Интерполяционная формула Гаусса

Тип работы:
Контрольная
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Бишкек 2014

Кыргызский Национальный Университет И М. Ж. Баласагына

CPC

на тему: Интерполяционная формула Гаусса

Выполнил: ст. гр. «ПМиИбк-14»

Туляев Т.T.

Преподаватель кафедры «МИиК»

Назарбаев Ф.Т.

Введение

Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777, Брауншвейг -- 23 февраля 1855, Гёттинген) немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков"[3]. Лауреат медали Копли (1838), иностранный член Шведской (1821) и Российской (1824) Академий наук, английского Королевского общества.

Интерполяционные формулы, формулы, дающие приближённое выражение функции при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен степени, значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции в этих точках. Многочлен определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.

Первая и вторая интерполяционные формулы Гаусса

интерполяционный формула гаусс

Основным недостатком интерполяционных формул Ньютона является то, что они используют лишь односторонние значения функции. На практике часто оказывается полезным использовать формулы, в которых присутствуют как последующие, так и предыдущие значения функции по отношению к ее начальному значению.

Рассмотрим равноотстоящих узлов, в которых заданы значения некоторой функции Требуется найти полином степени не выше, такой, чтобы выполнялось условие

(1)

Будем искать полином в виде

(2)

Поступая по аналогии с выводом первой интерполяционной формулы Ньютона, для коэффициентов получим следующие выражения

(3)

Введем новую переменную и, подставляя преобразованные выражения для коэффициентов (3) в соотношение (2), получим первую интерполяционную формулу Гаусса (для интерполирования вперёд)

(4)

Разности используемые в этой формуле, образуют нижнюю ломаную линию в диагональной таблице разностей 1 (см. далее)

Если полином искать в виде

то аналогично (4) можно получить вторую интерполяционную формулу Гаусса (для интерполирования назад)

(5)

Разности, используемые в этой формуле, образуют верхнюю ломаную линию в диагональной таблице разностей 1

Формулы Гаусса применяются для интерполирования в середине таблицы вблизи. При этом первая формула Гаусса (4) применяется при, а вторая (5) — при

Таблица 1

Диагональная таблица разностей

Заключение

Преимущество интерполяционной формулы Гаусса состоит в том, что указанный выбор узлов интерполяции обеспечивает наилучшую оценку остаточного члена по сравнению с любым другим выбором, а упорядоченность узлов по мере их близости к точке интерполяции уменьшает вычислительную погрешность интерполирования.

Список использованных источников

1. https: //ru. wikipedia. org/wiki/Интерполяционная_формула_Гаусса

2. http: //virtet. gsu. by/mod/resource/view. php? id=190

3. http: //dic. academic. ru/dic. nsf/ruwiki/940 993

4. https: //ru. wikipedia. org/wiki/Гаусс,_Карл_Фридрих

Приложение 1

0. 43

1. 63 597

0. 9 637

0. 48

1. 73 234

0. 4 815

0. 14 452

-0. 3 608

0. 55

1. 87 686

0. 1 207

0. 6 243

0. 15 659

0. 2 635

0. 19 084

0. 62

2. 3 345

0. 3 842

-0. 12 841

0. 19 501

-0. 10 216

0. 70

2. 22 846

-0. 6 374

0. 13 127

0. 75

2. 35 973

(0. 645)=2. 3 345+0. 19 501*((0. 645−0. 62)/0. 05) —

-(-0. 6 374*((0. 645−0. 62)/0. 05) *((((0. 645−0. 62)/0. 05)-1)/2) =

=2, 1 389 225

Приложение 2

0. 41

2,57 418

0. 46

2,32 513

0. 52

2,9 336

-0,23 133

0. 60

1,86 203

0,11 856

-0,11 277

0. 65

1,74 926

-0,1 551

-0,12 828

0. 72

1,62 098

(0,673)= 1,74 926+(-1,12 828)*((0,673−0. 65)/0,07) —

-(-1,1 551*((0,673−0. 65)/0,07)*((((0,673−0. 65)/0,07)-1)/2)=1,712 954

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой