Зонна теорія твердих тіл

Тип работы:
Курсовая
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Вступ

У даній курсовій роботі я розглядаю зонну теорію твердих тіл. У зонній теорії розглядаються ідеальні кристали із трансляційною симетрією. Вона спирається на теорему Блоха, яка визначає загальний вид одно електронних хвильових функцій, визначаючи для них квантове число, яке називається квазі-імпульсом. Квазі-імпульси призводяться до так званої першої зони Брілюена. Рівні одноелектронних станів розбиваються на неперервні смуги, які називаються дозволеними зонами.

Між дозволеними зонами існують заборонені зони. Усі одноелектронні стани характеризуються трьома квантовими числами: квазі-імпульсом, номером зони й спіном.

Найважливішими для визначення фізичних властивостей кристалу зонами є валентна зона і зона провідності.

Основний стан усього тіла будується, послідовно заповнюючи електронами всі одноелектронні стани, починаючи з найнижчого. Найвищий заповнений стан визначає положення рівня Фермі. Усі одноелектронні рівні з енергією нижчою за рівень Фермі в основному стані заповнені, а всі одноелектронні рівні з енергією вищою за рівень Фермі незаповнені.

У випадку напівпровідників і діелектриків рівень Фермі співпадає з верхом валентної зони, тобто валентна зона повністю заповнена. Наступна за нею зона називається зоною провідності, оскільки провідності кристалів визначається електронами, які потрапляють у зону провідності при збудженні кристалу. 5]

У випадку металів, валентна зона заповнена наполовину, а тому є водночас і зоною провідності.

Сучасна квантова теорія твердого тіла ґрунтується на ряді спрощень. Такою теорією є теорія твердого тіла. Назва пов’язана з характерним угрупованням енергетичних рівнів електронів в кристалах у зони рівнів.

§ 1. Найпростіша модель кристалічного тіла

Це модель одновимірна Кроніга — Пенні, періодичне електричне поле позитивних іонів кристала апроксимируется потенціалом типу «зубчастої стінки».

/

Рис. 2. Чергування потенційних ям і бар'єрів.

Розв’язок рівняння Шредінгера для потенційної ями

(1). Розв’язок для потенційного бар'єра:

(2), де; ;,.

Xn — координата відлічується від початку n ділянки. Записують для кожної ями й бар'єра, потім «зшивають» розв’язку й одержують основне рівняння для визначення енергетичних рівнів у періодичнім полі кристала.

(3), де -площа зубця.

/

Рис. 3. Графічне зображення розв’язку рівняння Шредінгера по Кронігу-Пенні. Cos (kа) може змінюватися в межах від -1 до +1.

Провели паралельні прямі осі абсцис і знаходимо точки перетину цих прямих із графіком, опускаємо перпендикуляри й знаходимо корні рівняння (3). Ці ділянки позначені жирними лініями. У такий спосіб припустимі значення Е (k) мають дискретний характер (зонний). Якщо вісь (kа) перевернути у вертикальне положення, то одержимо картину розташування енергетичних зон, дозволених і заборонених.

/

Рис. 4

На мал.4 енергетичний спектр електронів у кристалі має зонну структуру. L — довжина кільця ланцюжка.

Значення хвильових векторів

. а — постійна решітки.

Зону, що утворилась від валентних рівнів атомів, що утворюють кристал, називають валентною зоною.

Зони, що утворились від внутрішніх рівнів, завжди повністю заповнені електронами.

Частково заповненим або незаповненим може бути зовнішній валентний рівень (зона провідності).

/

Рис. 5 Рис. 6

Найбільш слабко зв’язано 3S-Електрони. При утворенні твердого тіла з окремих атомів відбувається перекриття хвильових функцій цих електронів.

/

Просторова довжина електронних хвильових функцій залежить від квантових чисел. Для більших квантових чисел електронні хвильові функції простираються на більші відстані від ядра, для цих рівнів взаємний вплив атомів буде проявлятися при більших відстанях між атомами. Що добре видно на мал. 7, на прикладі рівнів атомів натрію. На рівнях 1S, 2S, 2P практично не позначається вплив сусідніх атомів, тоді як для рівнів 3S, 3P і більш високих рівнів цей вплив істотний і ці рівні перетворюються в енергетичні зони. Для 3S — електронів є енергетичний мінімум, що забезпечує стійку твердотільну конфігурацію атомів натрію при середній міжатомної відстані R~ 3Е. В атомі натрію на енергії 3S — електрона позначається вплив сусідніх атомів, означає також помітне перекриття хвильових функцій цих електронів. Тому вже не можна говорити про те, що конкретний 3S — електрон пов’язаний з якимось конкретним атомом. Коли присутність інших атомів змінює потенціальну яму окремого атома (мал. 5, мал. 6), що результуючий кулонівський потенціал уже не буде втримувати 3S — електрони близько конкретних атомів, так що вони можуть перебувати у твердому тілі де завгодно в результаті перекриття хвильових функцій 3S — електронів. Але 3S — електрони не можуть вільно залишати тверде тіло, тому що їхні хвильові функції не «виходять» за межі речовини. Енергія зв’язку електронів у твердому тілі дорівнює роботі виходу ц.

/

Рис. 8

Тверде тіло із чотирьох атомів буде мати всього чотири рівні, розподілені по деякому енергетичному інтервалу.

Наприклад: в основному стані атома водню електрон може перебувати в одному із двох станів — зі спином нагору або вниз. У системі чотирьох протонів є вісім можливих станів. Але якщо додати ще три електрони, щоб одержати чотири атоми водню, то зайнятими виявляться чотири стани й на кожний електрон буде відкладено по два стани. Ефект зближення атомів проявляється в зміні енергій окремих станів

де — енергія ізольованого атома, — зміни енергії, пов’язані із впливом відповідних протонів 2, 3, 4. R — відстань між атомами.

Рис. 9. Дозволені значення енергії.

Ефект зближення атомів проявляється в збільшенні загального числа рівнів. У реальному тілі втримується порядку 1023 окремих рівнів, які безупинно розподіляються усередині деякого інтервалу, утворюючи зону дозволених значень енергії (мал. 9). Така ж ситуація в основному має місце для валентних електронів будь-якого атома.

/

У твердому натрії зона 3S — електронів є зовнішньою, наполовину заповненою. Верхня границя заповнених рівнів припадає на середину зони. Електрон може перейти на більш високий вільний рівень у цій зоні за рахунок теплового або електричного порушення. Отже, твердий натрій має гарну електропровідність і теплопровідність. На мал. 10 зонна структура провідників (натрію). Верхня зона — частково заповнена зона. Нижні зони — заповнені електронами.

/

Якщо число енергетичних рівнів у зоні більше числа електронів у ній, то електрони легко збуджуються, забезпечуючи тим самим провідність, якщо ж усі рівні в зоні заповнені, то провідність неможлива або ускладнена.

Наприклад: у кремнію, германію, вуглецю (алмаз) на P — оболонці є два електрони й виникає змішана конфігурація S і P — орбіталей, яка робить особливо сприятливої конфігурацію із чотирьох атомів, зображену на мал. 11 (енергія кулонівського відштовхування електронів мінімальна).

/

Хвильові функції S і P — електронів утворюють одну зовсім порожню гібридну SP — зону й одну заповнену гібридну SP — зону. Заповнена й порожня зони розділені досить значним енергетичним інтервалом або зоною заборонених значень енергії. Для ізоляторів типове значення ширини забороненої зони ~ 5 эВ і більше.

Ширина забороненої зони для напівпровідників (германія 0,67 эВ, кремнію 1,12 эВ) перебуває в межах 0,1−3эВ.

Напівпровідники й ізолятори відрізняються один від одного тільки шириною забороненої зони.

електрон тверде тіло

/

§ 2. Теорема Блоха

Теорема Блоха стверджує, що власні функції хвильового рівняння з періодичним потенціалом, мають вигляд добутку функції плоскої хвилі

На функцію, яка є періодичною функцією в кристалічній решітці:

Індекс у вказує, що ця функція залежить від хвильового вектора.

/

Хвильову функцію називають функцією Блоха. Розв’язок рівняння Шредінгера такого виду складається із хвиль, що біжать, з таких розв’язків можна скласти хвильовий пакет, який буде представляти електрон, що вільно поширюється в періодичному потенціальному полі, створеному іонними кістяками. Форма хвильового пакета при t=0 для дебройлевских хвиль

Амплітуда зазначена штриховою лінією, хвиля — суцільною. Рух монохроматичної плоскої хвилі уздовж осі Х можна описати функцією

Швидкість поширення хвилі може бути знайдена як швидкість переміщення постійної фази.

Якщо час зміниться на величину? t, то для того, щоб дотримувалася умова (2), координата повинна змінитися на величину? х, яка може бути знайдена з рівності

, тобто

Звідси швидкість поширення постійної фази, що одержала назва фазової швидкості:

Фазова швидкість фотонів (m0 = 0) дорівнює швидкості світла

,

Фазова швидкість електрона, що рухається зі швидкістю V, можна записати:

, (7)

тобто вона стає більше швидкості світла, оскільки V< с. Це говорить про те, що фазова швидкість не може відповідати руху частки або ж переносу якої-небудь енергії.

Реальний процес не може бути чисто монохроматичним (k = const). Він завжди має певну ширину, тобто складається з набору хвиль, що володіють близькими хвильовими числами, а разом з тим і частотами.

За допомогою набору хвиль можна побудувати хвильовий пакет, амплітуда якого відмінна від нуля лише в невеликій області простору, яку зв’язують із місцем розташування частки. Максимум амплітуди хвильового пакета поширюється зі швидкістю, яка одержала назву групової швидкості.

Амплітуда У хвильового пакета

де A — амплітуда постійна кожної із цих хвиль.

У поширюється зі швидкістю

.

Для фотонів (m0 = 0)

Для дебройлевских хвиль

тобто групова швидкість збігається зі швидкістю руху частки.

У точках і т.д. Квадрат амплітуди перейде в нуль.

Область локалізації хвильового пакета де — ширина хвильового пакета.

де — час розпливання хвильового пакета.

Співвідношення невизначеностей Гейзенберга. Чим менше, тим ширше. Для монохроматичної хвилі, де амплітуда у всьому просторі має те саме значення, тобто накладення частки (одновимірний випадок) у всьому просторі рівноймовірно. Це узагальнюється й на тривимірний випадок. 8]

Для нерелятивістського випадку (m = m0) час розпливання хвильового пакета

якщо m = 1 г, то час розпливання надзвичайно великий. У випадку електрона m0 ~ 10−27г (розміри атома), тобто для опису електрона в атомі ми повинні використовувати хвильове рівняння, тому що хвильовий пакет розпливається практично миттєво.

Хвильове рівняння фотона містить другу похідну за часом, тому що фотон завжди релятивістська частка.

§ 3. Рух електрона в кристалі

Закон руху, порівнюючи з

де

де m* - ефективна маса, вона враховує спільну дію потенційного поля й зовнішньої сили на електрон у кристалі.

— у зоні провідності,

у валентній зоні

— у валентній зоні, але в зоні германія й кремнію є важкі й легкі дірки. Ефективні маси завжди виражаються в частках дійсної маси

m0 = 9·10-28г

і

Ефективна маса — тензорна величина, у різних напрямках вона різна, що є наслідком анізотропних властивостей кристалів.

Е (k) — рівняння еліпсоїда обертання й описується двома значеннями мас та

§4. Енергетичний спектр енергії для вільних електронів у періодичному полі

/

На малюнку заштриховані області заборонених значень енергії (енергетичні щілини).

Хвильова функція має вигляд:

;

Енергія не є тепер безперервною функцією квазіімпульсу, вона безперервна тільки в зонах дозволених енергій і перетерплює розриви на границях зон Брілюена. Енергетичні зони є наслідком періодичної структури кристала й представляють собою фундаментальні характеристики електронної структури твердого тіла.

Області значень, при яких енергія електронів змінюється безупинно, а на границях перетерплює розрив, називаються зонами Брілюена.

/

У германія й кремнія зона провідності описується двома значеннями мас.

§ 5. Механізм електропровідності власного напівпровідника

/

Утримуючу електрони зону з найбільшою енергією, називають валентною зоною. Першу зону з незайнятими енергетичними рівнями називають зоною провідності, тому що електрони в цій зоні беруть участь у переносі заряду. У провідниках валентна зона й зона провідності або збігаються, або перекриваються. В ізоляторах і напівпровідниках ці зони відділені одна від одної.

Якщо матеріал перебуває не в основному стані, а має додаткову енергію — тепловим порушенням. Ця енергія відіграє важливу роль у властивостях електропровідності.

/

Провідник в основному стані, якщо відсутня теплова енергія тобто Т = 0. Залежність імовірності заповнення електронами енергетичних рівнів при КТ = 0 від енергії відлічується від дна зони. для всіх значень енергії, відповідних до заповнених рівнів.

Енергія, відлічувана від дна зони, при якій величина f (E) стрибком змінюється від 1 до 0, називається енергією Фермі F. У цьому випадку тобто роботі виходу.

При наявності теплової енергії деякі електрони збудяться й перейдуть із первісних станів на вільні енергетичні рівні. Для електронів з енергією поблизу F такі переходи більш ймовірні, тому що потрібна менша енергія порушення. Відповідно, і ймовірність заповнення станів зменшується з ростом їх енергії. Якщо електрони не підкоряються принципу Паулі, то їх розподіл по енергії описується класичним розподілом Максвелла — Больцмана

Розподіл, що враховує принцип Паулі, називається розподілом Фермі - Дірака

/

Розподіл Фермі - Дірака при різних значеннях КТ показано на малюнку. Тут енергія Фермі має сенс енергії рівня, якому відповідає 50%-а ймовірність заповнення.

Число вільних рівнів (вакансій) нижче рівня Фермі, і їхній розподіл відносно F збігається із числом і розподілом заповнених станів вище рівня Фермі. Ці стани відповідають тепловому порушенню електронної системи й забезпечують появу кінетичної енергії спрямованого руху. З ростом температури (збільшення КТ) зменшується нахил кривої f () поблизу F і збільшується ймовірність заповнення станів з більшими енергіями.

З виразів для f (E, K, T) видно, що провідність матеріалів сильно залежить від температури.

У напівпровідниках положення рівня Ферми відповідає формально горі валентної зони, але це невірно. Нехай з гори валентної зони (з енергією V) окремий електрон від порушення перейшов на дно (з енергією C) порожньої зони провідності.

/

На малюнку рівень Фермі перебуває в середині забороненої зони, враховуючи симетрію розподілу Фермі - Дірака щодо енергії Фермі F і очевидну симетрію функції f (E) у проміжку між горою валентної зони й дном зони провідності.

Із переходом у зону провідності, електрони залишають після себе у валентній зоні незайняті стани або «дірки». Заповнена спочатку валентна зона стає частково заповненої й, отже, у ній можливі енергетичні порушення, хоча дуже невеликого числа порушень. Дірка поводиться подібно позитивно зарядженій частці, яка може брати участь в електричній провідності. Реальному руху електронів відповідає більш-менш вільної фіктивний рух дірок у напрямку зовнішнього електричного поля.

Дірки реагують на зовнішню силу (наприклад, на зовнішнє електричне поле) не так, як вільні електрони, тому, щоб урахувати вплив інших атомів на рухливість дірок, їм приписують ефективну масу m*, яка трохи більше ефективної маси електрона.

Щільність струму електронів і дірок

де n — концентрація електроновий, р — концентрація дірок, n — рухливість електронів, p — рухливість дірок.

Для власних напівпровідників n=p

де, — коефіцієнт n — сильно залежить від температури в зоні провідності, у той час як рухливості слабко залежать від температури

Якщо прологарифмувати

і побудувати графік залежності ln від, то одержимо пряму лінію, кутовий коефіцієнт якого рівний

Це дає можливість, вимірюючи електропровідність напівпровідника при різних температурах, визначити досвідченим шляхом ширину забороненої зони для даного напівпровідника

Напівпровідники — це речовини, що мають при кімнатній температурі питому електричну провідність, яка залежить сильно від виду й кількості домішок, і структури речовини, і від зовнішніх умов.

У напівпровіднику із власною провідністю число електронів дорівнює числу дірок, кожний електрон створює єдину дірку.

Число збуджених власних носіїв експоненціально залежить від

де Еg — ширина енергетичної забороненої зони.

Якщо mc=mh, то

тобто рівень Фермі лежить у середині забороненої зони.

Висновки

Зонна теорія успішно пояснює більшість електронних властивостей твердих тіл. В залежності від заповненості валентної зони в основному стані кристали діляться на метали і діелектрики, підкласом яких є напівпровідники.

Провідність, теплопровідність та термоелектричні властивості матеріалів пояснюються за допомогою розсіяння електронів на дефектах і коливаннях кристалічної ґратки.

Оптичні властивості матеріалів пояснюються за допомогою переходів між одноелектронними станами різних зон.

Значення зонної теорії твердих тіл є дуже суттєвим у сучасному розвитку науки.

Зонна теорія важлива для розуміння принципу дії різноманітних електронних пристроїв.

Література

1. Анімалу А. Квантова теорія кристалічних твердих тіл. -М. :Мир. 1981. -574 с.

2. Ансельм А.І. Теорія напівпровідників. -М. :Мир, 1965.- 588 с.

3. Борн M. Атомна фізика. М.: Мир, 1965

4. Детлаф А. А., Яворський Б. М. Курс фізики. Том 3. Хвильові процеси. Оптика. Атомна та ядерна фізика (3-є видання). М.: Высшая школа, 1979

5. Каллуей Дж. Теорія енергетичної зонної структури. -М. :Мир, 1969. -354 с.

6. Киттель И. Квантова теорія твердого тіла. -М. :Мир, 1967. -491 с.

7. Савельєв И. В. Курс загальної фізики. Том З. Оптика. Атомна фізика. М.: Наука, 1971

8. Харрісон У. Електрона структура й властивості твердих тіл. -В 2-х т. — М. :Мир, 1983. (т. 1−384 с., т. 2- 336 с.).

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой