Исследование операций в экономике

Тип работы:
Контрольная
Предмет:
Экономика


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Министерство образования республики Беларусь

Учреждение образования

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»

Институт информационных технологий

Специальность 40 01 02

«Информационные системы и технологии (в экономике)»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Исследование операций в экономике

Вариант № 5

Студентка-заочница 3 курса

Группа № 82 323

Гордецкая Валентина Александровна

Минск, 2013

Задание 1.

Решить задачу производителя, если производственная функция представляет собой функцию с постоянной эластичностью замещения, т. е., p — цена продукции, wi — цены ресурсов, i=1,2.

Решать задачу, подставив числовые значения параметров в, h (значения задать самостоятельно).

Как изменятся выпуск и спрос на ресурсы при возрастании цены продукции?

Какова реакция производителя на изменение цен ресурсов?

Каковы предельные продукты в оптимальной точке?

Решение:

1. Найдем функции спроса на ресурсы xi (p, w1, w2) и максимальную прибыль фирмы в оптимальных точках.

Воспользуемся следующим уравнением для определения прибыли фирмы:

П = p f1, х2) -- w1х1 -- w2х2 max.

Учитывая условия Куна--Таккера, запишем частные производные функции прибыли по xi, i =1, 2 и приравняем их к 0.

Самостоятельно задаём значения параметров и h:

h = -1;

= 1.

Решая совместно уравнения, получим:

q =

2. Определим влияние изменения цены продукции на выпуск и спрос на ресурсы.

-- Влияние изменения цены продукции на выпуск ресурсов:

Учитывая, что-то возрастание цены на продукцию фирмы будет приводить к уменьшению её выпуска.

-- Влияние изменения цены продукции на спрос на ресурсы:

Возрастание цены приводит к увеличению спроса на ресурсы

3. Определим реакцию производителя на изменение цен ресурсов:

Учитывая следствия из основных соотношений, в частности, можно утверждать, что увеличение платы на затраты приводит к уменьшению выпуска продукции.

Определим влияние изменения цен ресурсов на их потребление:

Так как-то повышение цен на затраты приводит к увеличению потребления этих затрат.

4. Определим предельные продукты в оптимальной точке:

Задание 2.

Администрации театра нужно решить, сколько заказать программок для представлений. Стоимость заказа 200 ф. ст. плюс 30 пенсов за штуку. Программки продаются по 60 пенсов за штуку. Из прошлого опыта известна посещаемость театра:

x

Посещаемость

4500

4000

5500

5000

6000

р

Ее вероятность

0,1

0,3

0,3

0,2

0,1

Ожидается, что 40% зрителей купят программки.

Определите, сколько программок должна заказать администрация театра.

Используйте следующие правила:

1. Максимакса дохода

2. Максимина дохода

3. Минимакса возможных потерь

4. Максимума ожидаемого дохода

5. Миниума ожидаемого риска

Решение:

Учитывая исходные условия, cоставим платежную матрицу (таблица 2. 1):

Элементы платежной матрицы рассчитываем по следующему принципу:

а11= - 4500*30 — 200 + (4500*0,4*60) = 242 800 у.е.

а14= - 4500*30 -200 + (5000*0,4*60) = 254 800 у.е.

а15= - 4500*30 — 200 + (6000*0,4*60) = 278 800 у.е.

а21= - 4000*30 — 200 + (4500*0,4*60) = 227 800 у.е.

и т.д.

Таблица 2. 1

Предло-жение

Спрос

max

min

4500

4000

5500

5000

6000

0,1

0,3

0,3

0,2

0,1

4500

242 800

230 800

266 800

254 800

278 800

252 400

278 800

230 800

4000

227 800

215 800

251 800

239 800

263 800

237 400

263 800

215 800

5500

272 800

260 800

296 800

284 800

308 800

282 400

308 800

260 800

5000

257 800

245 800

281 800

269 800

293 800

267 400

293 800

245 800

6000

287 800

275 800

311 800

299 800

323 800

297 400

323 800

275 800

По критерию максимума среднего выигрыша оптимальной является стратегия 5, т. е. оптимальный объем заказа должен составлять 6000.

Далее составим матрицу рисков (таблица 2. 2):

Таблица 2. 2

Предло-жение

Спрос

max

4500

4000

5500

5000

6000

4500

45 000

45 000

45 000

45 000

45 000

45 000

45 000

4000

60 000

60 000

60 000

60 000

60 000

60 000

60 000

5500

15 000

15 000

15 000

15 000

15 000

15 000

15 000

5000

30 000

30 000

30 000

30 000

30 000

30 000

30 000

6000

0

0

0

0

0

0

0

По критерию минимума среднего риска оптимальной является стратегия 5, т. е. оптимальный объем заказа программок должен составлять 6000.

Определим оптимальную стратегию по другим критериям

· критерий максимакса: М = maxi maxj aij = 323 800.

· критерий максимина: W = maxi minj aij = 263 800.

· критерий минимакса: S = mini maxj rij = 0.

Общий вывод — с точки зрения всех критериев оптимальным является заказ 6000 программок.

Задание 3.

номер варианта

Условия задания

5

В условиях задачи 1 принять s0 = 8 и найти оптимальное распределение средств между 2-, 3- и 4-м предприятиями

Задача (1−2) о распределении средств между предприятиями

Планируется деятельность n промышленных предприятий на очередной год. Начальные средства: s0. Размеры вложений в каждое предприятие кратны x. Средства x, выделенные предприятию i приносят в конце года прибыль f i (x), i = 1,2. … n.

Прибыль f i (x) не зависит от вложения средств в другие предприятия. Прибыль от каждого предприятия выражается в одних и тех же условных единицах; суммарная прибыль равна сумме прибылей от каждого предприятия.

Найти оптимальное распределение средств между предприятиями при условии, что прибыль f (x), полученная от каждого предприятия, является функцией от вложенных в него средств x, вложения кратны x, а функция f (x) задана таблично.

Задача 1. Таблица 3. 1

x

1

2

3

4

5

6

7

8

f1(x)

5

9

12

14

15

18

20

24

f2(x)

7

9

11

13

16

19

21

22

f3(x)

6

10

13

15

16

18

21

22

f4(x)

3

5

7

11

13

15

20

22

s0 = 8, x = 1, n= 4

Решение:

Обозначим через xk количество средств, выделенных k-му предприятию. Суммарная прибыль равна

Z=. (3. 1)

Переменные xk удовлетворяют ограничениям

=8, xk 0, k = 1, 2, 3, 4. (3. 2)

Требуется найти переменные x1, x2, x3, x4, удовлетворяющие (3. 2) и обращающие в максимум функцию (3. 1).

Схема решения задачи ДП: процесс решения распределения средств 0 = 8 можно рассматривать как четырехшаговый, номер шага совпадает с номером предприятия; выбор переменных x1, x2, x3, x4 — управление соответственно на 1, 2, 3 и 4 шагах; -- конечное состояние процесса распределения — равно 0, т.к. все средства должны быть вложены. Схема распределения показана на рис. 3.1.

/

Рис. 3. 1

Уравнения состояний в данной задаче имеют вид k = k-1 — xk, k=1, 2, 3, 4, где k — параметр состояния — количество средств, оставшихся после k-го шага, т. е. средства, которые остается распределить между оставшимися 4-k предприятиями.

Zk*(k-1) — условная оптимальная прибыть, полученная от k-го, (k+1)-го, …, 4 предприятий, если между ними оптимальным образом распределялись средства k-1. Допустимые управления на k-м шаге удовлетворяют условию 0 хk k-1.

Уравнения Беллмана имеют вид:

к = 4, 4=0 Z4*(3)=max f4(x4), 0 x4 3;

Z3*(2)=max {f3(x3) + Z4*(3)}, 0 x3 2;

Z2*(1)=max {f2(x2) + Z3*(2)}, 0 x2 1;

Z1*(8)=max {f1(x1) + Z2*(1)}, 0 x3 8.

4 шаг (k = 4).

В табл. 3.2 f4(x) прибыли монотонно возрастают, поэтому все средства, оставшиеся к IV шагу, следует вложить в 4-е предприятие. Для возможных значений 3 = 0, 1, 2, 3, 4, 5…8 получим Z4*(3)=f4(3) и x4*(3)=3.

Таблица 3. 2

k-1

xk

k

k=3

k=2

k=1

f3(x3)+

Z4*(3)

Z3*(2)

x3*(2)

f2(x2)+

Z3*(2)

Z2*(1)

x2*(1)

f1(x1)+

Z2*(1)

Z1*(0)

x1*(0)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0+3=3

6+0=6

6

1

0+6=6

7+0=7

7

1

0+7=7

5+0=5

7

0

2

0

1

2

2

1

0

0+5=5

6+3=9

10+0=10

10

2

0+10=10

7+6=13

9+0=9

13

1

0+13=13

5+7=12

9+0=9

13

0

3

0

1

2

3

3

2

1

0

0+7=7

6+5=11

10+3=13

13+0=13

13

13

2

3

0+13=13

7+10=17

9+6=15

11+0=11

17

1

0+17=17

5+13=18

9+7=16

12+0=12

18

1

4

0

1

2

3

4

4

3

2

1

0

0+11=11

6+7=13

10+5=15

13+3=16

15+0=15

16

3

0+16=16

7+13=20

9+10=19

11+6=17

13+0=13

20

1

0+20=20

5+17=22

9+13=22

12+7=19

14+0=14

22

22

1

2

5

0

1

2

3

4

5

5

4

3

2

1

0

0+13=13

6+11=17

10+7=17

13+5=18

15+3=18

16+0=16

18

18

3

4

0+18=18

7+16=23

9+13=22

11+10=21

13+6=19

16+0=16

23

1

0+23=23

5+20=25

9+17=26

12+13=25

14+7=21

15+0=15

26

2

6

0

1

2

3

4

5

6

5

6

4

3

2

1

0

0+15=15

6+13=19

10+11=21

13+7=20

15+5=20

16+3=19

18+0=18

21

2

0+21=21

7+18=25

9+16=25

11+13=24

13+10=23

16+6=19

19+0=19

25

25

1

2

0+25=25

5+23=28

9+20=29

12+17=29

14+13=27

15+7=22

18+0=18

29

29

2

3

7

0

1

2

3

4

5

6

7

7

6

5

4

3

2

1

0

0+20=20

6+15=21

10+13=23

13+11=24

15+7=22

16+5=21

18+3=21

21+0=21

24

3

0+24=24

7+21=28

9+18=27

11+16=27

13+13=26

16+10=26

19+6=25

21+0=21

28

1

0+28=28

5+25=30

9+23=32

12+20=32

14+17=31

15+13=28

18+7=25

20+0=20

32

32

2

3

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

8

7

6

5

4

3

2

1

0

0+22=22

6+20=26

10+15=25

13+13=26

15+11=26

16+7=23

18+5=23

21+3=24

22+0=22

26

26

1

3

4

0+26=26

7+24=31

9+21=30

11+18=29

13+16=29

16+13=29

19+10=29

21+6=27

22+0=22

31

1

0+31=31

5+28=33

9+25=34

12+23=35

14+20=34

15+17=32

18+13=31

20+7=27

24+0=24

35

3

Z1*(0)=35 — условная оптимальная прибыль.

X1 = X10 = 3

Значит отдадим первому предприятию количество средств X1 = 3.

Шаг 3.

Остаток средств 1 к третьему шагу: 1 = 8 — 3 = 5

Таблица 3. 3

k-1

xk

k

k=3

k=2

f3(x3)+

Z4*(3)

Z3*(2)

x3*(2)

f2(x2)+

Z3*(2)

Z2*(1)

x2*(1)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0+3=3

6+0=6

6

1

0+6=6

7+0=7

7

1

2

0

1

2

2

1

0

0+5=5

6+3=9

10+0=10

10

2

0+10=10

7+6=13

9+0=9

13

1

3

0

1

2

3

3

2

1

0

0+7=7

6+5=11

10+3=13

13+0=13

13

13

2

3

0+13=13

7+10=17

9+6=15

11+0=11

17

1

4

0

1

2

3

4

4

3

2

1

0

0+11=11

6+7=13

10+5=15

13+3=16

15+0=15

16

3

0+16=16

7+13=20

9+10=19

11+6=17

13+0=13

20

1

5

0

1

2

3

4

5

5

4

3

2

1

0

0+13=13

6+11=17

10+7=17

13+5=18

15+3=18

16+0=16

18

18

3

4

0+18=18

7+16=23

9+13=22

11+10=21

13+6=19

16+0=16

23

1

Отдадим второму предприятию количество средств X2=1 (X2 = X21 = 1) при условной оптимальной прибыли Z2*(1)=23

Шаг 2.

Остаток средств 2 ко второму шагу: 2 = 5 — 1 = 4

Таблица 3. 4

k-1

xk

k

k=3

f3(x3)+

Z4*(3)

Z3*(2)

x3*(2)

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0+3=3

6+0=6

6

1

2

0

1

2

2

1

0

0+5=5

6+3=9

10+0=10

10

2

3

0

1

2

3

3

2

1

0

0+7=7

6+5=11

10+3=13

13+0=13

13

13

2

3

4

0

1

2

3

4

4

3

2

1

0

0+11=11

6+7=13

10+5=15

13+3=16

15+0=15

16

3

Z3*(2)=16 — условная оптимальная прибыль.

X3 = X32 = 3

Значит отдадим третьему предприятию количество средств X3 = 3.

Шаг 1.

Остаток средств 3 к 1 шагу: 3 = 4 — 3 = 1. Следовательно четвертому предприятию уйдет количество средств x4=1

Итак, максимум суммарной прибыли Zmax=Z1*(8)=35 у. е. при

x1*=x1*(8)=3

1*=8-3=5 x2*=x2*(5)=1

2*=5-1=4 x3*=x3*(4)=3

3*=4-3=1 x4*=x4*(1)= 1.

Выделение средств различным предприятиям:

1-му выделена 3 у.е. ,

2-му — 1 у.е. ,

3-му — 3 у.е. ,

4-му — 1 у.е.

Ответ: (3, 1, 3, 1)

Задание 4.

Решить задачу о поиске максимального потока в сети (в скобках указана пропускная способность дуги), если начальный поток wo = 6 (рис. 4. 1).

спрос цена ресурс средство

Рис. 4. 1

Решение:

Согласно свойствам потока, распределим начальный поток w0=6 по дугам:

x0-> x1-> x4-> x6 — пустим 2.

x0-> x2-> x5-> x6 — пустим 2.

x0-> x3-> x5-> x6 — пустим 2.

Рис. 4. 2

Таким образом, начальный поток распределен по сети с соблюдением всех свойств потока (Рис. 4. 2).

На рисунке 4.3 показано существование увеличивающей цепи из s в t, ее составляет последовательность x0-> x1->x5 -> x6 — пустим 3.

Рис. 4. 3

На рис. 4.4 представлено перераспределение потока w1 = w0+t = w0+3 = =6+3=9

Рис. 4. 4

Рис. 4.4 демонстрирует отсутствие увеличивающей цепи от s к t. Следовательно, поток w1=9 является максимальным.

Задание 5.

Для анализа изменения с течением времени размера текущего фонда компании, ведущей дела по страхованию автомобилей, важно обладать информацией о процессе поступления в компанию требований по выплатам в соответствии со страховыми полисами.

Наблюдение за работой компании в предшествующий период показало, что число поступающих требований по выплатам за любой промежуток времени зависит только от его продолжительности; требования в компанию в любые два непересекающихся интервала времени поступают независимо; в достаточно малые промежутки времени в компанию поступает по одному требованию. Ожидаемое число требований, поступаемых в компанию за неделю -- 2.

Какова вероятность того, что:

— за месяц в компанию поступит пять требований;

— за месяц в компанию поступит не менее пяти требований;

— за неделю в компанию поступит хотя бы одно требование;

— промежуток времени между двумя соседними поступлениями требований меньше четырех дней;

Решение:

Рассмотрим простейший (стационарный пуассоновский) поток с интенсивностью = const. Одной из важных характеристик потока является дискретная случайная величина Х (), представляющая собой число событий, наступающих за промежуток времени. В простейшем потоке с интенсивностью случайное число событий Х (), наступающих за промежуток времени, распределено по закону Пуассона:

pm() =e-, (m = 0, 1, 2,…).

Важной характеристикой простейшего потока является непрерывная случайная величина Т — промежуток времени между двумя любыми соседними событиями потока.

Обозначим поток требований по выплатам, поступающим в компанию, через П. По условию примера число поступающих в компанию требований по выплатам за любой промежуток времени не зависит от начала этого промежутка, а зависит лишь от его длины. Поэтому поток П будет стационарным.

В условиях данной ситуации за единицу времени естественно принять неделю. По условию примера интенсивность потока П равна двум требованиям в неделю.

Пусть Х () — число требований по выплатам, поступающим в компанию за промежуток (недель), и Т — промежуток времени между любыми двумя соседними требованиями по выплатам.

После проведенной математической формализации мы можем ответить на поставленные вопросы.

1. В первом вопросе =1 месяц = 4 недели и m=5. Тогда вероятность поступления за месяц пяти требований по выплатам вычисляем по закону распределения Пуассона:

р5(4) =е-2*4 0,092.

2. Вероятность поступления в компанию не менее пяти требований по выплатам за месяц:

р (Х (4) 5)=1 — р (Х (4) < 5) = 1- е-2*4 =1 — 0,1 = 0,9.

3. р (Х (1)1)= е-2*1 0,137.

4. Вероятность, что Т меньше четырёх дней, находим при t = 4 дня = 4/7 недели:

р (Т < 4/7) =1-р (Т 4/7) = 1-е-2 (4/7) =1- 0,319=0,681.

Задание 6.

Рассматривается круглосуточная работа пункта проведения профилактического осмотра автомашин с одним каналом (одной группой проведения осмотра). На осмотр и выявление дефектов каждой машины затрачивается в среднем 0,5 ч. На осмотр поступает в среднем 36 машин в сутки. Потоки заявок и обслуживаний — простейшие. Машина, прибывшая на пункт осмотра, покидает этот пункт лишь в случае, если в очереди на осмотр стоят более 5 машин. Определить вероятности состояний и характеристики обслуживания профилактического пункта осмотра.

Решение

По условию = 36/24 =1,5 машины в час, = 0,5 (ч). Интенсивность обслуживания = 1/ = 1/0,5 = 2 машины в час. Интенсивность нагрузки = 1,5/2 = 0,75.

Вероятность того, что система свободна

=

РОТК =, т. е. 7,2% заказов будут потеряны.

Относительная пропускная способность СМО

Q = 1- РОТК = 0,928, т. е. 92,8% заказов будут обслужены.

Абсолютная пропускная способность СМО

А = 1,5*0,928= 1,392, т. е. за час будет обслужено 1,392 машины.

Среднее число заявок в очереди:

=

=,

т.е. в очереди будут 0,69 машины.

Среднее число занятых каналов:

=,

Среднее число заявок в системе:

= + =0,69+0,696 = 1,386.

Среднее время пребывания заявки в системе (очереди) вычисляется по формулам Литтла:

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой