Исследование индуцированной шумом синхронизации в системах с дискретным временем

Тип работы:
Курсовая
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО»

Кафедра нелинейной физики

КУРСОВАЯ РАБОТА

Исследование индуцированной шумом синхронизации в системах с дискретным временем

студента 3 курса факультета нелинейных процессов

Костакова Алексея Александровича

Научный руководитель

ассистент ______________________ О.И. Москаленко

Зав. кафедрой,

профессор, д.ф. -м.н. ______________________ Ю.П. Шараевский

Саратов — 2008

Содержание

Введение

Синхронизация колебаний

Цель работы

Синхронизация, индуцированная шумом

Численное моделирование

Вывод

Список литературы

Введение

Одна из главных тенденции в мире _ тенденция к достижению общих ритмов взаимного поведения или, другими словами, тенденция к синхронизации. Под синхронизацией обычно понимается процесс достижения связанными объектами различной природы общего ритма функционирования.

С проявлением синхронизации можно встретиться в физике, биологии, химии, технике, экономике, науках о жизни, медицине и т. д. Возможна синхронизация как двух элементов, так и в ансамблях, состоящих из сотен и тысяч элементов. В радиофизике интенсивно исследуется коллективное поведение лазеров, микроволновых генераторов, сверхпроводящих джозефсоновских контактов. В радиотехнике, радиоизмерениях и радиосвязи синхронизация используется для синтеза и стабилизации частоты генераторов, для демодуляции сигналов в доплеровских системах, в системах точного времени и т. д. В механике эффект синхронизации нашел широкое применение при конструировании различных вибро-технических устройств. В качестве примеров биологических ансамблей, в которых наблюдается синхронизация, приведем: колонии одновременно вспыхивающих светлячков; клетки, формирующие сердечный ритм; вырабатывающие инсулин клетки в поджелудочной железе; группы сверчков, щебечущих в унисон; ячейки в тонкой кишке млекопитающих; нейронные ансамбли, обеспечивающие ритмичную деятельность в мозгу и т. д. Проблемы синхронизации также очень важны при проектировании компьютеров с параллельной архитектурой. Синхронизации имеет место в химических колебаниях и волнах в реакции Белоусова-Жаботинского.

В связи с чрезвычайно широким распространением синхронизации в природе, науке и технике потребность изучения этого явления и его применений обусловила появление специального раздела в теории нелинейных колебаний и волн _ теории синхронизации.

Синхронизация колебаний

Синхронизация колебаний — одно из важнейших нелинейных явлений, привлекающих к себе широкое внимание исследователей, имеющих как теоретическое, так и практическое значение (например, в биологических и физиологических задачах, при скрытой передаче информации с помощью хаотических сигналов, при управлении системами сверхвысокочастотной электроники и т. п.).

С развитием теории динамического хаоса было выявлено достаточно различных типов хаотического синхронного поведения связанных динамических систем:

— фазовая синхронизация

— обобщенная синхронизация

— лаг-синхронизация

— перемежающаяся фазовая синхронизация

— перемежающиеся лаг-синхронизация

— перемежающаяся обобщенная синхронизация

— полная синхронизация

Каждый из этих типов синхронной хаотической динамики имеет свои особенности и способы диагностики, при этом в научной литературе активно обсуждается вопрос о взаимосвязи этих типов синхронного поведения. Разные типы синхронизации связанных хаотических осцилляторов могут рассматриваться как различные виды проявления единых закономерностей, возникающих в связанных нелинейных системах.

Цель работы

Целью работы является изучение индуцированной шумом синхронизации: определение и методы ее диагностики. А также построить программу, с помощью которой можно наблюдать явление индуцированной шумом синхронизации, для двух отображений:

1. Отображение взято из работы [1], где

2. Отображение взято из работы [2], где

А также построить для этих отображений зависимость ляпуновской экспоненты от параметра связи; и сравнить пороговое значение (т.е. при котором становится отрицательным) с результатами, полученными с помощью программы. А также сравнить полученные мной данные с результатами приведенными в [1] и [2].

Синхронизация, индуцированная шумом

Под режимом синхронизации, индуцированной шумом, понимается следующее: случайный сигнал, действующий на две независимые, но идентичные хаотические системы и (с разными начальными условиями и, лежащими в бассейне притяжения одного и того же хаотического аттрактора), может приводить к тому, что эти системы «синхронизуются» друг с другом, то есть после завершения переходного процесса они начинают демонстрировать идентичное поведение.

Но установление синхронной динамики двух систем с общим источником шума возможно лишь в том случае, когда все условные ляпуновские экспоненты оказываются отрицательными.

Далеко не всегда удается наблюдать синхронизацию, индуцированную шумом, в хаотических осцилляторах, поскольку хаотические системы должны обладать определенными свойствами (сильное сжатие фазового объема в фазовом пространстве, ограниченная область фазового пространства, где наблюдается увеличение фазового объема и др.)

Механизмы возникновения

Возможны два похожих механизма, приводящих к возникновению режима индуцированной шумом синхронизации:

1. Случайный сигнал имеет ненулевое среднее, что фактически переводит систему в нехаотический режим, при котором состояние системы просто `следует' за внешним случайным возмущением.

2. Внешний сигнал большой интенсивности (может быть, даже с нулевым средним значением) переводит изображающую точку в области фазового пространства с большим сжатием фазового потока, которая находится в этих областях большую долю времени, в результате чего в среднем имеет место сходимость соседних траекторий.

В обоих случаях определяющую роль играет сжатие фазового потока, при этом условные ляпуновские экспоненты имеют отрицательные значения.

Связь обобщенной синхронизации и синхронизации,

индуцированной шумом

Режим обобщенной синхронизации означает, что между состояниями взаимодействующих однонапрвленно связанных ведущего и ведомого хаотических осцилляторов (с непрерывным или дискретным временем), существует такая функциональная зависимость, что после завершения переходного процесса устанавливается функциональное соотношение.

Сам вид данной зависимости (гладкая или фрактальная) может быть достаточно сложным, а процедура ее нахождения весьма нетривиальна. Выделяют сильную и слабую обобщенную синхронизацию. Следует отметить, что в качестве взаимодействующих осцилляторов могут выступать две разные динамические системы, в том числе и с различной размерностью фазового пространства.

Очевидно, что режим обобщенной хаотической синхронизации и режим синхронизации, индуцированной шумом, несмотря на то, что традиционно считаются разными явлениями, на самом деле обусловлены проявлениями одного и того же механизма и вызваны одной и той же причиной — подавлением собственных хаотических колебаний с помощью дополнительного введения диссипации (либо с помощью ненулевого среднего значения шума в случае индуцированной шумом синхронизации, либо с помощью дополнительного диссипативного слагаемого в случае режима обобщенной синхронизации, либо смещением изображающей точки системы в области фазового пространства с сильной диссипацией).

Численное моделирование

Описание рассмотренных систем

1. Логистическое отображение под воздействием шума:

Отображение взято из работы [1], где (1)

Значение управляющего параметра , — параметр связи.

Случайная величина подчиняется нормальному распределению, где, .

Бифуркационная диаграмма для данного отображения имеет вид:

2. Одномерное отображение вида:

Отображение взято из работы [2], где (2)

Значение управляющего параметра , — параметр связи

Случайная величина подчиняется нормальному распределению, где,.

Бифуркационная диаграмма для данного отображения имеет вид:

Результаты, полученные с помощью созданной программы

1. Для отображения, где при

Видно, что в случае малого параметра связи () обе системы в один момент дискретного времени принимают разные значения (точки, характеризующие состояние систем, распределены по плоскости (y, z)), а следовательно не существует функциональной зависимости между случайным процессом и состоянием динамической системы.

С увеличением параметра связи: точки соответствующие состояниям систем, лежаться на диагональ y=z, что свидетельствует о наличии синхронного поведения в системе.

3. Для отображения, где, при получаем аналогичные результаты: при синхронизации не наблюдается:

Но с увеличением параметра связи е=0.2 появляется функциональная зависимость, что свидетельствует об установлении режима индуцированной шумом синхронизации.

С помощью данной программы было найдено, что порог синхронизации индуцированной шумом:

-для первого отображения

-для второго отображения

Ляпуновские экспоненты

Как уже было упомянуто ранее, установление синхронной динамики двух систем с общим источником шума возможно лишь в том случае, когда ляпуновские экспоненты оказываются отрицательными.

Для отображений ляпуновский показатель рассчитывается по формуле:

Взято из [4],

где F (x) — функция, задающая отображение.

Для рассматриваемых систем зависимость ляпуновской экспоненты от управляющего параметра имеет вид:

1., где

2., где

Видно, что для логистического отображения (1) ляпуновская экспонента становится отрицательной при e = 1. 165, для отображения (2) — при e = 1. 151. Таким образом, результаты, полученные при помощи обоих методов диагностики, оказываются приблизительно одинаковыми.

Выводы

Было изучено явление индуцированной шумом синхронизации в системах с дискретным временем. Для диагностики синхронного режима производилось непосредственное сравнение векторов состояния идентичных систем, на которые воздействовал один и тот же источник шума, а также производился расчет условных ляпуновских экспонент. Рассмотрена взаимосвязь индуцированной шумом синхронизации с обобщенной синхронизацией. Была создана программа, иллюстрирующая явление индуцированной шумом синхронизации. С помощью этой программы рассмотрены два отображения. Также для этих отображений получены зависимости ляпуновской экспоненты от управляющего параметра. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами работ [1−3].

Список литературы

1. А. А. Короновский, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов «О механизмах, приводящих к установлению режима обощенной синхронизации», ЖТФ, 76, 2 (2006) 1−9.

2. Raul Toral, Claudio R. Mirasso, E. Hernandez-Garcia and Oreste Piro «Analytical and Numerical Studies of Noise-induced Synchronization of Chaotic Systems», CHAOS, 11, 3 (2001) 665−673.

3. A.E. Hramov, A.A. Koronovskii, O.I. Moskalenko «Are generalized synchronization a noise-induced synchronization identical types of synchronous behavior of chaotic oscillators», Phys. Lett. A, 354, 5−6 (2006) 423−427.

4. С. П. Кузнецов Динамический хаос

5. Amos Martian, Jayanth R. Banavar «Chaos, Noise, and Synchronization», Phys. Rev. letters, volume 72, number 10 (1994) 1451−1454

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой