякі непотрібні ускладнення. По-перше, вважатимемо, що st > 0, тобто зміна дії відбувається миттєво (удар). З фізичної точки зору це означає, що часовий інтервал st зміни дії менше всіх характерних часів завдання. По-друге, рахуватимемо інтервали T між моментами tk постійними.

Гамільтонін описаної системи може бути представлений в (p, x) -пространстве у вигляді

. (1. 12)

На осцилятор з гамильтонианом H0 (p, x) діють миттєві поштовхи через постійні інтервали часу Т. Между поштовхами рух є вільним і передбачається відомим.

Тому зшивання рішень на двох різних інтервалах може бути проведена точно. Покажемо, як це лается.

Виведення відображення. Повернемося знову до змінних действие--угол:

(1. 13)

де V(I ?) виходить з V (х) заміною змінних. Рівняння руху (1. 7) набирають вигляду

(1. 14)

Хай поштовх відбувається при деякому t = t0. Визначимо -отображение таким чином:

(1. 15)

Відображення виникає як послідовна дія удару і вільного руху (обертання на торі):

(1. 16)

(Мал. 1. 5). Маємо для

(1. 17)

Рис. 1.5. Побудова універсального відображення.

Щоб отримати, проінтегруємо систему (1. 14) в малій околиці біля моменту поштовху (t0 — 0, t0 + 0). Врахуємо при цьому, що змінна x безперервна. Тому в крапці t0 функція V (x)= V(I ?) безперервна. Маємо

(1. 18)

Рівняння (1. 18) визначають:

(1. 19)

Підставляючи (1. 17), (1. 19) в (1. 16), отримуємо рівняння (1. 15) в явному вигляді:

(1. 20)

Це і є універсальне відображення. Воно допускає ще одне спрощення, якщо потенціал обурення залежить тільки від узагальненої координати? і не залежить від імпульсу I. Тоді (1. 20) перетворюється на наступне відображення:

(1. 21)

Остання модифікація пов’язана з вибором функції V (?). Це має бути періодична функція, і можна покласти V (?)= V0cos ?. Ще одне спрощення пов’язане з простим вибором функції ?(I): ? (I) = ?0 + ?'I. Це дає

(1. 22)

де позначено

(1. 23)

Рівняння (1. 22) називають також стандартним відображенням зважаючи на його максимальну простоту.

Приведемо також вид гамильтониана, відповідного спрощеному відображенню (1. 22):

(1. 24)

Лінійний член ?0I у гамильтониане H зникає при ?0 = 0. Квадратичний член по дії I при цьому залишається, оскільки через визначення (1. 23) величина ??0 відмінна від нуля при ?0 = 0.

Структура фазового простору. Запишемо систему (1. 22) в спрощеній формі, опустивши постійне зрушення фази ?0T і перейшовши до безрозмірної дії:

Отримуємо (1. 25)

Нерухомі точки системи (1. 25) знаходяться з рівнянь тобто

Звідси знаходимо особливі крапки

Точки r1 є нестійкими крапками. Поведінка траєкторій поблизу них показує, що ці точки гіперболічного типа.

Рис. 1.6. Фазовий портрет стандартного відображення при малих значеннях K

Рис. 1.7. Фазовий портрет стандартного відображення при K: 1; Ci — інваріантні криві

Точки r2 є еліптичними, якщо К0 < 4. Фазовий портрет системи для малих K0 приведений на мал. 1.6. Із зростанням К0 в системі відбуваються біфуркації народження кратних періодів, а при K0 поблизу одиниці з’являється в околиці сепаратрисы широкий стохастичний шар (мал. 1. 7). Різні стохастичні шари відокремлені один від одного інваріантними кривими, що існують унаслідок теореми Колмогорова--арнольда--мозера.

Стохастичне море. Подальше збільшення параметра K0 приводить до руйнування КАМ-КРІВИХ і злиттю стохастичних шарів. Утворюється стохастичне море, в якому, проте, існують острівці стійкості (мал. 1. 8). Острівці залишаються завжди при будь-яких скільки завгодно великих значеннях K0. Їх розмір в цьому випадку має порядок 1/K0, а відображення (1. 25) із зростанням К0 стає все ближчим до У-системе.

Наявність острівців стійкості є фундаментальною властивістю реальних фізичних систем. Все сказане вище без зусиль переноситься на універсальне відображення (1. 20), і відзнака виражається кінець кінцем лише у формі і числі острівців.

Сама структура острівців також є незвичайно складною заплутаною картиною. Існують системи острівців різних порядків розмірів, що все більш і більш зменшуються (мал. 1. 9). Утворення стохастичного шару відбувається в околиці сепаратрисы при K0 < 0,97, а в області значень K0 > 0,97 відбувається злиття стохастичних шарів з утворенням спільного стохастичного моря. Таким чином, область переходу до хаосу є дуже вузькою.

Рис. 1.8. Утворення стохастичного моря

Рис. 1.9. Острівці різних порядків в стохастичному морі. Окремі, безладно розташовані крапки належать одній траєкторії

У міру подальшого зростання параметра K0 > 1 стохастичне море заповнює все велику частку фазового простору. В той же час острівці стійкості зменшуються в своїх розмірах. Одночасно зменшується і відносна міра острівців.

1.4 Стохастичні аттрактори

Відзначимо деякі істотні сторони появи стохастичності в негамильтоновских диссипативних системах. Існування дисипації приводить до зменшення фазового об'єму системи.

Фінітность руху. Наступне нижче зауваження перш за все відноситься до поняття локальної нестійкості. Очевидно, що поява цієї нестійкості формулюється настільки універсальним способом, що він не пов’язаний з конкретним детальним видом динамічної системи.

Хай, наприклад, рівняння руху має тривіальний вигляд:

(1. 26)

Його рішення

показує відразу нестійкість щодо обурень початкової умови:

(1. 27)

З іншого боку, очевидно, що, не дивлячись на властивість (1. 27), ніякої стохастичності в системі (1. 26) не немає. Парадокс пов’язаний з тим, що система (1. 26) здійснює инфинитное рух, в якому траєкторії можуть розходитися достатньо далеко і достатньо швидко із-за необмеженості фазового простору.

Ситуація змінюється, якщо замість (1. 26) розгледіти систему, фазовий простір якого фінітного

(1. 28)

Тут є стохастичність при K > 1. Дуже важлива умова, що накладається на розглядувані далі системи, -- финитность їх динаміки у фазовому просторі. Цього зауваження набуває глибший сенс для диссипативних систем, де осциляторна динаміка може бути взагалі відсутньою. Зокрема, характеристичні показники можуть не мати уявної частки ні при яких реальних значеннях параметрів.

Аттрактори і репеллери. Порівняльний аналіз особливостей на фазовій плоскості для гамильтоновских і диссипативних систем якнайкращим способом представляє їх відмінність. Структура фазового простору в диссипативному випадку набагато багатша, і тому тут слід чекати різноманітнішу динаміку систем.

Однією з відмітних властивостей диссипативних систем є існування аттракторов і репеллеров. Під «аттрактором» розуміється будь-яка притягуюча безліч. Прикладами аттракторов можуть бути стійкий фокус, стійкий граничний цикл. «Репеллером» є відштовхуюча безліч крапок. Такою властивістю володіють, наприклад, нестійкий фокус і нестійкий граничний цикл. При t >: фазові траєкторії все ближче наближаються до аттрактору. Система наближається до деякого сталого режиму, точки якого належать безлічі А+, що є аттрактором. Аттрактор є інваріантна безліч, тобто

Репеллер легко зрозуміти, якщо представити його як аттрактор А-, до якого прагнуть фазові траєкторії при t > -. Він також є інваріантним безліччю:

Стохастичний аттрактор. На перший погляд здається, що існування аттракторов виключає можливість стохастичної динаміки у фазовому просторі, оскільки з часом відстань між крапками фазової траєкторії і точками безлічі А+ повинно прагнути до нуля. Тому з часом траєкторія все більше наближається до крапки або циклу, в структурі яких немає нічого випадкового. Природа, проте, розпорядилася інакше.

Існує притягуюча безліч, сама структура якої є дуже складною. Її не просто описати, але можна вказати її головну особливість. Динаміка крапки на такій структурі в будь-якому можливому для аналізу сенсі є випадковою подібно до того, як це має місце в гамильтоновских системах. Така притягуюча безліч, на якій реалізується стохастична динаміка, називатимемо стохастичним аттрактором. У поняття стохастичності вкладаються, по суті, ті ж не дуже строго певні поняття, що апелюють швидше до фізичного сенсу, чим до строгого визначення. Перерахуємо їх.

1. Система здійснює фінітний рух.

2. У кінцевій області фазового простору є локальна нестійкість. Розгледимо цей пункт докладніше.

У гамильтоновских системах траєкторія достатньо швидко заповнювала весь фазовий простір унаслідок ергодичності і перемішування. Тепер ці поняття представляються анахронізмом, оскільки траєкторія притягується до деякої безлічі As, яка не лише є частка фазового простору, але і може мати нульову міру. Можна, проте, вчинити таким чином. Скористаємося інваріантністю As

(1. 29)

і тим, що через деякий не дуже великий час точки фазової траєкторії дуже близькі до точок As. Тому поняття локальної нестійкості можна ввести не у фазовому просторі Г, а в :

(1. 30)

тут індекс As при D означає, що відстань D береться між двома траєкторіями, початкові точки яких належать As.

Наступне важливе зауваження дозволяє зняти індекс As (1. 30). Якщо t0 не дуже мало, то відзнака положення точок реальної траєкторії від положення відповідних точок As мало. Їм можна нехтувати, і тому расходимость траєкторій згідно із законом

(1. 31)

відбуватиметься для будь-якої пари крапок в деякій області фазового простору кінцевої міри, якщо тільки виконана важлива нерівність

(1. 32)

Доказ існування часу може виявитися достатньо складним для реальних систем, хоча сам факт його існування може представлятися цілком очевидним.

3. Існують змінні z такі, що розчіпляється корелятор

(1. 33)

де f і g — деякі інтегровані функції і

(1. 34)

Так само, як і при переході від (1. 30) до (1. 31), нерівність (1. 32) дозволяє зняти індекс As у формулах (1. 33) і (1. 34). Тоді їх вигляд нічим не відрізняється від визначень в гамильтоновском випадку, якщо замінити dAs(z) на (z) в (1. 34).

Властивість (1. 34) означає існування процесу перемішування, який, проте, реалізується тепер не на всьому фазовому просторі, а на деякій безлічі As. Виправданням цьому є те, що при виконанні нерівності (1. 32) відзнака області, фазовою траєкторією, що покривається, від As мало.

2. Хаотичні коливання

2.1 Перемежана і перехідний хаос

Двома іншими формами непередбачуваних, нерегулярних рухів є перемежана і перехідний хаос. В разі перемежаної сплески хаотичного руху, або шуму, чергуються з періодами регулярного руху (рис. 2. 1).

Рис. 2.1. Переміжний хаотичний рух.

Таку поведінку спостерігав ще Рейнольдс в своїх експериментах по вивченню передтурбулентного режиму в трубах (1883 р.). Перехідний хаос спостерігається також в деяких системах як передвісник стаціонарного хаосу. За певних початкових умов система може поводитися квазівипадковим чином, тобто її траєкторії можуть рухатися у фазовому просторі, неначебто вони знаходилися на дивному аттракторе, але через деякий час рух виходить на регулярний аттрактор, як в разі періодичних коливань. Інколи для експериментального визначення критичного параметра для перемежаної і перехідного хаосу використовуються властивості подібності нелінійного руху. В разі перемежаної, коли поведінка системи близька до періодичного руху, але час від часу зазнає короткі сплески перехідного хаосу, пояснення такої поведінки в термінах одновимірних відображень, або різницевих рівнянь, була дане Манневілем і Помо.

Як показали чисельні експерименти з відображеннями, середня тривалість періодичного руху < @> між двома послідовними хаотичними сплесками складає величину

(2. 1)

де _ - параметр (наприклад, швидкість рідини, амплітуда сили, що вимушує, або напруга, що вимушує), що управляє _с -- критичне значення параметра _, при якому виникає хаотичний рух. Із збільшенням настроєння _ - _с тривалість хаотичного інтервалу збільшується, а тривалість періодичного інтервалу скорочується. Таке явище можна було б назвати повзучим хаосом.

Для експериментального визначення параметра _с необхідно зміряти два середні часи, < @>, і < @>2, при відповідних значеннях параметра, що управляє _1 і _2. Це дозволить опреде-шть коефіцієнт пропорційності в співвідношенні (2. 1), а також величину _с. Але, встановивши «кандидата» в _с, необхідно потім зміряти інші значення (< @> _), щоб підтвердити закон подібності (2. 1).

Випадок перехідного хаосу був досліджений Гребоги і ін. з Університету штату Меріленд в серії робіт по чисельних експериментах з двовимірними відображеннями. У роботах ці автори розгледіли двовимірне узагальнення одновимірного квадратичного різницевого рівняння, що отримало назву «Відображення Енона»:

де J -- визначник якобиана, службовець коефіцієнтом стискування майданів при відображенні. У дослідженнях мэрилендской групи коефіцієнт J був вибраний рівним -0,3, а параметр? варіювався в певних межах. Наприклад, при? > ?0 = 1,62 371 838 спостерігалося народження з траєкторій з періодом 6, дивного аттрактора, що складається з 6 окремих часток, який існує в діапазоні ?0 <? < ?c = 1,80 744 879

При? >? з траєкторія при ітераціях відображення Енона блукає навколо «примари» дивного аттрактора на плоскості; після чого в системі встановлюється періодичний режим з періодом 4.

Гребоги і ін. виявили, що середня тривалість < @> перехідного хаосу задовольняє закону подібності

(2. 2)

Середнє було знайдене шляхом вибору 102 початкових умов при кожному виборі ?. Початкові умови вибиралися в первинній області тяжіння дивного аттрактора, що припинив існування. Тривалість таких перехідних хаотичних режимів може бути дуже велика. Наприклад, в разі відображення Енона Гребоги і його співробітники виявили, що < @>: 104 при і < @>: 103 при.

Та ж група дослідників виявила відображення, що породжують суперперехідний хаос, в якому тривалість перехідного періоду задовольняє закону подібності

. (2. 3)

Ці результати дозволяють передбачити, що час життя деяких перехідних хаотичних режимів може перевершувати тривалість будь-якого експерименту. Математика, що зачіпає в цих дослідженнях, пов’язана з гомоклиническими точками перетину стійкого і нестійкого многообразий при відображеннях. Виникнення гомоклинических точок перетину мэрилендская група називає кризами.

2.2 Консервативний хаос

Хоча останнім часом активність в області нелінійної динаміки пов’язана переважно з хаосом в диссипативних системах, вже чималий час відома можливість хаотичної поведінки в бездиссипативных, або так званих консервативних, системах. По суті справи, саме пошук вирішень рівнянь небесної механіки привів в кінці XIX ст деяких математиків, наприклад Пумнкаре, до припущення, що вирішення багатьох завдань динаміки чутливі до початкових умов і тому деталі руху тіл по орбітах виявляються непередбачуваними.

Фізичні приклади консервативних систем пов’язані з проблемами розрахунку орбіт в небесній механіці і поведінки часток в електромагнітних полях. Зрозуміло тому, що велика частка роботи в цій області була виконана тими, хто займається фізикою плазми, астрономією і астрофізикою.

Хоча в більшості земних динамічних систем відбуваються деякі втрати енергії, в деяких з них, як, наприклад, в структурованих конструкціях або мікрохвильових резонаторах, загасання дуже слабо, і на кінцевих інтервалах часу вони можуть поводитися як консервативні або гамильтоновы системи. Як приклад можна привести технологічну конструкцію, що знаходиться на навколоземній орбіті. Крім того, динаміка консервативних систем є граничним випадком динамічного аналізу при слабкому загасанні.

Системи, в яких зберігається енергія, в типових випадках виявляють тих же типів обмежених коливальних рухів, що і системи з втратами. До таких рухів належать періодичні, субгармонійні, квазіперіодичні і хаотичні. Одна з основних відзнак між коливаннями в системах з втратами і без них полягає в тому, що хаотичні орбіти в системах з втратами виявляють фрактальну структуру фазових портретів, тоді як в бездиссипативных системах така структура відсутня.

У консервативних системах хаотичні орбіти прагнуть однорідно заповнити всі частки деякого підпростору у фазовому просторі; іншими словами, вони характеризуються однорідною щільністю вірогідності в обмежених областях фазового простору. Тому бездиссипативные системи мають інші відображення Пумнкаре, чим системи з дисипацією. Проте як і раніше застосовна така міра розбіжності близьких орбіт, як показники Ляпунова. Прикладом бездиссипативной системи є кулька, що підскакує на пружному столі, причому стіл рухається і передбачається, що при зіткненнях не втрачається енергія, тобто вони упруги.

3. Фізичні експерименти з хаотичними системами

3.1 Хаос в пружній безперервній середі

Ф. Мун досліджував проблеми двох типів. У завданнях одного класу рівняння в приватних похідних, що описує рух стрижня, лінійно, але нелінійні масові сили або граничні умови. У інших завданнях руху достатньо сильні, щоб в рівняннях руху стали істотними нелінійні члени.

При малих вигинах і відхиленнях рівняння руху пружного стрижня має вигляд

(3. 1)

де? -- поперечний зсув стрижня, D -- коефіцієнт пружної жорсткості, а m -- маса на одиницю довжини. Права частка рівняння описує розподілені масові сили або внутрішнє загасання. У багатьох дослідах для створення нелінійних масових сил використовувалися постійні магніти.

Коли зсув і нахил осі стрижня великі, горизонтальний і вертикальний зсув і нахил характеризуються змінними (u ?, T), зв’язаними співвідношеннями

(3. 2)

де ()' = }/}s, а s -- довжина, вимірювана уздовж деформованого стрижня (рис. 3. 1).

Рис. 3.1. Плоска деформація пружного стрижня.

Тоді рівняння збереження імпульсу набувають вигляду

(3. 3)

Де

У цих рівняннях (fu, f?) -- компоненти масової сили, а T -- осьова сила, що створює напругу в стрижні. Нелінійні члени відрізняються від характерних для механіки рідин тим, що сюди не входять переносні, або кінематичні, нелінійності. Крім того, локальна залежність напруги від деформації лінійна. Нелінійні члени виникають із-за зміни геометричної форми і називаються геометричними нелинейностями.

Магнітопружний зігнутий стрижень. Пружний стрижень, закріплений з одного боку, згинається магнітами, які поміщені поблизу його вільного кінця. Магнітні сили роблять нестійким прямий, незігнутий стан стрижня і створюють декілька положень рівноваги, одне з яких показане на мал. 3. 2а. Після того, як такий вигин створений, система аналогічна частці в потенціалі з двох або більш за ями. Весь пристрій поміщається на вібростенд і коливається з постійною амплітудою і частотою. При слабких коливаннях стрижень залишається поблизу одного з положень рівноваги. Проте із зростанням амплітуди стрижень може вискочити з потенційної ями і зачинаються хаотичні рухи, при яких стрижень переходить з однієї ями в іншу. Відображення Пумнкаре для цього процесу показане на мал. 3. 2б. (це відображення називається «Квіткою Пумнкаре».)

Рис. 3. 2а. Пружний сталевий стрижень, зігнутий магнітними масовими силами і прикріплений до періодично рухомої підстави.

Рис. 3. 2б. Отримане в експерименті відображення Пумнкаре для хаотичного руху стрижня, подовжньо зігнутого магнітними силами («квітка Пумнкаре»).

Для опису цієї системи використовується багатомодове наближення рівняння (3. 1), в якому враховані нелінійні магнітний сили, що діють на вільний кінець стрижня.

Для стрижня із загасанням, закріпленого з одного боку, добрі результати дає одномодове наближення. Відповідне рівняння можна записати у вигляді системи трьох рівнянь першого порядку. Тут змінна x є безрозмірною амплітудою гармоніки:

(3. 4)

Відображення Пумнкаре (рис. 3. 2б) має вигляд, характерний для двовимірних точкових відображень. У типових випадках експерименти не виявили подвоєнь періоду перед переходом до хаотичного руху. Передвісниками хаосу часто виявлялися непарні субгармоніки.

Видозміною цього експерименту є перевернутий маятник з пружиною. Якщо пружина слабка, то, як і в завданнях з двома потенційними ямами, перевернутий маятник має два положення стійкої рівноваги.

Зігнутий стрижень з двома мірами свободи. Щоб вивчити роль додаткових мір свободи, був створений пружний аналог сферичного маятника, в якому використаний стрижень кругового перетину. Для вигинання стрижня як і раніше використовувалися магніти, але тепер його кінець міг рухатися в двох напрямах. В результаті з’явилися несумірні природні частоти і квазіперіодичні коливання, які врешті-решт перетворилися на хаотичних (рис. 3. 3).

Рис. 3.3. а — Схема пружної лозини, що здійснює тривимірні рухи в парі потенційних ям, створених двома магнітами; б — накладені один на одного траєкторія руху у фазовому просторі і відображення Пумнкаре для квазіперіодичного руху (вгорі); відображення Пумнкаре для хаотичного руху (внизу).

Ета експериментальна модель описується рівняннями для двох зв’язаних осциляторів:

(3. 5а)

(3. 5б)

Члени f0 і f2 описують дію тяжіння, якщо початкове положення стрижня не вертикально, а члени, що зв’язують ці рівняння, потенційні. Якщо зв’язок слабкий, можна вирішити рівняння (3. 5б) відносно біля (t), і рівняння для х (t) набуває вигляду рівняння параметричних коливань.

Пружний стрижень з нелінійними граничними умовами. Для того, щоб отримати хаотичні коливання в механічній системі, не обов’язково мати декілька положень рівноваги. Будь-яка сильна нелінійність також, швидше за все, викличе хаотичний шум при періодичній зовнішній дії. Одним з прикладів системи з одним положенням рівноваги є пружний стрижень з нелінійними граничними умовами. Нелінійними називаються такі граничні умови, які залежать від руху. Наприклад, передбачимо, що кінець стрижня може вільно рухатися в одному напрямі, а рух в іншому напрямі заборонений. Хаотична поведінка такого стрижня показана на рис. 3.4. Модифікацією цього прикладу є двостороннє обмеження із зазором, при якому вигин стрижня може відбуватися в трьох різних режимах.

Рис. 3.4. Хаотичні коливання пружного стрижня з нелінійною граничною умовою.

3.2 Тривимірні пружні стрижні і струни

За певних умов вимушений плоский рух нелінійного пружного стрижня (балки, смужки) описуваний рівнянням (3. 3), стає нестійким і виникають тривимірні рухи. Схоже явище відоме і для плоского руху натягнутої струни. Було проведено декілька експериментів з товщиномірами -- дуже тонкими, гнучкими, пружними сталевими стрижнями прямокутного перетину (наприклад, 0,25 мм x 10 мм x 20 см) (мал. 3. 5). Їх слабкий бічний рух (по відношенню до незігнутого стрижня) майже неможливий без подовжнього вигину або перекосу локальних поперечних перетинів. Проте при сильному вигині в «дозволеному» напрямі стають можливими і бічні зсуви, що супроводяться перекосом поперечних перетинів.

Рис. 3.5. Схема пружної структури, що здійснює руху як в плоскості коливання, що вимушує, так і в ортогональному напрямі

Плоскі коливання стрижня в «дозволеному» напрямі на частоті, близькій до однієї з багатьох власних частот, стають не лише нестійкими, але і хаотичними. Це видно з мал. 3. 6, де в спектрі потужності отриманому швидким перетворенням Фурье, присутній широкий діапазон частот, тоді як зовнішнє збудження відбувається на одній частоті. Схожі явища відбуваються з дуже тонкими листками паперу. Хаотичні рухи дуже тонких листків паперу викликають широкосмуговий акустичний шум в повітрі, що оточує їх.

Рис. 3.6. Фурье-спектри вимушених коливань тонкого пружного стрижня. Широкосмуговий хаотичний спектр є наслідком тривимірності коливань.

3.3 Хаос в матричному друкуючому пристрої

Завдання із зіткненнями складають цілий клас наочних прикладів хаотичних коливань в механіці. Практичною реалізацією викликаних зіткненнями хаотичних коливань є експеримент з бойками (голками) друкуючого пристрою, поставлений Хендріксом (рис. 3. 7).

Рис. 3.7. Схема дії голки матричного друкуючого пристрою.

У такому друкуючому пристрої молоточок прискорюється магнітною силою, і його кінетична енергія витрачається на перенесення фарби із стрічки на папір. Хендрікс використовує емпіричну залежність сили, що виникає при ударі, від відносного зсуву після удару; змінна u дорівнює відношенню зсуву до сумарної товщини стрічки і паперу:

(3. 6)

де А -- майдан контакту бойок і стрічки, Ер виступає в ролі жорсткості стрічки і паперу, а d -- постійна, яка залежить від максимального зсуву.

Якщо бойок збуджується періодичною напругою, він і рухається по періодичному закону, поки частота струму невелика. Але із зростанням частоти бойку не вистачає часу, щоб заспокоїтися, і удари стають хаотичними (рис. 3. 8).

Рис. 3.8. Зсув голки матричного друкуючого пристрою як функція часу при різних частотах сигналу, що ініціює.

Таким чином, хаотичні коливання обмежують швидкість роботи друкуючого пристрою. Один з виходів з цієї ситуації полягає в додаванні зворотному зв’язку, який подавить хаос.

3.4 Нелінійні ланцюги

Ланцюги з періодичним збудженням: хаос в ланцюзі з діодом. Ідеальний діод -- це елемент ланцюга, який або проводить струм, або немає. Така поведінка з різким відключенням є сильною нелінійністю. Лава експериментів по хаотичних коливаннях була проведена за допомогою конкретного діодного елементу, званого варикапным діодом; використані електричні ланцюги подібні показаною на мал. 3.9. Можливість подвоєнь періоду указує, що явище математично описується одновимірним відображенням, яке зв’язує абсолютні значення максимального струму в ланцюзі в час (n + 1), — і n-го циклів:

. (3. 7)

Рис. 3.9. а — Схема ланцюга з варикапным діодом; би — вид елементу ланцюга у фазі провідності діода; у — вид елементу ланцюга, коли діод замкнутий.

Розглянемо ланцюг, еквівалентний одному з двох лінійних ланцюгів, показаних на рис. 3. 9, би, ст Кожен цикл складається з провідної і непровідної стадій. Нелінійність виникає із-за умов переходу від провідного ланцюга з напругою зсуву Vf до непровідної з постійною ємкістю. Момент переходу залежить від максимального струму |Imax|. У цій моделі на кожній стадії відомі точні вирішення диференціальних рівнянь, що описують ланцюг; невідомі постійні визначаються з умов безперервності струму і напруги у момент зміни стадій. Цей метод показаний на мал. 3. 10. Ця модель краще описує фізику протікаючих процесів, чим модель з нелінійною ємкістю.

Ця ситуація служить прикладом відомої проблеми в нелінійній динаміці. Прагнення негайне пояснити хаотичність динаміки нелінійної системи викликає спокусу побудувати математичну модель, яка повторює класичні парадигми хаосу в набагато більшому ступені, чим сама фізика системи. Це було простимо під час перших відкриттів і досліджень. Але з дорослішанням нелінійної динаміки слідує більше увага обертати на математичні і фізичні основи явищ, що вивчаються. Нові пояснення хаотичних явищ можуть бути прийняті тільки в тому випадку, якщо вони прояснюють зв’язок фізичних законів (наприклад, законів Ньютона і рівнянь Максвелла) і математичних моделей.

Рис. 3. 10. Порівняння розрахованого (а) і отриманого в експерименті (б) одновимірних відображень для ланцюга з варикапным діодом, показаного на мал. 3.9.

Нелінійна індуктивність. Брайант і Джеффріс досліджували ланцюг з негативним опором і нелінійною індуктивністю з гістерезисом, порушувану синусоїдальним сигналом. У цій роботі досліджувалися сполучені паралельний чотири елементи -- джерело напруги, негативний опір, конденсатор і котушка, намотана на тороїдальний магнітний сердечник. Характерні значення параметрів такі: З: 7,5 мкФ, R = -500 Ом, а частота збуджуючого сигналу -200 Гц і вище. Негативний опір створювався операційним підсилювачем. Якщо N -- число витків в індуктивності, А -- ефективний майдан перетину сердечника, l -- довжина магнітного шляху, то щільність магнітного потоку B в сердечнику описується рівнянням

, (3. 8)

де H (В) -- нелінійне співвідношення магнітного поля і магнітної індукції в матеріалі сердечника. У експерименті було N = 100 витків, А: 1,5−10−5 м2 і l: 0,1 м.

У такому ланцюзі спостерігаються квазіперіодичні коливання, блокування фази рухів, подвоєння періоду і хаотичні коливання.

Автономні нелінійні ланцюги. Автономні хаотичні коливання виявлені в ланцюзі з тунельним діодом, показаному на мал. 3. 11, а.

Нелінійними елементами цього ланцюга є два тунельні діоди. Вольт-амперна характеристика, показана на мал. 3. 11, би, явно нелінійна, і при циклічних змінах струму ID виникає петля гістерезису.

Рис. 3. 11. Ланцюг з тунельним діодом, в якому можливі автономні хаотичні коливання.

За допомогою поворотних відображень були побудовані відображення Пумнкаре на псевдофазовій плоскості. Іншими словами, були складена вибірка вимірів струму

, (3. 9)

де n — ціле, і побудована залежність xn від xn+1. Вибірка проводилася в ті моменти часу, коли напруга минала, убуваючи, значення 0,42 В. Крім того були побудовані спектри Фурье і обчислені показники Ляпунова, що характеризують швидкість розгону близьких траєкторій.

4. Фрактальні властивості хаосу

4.1 Фрактали

Фрактали -- нове поняття, введене у вживання Мандельбротом. Він же продемонстрував на обширному класі об'єктів поширеність фракталів в природі.

Хаусдорфова розмірність. Звичайна топологічна розмірність dT приписує рахунковій безлічі розмірність нуль, кривым--размерность dT = 1, поверхностям--размерность dT = 2 і так далі У багатьох випадках не може задовольнити подібне визначення, оскільки можуть бути криві, важко відмітні від плоскості. Простим прикладом зробленого твердження може служити траєкторія броунівської частки (рис. 4. 1).

Рис. 4.1. Траєкторія броунівської частки

Вона має dT = 1. Проте чим більше час спостереження, тим щільніше траєкторія заповнює плоскість. Якщо відвернутися від строгих формулювань, то наступна властивість траєкторії добре відома: для довільного малого ?, визначення положення броунівської частки, що характеризує точність, на плоскості, можна вказати такий кінцевий час t (?), що траєкторія буде невідмітна від плоскості. Більш того

(4. 1)

де? -- число порядку одиниці, залежне від характеру блукання частки. Можна заповнювати плоскість траєкторією деяким регулярним чином, як це має місце, наприклад, при эргодическом, але не перемішується русі.

Розмірність, введена Хаусдорфом, є зручним визначенням, що дозволяє розрізняти (до відомих меж) ступінь складності і заплутаності траєкторій. Вона вводиться таким чином.

Розгледимо деяку безліч, точки якої занурені в простір деякої розмірності dT. Покриватимемо цю безліч dT-мерными кубами, щільно упаковувавши їх. Кубів треба узяти стільки, щоб покрити ними вся дана безліч. Приклад такого покриття на плоскості наведений на мал. 4.2. Позначимо сторону куба через r і число кубів, в які потрапляє хоч би одна точка безлічі, через N®. Тоді хаусдорфова розмірність безлічі рівна

(4. 2)

Рис. 4.2. Приклад покриття безлічі крапок на плоскості квадратами з щільною упаковкою

Легко переконатися в тому, наприклад, що для відрізання прямої або гладкої кривої dH = dT = 1, а для елементу плоскості dH = dT = 2 і так далі Це означає, що в звичних простих випадках хаусдорфова і топологічна розмірності збігаються. Відмінність слід чекати для незвичайних випадків.

Визначення фрактала. Мандельброт запропонував називати фракталом безліч, для якої його хаусдорфова розмірність строго більше топологічною:

dH > dT (4. 3)

Фрактали можуть бути регулярними і стохастичними.

По суті визначення (4. 2) фрактальна розмірність відображає властивість масштабної інваріантності даної безлічі.

Нерівності (4. 3) можна додати певний фізичний сенс. Воно характеризує ускладнення безлічі. Якщо це крива (dT = 1), то криву можна ускладнювати шляхом нескінченного числа вигинань до такого ступеня, що його фрактальна розмірність досягне два, якщо вона щільно покриє кінцевий майдан, або три, якщо крива «упакує» куб.

Реальне визначення фрактальної розмірності за допомогою, наприклад, чисельних методів насправді ніколи не проводиться на нескінченній безлічі, і число крапок, що покриваються, обмежене деякою величиной N0. Тому для кінцевого числа крапок завжди існує мінімальна відстань між ними rmin. При зменшенні r, коли зачинає виконуватися нерівність rn < rmin, величина N(rn) перестає змінюватися, досягаючи значення N0. Тому для визначення dH годиться лише деяка прямолінійна ділянка, лежача між дуже великими і дуже малими значеннями 1/r (мал. 4. 3), якщо, звичайно, він існує.

Мал. 4.3. Область визначення фрактальної розмірності (суцільна пряма)

Використання фрактальної розмірності дає можливість отримати ще одну важливу характеристику складних образів. Обширний круг додатків цього поняття описаний в книзі Мандельброта. Неважко виявити, що формула (4. 2) встановлює деяке співвідношення подібності між об'єктами. Це, зокрема, відразу ж виявляється на наступній властивості.

Зв’язок з ренормализационной групою. Розгледимо деяку фігуру A0 і її послідовні перетворення

(4. 4)

Одночасно з операцією, що полягає, наприклад, в збільшенні деталізації фігури Ai, розгледимо зміну масштабу r на чинник а:

(4. 5)

Тепер цікавитимемося деякій величиною V, що характеризує об'єм або поверхню фігури Ai. Розгледимо величину

(4. 6)

Якщо існує подібність при дія оператора

(4. 7)

то можна записати зв’язок між об'ємами V(An) і у вигляді

(4. 8)

де d — деяка міра. У спільному випадку співвідношення подібності (4. 8) може виконуватися тільки в межі n >, тобто

. (4. 9)

Звернемося тепер до послідовності фігур Ai, визначеної в (4. 4), і передбачимо, що вона має нерухому точку A*. Тоді вираження (4. 9) перетворюється на наступне:

(4. 10)

або еквівалентне співвідношення:

(4. 11)

Неважко відмітити, що визначення (4. 10) для d збігається з визначенням dH при а > :. Дійсно, згідно (4. 5) тільки величина

(4. 12)

залежить в чисельнику формули (4. 10) від а. Тому

З іншого боку, можна вважати оператора за відповідного операторові ренормализационной групи, що має по припущенню нерухому точку A*. Співвідношення (4. 10) виникло унаслідок існування нерухомої крапки.

Описані вище міркування дозволяють поглянути на фрактальну розмірність як на розмірність подібності об'єму фігури, відповідній нерухомій крапці.

Слід зазначити, що ренормализационным властивістю може володіти і така характеристика системи, яка, взагалі кажучи, не пов’язана з розмірністю безлічі.

4.2 Фрактали і хаос

Хаос, що виникає з динамічних рівнянь, за природою своєю фрактальний.

Його фрактальний характер обумовлений тією властивістю траєкторій, яка перетворює їх з регулярних або періодичних в стохастичних. Дійсно, регулярна траєкторія має dH = dT = 1. Проте локальна нестійкість ускладнює траєкторію, роблячи її все більш заплутаною і непередбачуваною. Поява фрактальних властивостей в K-системах відбувається в різних місцях і в різноманітних їх властивостях. Наведемо деякі приклади фрактального характеру К-систем.

Розмірність стохастичного аттрактора. Найбільш сильно фрактальні властивості виявляються на стохастичних аттракторах. Розгледимо для визначеності стандартне диссипативне відображення

(4. 13)

куди входять дві константи: — коефіцієнт дисипації і K (або K0) — константа обурення. Якобіан відображення (4. 13) рівний

(4. 14)

і тому два характеристичні числа на n-м кроці відображення і задовольняють нерівності

(4. 15)

яке не залежить від n. Зокрема, при великих значеннях K > 1 майже усюди, за винятком малих областей по? маємо оцінку

(4. 16)

Тепер за допомогою цієї інформації поставимо питання про хаусдорфовой розмірність стохастичного аттрактора, що породжується рівняннями (4. 13).

Спершу покладемо, що відображення характеризується двома постійними, тобто не залежними від n характеристичними числами ?+ і ?-. Тоді цей факт можна уявити собі таким чином. Існує напрям, уздовж якого елемент фазового об'єму розтягується в ?+ раз і існує ортогональний напрям, уздовж якого фазовий об'єм стискується в ?- раз. Якщо у формулі (4. 2) для dH вибирати

на n-м кроці відображення, то rn прагнутиме до нуля при n > :. При цьому число областей, що покривають фазовий об'єм, рівне на n-м кроці

Використовуючи ці вирази, отримуємо

(4. 17)

Якщо відображення зберігає міру, то

і, отже, згідно (4. 17) для нього

(4. 18)

Це і слід було чекати, оскільки стохастична траєкторія достатньо рівномірно заповнює плоскість унаслідок перемішування. Хоча розмірність (4. 18) -- ціла, то це фрактал, оскільки dH > dT = 1. У випадку

(4. 19)

з формули (4. 17) маємо

, (4. 20)

тобто розмірність стохастичного аттрактора є дробом. Вона лежить в інтервалі (4. 2), оскільки аттрактор заповнює фазову плоскість, утворюючи канторово безліч в перетині.

Повернемося тепер до відображення (4. 13) і вважатимемо, що для його параметрів K і виконані умови, що приводять до появи стохастичного аттрактора. Характеристичні числа залежать від n. В цьому випадку для хаусдорфовой розмірності виходить та ж формула (4. 18), в якій слід перевизначити величини ?± таким чином:

. (4. 21)

Вираження (4. 21) можна сильно спростити, відмітивши, що воно прагне до деякої невипадкової межі. Випадковими є числа, оскільки вони залежать від змінних ?i, що належать стохастичному аттрактору. Представимо ?± з (4. 21) у вигляді

.

Унаслідок закону великих чисел права частка самоусредняется і дає

(4. 22)

Де

?(x, z) — стаціонарна функція розподілу на стохастичному аттракторе.

Підстановка (4. 22) в (4. 20) дає

(4. 23)

де введена К-атропія:

.

При малих значеннях дисипації розмірність аттрактора близька до двох:

(4. 24)

Якщо вважати K за великий, то з (4. 16) і (4. 24) слідує формула

що показує відхилення розмірності від двійки. Це відхилення має простий сенс, який можна легко використовувати для якісних оцінок складніших систем. Зменшення розмірності відбувається на величину, рівну відношенню коефіцієнта дисипації (коефіцієнта стискування траєкторій) до коефіцієнта розгону траєкторій (інкременту локальної нестійкості).

Висновок

Підведемо підсумки виконаної роботи. Була вивчена література по теорії хаосу, інформація, розміщена в глобальній мережі Internet. Вся важлива отримана інформація міститься в роботі.

Головні завдання курсової роботи були вирішені: вивчена достатньо кількість спеціальної літератури; був вивчений хаос

Дана курсова робота у зв’язку з наявністю теоретичного матеріалу, може бути використана для подальшого вивчення рекурсій на прикладах теорії хаосу.

Список використаної літератури

1. Мун Ф. «Хаотичні коливання: Ввідний курс для науковців і инженеров"/ М.: Мир, 1990.

2. Заславський г. М., Сагдєєв р.З. «Введення в нелінійну фізику. Від маятника до турбулентності і хаоса"/ М.: Наука, 1988.

3. Аммерал Л. «Машинна графіка на ПК», 1992.

4. Никульн е.А. «Комп'ютерна геометрія і алгоритми машинної графики"/ Спб.: БХВ-Петербург, 2003.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой