Длина дуги кривой в прямоугольных координатах

Тип работы:
Контрольная
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Контрольная работа

По дисциплине:

«Высшая математика»

Тема:

«Длина дуги кривой в прямоугольных координатах»

1. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу

Сформулируем следующее свойство определенных интегралов:

Пусть функция непрерывна на. Составим для нее определенный интеграл. Пусть для определенности на всем отрезке. Тогда с геометрической точки зрения составленный интеграл не что иное, как площадь криволинейной трапеции с основанием, которая ограничена линией.

Если в рассматриваемом интеграле заменить переменную интегрирования на, то величина его, очевидно, не изменится. Поэтому в дальнейшем для удобства будем считать, что площадь трапеции определяется интегралом.

Величина определенного интеграла зависит от значений верхнего и нижнего пределов интегрирования, то есть от длины основания криволинейной трапеции. Рассмотрим поэтому теперь случай, когда нижний предел интеграла фиксирован и равен, а верхний может меняться, принимая значения, где. В этом случае определенный интеграл будет соответствовать площади криволинейной трапеции, величина которой меняется. Зависеть эта площадь будет от значения, то есть. Если будет меняться непрерывно, то и площадь трапеции будет меняться непрерывно, то есть — непрерывная функция, которую можно дифференцировать.

Теорема. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, у которой переменная интегрирования заменена этим верхним пределом, то есть или.

Для вычисления производной проделаем все стандартные операции. Зададим приращение аргументу:, что, в свою очередь, приведет к приращению функции:. Так как, а, то приращение функции определяется выражением:

.

Применим к полученному выражению теорему о среднем в определенном интеграле:

, где.

Составим отношение. Чтобы получить производную, перейдем в составленном отношении к пределу:. Так как, то при стремлении точка будет стремиться к. Следовательно, вычисление предела приведет к выражению:.

Из доказанной теоремы следует, что — это первообразная от, следовательно, определенный интеграл также является первообразной от, и вычислять его, очевидно, необходимо с помощью тех же приемов, что и неопределенный интеграл.

2. Формула Ньютона-Лейбница

Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы представляет собой довольно сложную задачу и может быть выполнено лишь в некоторых наиболее простых случаях. Однако полученная в п. 1 связь между определенным интегралом и первообразной позволяет получить простой метод для вычисления этих интегралов.

Теорема. Если какая-либо первообразная от непрерывной функции , то справедлива формула: .

В предыдущем пункте было показано, что — это первообразная от функции. Но как было показано при изучении неопределенного интеграла, любая непрерывная функция имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое. Поэтому, если какая-то другая первообразная от той же функции, то.

Оказывается, что в случае определенного интеграла постоянную можно вычислить. Действительно, так как может принимать любые значения между и (п. 1), то пусть. Тогда:. Но определенный интеграл с равными пределами равен нулю, следовательно,. Значит,

.

Положим теперь, что, тогда

.

Полученное выражение называется формулой Ньютона — Лейбница. Другая форма записи этого выражения следующая:

.

Обычно в полученных выражениях переменная интегрирования обозначается буквой.

Таким образом, чтобы вычислить определенный интеграл, необходимо найти любую первообразную от и вычислить разность ее значений в верхнем и нижнем пределах интегрирования. Полученная простая формула позволяет легко находить решения многих математических и прикладных задач, связанных с вычислением определенного интеграла.

3. Замена переменной в определенном интеграле

При изучении неопределенного интеграла было показано (п. 5. 4), что одним из наиболее часто встречающихся методов его вычисления является замена переменных. Так как вычисление определенного интеграла, согласно формуле Ньютона — Лейбница, также связано с нахождением первообразной, то метод замены переменной применим и в нем, однако при этом имеются некоторые особенности. В неопределенном интеграле замена переменной приводила в конце вычислений к обратной замене, в определенном же, оказывается, можно обойтись без этого.

Теорема. Если в определенном интеграле , где непрерывна на , сделать замену переменной и при этом:

1) , ;

2) и непрерывны на ;

3) непрерывна на и при изменении от до не выходит за пределы отрезка ,

то.

Пусть — какая-то первообразная от, тогда. Согласно формуле Ньютона — Лейбница, получим соответствующий определенный интеграл:. Но, как было показано в п. 5. 4, в неопределенном интеграле можно сделать замену переменной, тогда. В этом случае соответствующий определенный интеграл будет иметь вид:

.

У обоих определенных интегралов правые части равны, следовательно, равны и левые части:

,

что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы следует, что при замене переменной в определенном интеграле должны поменяться пределы интегрирования, и обратная замена здесь уже не нужна, так как и при старой и при новой переменной в ответе получается одно и то же число.

4. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть даны функции и, которые непрерывны со своими производными на. Составим их произведение и продифференцируем его:

.

Возьмем от обеих частей полученного равенства определенные интегралы:

.

Но, ,. Следовательно,, откуда:. Так же как и в неопределенном интеграле, данная формула требует правильного выбора множителей и.

5. Длина дуги кривой в прямоугольных координатах

При вычислении длины кривой линии может быть использована та же методика, что и при вычислении площадей криволинейных трапеций, то есть кривую разбивают на такие малые участки, длину которых можно посчитать геометрическими методами.

Определение. Длиной дуги кривой линии называют предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломаной линии при неограниченном увеличении числа ее звеньев и при стремлении длины наибольшего звена к нулю.

Итак, пусть кривая линия описывается функцией на отрезке. При этом пусть непрерывна на этом отрезке вместе со своей производной. Разобьем кривую на частичных дуг точками. Соединив начало и конец каждой частичной дуги хордой, получим в результате вписанную ломаную линию, длина которой равна сумме длин ее звеньев:

.

Обозначим:, ,…, ,…,. Кроме того,, ,…, ,…,. В таком случае можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного треугольника и поэтому

.

Согласно теореме Лагранжа о среднем

, где ,

следовательно,

.

Отсюда длина ломаной линии равна

.

Переходя к пределу в данной интегральной сумме, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю, получаем длину кривой линии в прямоугольной системе координат:

.

Данный интеграл существует, поскольку по условию производная непрерывна.

Из полученной формулы можно получить выражение для дифференциала дуги, которое используется как в математике, так и в некоторых задачах теоретической механики. Пусть положение правого конца кривой линии является переменной величиной, тогда ее длина будет функцией точки, в которой она заканчивается, то есть

.

Возьмем производную данного интеграла по переменному верхнему пределу (п. 1.):

.

Отсюда следует, что

.

6. Длина дуги кривой при ее параметрическом задании

Рассмотрим теперь случай, когда кривая, длину которой необходимо вычислить, задана параметрически, то есть при этом изменение от до приводит к изменению от до. Пусть функции и непрерывны вместе со своими производными на отрезке и при этом. Тогда, а. Подставим значение данной производной и дифференциала в формулу для длины дуги в прямоугольной системе координат (п. 5):

.

В случае пространственной кривой ее параметрическое задание будет выглядеть следующим образом:

Если указанные функции непрерывны вместе со своими производными на отрезке, то можно доказать, что длина данной кривой вычисляется по формуле

.

7. Длина дуги в полярной системе координат

Если кривая задана в полярной системе координат, то она описывается функцией, где. Пусть непрерывна вместе со своей производной на отрезке.

Перейдем от полярной к прямоугольной системе координат:. Но так как, то получаем, что. Иначе говоря, и выражены через параметр, поэтому можно воспользоваться формулой для длины дуги при ее параметрическом задании (п. 6.):

Возведя в квадрат выражения в скобках и выполнив элементарные преобразования, получаем:

.

Обычно данную формулу записывают следующим образом:

.

8. Вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений

Определенный интеграл в некоторых случаях может быть использован и для вычисления объемов тел. Это можно сделать, когда известны площади всех их поперечных сечений.

Пусть некоторое тело, объем которого необходимо определить, расположено вдоль оси между точками и. Пусть это тело обладает тем свойством, что известна площадь его любого поперечного сечения плоскостью, то есть плоскостью, перпендикулярной оси. Так как в общем случае величина этого сечения будет меняться, то. В случае, если поверхность тела является гладкой, а тело сплошным, то будет непрерывной функцией.

Разобьем отрезок точками на частичные отрезки и в каждой полученной точке проведем плоскость, перпендикулярную оси. Все тело при этом разобьется на слои, а его объем будет равен сумме объемов всех полученных слоев:.

Найдем приближенно величину объема -ого слоя. Для этого рассмотрим отрезок, длина которого равна. Возьмем некоторую точку и проведем в ней секущую плоскость, перпендикулярную оси. Если достаточно мало, то слой, соответствующий объему, можно практически считать прямым цилиндром с поперечным сечением равным. Но в этом случае, как и у кругового цилиндра,. Отсюда следует, что

.

Полученное выражение является интегральной суммой. Так как функция по условию непрерывна, то предел этой суммы при и существует и равен определенному интегралу:

.

Итак, объем тела с известными поперечными сечениями равен:

.

9. Объем тела вращения

Рассмотрим теперь тело, полученное в результате вращения криволинейной трапеции вокруг оси. Пусть основанием этой трапеции является отрезок, расположенный на оси, и она ограничена непрерывной кривой. В этом случае в любом сечении полученного тела плоскостью, перпендикулярной оси, будет круг, радиус которого совпадает со значением функции в данной конкретной точке. Поэтому площадь сечения будет равна.

Подставив данное выражение в формулу для объема тела с известными площадями поперечных сечений, приведенную в предыдущем параграфе, получим:

.

Если трапеция вращается вокруг оси, то должна быть задана функция на отрезке. В этом случае объем тела вращения равен:

.

Литература

1. Крищенко Александр, Канатников Анатолий Аналитическая геометрия: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. Изд-во «Академия», 2009. — 208c.

2. Макарычев Юрий Тригонометрия. Издательство: ПРОСВЕЩЕНИЕ, 2004. — 360 с.

3. Потапов Михаил Задачи по алгебре, тригонометрии и элементарными функциями. Издательство: ЭКЗАМЕН XXI, 2008. — 160 с.

4. Тоом А., Гельфанд И., Львовский С. Тригонометрия. МЦМНО, 2003. — 200 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой