Кольца и полукольца частных

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Содержание

  • Введение
  • Глава 1. Построение классического полукольца частных
  • Глава 2. Построение полного полукольца частных
  • Глава 3. Связь между полным и классическим полукольцами частных
  • Библиографический список

Введение

В настоящее время теория полуколец активно развивается и находит своё применение в теории автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики.

В работе построены полное и классическое полукольца частных, а так же рассмотрена их связь.

Прежде чем начать рассмотрение этих структур, определим коммутативное полукольцо частных следующим образом.

Непустое множество с определёнными на нём бинарными операциями и называется коммутативным полукольцом, если выполняется следующие аксиомы:

A1. — коммутативная полугруппа с нейтральным элементом, т. е.

1);

2)

3)

А2. — коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1, т. е.

1);

2)

3)

А3. умножение дистрибутивно относительно сложения:

,.

А4..

Таким образом, можно сказать, что полукольцо отличается от кольца тем, что аддитивная операция в нём необратима.

Глава 1.

Для построения классического полукольца частных можно воспользоваться следующим методом:

Рассмотрим пары неотрицательных целых чисел.

Будем считать пары и эквивалентными, если, получим разбиение множества пар на классы эквивалентности.

Затем введём операции на классах, превращающие множество классов эквивалентных пар в полуполе, которое содержит полукольцо неотрицательных чисел.

Определение1. Элемент назовём мультипликативно сокращаемым, если для из равенства следует, что.

Обозначим через множество всех мультипликативно сокращаемых элементов.

Утверждение1. Мультипликативно сокращаемый элемент является неделителем нуля.

Пусть — делитель нуля, т. е. для некоторого. Тогда, но не является мультипликативно сокращаемым. ^

Пусть — коммутативное полукольцо с возможностью сокращения на элементы из. Рассмотрим множество упорядоченных пар. Введём отношение на: для всех и.

Предложение1. Отношение является отношением эквивалентности на.

Покажем, что является отношением рефлективности, симметричности и транзитивности.

1. Рефлективность: в силу коммутативности полукольца;

2. Симметричность:;

3. Транзитивность: Таким образом, отношение является отношением эквивалентности на.

Полукольцо разбивается на классы эквивалентности; в каждом классе находятся те элементы, которые находятся в отношении. Обозначим класс эквивалентности пары. Введём операции на множестве всех классов эквивалентности:

т.к. для, , выполнено отсюда т.к. получаем и поскольку то следовательно.

Покажем корректность введённых операций:

Пусть, , тогда

^

Теорема1.  — коммутативное полукольцо с 1..

Доказательство.

Чтобы доказать, что множество всех классов эквивалентности является коммутативным полукольцом с 1, нужно показать замкнутость на нём операций:

сложение: для и

1.

2.

Так как правые части равны, то левые части тоже равны:

3. покажем, что для.

Так как

Класс является нейтральным по +:

Из равенства тогда.

Для составляет отдельный класс, играющий в роль нуля.

умножение: для и

1.

2.

Из равенства правых частей следует, что

3. покажем, что для.

Пусть

Класс является нейтральным по умножению (единицей полукольца), т.к., поскольку из равенства тогда.

4. умножение дистрибутивно относительно сложения:

Следовательно, правосторонний дистрибутивный закон выполняется:

Аналогично доказывается левосторонний закон дистрибутивности.

Таким образом, доказано, что является коммутативным полукольцом с 1.

Полукольцо называется классическим полукольцом частных полукольца. ^

Глава 2

Для построения полного полукольца частных можно воспользоваться следующим методом. Рассмотрим дробь как частичный эндоморфизм аддитивной полугруппы неотрицательных целых чисел. Его область определения — идеал, и он переводит в, где. Аналогично, дробь определена на идеале и переводит в. Эти две дроби эквивалентны, т. е. они согласованы на пересечении своих областей определений, равном идеалу, поскольку та и другая дробь переводят в. Отношения определяются как классы эквивалентных дробей. Варьируя этот метод, можно выбрать в каждом классе эквивалентности одну «несократимую» дробь. Рассмотренный выше класс содержит несократимую дробь.

Данный метод можно применить к произвольному коммутативному полукольцу для построения «полного полукольца частных», где в качестве областей определения допускаются лишь идеалы определённого типа — плотные идеалы.

Определение2. Идеал коммутативного полукольца называется плотным, если для и выполняется равенство тогда и только тогда, когда.

Свойства плотных идеалов полукольца:

10 — плотный идеал.

Доказательство:

Пусть для выполнено. Положим, тогда. Таким образом — плотный идеал по определению. ^

20 Если — плотный идеал и, то идеал плотный.

Доказательство:

Если — плотный идеал, то для из равенства следует. Пусть для выполнено. Так как по условию возьмём. Тогда т.к. — плотный идеал получаем отсюда. Таким образом — плотный идеал по определению. ^

30 Если и — плотные идеалы, то и — так же плотные идеалы.

Доказательство:

Положим для выполняется. Пусть, где ,. Элемент т.к., тогда верно равенство отсюда, т.к. — плотный идеал имеем, , и — плотный,. Таким образом — плотный идеал.

Пусть, тогда по определению идеала:. С другой стороны значит. Тогда по 20 — плотный идеал. ^

40 Если, то 0 не является плотным идеалом.

Доказательство.

Пусть. Для и выполнено отсюда 0 не является плотным идеалом. ^

Определение3. Дробью назовём элемент, где — некоторый плотный идеал. (- сокращение от — гомоморфизм, в данном случае: — гомоморфизм)

Таким образом, — гомоморфизм аддитивных полугрупп, для которого для и.

Введём так же дроби, положив и для.

Сложение и умножение дробей определяются следующим образом:

пусть и тогда

,

,.

Покажем, что является идеалом, где т. е. сохраняются операции:

1. Если, то.

Пусть, , тогда.

2. Если и, то. По условию.

Так как — коммутативное полукольцо, то.

. Таким образом, — идеал.

Покажем, что идеал является плотным: надо доказать, что плотный идеал —, т. е..

По определению сложения и умножения, т. е. содержит плотный идеал значит, по свойству 20 идеал является плотным.

Дроби образуют аддитивную коммутативную полугруппу с нулём и полугруппу с единицей. То есть образуют полукольцо.

Доказательство:

1. По определению сложения и умножения:

,.

,

2. Коммутативность:

3. Ассоциативность:

4. Нейтральный элемент.

5. Дистрибутивность:

Правосторонняя дистрибутивность аналогично.

Таким образом, дроби образуют полукольцо.

Определение4. Будем писать если и согласованы на пересечении своих областей определений, т. е. для.

Лемма 1. тогда и только тогда, когда и согласованы на некотором плотном идеале.

Доказательство.

Если то и согласованы на. По свойству 30 идеал является плотным. Следовательно, и согласованы на плотном идеале.

Обратно, пусть и согласованы на плотном идеале. Тогда если и, то отсюда в силу плотности идеала, для, но это равенство выполняется тогда, когда пересечением областей определений и является отсюда следует, что. ^

Лемма 2. Отношение является конгруэнцией на системе.

Доказательство.

Для того чтобы доказать, что — конгруэнция, нужно показать:

1. отношение — рефлексивно, симметрично, транзитивно.

Рефлективность: и согласованы на плотном идеале.

Симметричность: пусть, т. е. и согласованы на.

Транзитивность: пусть и, т. е. и согласованы на плотном идеале

и согласованы на плотном идеале. Значит и согласованы на идеале, являющемся плотным, и согласована с на, тогда согласована с на плотном идеале по Лемме 1

Таким образом, — отношение эквивалентности.

2. отношение сохраняет полукольцевые операции.

Ш Пусть и, т. е. для и для.

Тогда и определены и согласованы на плотном идеале отсюда по Лемме 1.

Ш Пусть и, т. е. для и для.

Тогда и определены и согласованы на плотном идеале отсюда по Лемме 1. ^

Теорема2. Если — коммутативное полукольцо то система так же является коммутативным полукольцом. (Будем называть полным полукольцом частных полукольца)

Доказательство.

— разбивает множество дробей на непересекающихся классов эквивалентности.

По Лемме 2 все тождества выполняющиеся в справедливы и в.

Чтобы убедится, что коммутативное полукольцо остаётся проверить справедливость законов дистрибутивности и коммутативности.

1. Дистрибутивность.

Отображения: и согласованы на идеале покажем, что образы отображений и совпадают на этом идеале:

пусть, где.

Тогда.

Областью определения является. По определению идеала: то для, а идеал (свойство 30) то:. Тогда по определению сложения отсюда следует. Покажем. По определению

Аналогично.

Тогда:

Таким образом, где. По свойству 30 — плотный идеал значит и согласованы на плотном идеале.

2. Коммутативность.

Отображения и согласованы на плотном идеале докажем что их образы совпадают на этом идеале:.

Доказано ранее, что пусть элементы тогда

Отсюда следует, что и согласованы на плотном идеале.

Таким образом, по Лемме 1.

Наконец сопоставим дробь: с областью определения при которой переходит в.

Предложение2. Отображение является гомоморфизмом т. е. сохраняет операции:

Доказательство:

1. Пусть, и где и.

Нужно показать, что. Покажем равенство образов и.

Рассмотрим дробь, такую что

для. (1)

С другой стороны рассмотрим дроби и, такие что для. (2)

Из (1) и (2) следует, что.

По свойству сложения смежных классов:

для

2. Пусть, и где и.

Нужно показать, что. Покажем равенство образов и.

Рассмотрим дробь, такую что

для. (3)

С другой стороны рассмотрим дроби и, такие что для. (4)

Из (3) и (4) следует, что.

По свойству умножения смежных классов:

для.

Таким образом гомоморфизм.

Пусть, тогда

т.е. и согласованы на некотором плотном идеале значит для, так как — плотный идеал, то отсюда — инъективно.

Поэтому, гомоморфизм является мономорфизмом и вкладывается в полное полукольцо частных.

Гомоморфизм будем называть каноническим мономорфизмом в. ^

Глава 3.

Определение5. Любому мультипликативно сокращаемому элементу сопоставим плотный идеал. Если, то элемент назовём классической дробью, полагая для.

Теорема3. Множество дробей образует подполукольцо полного полукольца частных, изоморфное классическому полукольцу частных полукольца.

Доказательство:

Рассмотрим отображение, т. е..

1. Докажем, что — отображение: если и, , где, , то.

Имеем

Возьмём элемент из пересечения плотных идеалов, т. е. и

Тогда, домножим на получим. Так как и на выполняется коммутативность по умножению, то, отсюда для.

2. Докажем, что является полукольцевым гомоморфизмом, т. е. сохраняются полукольцевые операции.

2. 1

. Покажем, что дробь согласована с на плотном идеале.

Пусть, .

для.

Следовательно.

2. 2

.

Идеал содержит, покажем, что и согласованы на плотном идеале.

Пусть ,. Тогда

для.

Значит.

Таким образом — полукольцевой гомоморфизм классического полукольца частных в полное полукольцо частных.

3. Докажем, что — инъективный гомоморфизм.

Пусть для. Предположим, что дроби и согласованы на некотором плотном идеале, т. е. для выполнено. Но ,. Тогда. Домножим обе части равенства на получим:

т.к. — плотный идеал, что противоречит условию.

Значит, является инъективным гомоморфизмом или мономорфизмом в.

Так как, то, где — элемент подполукольца полного полукольца частных, т. е. и. Поскольку — инъективный гомоморфизм, то по теореме о гомоморфизме существует изоморфизм отсюда следует.

Мономорфизм называется вложением классического полукольца частных в полное полукольцо частных полукольца. ^

Библиографический список

1. Вечтомов, Е. М. Введение в полукольца [Текст] / Е. М. Вечтомов. — Киров.: ВГПУ, 2000.

2. Ламбек, И. Кольца и модули [Текст] / И. Ламбек. — Москва.: Мир, 1971. — 288 с.

3. Чермных, В. В. Полукольца [Текст] / В. В. Чермных. — Киров.: ВГПУ, 1997. — 131 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой