Історія математики Древньої Греції

Тип работы:
Курсовая
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Одеський національний університет імені І.І. Мечникова

КУРСОВА РОБОТА

на тему

«Історія математики Древньої Греції»

ЗМІСТ

Вступ

Розділ 1. Історія математики і Давній Греції та давньогрецький рахунок

1.1 Характер давньогрецької математики та джерела

1.2 Давньогрецький рахунок

Розділ 2. Класична Греція

2.1 Грецька нумерація

2.2 Таблиці

2.3 Мілетська школа

2.4 Піфагорійська школа

Розділ 3. Олександрійський період та його занепад Греції

3.1 Олександрійський період

3.2 Занепад Греції

Висновки

Список використаної літератури

Вступ

Поняття давньогрецька математика охоплює досягнення грекомовних математиків, що жили в період між VІ століттям до н.е. і V століттям н.е.

Математика народилася в Греції. Це, звичайно, перебільшення, але не занадто велике. У сучасних країнах Еллади математика використалася або для повсякденних потреб (підрахунки, виміри), або, навпаки, для магічних ритуалів, що мали метою з’ясувати волю богів (астрологія, нумерологія і т.п.). Греки підійшли до справи з іншої сторони: вони висунули тезу «Числа правлять миром». Або, як сформулювали цю же думку два тисячоріччя через: «Природа розмовляє з нами мовою математики».

Греки перевірили справедливість цієї тези в тих областях, де зуміли: астрономія, оптика, музика, геометрія, пізніше — механіка. Усюди були відзначені вражаючі успіхи: математична модель володіла незаперечною предсказательною силою. Одночасно греки створили методологію математики і завершили перетворення її зі зводу напівевристичних алгоритмів у цілісну систему знань. Основою цієї системи вперше став дедуктивний метод, користь від якого — не тільки у встановленні істинності тверджень, але також і у виявленні неочевидних зв’язків між поняттями, науковими фактами і областями математики.

Від математики древнього Сходу до нас дійшли окремі завдання з рішеннями і таблиці. У древній Греції спостерігаємо нове явище — народження науки, заснованої на строгих доказах. Цей найважливіший стрибок в історії науки ставиться до тих же VІ - V ст. до н.е., які відзначені такими безсмертними утворами грецького генія, як державотворення і поява трагедії і комедії. Кожного з них було б досить, щоб вважати цей час найважливішою віхою в історії людства, а поява всіх трьох граничить із чудом.

Метою роботи є розглянути історію математиці у Древній Греції.

Розділ 1. Історія математики і Давній Греції та давньогрецький рахунок

1.1 Характер давньогрецької математики та джерела

Потреби ремісничого виробництва, що розвивався в давньогрецьких полісах, і будівництва, прогрес сільського господарства і мореплавання наполегливо вимагали і розвитку наукових знань. Починаючи з VІІ в. до н.е., тут, і насамперед в Іоніі, на стику єгипетської і вавилонської культур, починає зароджуватися нерозчленована наука, у якій астрономічні, метеорологічні, математичні, механічні і медичні знання об'єднані в одне ціле з філософськими, політичними, географічними і економічними поданнями.

У цю епоху греки черпали свої знання з єгипетських, вавилонських і фінікійських джерел. Характер цих знань був переважно практичний. Давньогрецький історик Геродот (близько 484−425 р. до н.е.) описує це наступними словами [1, с. 109]: «Жерці ж розповідали, що цей цар (Сесострис) розділив країну між всіма єгиптянами, причому всі вони одержали по однаковій чотирикутній ділянці землі; цим він створив для себе доходи, наказавши сплачувати щорічно відомий податок. Якщо ріка (Нил) відривала шматок від якої-небудь ділянки, то власник його був до царя і повідомляв про те, що трапилося. Цар посилав декількох людей для огляду і виміру, на скільки потерпілих ділянка зменшилася, щоб надалі власник його платив все-таки відповідно до встановленого спочатку податку. Мені здається, таке було походження геометрії, з Єгипту перешедшей в Елладу. Що стосується сонячних годин, сонячного показника (гномона) і розподілу дня на дванадцять частин, то все це елліни запозичили від вавилонян». Ісократ (близько 390 р. до н.е.) указує, що математичні знання були перейняті греками в єгиптян, жерці яких, «, зневажаючи задоволеннями», виконували найважливіші доручення, навчали молодь, займалися астрономією, рахунком і геометрією". Найбільший мислитель стародавності Аристотель (384−322 р. до н.е.) в «Метафізиці» також відзначає єгипетське походження грецької з [2, с. 20]. Подібний погляд висловлює і Прокл (410−485 р. н.е.) у зведенні історії грецької геометрії у своїх коментарях до «Початків» Евкліда [3, с. 67]. І хоча коментарі Прокла були написані в V в. н.е., у них збереглися традиції Евдема Родоського — ІV в. до н.е.

Наступність математичних знань, отже, не підлягає ніяким сумнівам. Єгипетська і вавилонська математика носила конкретно практичний характер, але містила перші зачатки теорії. Очевидно, що ці паростки абстрактно-математичного мислення спочатку були перенесені в Грецію із цих країн древньої культури. Однак серед частини буржуазних істориків і філософів панує інший погляд. Багато хто з них або зовсім заперечують, що математика Древнього Сходу вплинула на розвиток грецької математики, тому що, нібито, перша була «магічною», а не науковою, як друга, інші визнають, що греки запозичили дещо в єгиптян і вавилонян, але це були тільки прикладні знання. Як теоретична наука математика нібито цілком є створенням стародавніх греків. Вона, нібито, породжена їх особливим «еллінським духом», тим же, що створив і грецьке мистецтво, і який не то властивий їхньої крові, не то плід природи Егейського архіпелагу. Для підкріплення цього ідеалістичного погляду вони посилаються на висловлення, приписуване великому грецькому філософові-матеріалістові Демокриту (близько 460−370 р. до н.е.), які зробили подорож по Єгиптові, Персії та Месопотамії: «Я побував у багатьох країнах… розмовляв з багатьма вченими людьми, але що стосується сполучень ліній з доказами, то мене ніхто не перевершив, навіть ті, кого кличуть у Єгипті гарпедонаптами» [4, с. 70].

Але це висловлення саме визнає за гарпедонаптами вміння давати геометричні докази. Виходить, воно не на користь тих, хто затверджує, начебто доказу — породження особливого «грецького духу». З нього випливає лише, що греки зуміли в області математики пройти протягом двох сторіч (Демокрит жив на рубежі V і ІV ст.) розвиток, для якого єгиптянам потрібні були два тисячоріччя. І це прискорення пояснюється, звичайно, не расовими і географічними особливостями, а різницею в суспільних укладах обох народів.

Спочатку давньогрецька математика не відрізнялася принципово від єгипетської і вавилонської. Але з розвитком рабовласницької демократії, починаючи з VІ в. до н.е., у математичному мисленні греків усе більше підсилюється теоретична сторона. Рабам стали доручати «чорну» розумову роботу, — переписування книг, виробництво обчислень, що зрештою привело і до відділення теоретичної математики від практичної. Від практичної арифметики, що називалася «логістикою», і прикладної геометрії, що одержала в Архімеда назва «геодезії», починають відділятися теоретична арифметика і теоретична геометрія, хоча вони, подібно іншим наукам, не були тоді ще самостійними дисциплінами, а входили як складові частини у філософію. На відміну від практичних, теоретична арифметика і геометрія не тільки містили приписання, як вирішувати завдання, але і давали обґрунтування, чому вірне рішення. І це введення в математику доказів давало, як у цьому незабаром переконалися, можливість узагальнювати одержувані приватні результати, одержувати нові висновки.

У математику, так само як і в політичних і судових суперечках, ставало потрібним давати точні визначення понять, розвивати строгі докази. Не випадково піфагорійці, ведено доказ, минулого не тільки філософською школою, але і політичною партією реакційної рабовласницької аристократії. Логічна аргументація великих риторів увійшла в математику. Демокрит, який вніс значний внесок у розвиток грецької математики, був разом з тим і автором першої праці по логіці. «Початку» Евкліда і логіка («Аналітики») Аристотеля за своїм духом взаємозалежні і мають загальних історичних корінь [4, c. 71].

Саме звільнення теоретичної математики від її підпорядкування вузько прикладним завданням, створення в ній замість простих рецептів строго логічних методів, що дають можливість широких узагальнень і нових висновків без прямого звертання до дійсності, і було безпосередньою причиною надзвичайного прискорення її розвитку, обумовленого в остаточному підсумку матеріальними потребами суспільства. Філософи, що займалися математикою, стали розуміти значення математики як науки, що, як і інші науки, повинна пояснювати явища людині для того, щоб він міг використати їх у своїх цілях.

Остаточне виділення математики в самостійну теоретичну науку відбулося в Греції в середині V в. до н.е., знайшовши своє завершення вже в елліністичну епоху в «Початках» Евкліда, приблизно 300 р. до н.е. Протягом трьох попередніх століть, у класичний період розвитку, воно підготовлялося нагромадженням елементарних знань, а головне, всі зростаючим посиленням теоретичних, логічних моментів у грецькій математиці. Спочатку розрізнені докази лише окремих теорем стали загальним правилом. Чітко почали виділяти вихідні поняття й положення, по можливості уникати звертання до наочності й, заміняючи його логічними висновками, всі отримані знання приводили в струнку систему.

Так само як і природознавство, математика, починаючи із самого свого формування як науки, з’явилася ареною боротьби двох філософських таборів — матеріалізму і ідеалізму. Борючись проти релігійних міфологічних фантазій, давньогрецькі філософи, що розділяли стихійно-матеріалістичні і наївно-діалектичні погляди, шукали в самій природі початок буття, і математика служила засобом, що сприяв їм у цих пошуках. Тим часом філософи-ідеалісти вбачали в числах початок всіх речей, а в математику — основу всієї науки, що вони поступово перетворили в наукоподібну спекуляцію, в «аритмологію» — гру з «містичними» властивостями цілих чисел. Таким чином, поки математика не відокремилася від філософії, боротьба матеріалізму проти ідеалізму відбувалася безпосередньо усередині самої математики [4, c. 72].

Як для всієї грецької класичної літератури, так і для математичної характерна крайня вбогість оригінальних джерел. З VІ в. до н.е. збереглося лише кілька пропозицій, приписуваних древнім авторам, наведених разом з різними легендами в більше пізніх творах.

Від V в. до н.е. залишилось лише небагато фрагментів, і тільки починаючи з ІV в. до н.е. є спочатку часткові, а пізніше і повні тексти. Відновити щиру історичну картину заважає не тільки рідкість документів і їхня розкиданість у різних добутках, але, особливо, те, що останні не цілком надійно. Вони складені коментаторами і компіляторами, найчастіше не знайомими з оригіналами, а їхніми перекладаннями, що користуються, із других, а те і третіх рук. Так, наприклад, філософ-неоплатоник Прокл (V в. н.е.) передав у своїх коментарях до Евкліду [3] загубленого «Історію геометрії й астрономії» Евдема Родоського (другої половини ІV в. до н.е.), ґрунтуючись на викладі Геміна (І в. до н.е.). Але Прокл, — а так надходили й деякі інші, викладав історію пристрасно, він замовчував про матеріалістів і перебільшував значення ідеалістичного піфагорійського напрямку. Деякі відомості про стан математичних знань у найдавніший час можна одержати також з філософських творів Платона і Аристотеля, у яких нерідко зачіпаються різні, особливо загальнопринципові проблеми математики.

Завдяки всім відзначеним обставинам у збережені відомості про грецьку математику ввійшло чимало легендарних, недостовірних моментів. Однак наполегливими, великими і глибокими дослідженнями вчених, у тому числі і радянських, була в основному відтворена картина формування грецької математики. Правда, ця картина не позбавлена положень, що вимагають подальших уточнень, а іноді і корінного перегляду.

1.2 Давньогрецький рахунок

Грецький рахунок був десятковий, зі збереженими слідами значно більше древнього четверічного рахунку: числівник «окто» — 8 — має граматичну форму двійкового числа. При невеликих числах греки вважали на пальцях, при більших — за допомогою камінчиків («псефос»), що викладають на землі, а пізніше на дошці, що потім для розрізнення розрядів була розграфлена, перетворилася в абак. У комедії Аристофана «Оси» (422 р. до н.е.) говориться: «Для початку прикину не так, як у суді, не на рахунках, а просто на пальцях» [5, с. 382]. Рахунок на пальцях вівся по п’ятірках; так, в «Одисеї» Гомер (імовірно, ІX-VІІІ в. до н.е. змушує морського бога Протея «вважати п’ятами» («пемпадзестай») тюленів.

Уже в Гомера греки мали числівники до 1000, але не вище; слово «мирної» (миріада) позначало тоді ще «дуже багато» (як, втім, і в нас) і лише пізніше стало вживатися як 10 000. Втім, і числівник «гекатон"-100 — вживається тут часто в змісті невиразно великої кількості. Подання про більші числа і уміння діяти з ними давалося нелегко. Лише в ІІІ в. до н.е. Архімедом було написано знамените «Вирахування піщин» («Псаміт»), яке розвіяло оману про існування «найбільшого останнього» числа і отримавши спосіб, яким можна виразити як завгодно велике число.

При рахунку греки користувалися абаком, що перейшов до них, очевидно, від єгиптян, за посередництвом фінікійців. Єгиптяни, як повідомляє Геродот, на відміну від греків, пересували камінчики не ліворуч праворуч, а зверху вниз. На абаку було 10 більших подвійних стовпчиків і збоку чотири простих менших. У стовпчики укладалися камінчики, пізніше замінені особливими рахунковими жетонами. Більші стовпчики служили для розрізнення розрядів, які йшли праворуч ліворуч від нижчих до вищих, причому для кожного розряду приділялися два стовпчики підряд. Але відношення між розрядами залежало від грошової системи, тому що абак служив, насамперед, для грошових підрахунків при торговельних угодах.

У греків найвищою грошовою одиницею був талант, з 6000 драхм, 1 драхма рівнялася 6 оболам і 1 обол 8 халкам. Перші два правих більших стовпчики служили для зображення із драхм, третій і четвертий стовпчики мали значення в 10 разів більше, ніж перший і другий; п’ятий і шостий в 100, сьомий і восьмий — в 1000 разів. Дев’ятий і десятий стовпчики служили для зображення талантів [6, c. 62].

Розподіл стовпчиків на верхню і нижню половини використалося при арифметичних діях; так, наприклад, при додаванні у верхній половині викладався його результат — сума. Меншими стовпчиками праворуч користувалися для позначення числа оболов і халков, причому, починаючи праворуч, кожний сусідній з ним лівий стовпчик мав подвоєне значення. Те, що рахунок на абаку був основним способом обчислення, показує саме слово «обчислювати» — «псефідзейн», дослівно — класти камінчики. Проводячи обчислення на абаку, греки, як правило, записували лише остаточний результат, однак при складних обчисленнях вони, подібно нам, відзначали для себе і проміжні результати.

Розділ 2. Класична Греція

2.1 Грецька нумерація

З появою в греків в X в. до н.е. писемності, що виникла на основі фінікійського алфавіту, став застосовуватися і письмовий рахунок. Спочатку це була геродіановська нумерація, названа так по імені описавши її граматику Геродіана (ІІ в н.е.). Вона була у двох різновидах: атичною і беотійською, названих так по областях Греції. Одиниця позначалася просто рисою (палець), 5 в атичною (зображення п’ятірні), а в беотійською (яке розглядалося пізніше як скорочення слова «пенте» -5), 10 — відповідно і, 100 — і, 1000 — і, 10 000 -. Ці знаки були початковими заголовними буквами відповідних числівників дека (10), гекатон (100), хіліас (1000), міріада (10 000). Їхнім сполученням виходили і проміжні числівники: для 50 в атичною, а в беотійською, для 500 — відповідно, для 5000 — і. Інші числа виражалися так само, як це відбувалося на абаку, наприклад 9 821 писалося (атичні) як

Геродіановську нумерацію можна зустріти в аттичних пам’ятниках, які ставляться навіть до І в. до н.е., хоча задовго до цього (коли точно, не встановлено) в інших областях Греції її витиснула іонійська нумерація. В останньої числа зображувалися буквами алфавіту, як у євреїв і родинних їм фінікіян, від яких греки і перейняли цей спосіб. Числа позначалися так:

Тут, крім букв загальноприйнятим алфавіту, що став, використаний ще три застарілі: — «вау», пізніше буква, яка заміняє букву наприкінці слів, для 6; -«коппа» для 90; - «сампі» для 900. Таким чином, за допомогою 27 знаків можна було записати всі числа до 999. Тисячі позначалися як одиниці з комою перед буквою, наприклад, і т.д. Щоб розрізнити цифри від букв, над ними ставили або чортові, або штрих, наприклад,. Більші числа, що ввійшли у вживання порівняно пізніше, записувалися по міріадам, наприклад 54 321 як або; ще пізніше міріади записувалися двома крапками над буквою, наприклад,, .

Іонійська нумерація, яка виникла з потреб торгівлі, яка розширюється, була значно коротше геродіановською; наведене вище число 9 821 записувалося так: Знаки цифр вимовлялися не як букви, а як числівники; тому для швидкої дії над ними потрібно було тільки пам’ятати напам’ять таблиці додавання і множення, які були і у готовому виді. Крім того, тому що при множенні і ділення багатозначних чисел потрібно було визначати розряд цифр результату, то було введене поняття «підстави» («питмен»), наприклад, 700 має «підстава» 7, те ж, що і 7000 і 70 000 і т.д. [4, c. 76].

Таким чином, всупереч думці деяких істориків математики, наприклад, М. Кантора і Г. Ганкеля, начебто алфавітна нумерація була кроком назад у порівнянні з аттичною, я вважаю, що стислістю і легкістю запису і зручністю обчислень для невеликих чисел, легкістю засвоєння і можливістю запису в ній як завгодно більших чисел вона лише деяким уступала нашій позиційній десятковій системі. П. Таннери, що спеціально засвоїв в 1882 р. іонійську нумерацію, переконався на конкретних обчисленнях у її практичних достоїнствах, які, у силу звички, схильні заперечувати.

Роблячи додавання в письмовому виді, греки не ставили однойменні розряди друг під другом, у них не було ні знака додавання, ні звичної нам риси під доданками, а замість знака рівності вони писали слово «гомой» («разом»). Найчастіше всього доданки і їхня сума писалися просто в рядок. Так само записувалися й інші дії. Іноді, утім, перед підсумком ставився особливий знак — скорочення слова «гігнестай» — у змісті «виходить».

2.2 Таблиці

Для полегшення додавання, а також і віднімання служили особливі таблиці, частина яких приводимо:

За допомогою заучених або заготовлених таблиць, абака або просто пальців вироблялося і віднімання. Негативних чисел і нуля як числа грецька математика не знала.

Множення вироблялося або по «єгипетському» способу, або по грецькому способі, причому користувалися таблицею множення, яку потрібно було пам’ятати або ж мати під рукою.

Такі таблиці були до 10 000. У неопіфагорійця Нікомаха (близько 100 р. н.е.), чиє «Піфагорійське введення в арифметику» дійшло до нас, була квадратна таблиця, побудована точно так само, як наша шкільна таблиця множення.

Такою таблицею користувалися для обчислень, хоча сам Нікомах призначав її для інших цілей — для зіставлення його властивостей, що цікавили, подільності цілих чисел.

У той час як ми здійснюємо множення багатозначних чисел, починаючи з нижчих розрядів (спосіб, перейнятий через народи країн ісламу від індійців), греки починали з вищих розрядів. Спочатку множилися «підстави», а потім установлювався розряд. Для вправи приводилися завдання на множення цифрових значень букв цілих рядків віршів, що приводило до досить більших чисел. Алфавітний спосіб позначення чисел давав усюди, де він зустрічався (наприклад, у євреїв, індійців) можливість укоренитися числовій містиці, тому що будь-якому слову могло надаватися числове значення, а отже, у відносинах між числами вбачати «таємничі» зв’язки між словами і вираженими ними поняттями. Прикладом подібної числовий містики є гадання П'єра Безухова про свою долю за допомогою «числових значень» букв слів L’Russe Besuhof (росіянин Безухов). У першому слові, всупереч правилам французької граматики, П'єр відкинув «е», і тоді вийшло в сумі те ж «звірине число» 666, що зі слова L’empereur Napoleon (імператор Наполеон), звідки він уклав, що йому, П'єру, предвечно визначене взяти участь «у великій справі положення межі влади звірові, глаголяючи велика і хульна», у події, нібито передвіщеному Апокаліпсисом [7, с. 79].

Разом з тим, алфавітний спосіб нумерації створив підставу для виникнення мнемоніки — вчення про штучні прийоми для запам’ятовування, що збереглося в трохи іншому виді і до наших днів.

Збережені твори не дають ясного подання про те, яким саме способом греки робили ділення. Найімовірніше, він був, особливо в більш пізніший час, подібний зі способом, застосовуваним нами. У випадку, коли розподіл давав залишок, обмежувалися або наближенням, або застосовували дробу. Для останніх у греків було три способи вираження. По-перше, користувалися вже відомими нам «єгипетськими» одиничними дробами. Кожної аліквотної дроби відповідав її «додатковий дріб», разом з якої вона становить одиницю. Аліквотні дроби довгий час записувалися словами і лише порівняно пізно символами, наприклад,, або, або, або ж. Для найчастіше вживався особливий знак. По-друге, застосовувалися загальні дроби, у нашому написанні, які розглядалися як m-кратні аліквотний дріб і як ділення. Позначалися загальні дроби по-різному, а в найбільш зробленому виді так, що знаменник записувався над чисельником, наприклад означало. Таким чином, тут був зроблений важливий крок до сучасного позначення дробів, що, очевидно, виникло в древніх індійців. Для дроби, що займала й у єгиптян особливе положення, були різні спеціальні позначення.

При обчисленнях із дробами греки користувалися їхнім перетворенням в однойменні, скороченням і «розширенням», тобто множенням чисельника і знаменника на додаткові множники. Для полегшення додавання і вирахування одиничних дробів були особливі допоміжні таблиці. Зі збережених досить численних таблиць, що ставляться до різного часу, ясно видні сліди єгипетської традиції.

Поряд із дробами греки розглядали відносини («логой»), що розуміють як відносини відрізків. Вони ділили їх на десять видів, якось: «кратні», наприклад 4: 1; «підкратні», наприклад 1: 4; «зверхкратні», 4:3 і ін. [4, c. 79].

2.3 Мілетська школа

Зародження грецької математики зв’язується з легендарною фігурою Фалеса (близько 600 р. до н.е.), засновника в Греції самої ранньої філософської стихійно-матеріалістичної школи: Філософія мілетської, так само як і заснованої Гераклітом (близько 530−470 р. до н.е.) ефеської школи, була спрямована проти ідеалістичної і метафізичної ідеології родової аристократії. По твердженнях Геродота, Демокрита і Платона [88, с. 7], Фаліс був фінікійського походження. Він був купцем в Мілете, центрі заморської торгівлі на іонійському узбережжі. Звідси в першій половині VІ в. до н.е. Фалес відправився в подорож, відвідав Єгипет, де і познайомився з математикою.

Сполучення зачатків природознавства і філософії з дозволом практичних завдань привело до спроб моністичного пояснення миру. Фалес намагався пояснити різноманіття природи з єдиного початку, відшукати в гаданому хаосі явищ закономірність. Це початок Фалес міг знайти в міфології древньої егейської острівної культури, Єгипту і особливо Месопотамії. Виняткове значення, що тут для господарського життя мали море або ріки, сприяло створенню легенд про створення миру з води. Тому Фалес прийняв за першооснову всього сущого воду. Але, на відміну від релігійних вірувань, навчання Фалеса не вважало мир створеним богами, а вічним, і вічно що закономірно змінюється. «Таким чином, тут перед нами вже повністю вимальовується первісний стихійний матеріалізм, що на першій стадії свого розвитку досить природно вважає саме собою розумовою єдність у нескінченному різноманітті явищ природи і шукає його в чомусь обумовлено-тілесному, у чомусь особливому, як Фалес у воді» [9, с. 147]. Намагаючись дати розумні, логічні пояснення явищ, Фалес почав підходити і до математичних положень із вимогою: не тільки висловити, але й довести їх. Йому приписують доказ наступних теорем:

1) про розподіл кола навпіл його діаметром;

2) про рівність кутів при підставі рівнобедреного трикутника;

3) про рівність вертикальних кутів;

4) про рівності трикутників по стороні і прилягаючої до неї кутам (так звана друга ознака рівності трикутників),

5) про те, що кут, описаний у півколо, — прямій.

Можливо, що Фалес «доводив» свої теореми про рівність напівкіл, кутів або інших трьох елементів трикутника шляхом накладення, здійснюваного в перших трьох теоремах простим перегинанням креслення, до чого в п’ятій теоремі додається ще поворот креслення навколо центра окружності на 180°.

Узагальнюючи знання єгиптян і вавилонян, мілетська школа прагнула знайти відповідь на питання про основу буття, і відповідно до зростання логічного елемента в суспільному мисленні шукала і обґрунтування окремих положень геометрії. І якщо єгипетська геометрія залишалася в основному геометрією площ, зберігаючи в цьому прямий зв’язок зі своїм походженням із землемерія, тепер вона стала більше абстрактною. Ще в більшій мірі, чим у єгиптян, користувалися кресленням; прямі лінії розглядалися не тільки як границі земельних ділянок, на кресленні вивчалися властивості трикутників, кутів, кола, важливу роль стало грати поняття подоби.

Так само як на батьківщині вчителів греків — єгиптян і вавилонян — вивчення математики було і в Елладі тісно пов’язане з потребами практики. До VІІ і VІ ст. до н.е. ставиться будівництво величезних храмів Аполлона в Мілете, Гери на острові Самоз і Артеміди в Ефесі. Ці храми будувалися десятиліттями, вимагали точних розрахунків і планів, а також застосування найпростіших механізмів. Математичні знання потрібні були і для суднобудування, що розвивається, і мореплавства.

Фалесу приписується перше застосування циркуля і кутоміра, вимір висоти піраміди (або — обеліска?) по довжині її тіні і свій власної, а також спосіб визначення відстані корабля від берега. Перша із цих завдань, очевидно, вирішувалася так: з вежі або зі скелі на березі найпростішим інструментом був обмірюваний кут між схилом і напрямком лучачи до корабля. Потім обстановка була відтворена на кресленні в зменшеному масштабі. Нарешті, обмірюване на кресленні відстань множилася на відповідний коефіцієнт. Рішення ґрунтувалося на понятті подоби трикутників, пропорційності сторін, що лежать проти рівних кутів. Аналогічно вирішувалося і друге завдання, Мілетська школа нараховувала цілий ряд філософів-математиків, однак про наукову діяльність більшості з них збереглося вкрай мало відомостей [4, c. 81].

Видним продовжувачем ідей Фалеса був його співвітчизник, родич і учень Анаксимандр (близько 610−543 р. до н.е.), автор твору «Про природу». Анаксимандр вважав основою всього існуючого «безмежне» — «апейрон» — безякісну, необмежену ні в просторі, ні в часі матерію, яка вічно змінюється, що рухається, яка виділяє протилежності і знову поглинаючу їх. Уперше висловивши здогад про нескінченність вимірів у нескінченному всесвіті і про природне походження людини, він тим самим висував на перший план ідею об'єктивної закономірності, ідею, що дала значний стимул для розвитку науки про кількісні відносини і просторові форми дійсності.

Анаксимандру приписують:

· визначення екліптики;

· подання про Землю як про круговий циліндр, діаметр якого ставиться до висоти як 3: 1;

· побудова перших географічних карт Греції і Землі в цілому, причому в них у перший раз була застосована прямокутна проекція;

· виготовлення сонячних годин і інших астрономічних приладів.

Вважають також, що Анаксимандр був автором твору по елементарній геометрії.

До мілетської школи примикав також Лас із Герміона. Лас написав близько 500 р. до н.е. твір по музиці, перша грецька праця цього роду. Він робив акустичні досвіди. З декількох однакових посудин один залишався порожнім, інший наповнювався рідиною до половини і т.д.

Ударяючи по кожному з посудин, установлювали, що відношення порожніх просторів виражається «для октави як 2: 1, для квінти 3: 2, для кварти 4: 3». З піфагорейської школи використали цей досвід для свого містичного вчення про «гармонії чисел», приписавши його Піфагору. Але, як указав Таннери, експерименти Ласа уточнювали лише факти, безсумнівно, давно відомі майстрам лір і флейт.

Таким чином, уже тоді ідеалістична філософія паразитувала на досягненнях природознавства і математики — явище, характерне для неї протягом всієї історії і особливо що яскраво позначається в наші дні.

2.4 Піфагорійська школа

Наприкінці VІ в. до н.е. внаслідок греко-перських війн культурні центри Греції перемістилися зі сходу на захід, у її південно-італійські колонії. У цієї землеробської, відсталої в порівнянні з Іонією країні виникли ідеалістичні школи піфагорійців і елеатів. Їхня боротьба проти матеріалізму і діалектики мілетської і ефеської школи була відбиттям гострої політичної боротьби між реакційною землеробською аристократією і демосом, що бушувала тоді у всіх полісах південної Італії.

Засновник названої по його імені школи, легендарний Піфагор (близько 570−500 р. до н.е.), був, по переказам, уродженцем острова Самоз. Організований ним союз був не тільки філософською школою, але і політичною партією і релігійним братерством, запекло боровшимся проти демосу. Після перемоги останнього Піфагор нібито біг у Кротон (у південній Італії), а потім у Месапонт, де він і вмер. Філософія піфагорійців прагнула обґрунтувати вічний і незмінний світовий порядок, а разом з ним і влада аристократії та сліпа покора їй демосу. Основу цього порядку вона шукала в числах. Свій релігійний культ піфагорійці перейняли в єгипетських і вавилонських жерців разом зі знаннями арифметики, геометрії, теорії музики і астрономії, які вони розвивали далі.

Піфагорійська філософія виходила із критики наївного матеріалістичного монізму мілетської школи, затверджуючи, що «безмежне» Анаксимандра має потребу у визначенні так само, як і «межа» має потребу в тім, що їм визначається. В основі речей вони вбачали погодженість двох почав, гармонію протилежностей «безмежного» і «межі», втілювану в таємничих «законах чисел». Аристотель викладає самий процес фетишизації чисел піфагорійцями так: «Так звані піфагорійці, зайнявшись математичними науками, вперше рушили їх уперед і, виховавшись на них, сталі вважати їхнього початку початками всіх речей» [2, с. 26−27].

Звичайно, саме по собі заняття математикою не приводить до фетишизації математики. Однак у піфагорійців, саме положення яких як партії реакційної аристократії неминуче штовхало їх на відрив абстрактного від конкретного, математика перетворювалася з науки в таємне навчання секти обранців. Найменш доступні розумінню широких кіл були саме числа, ці найбільш абстрактні елементи науки того часу. Їхні піфагорійці протиставляли почуттєвим речам, приписуючи числам самостійне існування. Наявність товарного виробництва, у простій формі вартості існуюче в греків уже в епоху Гомера, а з VІ в. до н.е. і в грошовій формі, створило умови, які роблять можливим цю фетишизацію математики, так само як і всіх взаємин людей і їхніх ідеологій [10, с. 31].

Але деякі буржуазні історики і філософи, наприклад Е. Франк, виставляють як причина, що породила числову містику піфагорійців, їхнє заняття музикою. Числові закономірності музичних співзвуч, виведені умоглядним шляхом, і лише яка злегка опираються на емпірично встановлені факти, нібито зводилися піфагорійцями в абсолютну числову гармонію всього сущого. Вірно, що піфагорійці могли використати вивчення акустичних основ музики для того, щоб додати своєї ідеалістичної філософії наукоподібний вид. І проте їхній числовий містицизм мав не природничо-наукове, а соціально-політичне походження.

Для піфагорійців будь-яке число виявляло собою щось більше, ніж кількісну величину. Наприклад, число 2, відповідно до їх погляду, означало розходження і тому ототожнювалося з думкою. Четвірка представляла справедливість, тому що це перше число, рівне добутку двох однакових множників.

Піфагорійці також відкрили, що сума деяких пар квадратних чисел є знову квадратне число. Наприклад, сума 9 і 16 дорівнює 25, а сума 25 і 144 дорівнює 169. Такі трійки чисел, як 3, 4 і 5 або 5, 12 і 13, називаються піфагоровими числами. Вони мають геометричну інтерпретацію: якщо два числа із трійки дорівняти довжинам катетів прямокутного трикутника, то третє число буде дорівнює довжині його гіпотенузи. Така інтерпретація, мабуть, привела піфагорійців до усвідомлення більш загального факту, відомого нині за назвою теореми Піфагора, відповідно до якої в будь-якому прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.

Розглядаючи прямокутний трикутник з одиничними катетами, піфагорійці виявили, що довжина його гіпотенузи дорівнює кореню із двох, і це повалило їх у сум’яття, тому що марно намагалися представити число у вигляді відносини двох цілих чисел, що було надто важливо для їхньої філософії. Величини, непредставлені у вигляді відносини цілих чисел, піфагорійці назвали непорівнянними; сучасний термін — «ірраціональні числа». Близько 300 до н.е. Евклід довів, що число несоизмеримо. Піфагорійці мали справу з ірраціональними числами, представляючи всі величини геометричними образами. Якщо 1 і вважати довжинами деяких відрізків, то розходження між раціональними та ірраціональними числами згладжується. Добуток чисел і є площа прямокутника зі сторонами довжиною ми й сьогодні іноді говоримо про число 25 як про квадрат 5, а про число 27 — як про куб 3.

Стародавні греки вирішували із невідомими за допомогою геометричних побудов. Були розроблені спеціальні побудови для виконання додавання, віднімання, множення і ділення відрізків, витягу квадратних корінь із довжин відрізків; нині цей метод називається геометричною алгеброю.

Приведення завдань до геометричного виду мало ряд важливих наслідків. Зокрема, числа стали розглядатися окремо від геометрії, оскільки працювати з непорівнянними відносинами можна було тільки за допомогою геометричних методів. Геометрія стали основою майже всієї строгої математики, принаймні, до 1600. І навіть в XVІІІ в., коли вже були досить розвинена алгебра і математичний аналіз, стругаючи математику трактувалася як геометрія, і слово «геометр» було рівнозначно слову «математик».

Саме піфагорійцям багато в чому зобов’язані тією математикою, що потім була систематизована викладена і доведена в «Качанах» Евкліда. Є підстави думати, що саме вони відкрили ті, що нині відомо як теореми про трикутники, паралельних прямих, багатокутниках, окружностях, сферах і правильних багатогранниках.

Одним з найвидатніших піфагорійців був Платон (ок. 427 — 347 до н.е.). Платон був переконаний, що фізичний мир збагненний лише за допомогою математики. Вважається, що саме йому належить заслуга винаходу аналітичного методу доказу. Аналітичний метод починається із твердження, що потрібно довести, і потім з нього послідовно виводяться наслідки до тих пір, поки не буде досягнутий який-небудь відомий факт; доказ виходить за допомогою зворотної процедури. Прийнято вважати, що послідовники Платона винайшли метод доказу, що одержавши назву «доказ від противного». Помітне з в історії математики займає Аристотель, учень Платона. Аристотель заклав основи науки логіки і висловив ряд ідей щодо визначень, аксіом, нескінченності і можливості геометричних побудов.

Найбільшим із грецьких математиків класичного періоду, що уступали по значимості отриманих результатів тільки Архімедові, був Евдокс (ок. 408 — 355 до н.е.). Саме він ввів поняття величини для таких об'єктів, як відрізки прямих і кутів. Маючи у своєму розпорядженні поняття величини, Евдокс логічно строго обґрунтував піфагореїський метод обігу з ірраціональними числами [4, c. 89].

Роботи Евдокса дозволили встановити дедуктивну структуру математики на основі явно формувалися аксіоми. Йому ж належить і перший крок у створенні математичного аналізу, оскільки саме він винайшов метод обчислення площ і обсягів, що одержавши назву «методу вичерпування». Цей метод складається в побудові вписаних і описаних плоских фігур або просторових тіл, які заповнюють («вичерпують») площу або обсяг тієї фігури або того тіла, що є предметом дослідження. Евдоксу ж належить і перша астрономічна теорія, що пояснює спостережуваний Рух планет. Запропонована Евдоксом теорія із чисто математичною; вона показувала, яким образом комбінації обертових сфер з різними радіусами і осями обертання можуть пояснити гадані нерегулярними рухи Сонця, Місяця і планет.

Близько 300 до н.е. результати багатьох грецьких математиків були зведені в єдине ціле Евклідом, який написав математичний шедевр «Качану». З деяких проникливо відібраних аксіом Евклід вивів близько 500 теорем, що охопила вусі найбільш важливі результати класичного періоду. Свій твір Евклід почав з визначення таких термінів, як прямий, кут і окружність. Потім він сформулював десять самоочевидних істин, таких, як «ціле більше кожної із частин». І із цих десяти аксіом Евклід зміг вивести всі теореми. Для математиків текст «Почав» Евкліда довгий година служив зразком строгості, поки в 19 ст. не виявилося, що в ньому є серйозні недоліки, такі як неусвідомлене використання не сформульованих у явному виді допущень.

Аполлоній (ок. 262 — 200 до н.е.) жил в олександрійський період, але його основна праця витримана в дусі класичних традицій. Запропонований їм аналіз конічних перетинів — окружності, еліпса, параболи і гіперболи — з’явився кульмінацією розвитку грецької геометрії. Аполлоній також ставши засновником кількісної математичної астрономії.

Розділ 3. Олександрійський період та його занепад Греції

3.1 Олександрійський період

У цей період, що почався близько 300 до н.е., характер грецької математики змінився. Олександрійська математика виникла в результаті злиття класичної грецької математики з математикою Вавилоні і Єгипту. У цілому математики олександрійського періоду були більше схильні до рішення чисто технічних завдань, чим до філософії. Великі олександрійські математики — Ератосфен, Архімед, Гіпарх, Птолемей, Діофант і Папп — продемонстрували силу грецького генія в теоретичному абстрагуванні, але настільки ж охоче застосовували свій талант до рішення практичних проблем і чисто кількісних завдань.

Ератосфен (ок. 275−194 до н.е.) знайшов простий метод точного обчислення довжини окружності Землі, йому ж належить календар, у якому кожний четвертий рік має на один день більше, ніж інші. Астроном Аристарх (ок. 310 — 230 до н.е.) написав твір «Про розміри і відстані Сонця і Місяця», що містило одну з перших спроб визначення цих розмірів і відстаней; за своїм характером робота Аристарха була геометричною.

Найбільшим математиком стародавності був Архімед (ок. 287 — 212 до н.е.). Йому належать формулювання багатьох теорем про площі і обсяги складних фігур і тіл, цілком строго доведені їм методом вичерпання. Архімед завжди прагнув одержати точні рішення і знаходив верхні і нижні оцінки для ірраціональних чисел. Наприклад, працюючи із правильним 96-косинцем, він бездоганно довів, що точне значення числа p перебуває між 31/7 і 310/71. Архімед довів також кілька теорем, що містили нові результати геометричної алгебри. Йому належить формулювання завдання про розсічення кулі площиною так, щоб обсяги сегментів перебували між собою в заданому відношенні. Архімед вирішив це завдання, відшукавши перетинання параболи і рівнобочної гіперболи [12, c. 256].

Архімед був найбільшим математичним фізиком стародавності. Для доказу теорем механіки він використав геометричні міркування. Його твір «Про плаваючі тіла» заклало основи гідростатики. Відповідно до легенди, Архімед відкрив закон, що носить його ім'я, відповідно до якого на тіло, занурене у воду, діє сила, що виштовхує, рівна ваги витиснутої їм рідини, під час купання, перебуваючи у ванною, і не в силах подолати з його радістю, що охопила, відкриття, вибіг оголений на вулицю з лементом: «Еврика!» («Відкрив!»).

У часи Архімеда вже не обмежувалися геометричними побудовами, здійсненними тільки за допомогою циркуля і лінійки. Архімед використав у своїх побудовах спіраль, а Діоклес (кінець 2 ст. до н.е.) вирішив проблему подвоєння куба за допомогою введеної їм кривій, що одержала назва цисоїди.

В олександрійський період арифметика і алгебра розглядалися незалежно від геометрії. Греки класичного періоду мали логічно обґрунтовану теорію цілих чисел, однак олександрійські греки, сприйнявши вавилонську і єгипетську арифметику і алгебру, багато в чому втратили вже напрацьовані подання про математичну строгість. Жив між 100 р. до н.е. і 100 р. н.е. Герон Олександрійський трансформував значну частину геометричної алгебри греків у відверто нестрогі обчислювальні процедури. Однак, доводячи нові теореми евклідової геометрії, він як і раніше керувався стандартами логічної строгості класичного періоду.

Першою досить об'ємистою книгою, у якій арифметика викладалася незалежно від геометрії, було «Введення в арифметику» Нікомаха (ок. 100 н.е.). В історії арифметики її роль порівнянна з роллю «Почав» Евкліда в історії геометрії. Протягом більше 1000 років вона служила стандартним підручником, оскільки в ній ясно, чітко викладалося вчення про цілі числа (простих, складових, взаємно простих, а також про пропорції). Повторюючи багато хто піфагореїські твердження. Введення Нікомаха разом з тим ішло далі, тому що Нікомах бачив і більш загальні відносини, хоча і приводив їх без доказу.

Знаменною віхою в алгебрі олександрійських греків стали роботи Діофанта (ок. 250 р.). Одне з головних його досягнень пов’язане із введенням в алгебру почав символіки. У своїх роботах Діофант не пропонував загальних методів, він мав справу з конкретними позитивними раціональними числами, а не з їхніми літерними позначеннями. Він заклав основи т. зв. діофантову аналізу — дослідження неозначених рівнянь.

Вищим досягненням олександрійських математиків стало створення кількісної астрономії. Гіпарху (ок. 161 — 126 до н.е.) зобов’язані винаходом тригонометрії. Його метод був заснований на теоремі, яка затверджує, що в подібних трикутниках відношення довжин будь-яких двох сторін одного з них дорівнює відношенню довжин двох відповідних сторін іншого. Зокрема, відношення довжини катета, який лежить проти гострого кута, а в прямокутному трикутнику, до довжини гіпотенузи повинне бути тим самим для всіх прямокутних трикутників, що мають той самий гострий кут а. Це відношення відомо як синус (sіn) кута а. Відносини довжин інших сторін прямокутного трикутника одержали назву косинуса (cos) і тангенса (tg) кута а. Гіпарх винайшов метод обчислення таких відносин і склав їхні таблиці. Маючи у своєму розпорядженні ці таблиці і легко вимірними відстанями на поверхні Землі, він зміг обчислити довжину її великої окружності і відстань до Місяця. За його розрахунками, радіус Місяця склав одну третину земного радіуса; за сучасним даними відношення радіусів Місяця і Землі становить 27/1000. Гіпарх визначив тривалість сонячного року з помилкою всього лише в 61/2 хвилини; вважається, що саме він ввів широту і довготу [12, c. 280].

Грецька тригонометрія і її додатки в астрономії досягли піка свого розвитку в «Альмагестє» єгиптянина Клавдія Птолемея (умер в 168 н. е). В «Альмагестє» була представлена теорія руху небесних тіл, що панувала аж до XVІ ст., коли неї перемінила теорія Коперника. Птолемей прагнув побудувати найпростішу математичну модель, усвідомлюючи, що його теорія — усього лише зручний математичний опис астрономічних явищ, погоджене зі спостереженнями. Теорія Коперника взяла гору саме тому, що як модель вона виявилася простіше.

3.2 Занепад Греції

Після завоювання Єгипту римлянами в 31 до н.е. велика грецька олександрійська цивілізація занепала. Цицерон з гордістю затверджував, що на відміну від греків, римляни не мрійники, а тому застосовують свої математичні знання на практиці, витягаючи з них реальну користь. Однак у розвиток самої математики внесок римлян був незначний. Римська система числення ґрунтувалася на громіздких позначеннях чисел. Головною її особливістю був адитивний принцип. Навіть обчислювальний принцип, наприклад, запис числа 9 у вигляді ІX, увійшов у широке вживання тільки після винаходу складальних літер в 15 ст. Римські позначення чисел застосовувалися в деяких європейських школах приблизно до 1600, а в бухгалтерії та сторіччям пізніше.

ВИСНОВКИ

давньогрецький математика фігура тіло

З погляду XX ст. родоначальниками математики з’явилися греки класичного періоду (VІ - ІV ст. до н. е). Математика, що існувала в більше ранній період, була набором емпіричних висновків. Навпроти, у дедуктивному міркуванні нове твердження виводиться із прийнятих посилок способом, що виключав можливість його неприйняття.

Грецька математика вражає насамперед красою і багатством змісту. Багато вчених Нового часу відзначали, що мотиви своїх відкриттів почерпнули в древніх. Зачатки аналізу помітні в Архімеда, корінь алгебри — у Діофанта, аналітична геометрія — в Аполлонія і т.д. Але головне навіть не в цьому. Два досягнення грецької математики далеко пережили своїх творців.

Перше — греки побудували математику як цілісну науку із власною методологією, заснованої на чітко сформульованих законах логіки.

Друге — вони проголосили, що закони природи збагненні для людського розуму, і математичні моделі - ключ до їхнього пізнання.

У цих двох відносинах антична математика цілком сучасна.

У цілому математики олександрійського періоду були більше схильні до рішення чисто технічних завдань, чим до філософії. Великі олександрійські математики — Ератосфен, Архімед, Гиппарх, Птолемей, Диофант і Папп — продемонстрували силу грецького генія в теоретичному абстрагуванні, але настільки ж охоче застосовували свій талант до рішення практичних проблем і чисто кількісних завдань.

В олександрійський період арифметика і алгебра розглядалися незалежно від геометрії. Греки класичного періоду мали логічно обґрунтовану теорію цілих чисел, однак олександрійські греки, сприйнявши вавилонську і єгипетську арифметику і алгебру, багато в чому втратили вже напрацьовані подання про математичну строгість.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Геродот, История в девяти книгах, перев. Ф. Г. Мищенко, М., 1888. — 344 c.

2. Аристотель, Метафизика, перев. А. О. Кубицкого, М. -Л., 1934. — 456 с.

3. Рыбников К. А. История математики. М., 1994.- 256 с.

4. Кольман Э., Юшкевич А. П. История математики в древности. М.: Государственное издательство Физико-математической литературы, 1961. — 236 с.

5. Аристофан, Комедии, т. 1, перев. под ред. А. Малецкого, М. -Л., 1934. — 758 с.

6. История математики: с древнейших времен до начала нового времени. Под редакцией А. П. Юшкевича. Том 1. М., Наука, 1970 -- 352 с.

7. Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. Изд. второе. М.: Просвещение, 1965.

8. Античная философия (фрагменты и свидетельства). // Под ред. Г. Ф. Александрова, М., 1940.

9. Ф. Энгельс, Диалектика природы, М., 1952. — 356 с.

10. К. Маркс, Капитал, т. 1, М., 1952. — 218 с.

11. Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М., 1968.

12. Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского И. Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959, 456 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой