Дифференциальные свойства гиперболических функций

Тип работы:
Дипломная
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Заочный факультет

Кафедра высшей математики

Дипломная работа

Дифференциальные свойства гиперболических функций

Исполнитель:

студент группы М-61

А.А. Седой

Научный руководитель:

д-р. ф-м. наук,

доцент А.П. Старовойтов

Гомель 2009

  • Содержание

Введение

1 Гиперболические функции

2 Вычисление пределов гиперболических функций

2.1 Раскрытие неопределенностей

2.2 Замена переменного при вычислении предела

2.3 Сравнение гиперболических и обратных к ним функций функций

2.3.1 Эквивалентные функции

2.3.2 Замена функций эквивалентными при вычислении пределов

2.3.3 Понятие бесконечно малой функции по сравнению с другой

2.3.4 Критерий эквивалентности функций

3 Дифференцирование обратных гиперболических функций

3.1 Дифференциал функции

3.2 Правила дифференцирования

3.3 Дифференцирование сложной функции

3.4 Дифференцирование гиперболических и обратных гиперболических функций

4 Формула Тейлора гиперболических функций

4. 1Формула Тейлора

4.2 Формула Маклорена

4.3 Разложение гиперболических функций по формуле Тейлора

4.4 Вычисление предела

5 Неопределенный интеграл гиперболических функций

5.1 Понятие неопределенного интеграла

5.2 Свойства неопределенного интеграла

5.3 Интегрирование гиперболических функций

6 Ряды гиперболических функций

6.1 Степенные ряды

6.2 Свойства степенных рядов

6.3 Ряд Тейлора

6.4 Разложение гиперболических функций в ряд Тейлора

6.5 Гиперболические функции комплексного переменного

Заключение

Список использованных источников

Приложение А

  • Введение

В математике и её приложениях к естествознанию и технике находят широкое применение показательные функции. Это, в частности, объясняется тем, что многие изучаемые в естествознании явления относятся к числу так называемых процессов органического роста, в которых скорости изменения участвующих в них функций пропорциональны величинам самих функций.

Если обозначить через функцию, а через аргумент, то дифференциальный закон процесса органического роста может быть записан в виде где некоторый постоянный коэффициент пропорциональности.

Интегрирование этого уравнения приводит к общему решению в виде показательной функции

Если задать начальное условие при, то можно определить произвольную постоянную и, таким образом, найти частное решение которое представляет собой интегральный закон рассматриваемого процесса.

К процессам органического роста относятся при некоторых упрощающих предположениях такие явления, как, например, изменение атмосферного давления в зависимости от высоты над поверхностью Земли, радиоактивный распад, охлаждение или нагревание тела в окружающей среде постоянной температуры, унимолекулярная химическая реакция (например, растворение вещества в воде), при которой имеет место закон действия масс (скорость реакции пропорциональна наличному количеству реагирующего вещества), размножение микроорганизмов и многие другие.

Возрастание денежной суммы вследствие начисления на неё сложных процентов (проценты на проценты) также представляет собой процесс органического роста.

Эти примеры можно было бы продолжать.

Наряду с отдельными показательными функциями в математике и её приложениях находят применение различные комбинации показательных функций, среди которых особое значение имеют некоторые линейные и дробно-линейные комбинации функций и так называемые гиперболические функции. Этих функций шесть, для них введены следующие специальные наименования и обозначения:

(гиперболический синус),

(гиперболический косинус),

(гиперболический тангенс),

(гиперболический котангенс),

(гиперболический секанс),

(гиперболический секанс).

Возникает вопрос, почему даны именно такие названия, причём здесь гипербола и известные из тригонометрии названия функций: синус, косинус, и т. д. Оказывается, что соотношения, связывающие тригонометрические функции с координатами точек окружности единичного радиуса, аналогичны соотношениям, связывающим гиперболические функции с координатами точек равносторонней гиперболы с единичной полуосью. Этим как раз и оправдывается наименование гиперболических функций.

1. Гиперболические функции

Функции, заданные формулами называют соответственно гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом.

Эти функции определены и непрерывны на, причем — четная функция, а — нечетная функция.

Рисунок 1.1 — Графики функций

Из определения гиперболических функций и следует, что:

По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические тангенс и котангенс определяются соответственно формулами

Функция определена и непрерывна на, а функция определена и непрерывна на множестве с выколотой точкой; обе функции — нечетные, их графики представлены на рисунках ниже.

Рисунок 1.2 — График функции

Рисунок 1.3 — График функции

Можно показать, что функции и — строго возрастающие, а функция — строго убывающая. Поэтому указанные функции обратимы. Обозначим обратные к ним функции соответственно через.

Рассмотрим функцию, обратную к функции, т. е. функцию. Выразим ее через элементарные. Решая уравнение относительно, получаем Так как, то, откуда

Заменяя на, а на, находим формулу для функции, обратной для гиперболического синуса:

Замечание. Название «гиперболические функции» объясняется тем, что уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения гиперболы. Параметр в уравнениях гиперболы равен удвоенной площади гиперболического сектора. Это отражено в обозначениях и названиях обратных гиперболических функций, где частица есть сокращение латинского (и английского) слова «» — площадь.

Упражнение. Доказать формулы:

Докажем формулу

Выразим ее через элементарные. Решая уравнение относительно, получаем так как, то, откуда Заменяя на, а на получим

2 Вычисление пределов гиперболических функций

2. 1 Раскрытие неопределенностей

При вычислении пределов часто встречается случай, когда требуется найти где и — бесконечно малые функции при, т. е. В этом случае вычисление предела называют «раскрытием неопределенности» вида.

Чтобы найти такой предел, обычно преобразуют дробь, выделяя в числителе и знаменателе множитель вида. Например, если в некоторой окрестности точки функции и представляются в виде где, а функции и непрерывны в точке, то при, откуда следует, что если.

Аналогично, если и — бесконечно большие функции при, т. е. то говорят, что их частное и разность представляют собой при неопределенность вида и соответственно. Для раскрытия неопределенностей таких типов обычно преобразуют частное или разность так, чтобы к полученной функции были применимы свойства пределов. Например, если и — многочлены степени, где, то, разделив числитель и знаменатель дроби на, найдем, что

Пример. Найти если:

а) Разложив числитель и знаменатель на множители, получим

откуда следует, что

б) Умножив числитель и знаменательна функцию и используя формулу, где получим

в) Так как где, то используя первый замечательный предел и непрерывность косинуса, получаем

2. 2 Замена переменного при вычислении предела

Теорема 1. Если существуют причем для всех из некоторой проколотой окрестности точки выполняется условие, то в точке существует предел сложной функции и справедливо

Согласно определению предела, функции и определены соответственно в и, где, причем для выполняется условие. Поэтому на множестве определена сложная функция. Пусть — произвольная последовательность такая, что

Обозначим, тогда по определению предела функции

Так как существует

Это означает, что т. е. справедливо равенство

Пример 1. Доказать, что:

Функция непрерывна и строго монотонна на (возрастает при и убывает при). На промежутке существует обратная к ней функция, непрерывная и строго монотонная. Учитывая, что при и используя формулу получаем

Отметим важный частный случай формулы (1):

Пример 2. Доказать, что

Так как-то, применяя формулу получаем

2. 3 Сравнение гиперболических и обратных к ним функций

2.3. 1 Эквивалентные функции

Если в некоторой проколотой окрестности точки определены функции такие, что-то функции и называют эквивалентными (асимптотически равными) при и пишут при или, короче, при

Например, при, так как, а

Отметим, что функции и, не имеющие нулей в проколотой окрестности точки тогда и только тогда, когда

Понятие эквивалентности используют в тех случаях, когда обе функции и являются либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при.

Составим таблицу функций, эквивалентных при:

Эти соотношения остаются в силе при, если заменить в них на функцию такую, что при.

Например,

при

при.

Пример. Доказать, что при.

а) Пользуясь тем, что и при, получаем при

б) Так как и при, то при

2.3. 2 Замена функций эквивалентными при вычислении пределов

Теорема 2. Если и при, то из существование предела функции при следует существование предела функции при и справедливость равенства

По условию и при. Это означает, что

и, где lim и lim.

то найдётся такая проколотая окрестность точки, в которой определены функции, ,, причём и, откуда следует, что в этой окрестности определена функция такая, что

Следовательно, в некоторой проколотой окрестности точки определена функция

и

Так как существует

то существует и справедливо равенство (2).

Пример 1. Найти

Так

как, то при.

Отсюда по теореме следует, что искомый предел равен.

Пример 2. Найти

Так как при. Отсюда, по теореме следует, что искомый предел равен.

2.3. 3 Понятие бесконечно малой функции по сравнению с другой

Если в некоторой проколотой окрестности точки определены функции

то функцию называют бесконечно малой по сравнению с функцией при и пишут

Эта запись читается так:, есть бесконечно малое от при, стремящимся к «. В частности, запись означает, что является бесконечно малой функцией при.

Если в некоторой проколотой окрестности точки, то соотношение (3) можно записать в виде

или в виде

Следует иметь в виду, что функции, о которых идёт речь в записи (3), не обязательно являются бесконечно малыми при.

Например, если, то, а функции и являются бесконечно большими при.

В случае, когда функция бесконечно малая более высокого порядка, чем. Например, при функции, ,

бесконечно малые более высокого порядка, чем. Поэтому справедливы равенства, ,, .

Символ в этих равенствах служит для обозначения множества или, как принято говорить, класса функций, бесконечно малых более высокого порядка, чем, писать ,. Однако вторая запись неудобна для применения при выполнении операций над функциями.

Из сказанного следует, что равенство вида (3) не является равенством в обычном смысле. Такое равенство в соответствии с определением записи (3) следует читать только слева направо, поскольку правая часть обозначает класс функций, бесконечно малых по сравнению с при, а — какая-либо функция из этого класса.

Отметим некоторые важные свойства символа, считая, что

, а равенства, содержащие этот символ, читаются слева направо (здесь С — постоянная):

Докажем первое из этих свойств.

Надо показать, что любая функция, принадлежащей классу функций, принадлежит и классу функций, т. е. если

По определению запись означает, что, где при. Но тогда, где при, т. е.

Наряду с символом в математике употребляют символ. Запись означает, что в некоторой проколотой окрестности точки определены функции такие, что где — функция, ограниченная на, т. е.

.

Соотношение (4) читается так: «есть O большое от при, стремящемся к «.

2.3. 4 Критерий эквивалентности функций

Теорема 3. Для того чтобы функции были эквивалентными при, необходимо и достаточно, чтобы

. (5)

Пусть при, тогда выполняют условия

,

и поэтому, где

при. Отсюда по определению символа следует, что, т. е. справедливо равенство

.

Обратно, из равенства (5) следует, что при. Действительно, если выполняется равенство (5), то, где при, откуда, где при, т. е. при.

Теорема 3 позволяет приведенную в пункте 2.3.1 таблицу эквивалентных функций записать в виде

С помощью этой таблицы можно вычислять пределы функций.

Пример. Найти

3 Дифференцирование обратных гиперболических функций

3. 1 Дифференциал функции

Определение 2. Если функция определена в — окрестности точки, а приращение функции в точке представимо в виде

где не зависит от, а при, то функция называется дифференцируемой в точке, а произведение называется ее дифференциалом в точке и обозначается или.

Таким образом при, где.

Отметим, что приращение можно рассматривать только для таких, при которых точка принадлежит области определения функции, в то время как дифференциал определен при любых.

Теорема 4. Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке, необходимо и достаточно, чтобы эта функция имела производную в точке. При этом дифференциал и производные связаны равенством

Если функция дифференцируема в точке, то выполняется условие и поэтому, где при, откуда следует, что существует т. е. существует.

Обратно, если существует то справедливо равенство

и поэтому выполняется условие (6). Это означает, что функция дифференцируема в точке, причем коэффициент в формулах

равен, и поэтому дифференциал записывается в виде:

Таким образом, существование производной функции в данной точке равносильно дифференцируемости функций в этой точке интервала (a, b), называют дифференцируема на интервале (a, b).

Если функция дифференцируема на интервале (a, b) и, кроме того, существуют и, то функцию называют дифференцируемой на отрезке [a, b].

Замечание. Если, то из равенств при и следует, что при и при.

В этом случае говорят, что дифференциал есть главная линейная часть приращение функции, так как дифференциал есть линейная функция от и отличается от на бесконечно малую более высокого порядка, чем.

3. 2 Правила дифференцирования

Теорема 5. Если функции и дифференцируемы в точке x, то в этой точке дифференцируемы функции, (при условии, что

) и при этом

Обозначим и. Тогда при, так как существуют и. Кроме того, так как функции и непрерывны в точке.

а) Если

откуда

Правая часть этой формулы имеет при предел равный

. Поэтому существует предел левой части, который по определению равен. Формула (7) доказана.

б) Если

Отсюда следует формула (8), так как при

в) Если или

откуда Переходя к пределу в этом равенстве и учитывая, что при, где, получаем формулу (9).

Следствие. Если функция дифференцируема в точке и — постоянная, то т. е. постоянный множитель можно выносить из-под знака дифференцирования.

3. 3 Дифференцирование сложной функции

Теорема 6. Если функции дифференцируемы соответственно в точках и, где, то сложная функция дифференцируема в точке, причем

(10)

Сложная функция непрерывна в точке, так как из дифференцируемости функций и следует непрерывность этих функций соответственно в точках и. Поэтому функция определена в при некотором.

Пусть — произвольное приращение независимого переменного такое, что и. Обозначим

. Приращение, зависящее от, определяет приращение функции в точке, т. е.

Так как функция дифференцируема в точке, то согласно формуле (6)

где при.

Заметим, что функция не определена при. Однако приращение может обратиться в нуль и при. Поэтому доопределим при, полагая. Тогда равенство (11) будет выполняться и при.

Разделив обе части равенства (14) на, получим

Приращение в левой части равенства (12) можно рассматривать как приращение сложной функции, соответствующее приращению аргумента.

Если, то в силу непрерывности функции в точке, и поэтому. Кроме того,, так как функция дифференцируема в точке.

Следовательно, правая часть равенства (12) имеет при предел, равный. Поэтому существует предел в левой части (12), т. е. сложная функция дифференцируема в точке и справедлива формула (10).

Следствие. Дифференциал функции имеет один и тот же вид как в случае, когда — независимая переменная, так и в случае, когда — дифференцируемая функция какого-либо другого переменного.

Пример 1. Доказать формулы

Гиперболические функции задаются следующими формулами

а) Применяя теоремы 4 и 6, получаем

Аналогично доказывается формула (14)

б) Используя правило дифференцирования частного и формулы (13) — (14), получаем

откуда следует равенство (15), так как.

Аналогично докажем формулу (16), получаем

откуда следует равенство (16), так как.

Пример 2. Доказать формулы

,

Обратные гиперболические функции задаются следующими формулами:

Следовательно,

формула (17) доказана.

Аналогично докажем формулу (18).

Далее,

где откуда

3. 4 Дифференцирование гиперболических и обратных гиперболических функций.

Формулы дифференцирования гиперболических и обратных гиперболических функций можно свести в следующую таблицу:

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

, (5)

, (6)

, (7)

, (8)

, (9)

. (10)

Первые четыре формулы выводятся следующим образом.

По определению ,. Поэтому. Аналогично

.

Так как, то. Аналогично

.

Следующие четыре формулы можно вывести с помощью правила дифференцирования обратной функции:. Если, то.

Дифференцируя по, получим. Поэтому

так как

Если, то и, откуда

Если, и, откуда

Если, то и, откуда

Формулы (9) и (10) получают следующим образом. Как известно ,

Поэтому

Из определения функции, обратной гудерманиану, и из формулы следует, что. Поэтому

4 Формула Тейлора гиперболических функций

4. 1 Формула Тейлора

Лемма 1. Если функция имеет в точке производную n-го порядка, то существует многочлен степени не выше n такой, что

Этот многочлен представляется в виде

4. 2 Формула Маклорена

Если существует, то

Если и существует, то равенство (20) принимает вид

Формулу (21) называют формулой Маклорена.

4. 3 Разложение гиперболических функций по формуле Тейлора

Так как — нечетная функция,

при, то по формуле

получаем

или

Аналогично по формуле находим

или

Пример. Разложить по формуле Маклорена до функцию.

Так как — нечетная функция, то

откуда, приравнивая коэффициенты при и, находим

. Следовательно,

4. 4 Вычисление придела с помощью формулы Тейлора

Расмотрим предел при отношения, где, т. е. предел типа.

Будем предполагать, что

. Тогда разложение функции по формуле Маклорена имеет вид

Аналогично, предполагая, что

по формуле (21) находим

Из равенств (22) и (23) следует, что

Если, то

Если, то если же, то

Пример. Найти

Используя формулы (21) и

получаем

Следовательно, искомый предел равен -4.

5 Неопределенный интеграл гиперболических функций

5. 1 Понятие неопределенного интеграла

Совокупность всех первообразных для функций на некотором промежутке называют неопределенным интегралом от функции на этом промежутке, обозначают символом и пишут

Здесь — какая-нибудь первообразная функции на промежутке ,

C — произвольная постоянная. Знак называют знаком интеграла, — подынтегральной функцией, — подынтегральным выражением.

Подынтегральное выражение можно записать в виде или, т. е.

Операцию нахождения неопределенного интеграла от данной функции, которая является обратной операции дифференцирования, называют интегрированием. Поэтому любую формулу для производной, т. е. формулу вида, можно записать виде (24). Используя таблицу производных, можно найти интегралы от некоторых элементарных функций. Например, из равенства следует, что

5. 2 Свойства неопределенного интеграла

Свойство 1.

Из равенства (3) следует, что, так как.

Свойство 2.

Равенство (27) следует из равенств (24) и (25).

Свойство 3. Если функции и имеют на некотором промежутке первообразные, то для любых таких, что, функция также имеет первообразную на этом промежутке, причем

Примеры. Найти, если:

Решение.

а) Используя таблицу произвольных и свойство 3 интеграла, получаем

б) Так как, то

Таблица интегралов гиперболических функций.

5. 3 Интегрирование гиперболических и обратных гиперболических функций

Интеграл вида где — рациональная функция от и, сводится к интегралу от рациональной дроби с помощью подстановки так как

Иногда более эффективными при вычислении интеграла (28) могут оказаться подстановки

Пример. Найти

Решение. Так как, то, полагая, получаем

Произведя обращение таблицы производных из пункта 3. 4, получим таблицу интегралов:

,

,

,

,

Приведённую таблицу интегралов можно продолжить. Применяя обычные методы интегрирования функций с учётом соотношений между гиперболическими функциями, можно получить ещё ряд формул которые даются ниже (в приложении).

Рассмотрим вопрос о вычислении интеграла от рациональной функции гиперболического синуса и гиперболического косинуса. В курсе интегрального исчисления доказывается, что интеграл, где символ рациональной функции, всегда берётся в конечном виде при помощи универсальной подстановки. Совершенно аналогично можно вычислить интеграл с помощью подстановки.

Положив, мы получили, откуда

В свою очередь

Подставляя полученные выражения, и через в подынтегральное выражение, будем иметь:

где символ рациональной функции от. Так как интеграл от рацио-нальной функции всегда может быть выражен с помощью конечного числа элементарных функций, то и наш интеграл может быть выражен через элементарные функции от, после чего остаётся произвести обратную замену через. Пример.

6 Ряды гиперболических функций

6. 1 Степенные ряды

Функциональные ряды вида

(29)

где — заданные комплексные числа и — комплексное переменное, называют степенными рядами, а числа — коэффициентами степенного ряда (29).

Полагая в (29), получим ряд

(30)

исследование сходимости которого эквивалентно исследованию сходимости ряда (29).

Рисунок 6. 1

Теорема 7 (Абеля). Если степенной ряд (30) сходится при, то он сходится и притом абсолютно при любом таком, что, а если этот ряд расходится при, то он расходится при всяком, для которого.

Следствие 1. Если ряд (30) сходится в точке, то в круге

, где этот ряд сходится абсолютно и равномерно.

Следствие 2. Если ряд (30) сходится в точке, то ряды

сходятся абсолютно в круге, а в круге — абсолютно и равномерно.

Теорема 8. Для всякого степенного ряда (30) существует (- число или) такое, что:

а) если и ряд (30) абсолютно сходится в круге

и расходится вне круга; этот круг называют кругом сходимости ряда (30), а — радиусом сходимости ряда;

б) если, то ряд (30) сходится в одной точке;

в) если, то этот ряд сходится во всей комплексной плоскости.

Теорема 9 (Абеля). Если — радиус сходимости степенного ряда (30), причем, и если этот ряд сходится при, то он сходится равномерно на отрезке, а его сумма непрерывна на этом отрезке.

Теорема 10. Если существует конечный или бесконечный то ряд радиуса сходимости ряда (2) справедлива формула, а если существует конечный или бесконечный то

6. 2 Свойства степенных равенств

Теорема 11. Степенные ряды

имеют один и тот же радиус сходимости.

6. 3 Ряд Тейлора

Если функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в точке производные всех порядков, то степенной ряд

называется рядом Тейлора функции в точке.

Теорема 12. Если функция все ее производные ограничены в совокупности на интервале, т. е.

,

то функция представляется сходящимся к ней в каждой точке интервала рядом Тейлора

6. 4 Разложение гиперболических функций в ряд Тейлора

Найдем разложение основных гиперболических функций в ряд Тейлора в окрестности точки, т. е. в ряд вида

который называют рядом Маклорена.

Показательная и гиперболические функции

Пусть, тогда для любого, где выполняются неравенства

По теореме 12 ряд (34) для функции сходится к этой функции на интервале при любом, т. е. радиус сходимости этого ряда. Так как для функции выполняются равенства для любого, то по формуле (34) получаем разложение в ряд Маклорена показательной функции

Используя разложение (14) и формулы

находим разложения в ряд Маклорена гиперболического косинуса и гиперболического синуса:

Радиус сходимости каждого из рядов (36), (37).

6. 5 Гиперболические функции комплексного переменного

Показательная, гиперболические функции комплексного переменного определяется соответственно формулами

Радиус сходимости каждого из рядов (38) — (39) равен.

Заключение

Гиперболические функции часто встречаются в разнообразных физических и технических исследованиях; весьма важную роль играют они также в неевклидовой геометрии Лобачевского, участвуя во всех тригонометрических зависимостях этой геометрии. Теория гиперболических функций может представлять значительный интерес школьника и учителя средней школы, так как аналогия между гиперболическими и тригонометрическими функциями по-новому освещает многие вопросы тригонометрии.

Список использованных источников

1. Янпольский, А. Р. Гиперболические функции [Текст] / А. Р. Янпольский. — М. 1960. — 68 с.

2. Шерватов В. Г. Гиперболические функции [Текст] / В. Г. Шерватов — М. 1954. — 55 с.

3. Гребенча М. К. Курс математического анализа [Текст] / М. К. Гребенча, С. И. Новоселов — М.: Высш. шк., 1961. — 560 с., часть 2.

4. Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ [Текст] / Э. И. Зверович — 2008. Часть 6

5. Волковыский Л. И. Сборник задач по ТФКП [Текст] / Л. И. Волковыский, С. А. Лунц, И. Г. Ароманович — М.: Наука, 1975. — 319 с.

6. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления [Текст] / Р. Курант — Н. 1967., т. 1

7. Никольский С. М. Курс математического анализа [Текст] / С. М. Никольский — Н. 1983.

8. Сборник задач по математическому анализу (интегралы, ряды) [Текст] / Л. Д. Кудрявцев [и др.] - М. 1986.

9. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления [Текст] / Г. М. Фихтенгольц — М., 1969.

10. Сидоров Ю. В. Лекции по теории функций комплексного переменного [Текст] / Ю. В. Сидоров, М. В. Федорюк, М. И. Шабунин — М., 1982.

11. Зорич В. А. Математический анализ [Текст] / В. А. Зорич — М., 1981, 1984.

12. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы [Текст] / Г. Б. Двайт. — М.: Наука, 1977. — 224 с.

Приложение А

Таблица интегралов от гиперболических и обратных гиперболических функций:

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой