Зображення дійсних чисел

Тип работы:
Курсовая
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

БЕРДЯНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра математики

КУРСОВА РОБОТА

з дисципліни «Числові системи «

на тему: Зображення дійсних чисел

Студентки V курсу 51 м групи

напряму підготовки 7. 4 020 101

спеціальності Математика

Чердаклієвої І.А.

Керівник:

завідувач кафедри математики, доцент, кандидат педагогічних наук

Вагіна Н.С.

м. Бердянськ — 2013 рік

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ I. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ПРЕДМЕТУ ДОСЛІДЖЕННЯ

1.1 Історія становлення поняття дійсного числа

1. 2 Зображення дійсних чисел ланцюговими дробами загального виду

1.3 Зображення дійсних чисел системними дробами

РОЗДІЛ II. ЗАДАЧІ НА ВИКОРИСТАННЯ ЗОБРАЖЕННЯ ДІЙСНИХ ЧИСЕЛ

2.1 Задачі, при розв’язанні яких використовуються ланцюгові дроби

2.2 Задачі, при розв’язанні яких використовуються системні дроби

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ВСТУП

Актуальність дослідження. Історія виникнення дійсних чисел почалася давно. У Стародавній Греції в школі Піфагора, де за основу брали цілі числа і їхні відносини, було знайдено існування «несумірних» величин. У сучасній термінології - чисел, які не є раціональними. Пізніше, Евдокс Книдский намагався побудувати загальну теорію числа, яка б включала і несумірні величини. Після цього, близько двох тисяч років, ніхто не відчував потреби в точному визначенні дійсного числа, навіть всупереч постійному розширенню цього поняття. Тільки в другій половині XIX століття розвиток математичного аналізу зажадало перебудови його основ на новому, більш високому рівні строгості. Тоді й була створена в роботах К. Вейєрштрасса, Р. Дедекинда, Г. Кантора, Е. Гейне, Ш. Мері строга теорія дійсних чисел.

На цей час ланцюгові та систематичні дроби знаходять все більшого застосування в обчислювальній техніці, що зумовлює актуальність проблеми визначення та описання методів зображення дійсних чисел і безпосередньо теми дослідження.

Мета роботи полягає в теоретичному обґрунтуванні та розкритті різних способів зображення дійсних чисел на конкретних прикладах.

Об'єктом дослідження є числові системи та їх застосування.

Предметом дослідження є методи зображення дійсних чисел.

Відповідно до поставленої мети було визначено основні завдання дослідження:

1. Вивчити та проаналізувати літературу з предмету дослідження.

2. Визначити, описати та розкрити основні методи зображення дійсних чисел.

Робота виконана в реферативній формі і складається зі вступу, двох розділів, загальних висновків та списку використаних джерел.

РОЗДІЛ І. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ПРЕДМЕТУ ДОСЛІДЖЕННЯ

1.1 Історія становлення поняття дійсного числа

Перша розвинена числова система, побудована в Стародавній Греції, включала тільки натуральні числа і їхні стосунки (пропорції, у сучасному розумінні - раціональні числа). Однак незабаром з’ясувалося, що для цілей геометрії та астрономії цього недостатньо: наприклад, відношення довжини діагоналі квадрата до довжини його сторони не може бути представлено ні натуральним, ні раціональним числом.

Для виходу з положення Евдокс Кнідський ввів, на додаток до чисел, більш широке поняття геометричної величини, тобто довжини відрізка, площі або об'єму. Теорія Евдокса дійшла до нас у викладі Евкліда («Початки», книга V). По суті, теорія Евдокса — це геометрична модель дійсних чисел. З сучасної точки зору, число при такому підході є відношення двох однорідних величин — наприклад, досліджуваної і одиничного еталона. Слід, однак, підкреслити, що Евдокс залишився вірним колишньої традиції - він не розглядав таке відношення як число; через це в «Засадах» багато теореми про властивості чисел потім заново доводяться для величин. Класична теорія Дедекинда для побудови дійсних чисел за своїми принципами надзвичайно схожа на виклад Евдокса. Однак модель Евдокса неповна у багатьох відносинах — наприклад, вона не містить аксіоми безперервності, немає загальної теорії арифметичних операцій для величин або їх відносин та ін.

Ситуація почала змінюватися в перші століття н. е. Вже Діофант Олександрійський, всупереч колишнім традиціям, розглядає знаки так само, як і натуральні числа, а в IV книзі своєї «Арифметики» навіть пише про один результаті: «Число виявляється не раціональним». Після загибелі античної науки на передній план висунулися індійські і ісламські математики, для яких будь-який результат вимірювання або обчислення вважався числом. Ці погляди поступово взяли верх і в середньовічній Європі, де спочатку розділяли раціональні та ірраціональні (буквально: нерозумні) числа (їх називали також уявними, абсурдними, глухими і т. п.). Повне рівняння в правах ірраціональних чисел пов’язане з працями Симона Стевіна (кінець XVI століття), який проголосив: «Ми приходимо до висновку, що не існує ніяких абсурдних, ірраціональних, неправильних, непояснених або глухих чисел, але що серед чисел існує таке досконалість і злагода, що нам треба міркувати дні і ночі над їх дивовижною закінченістю «[11].

Він же, з деякими застереженнями, легалізував негативні числа, а також розвинув теорію і символіку десяткових дробів, які з цього моменту починають витісняти незручні шестидесятеричной.

Через сторіччя Ньютон у своїй «Універсальної арифметиці «(1707) дає класичне визначення (речового) числа як відношення результату вимірювання до одиничного еталону: «Під числом ми розуміємо не стільки безліч одиниць, скільки абстрактне відношення якої-небудь величини до іншої величини того ж роду, прийнятої за одиницю"[21].

Довгий час це прикладне визначення вважалося достатнім, так що практично важливі властивості дійсних чисел і функцій не доводили, а вважалися інтуїтивно очевидними (з геометричних або кінематичних міркувань). Наприклад, вважався самоочевидним той факт, що безперервна крива, точки якої розташовані по різні сторони від деякої прямої, перетинає цю пряму. Суворе визначення поняття безперервності також відсутнє. Як наслідок, чимало теорем містили помилки, нечіткі або надмірно широкі формулювання.

Навіть після того, як Коші розробив досить строгий фундамент аналізу, положення не змінилося, оскільки теорії дійсних чисел, на яку зобов’язаний був спиратися аналіз, не існувало. Через це Коші зробив чимало помилок, поклавшись на інтуїцію там, де вона приводила до невірних висновків: наприклад, він вважав, що сума ряду з безперервних функцій завжди неперервна.

Першу спробу заповнити прогалину в підставах математики зробив Бернард Больцано в своїй статті «Чисто аналітичний доказ теореми, що між будь-якими двома значеннями, що дають результати протилежного знаку, лежить щонайменше один дійсний корінь рівняння» (1817) ,[11]. У цій піонерської роботі ще немає цілісної системи речових чисел, але вже наводиться сучасне визначення безперервності і показується, що на цій основі теорема, згадана в заголовку, може бути строго доведена. В більш пізній роботі Больцано дає начерк загальної теорії дійсних чисел, за ідеями близькою до канторовской теорії множин, але ця його робота залишилася неопублікованою за життя автора і побачила світ тільки в 1851 році. Погляди Больцано значно випередили свій час і не привернули уваги математичної громадськості.

Сучасна теорія дійсних чисел була побудована в другій половині XIX століття, в першу чергу працями Вейерштрасса, Дедекинда і Кантора. Вони запропонували різні, але еквівалентні підходи до теорії цієї найважливішої математичної структури і остаточно відокремили це поняття від геометрії та механіки.

1.2 Зображення дійсних чисел ланцюговими дробами загального виду

Правильні нескінченні і кінцеві ланцюгові дроби є окремим випадком нескінчених і кінцевих ланцюгових дробів загального вигляду:

(1) ,

коли в них приймається, що всі, , а інші.

У загальному випадку елементи ланцюгового дробу та, k > 1, до k > 1 можуть брати довільні, відмінні від 0 раціональні значення, а може також дорівнювати нулю.

За допомогою ланцюгових дробів загального вигляду одне і те ж раціональне число можна представити різними способами. Наприклад,

.

У ланцюгового дробу (1), яку записують також інакше, наприклад ,

() чи ()

числа та (k=2, 3, …) називають ланками, і - членами k — ї ланки, з них — приватним чисельником, а — приватним знаменником.

Щоб отримати розкладання раціонального числа в кінцеву ланцюгову дріб (1), можна все і за винятком одного, вибрати довільно.

Можна, наприклад, знайти розкладання; для цього слід покласти. Можна ланцюгову дріб перетворити так, щоб всі були рівні 1, тобто, щоб (1) прийняло вигляд (2)

Так, наприклад,. Дроби виду (2) називають звичайними ланцюговими дробами, а, , …, — їх неповними часними. Правильні ланцюгові дроби можна тому визначити як звичайні ланцюгові дроби з цілими позитивними неповними приватними, починаючи з, причому може бути будь-яким цілим числом [8].

Правильні ланцюгові дроби є найбільш простими і найбільш вивченими серед ланцюгових дробів загального вигляду, однак і інші ланцюгові дроби відіграють велику роль і мають важливі застосування, наприклад, в наближеному аналізі, де за їх допомогою без складних викладок отримують дрібно-раціональні наближення функцій.

Розглянемо оглядово деякі властивості ланцюгових дробів загального вигляду.

Походження таких ланцюгових дробів пов’язане з узагальненим алгоритмом Евкліда.

Якщо ми маємо систему рівностей, ,, … з довільній раціональними числами, то при b, c, d0 з них слідують рівності, , так що, підставляючи по ланцюжку, отримуємо

k-та підходяща дріб визначається для за формулою за умови, що, ,, .

Користуючись нею, знайдемо, наприклад, відповідні дроби для розкладання. Маємо =,, ,, ,. Зауважимо, що одержувані в процесі рекуррентного обчислення відповідні дроби можуть бути скоротних, але скорочується їх можна лише за певних умов.

Властивості відповідних ланцюгових дробів загального вигляду з додатними елементами і правильних ланцюгових дробів цілком аналогічні.

Нескінченна ланцюгова дріб (1) називається збіжної, якщо існує кінцева границя; в такому випадку приймається за значення цього дробу. Не завжди загальні нескінченні ланцюгові дроби є збіжними, навіть тоді, коли вони мають лише додатними елементи.

Існує ряд ознак збіжності ланцюгових дробів: Нехай дана безперервна дріб виду

, де,

1) Нехай, щ> всі члени послідовностей, , дійсними числа і для всіх, починаючи з деякого. Якщо для таких k до виконується нерівність, то ланцюгова дріб сходиться.

2) Нехай і всі члени послідовності, починаючи з k = 2 додатні. Тоді ланцюгова дріб сходиться тоді і тільки тоді, коли ряд розходиться (теорема Зейделя) [6].

Цікавою особливістю ланцюгових дробів загального виду є те, що навіть раціональні числа можуть ними розкладатися в нескінченні ланцюгові дроби. Наприклад, мається розкладення

=,, ,, , …

0,3; 0,42; 0,45; 0,467; …

Примітно те, що квадратичні ірраціональності розкладаються і в неперіодичні ланцюгові дроби загального вигляду.

Наприклад, є розкладання

=,, ,, ,, , …

1; 1,5; 1,38; 1,44; 1,40; …

Але найцікавіше і найважливіше це те, що в той час як до теперішнього часу невідомі розкладання в правильну ланцюгову дріб жодної алгебраїчної ірраціональності ступеня вище другий (іншими словами, невідомі загальні властивості неповних приватних таких розкладів, розкладання самі по собі з як бажаною точністю можна практично знайти), за допомогою загальних ланцюгових дробів такі розкладання знаходяться досить легко. Відзначимо, наприклад, деякі розкладання і відповідні відповідні дроби для:

=,, ,, ,, … 7

1,33; 1,22; 1,284.

=,, ,, ,, …

1,17; 1,25; 1,258; 1,2596; …

Наведемо ще кілька прикладів розкладів інших ірраціональностей в ланцюгові дроби загального вигляду:

=,, ,, ,, …

Ця ланцюгова дріб для була знайдена ще більше 300 років тому англійським математиком Брункером [13].

=,, ,, , ,

У 1776 році І. Ламберт знайшов розкладання в ланцюгову дріб:

=

А. Лежандр в припущенні, що ця ланцюгова дріб сходиться, показав, що її значення для раціональних значень х ірраціонально. Прийнято вважати, що тим самим була доказів ірраціональність числа р.

Л. Ейлер знайшов, що: = (1, 6, 10, 14, …). Також Ейлер знайшов розкладання в ланцюговий дріб числа е = (2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, …), тобто елементи розкладу е в ланцюгову дріб мають вигляд:

, ,

Швейцарський математик Іоганн Генріх Ламберт (1728−1777) знайшов розкладання числа р у вигляді ланцюгового дробу.

1.3 Зображення дійсних чисел системними дробами

дійсний число дріб ланцюговий

Розглянемо питання про принципову можливість зображення дійсних чисел системними дробами.

З кожною послідовністю () дійсних чисел можна зіставити два об'єкти: 1) послідовність і 2) вираз, який називають рядом. Якщо послідовність збігається до дійсного числа r, то r називають сумою ряду і записується. Тут розглядатимемо ряди тільки деякого спеціального виду [4].

Теорема1 . Якщо q 2 -- натуральне число, то.

Доведення випливає з того, що +…+ = і .

Теорема 2. Нехай q 2 -- натуральне число і () -- послідовність цілих невід`емних чисел, причому () (0). Тоді ряд

(1)

збігається. Його сума задовольняє умову

, (2)

причому рівність r = + 1 можлива лише у випадку, коли () (n =q -- 1).

Доведення. Запишемо ряд (1) у розгорнутому вигляді:

і візьмемо ==…==…= q-1. Тоді дістанемо:

=

Послідовність () для ряду (1) обмежена сумою ряду, бо в ньому значення коефіціентів максимально можливі. Оскільки послідовність () до того ж зростаюча, то вона фундаментальна і за аксіомою збіжна, тобто сума ряду (1) існує. Позначимо її через r: r= [4]

При мінімально можливих значеннях коефіцієнтів, i, а саме: при дістаємо r=, а при максимально можливих, як уже показано, маємо r =, тобто якщо r0, то його значення задовольняють співвідношення (2).

Теорема 3. Нехай q2 -- ціле число. Кожне дійсне число r можна подати і притому єдиним способом у вигляді

R = (3)

причому:

1) якщо r > 0, то перед правою частиною рівності (3) беремо знак +, якщо r < 0, то знак --;

2) якщо r = 0, то n=0 ==

3) якщо r = 0, то n і всі -- цілі, крім того,

(умова неіснуваяня періодичного дробу з періодом q-- 1).

Доведення. Припустимо, що дійсне число r > 0 вже подано у формі (3). Можливість такого подання підказує практика користування десятковою системою числення. Розглянемо, як знаходити компоненти такого зображення за заданим r > 0 і цілим q 2.

Оскільки, за припущенням, r > 0, то > 1 i за теоремою маємо:

1

Aбо

1

У співвідношенні (4) r <, бо r =+1 лише при умові, а це суперечить умові(3) теореми.

Помноживши почленно всі частини співвідношення (5) на, матимемо:

Із співвідношення (5) число n визначається однозначно. Таким чином, спосіб визначення одного з компонентів подання (3) знайдено.

Із співвідношення (4) дістаємо також

.

Звідси визначається однозначно, а саме: (ціла частина числа). Далі неважко переконатися, що правильною є така рівність:

(6) справді,

r=;

звідси й випливає рівність (6).

Таким чином, щоб дістати цифру, треба число — помножити на і взяти цілу частину цього добутку, тобто

)(7)

Отже, якщо числа n, ,…, — визначено, то цифра визначається однозначно. Помножимо почленно всі частини співвідношення (7) на:

.

Звідси при х > дістаємо r =.

Вираз де q-- 1 є нескінченний системний дріб при основі q (або q-й системний дріб), який на прикінці записують у вигляді що зручно як для запису дробів, так і для виконання операцій над ними. [3]

Окремими випадками нескінченного системного дробу є: а) ціле системне число, яке дістаємо при; б) скінченний системний дріб, який дістаємо при умові, що ;

в) нескінченний періодичний (чистий або мішаний) системний дріб, частина або всі дробові знаки якого періодично повторюються.

Дробами виду а), б) і в) зображують раціональні числа, а нескінченними неперіодичними дробами -- ірраціональні числа.

За теоремою основою системних дробів для зображення дійсних чисел може бути будь-яке натуральне число q.

Історично склалося так, що на практиці поширилася десяткова система числення, а в останні десятиріччя в обчислювальній техніці почали застосовувати двійкову систему.

РОЗДІЛ ІІ. МАТЕМИТИЧНІ ЗАДАЧІ НА ВИКОРИСТАННЯ ЗОБРАЖЕННЯ ДІЙСНИХ ЧИСЕЛ

2.1 Задачі, при розв’язанні яких використовуються ланцюгові дроби

Завдання № 1. Розкласти просту дріб у ланцюгову дріб і знайти її підходящі дробу.

a); b); c); d)

Розв’язання.

a) = (3, 2, 1, 24);

Знаходимо підходящі дроби:

3

2

1

24

1

3

7

10

247

0

1

2

3

74

=; =; =

b) =(3, 3, 33);

3

3

33

1

3

10

333

0

1

3

100

=; =

c) ==(3, 7, 15, 1, 292);

3

7

15

1

292

1

3

22

333

355

103 993

0

1

7

106

113

33 102

=; =; =;

=;

d) =(0, 2, 2, 3);

0

2

2

3

1

0

1

2

7

0

1

2

5

17

=; =; =.

Завдання № 2. Скоротити дріб.

a); b); c)

Розв’язок:

a);

Розкладемо її в кінцеву ланцюгову дріб і знайдемо останню підходящу дріб для неї.

=(4, 1, 1, 6)

=; =; =; =

Дріб нескоротня і =.

b)=(0, 3, 3, 1, 6, 1, 3, 2); =; =;

=; =

=; =;=;=

Дріб несократима =.

c) =(1, 1, 2, 2, 32)

; =; =; =;

= - нескоротима=.

Завдання № 3. Знайдіть перші чотири відповідні дроби розкладання в ланцюгову дріб числа р = 3,14 159 265 …

Розв’язок.

; =; =; =

Відповідь:; ;;.

Завдання № 4. Перетворіть в звичайну дріб в наступні ланцюгові дроби:

a) (2, 1, 1, 2, 1, 6, 2, 5);

b) (2, 3, 1, 6, 4);

c) (1, 3, 2, 4, 3, 1, 1, 1, 5);

d) (0, 3, 1, 2, 7).

Розв'язок:

а) (2, 1, 1, 2, 1, 6, 2, 5) =

Складемо таблицю відповідних дробів:

2

1

1

2

1

6

2

5

2

3

5

13

18

121

260

1421

1

1

2

5

7

47

101

552

Відповідь: =

b) (2, 3, 1, 6, 4) =

2

3

1

6

4

2

7

9

61

253

1

3

4

27

112

Відповідь: =

c) (1, 3, 2, 4, 3, 1, 1, 1, 5)

1

3

2

4

3

1

1

1

5

1

4

9

40

129

169

298

467

2633

1

3

7

31

100

131

231

362

2041

Відповідь: =

d) (0, 3, 1, 2, 7) =

0

3

1

2

7

0

1

1

3

22

1

3

4

11

81

Відповідь: =

Завдання № 4. Розкласти в ланцюгову дріб і замінити відповідним дробом з точністю до 0,001 наступні числа:

a); b); c); d).

Розв’язок: a) =. Виділимо з його цілу частину:, а дробову частину-2, яка < 1, представимо у вигляді, де. Повторюючи цю операцію виділення цілої частини і перевертання дробової, отримуємо:;

;

.

Мы отримали, що, отже, неповні приватні, починаючи з будуть повторюватися і =(2, (4)).

Складемо таблицю відповідних дробів:

2

4

4

4

2

9

38

1

4

17

72

Нам необхідно знайти таку підходящу дріб, щоб. Очевидно, що це, так як 17·72> 1000.

Відповідь:.

b) =; =5

;

;

;

;

;

.

Ми отримали неповні часні, починаючи з будуть повторюватися і =(5, (1, 1, 1, 10)).

5

1

1

1

10

1

5

6

11

17

181

198

1

1

2

3

32

35

, так как 32·35> 1000.

Відповідь:.

c) =(3, 2, 5, 2, 7, 2);

3

2

5

2

7

2

3

7

38

83

619

1321

1

2

11

24

179

382

, так як 24·179> 1000.

Відповідь:.

d) =; =1

;

;

;

=((1, 2))

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

3

4

11

15

41

56

153

1

2

3

8

11

30

41

102

, так як 30·41> 1000.

Відповідь:.

Завдання № 5. Знайти дійсні числа, які звертаються в дані ланцюгові дроби: a) (4, (3, 2, 1)); b) ((2, 1))

Розв’язок:

a) (4, (3, 2, 1)) — змішана періодична дріб.

, тобто, де

x = ((3, 2, 1)) — чисто періодична ланцюгова дріб. Так як вираз, що починається з четвертого неповного приватного 3, має той же вигляд:

то ми можемо записати

x= (3, 2, 1, x) =

=, після чого приходимо до квадратного рівняння щодо x:

D=64+12·7=148.

Додатній розв’язок і є. Знайдем. =4+

=

Відповідь:.

b) ((2, 1))=

=(2, 1,)

Зараз ми можемо знайти таким же шляхом, як і в задачі а), але можна вирішити завдання легше. Складемо таблицю відповідних дробів:

2

1

2

3

3+2

1

1

+1

=

D=4+4·2=12

Позитивне рішення і є шукане.

Відповідь.

Завдання № 6. Записати у вигляді кінченого ланцюгового дробу: a); b); c) 2,98 976; d)

Розв’язання.

=(0, 2, 15);

=(3, 7, 15, 1, 292);

2,98 976==(2, 1, 96, 1, 1, 1, 10);

= -(2, 1, 30, 2)=(- 2, 1, 30, 2)

Завдання № 7. Розв’язати рівняння Пелля:

a) b)

Розв'язок:

a) Представимо у вигляді ланцюгового дробу:

=(5, (10)).

Кількість чисел в періоді непарне (одна)=(5; 10)=.

— найменший додатній розв’язок.

Відповідь: x=51, y=10.

b)

=(4, (2, 1, 3, 1, 2, 8))

Кількість чисел в періоді парне (шість)

4

2

1

3

1

2

4

9

13

48

61

170

1

2

3

11

14

39

Відповідь: x =170, y =39.

2.2 Задачі, при розв’язанні яких використовуються системні дроби

Завдання № 1. Розв’язати у цілих числах рівняння:

a) 143x+169y=5; b) 2x+5y=7; c) 23x+49y=53.

Розв'язок:

a) 143 x+169 y = 5 — діофантове рівняння.

(143, 169)=13 (НОД знаходимо за допомогою алгоритма Евкліда) рівняння не має розв’язку

Відповідь:.

b) 2x+5y=7

(2, 5)=1 рівняння має розв’язок у цілих числах. Разкладемо у цілу дріб = (0, 2, 2). Складемо всі підходячі дроби

;;

На підставі властивості відповідних дробів отримаємо

2·2−1·5 =(-1)3 или 2·2+5(-1)=-1

2·(-14)+5·7=7, тобто — часний розв’язок. Всі рішення можуть бути знайдені за формулами

або

c) 23x + 49y = 53

(23, 49) =1 існують цілі розв’язки.

=(0, 2, 7, 1, 2)

,, ,

17·23−8·49=(-1)5

23·17+49·(-8) = -1

23·(-901)+49·424=53

або

Завдання № 2. Розкладіть число 150 на два додатніх доданків, одне з яких кратне 11, а друге — 17.

Розв'язок: Нехай 11x — перше число 11x>0 x> 0;17y — вдруге число 17y> 0, y>0.

Тоді 11x + 17y = 150

(11, 17) =1існує розв’язок.

(11, 17) = (0, 1, 1, 1, 5)

0

1

1

1

5

0

1

1

2

11

1

1

2

3

17

11·3- 2·17 = (-1)5 = -1

11·3+17·(-2)= -1

11·(- 450) + 17·300=150

x= - 450+27·17=999 — перше число

y=300 — 11·27=351 — друге число.

Відповідь: 99; 51.

Завдання № 3. Довести, що число -- ірраціональне.

Розв’язання. Нехай х =-- раціональне число.

; .

Число коренем рівняння за побудовою. Але воно не може мати цілих раціональних коренів, крім ± 1. Припущення неправильне.

Завдання № 4. Довести, що sin 10 -- ірраціональне число.

Розв' язання. sin Зб = 3 sin б -- 4 б sin 30° = 3 sin 10° -- 4 10° => 3 sin 10° -- 4 10° = =8 sin 10° -- 6 sin 10° + 1 = 0.

Отже, sin 10° -- корінь многочлена 8 -- 6x+ 1 = p (x). Треба показати, що цей многочлен не має раціональних коренів. Здійснимо підстановку 2х =t. Дістали многочлен Q (t)=, який не має цілих коренів, а отже, і раціональних.

Завдання № 5. За допомогою рівняння 3 = 0 довести, що числа 20°, 40° і 80° -- ірраціональні.

Розв' язання. Рівняння 3 = 0 не має раціональних коренів. Всі три числа є його коренями. Покажемо, що 20°,є коренем даного рівняння. Для цього досить показати, що

(t20°)2-- 33 (t 20°)^2 + 27 t 20° -- 3 = 0.

Маємо

Звідси =3, t20° - 33 t20° + 2720° -- 3 = 0.

Аналогічно роблять для40° і для t 80°.

ВИСНОВКИ

Теорія дійсних чисел була побудована в другій половині XIX століття, в першу чергу працями Вейерштрасса, Дедекинда і Кантора. Вони запропонували різні, але еквівалентні підходи до теорії цієї найважливішої математичної структури і остаточно відокремили це поняття від геометрії та механіки.

У курсовій роботі показується значення ланцюгових та системних дробів в математиці.

Їх можна успішно застосувати до вирішення невизначених рівнянь з двома невідомими. Основні труднощі при вирішенні таких рівнянь полягає в тому, щоб знайти якесь його приватне рішення. Так от, за допомогою ланцюгових та систематичних дробів можна вказати алгоритм для розвідки такого приватного рішення.

Ланцюгові дроби можна застосувати і до вирішення складніших невизначених рівнянь, наприклад, так званого рівняння Пелля.

Нескінченні ланцюгові дроби можуть бути використані для вирішення алгебраїчних і трансцендентних рівнянь, для швидкого обчислення значень окремих функцій.

В даний час ланцюгові та систематичні дроби знаходять все більше застосування в обчислювальній техніці, бо дозволяють будувати ефективні алгоритми для розв’язування ряду завдань на ЕОМ.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Арнольд И. В. Теоретическая арифметика / И. В. Арнольд. — М.: Учпедгиз, 1939. — № 2. — 400 с.

2. Бородін О.І. Теорія чисел / О.І. Бородін. — К.: Вища шк., 1970. -274 с.

3. Бухштаб А. А. Теория чисел/ А. А. Бухштаб. — М.: Учпедгиз, 1960. -- 376 с.

4. Вивальнюк Л. М. Числові системи / Л. М. Вивальнюк. — К.: Вища шк. Головне вид-во, 1977. -184 с.

5. Завало С. Т. Арифметика, алгебра і елементи аналізу / С. Т. Завало. -К.: Рад. шк., 1969. — 503 с.

6. Гонин Є.Г. Теоретическая арифметика / Є.Г. Гонин. — М.: Гос. учеб. -пед. изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1959. -- 232 с.

7. Клини С. Математическая логика / С. Клини. — М.: Мир, 1973. — 480 с.

8. Колмогоров А. Н. О системе основных понятий и обозначений для школьного курса математики / А. Н. Колмогоров // Математика в шк. — 1971. — № 2. — С. 17- 22.

9. Кужель О. В. Основи арифметики / О. В. Кужель. — К.: Рад. шк., 1965. — 131с.

10. Ландау Э. Основы анализа//Э. Ландау. — М.: Изд-во иностр. лит. 1947. -- 182 с

11. Молодший В. Н. Основы учения о числе в XVIII и начале XIX века / В. Н. Молодший. — М.: Учпедгиз, 1963. — 262 с.

12. Нагель Э. Теорема Геделя / Э. Нагель, Д. Ньюмен. — М.: Знание, 1970. — 63 с.

13. Нечаев В. Я. Числовые системы / В. Я. Нечаев. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с.

14. Нечаев В. И. Упорядоченные множества и упорядоченные алгебры с одной и двумя бинарными операциями / В. И. Нечаев // Математика в шк. — 1973. — № 5. — С. 4−13.

15. Новиков П. С. Элементы математической логики / П. С. Новиков. — M.: Наука, 1973. — 400 с.

16. Проскуряков И. В. Понятие множества, группы, кольца и поля. Теоретические основы арифметики / И. В. Проскуряков // Энциклопедия элементарной математики. -М., 1951. — С. 77- 255.

17. Проскуряков И. В. Числа и многочлены / И. В. Проскуряков. — М.: Просвещение, 1965. — 284 с.

18. Расева Е. Математика метаматематики / Е. Расева, Р. Сикорский. — М.: Наука, 1972. — 591 с.

19. Успенский В. Л. Теорема Геделя о неполноте: Популярные лекции по математике / В. Л. Успенский. — М.: Наука, 1982. — 111 с.

20. Феферман С. Числовые системы. Основания алгебры и анализа / С. Феферман. — М.: Наука, 1971. — 440 с.

21. Френкель А. Основания теории множества / А. Френкель. -М.: Изд-во иностр. лит., 1966. — 555 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой