Креслення на уроках математики

Тип работы:
Курсовая
Предмет:
Педагогика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

«ЗАПОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

МІНІСТЕРСТВА ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

МАТЕМАТИЧНИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА АЛГЕБРИ ТА ГЕОМЕТРІЇ

КУРСОВА РОБОТА

Зі Шкільного курсу математики та методики її викладання

(назва дисципліни)

на тему: «Креслення на уроках математики»

Студента (ки) 3 курсу, групи 4210−2

напряму підготовки 6. 40 201 — математика

Г. М. Назаренко

Керівник

ст. викладач Н.І. -В. Манько

Запоріжжя — 2013

Запорізький національний університет

Кафедра алгебри та геометрії

Дисципліна шкільний курс математики та методика її викладання

Спеціальність математика

ЗАВДАННЯ НА КУРСОВУ РОБОТУ

СТУДЕНТА

Назаренко Ганни Миколаївни

1. Тема роботи Креслення на уроках математики

2. Строк здачі студентом закінченої роботи____________________________

3. Вихідні данні до роботи

1. Постановка задачі.

2. Перелік літератури.

3. Види задач, які підлягають розгляду.

____________________________________________________________

4. Зміст роботи (перелік питань, які підлягають розробці)

1. Постановка задачі.

2. Основні теоретичні відомості.

3. Розв’язання задач.

5. Перелік графічного матеріалу (з точним зазначенням обов’язкових креслень)________________________________________________________

6. Дата видачі завдання 17. 03. 2013

КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН

Назва етапів курсової роботи

Термін виконання етапів роботи

Примітка

1.

Розробка плану роботи

20. 03. 2013

виконано

2.

Збір вихідних даних

25. 03. 2013

виконано

3.

Обробка методичних та теоретичних джерел

27. 03. 2013

виконано

4.

Розробка першого розділу

10. 04. 2013

виконано

5.

Розробка другого розділу

17. 04. 2013

виконано

6.

Оформлення курсової роботи

30. 04. 2013

виконано

7.

Захист курсової роботи

21. 05. 2013

Студент _________________

(підпис)

Керівник роботи _________________ _______________________

(підпис) (ім'я, по-батькові, прізвище)

«____» _________________2013__р.

РЕФЕРАТ

Курсова робота: 33 с., 11 рис., 6 джерел.

Об'єкт дослідження — креслення, геометричні побудови, графіки функцій.

Мета роботи: дослідження ролі креслення на уроках математики, визначення основних вимог, які встановлюються державними стандартами до оформлення креслень.

Метод дослідження — аналітичний.

У курсовій роботі розглядається зв’язок між кресленням та математикою як двома науками, які взаємодоповнюють одна одну. Наведено сучасні вимоги до оформлення креслень. Визначено одну з провідних ролей зображень як засобу наочності в оволодінні учнями знань з геометрії. Розглянуто основні поняття «Креслення», «Графік», «Функція», «Геометричні побудови», наведено базові задачі на побудову на площині та приклади геометричних побудов при паралельному проектуванні. Доведено доцільність застосування зображень для формування уміння школярів аналізувати умову задачі, логічно мислити, переходити від абстрактного до конкретного. Розглянуто специфіку використання креслень на уроках математики. Показаний їх вплив на розумову активність учнів. На основі даної роботи показана необхідність формування у дітей графічної культури. Результати можуть бути використані під час викладання курсів математики та факультативних занять з геометрії.

КРЕСЛЕННЯ, МАТЕМАТИКА, ГРАФІК, ФУНКЦІЯ, ГРАФІЧНА КУЛЬТУРА, ЗОБРАЖЕННЯ, ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ, ПАРАЛЕЛЬНЕ ПРОЕКТУВАННЯ, СТАНДАРТИ ОФОРМЛЕННЯ, ГЕОМЕТРИЧНА ФІГУРА.

ЗМІСТ

Завдання на курсову роботу

Реферат

Вступ

1. Зв’язок між двома дисциплінами — кресленням та математикою

1.1 Креслення як практична геометрія в математиці

1.2 Роль креслення як засобу наочності під час навчання

1.3 Формування графічної культури на уроках алгебри

1.3.1 Графічна культура як одна із складових математичної культури

1.3.2 Функції і графіки

1.3.3 Формула і її геометричне зображення

2. Сучасні вимоги до зображення геометричних фігур під час розв’язання задач

2.1 Базові задачі на побудову на площині

2.2 Побудови фігур при розв’язанні задач із стереометрії

2.3 Приклади геометричних побудов при паралельному проектуванні

Висновки

Перелік посилань

ВСТУП

Життя сучасної людини насичене найрізноманітнішими графічними зображеннями: рисунками, кресленнями, схемами, планами, картами, графіками, діаграмами тощо. В цих умовах словесна форма передачі i збереження інформації втратила свою універсальність. Мова графічних зображень не знає кордонів, адже вона однаково зрозуміла всім людям, незалежно від того, якою мовою вони розмовляють. Графічну мову набагато легше призвичаїти для її розуміння електронно-обчислювальною машиною. Будь-яка графічна інформація відрізняється від словесної більшою конкретністю, виразністю i лаконічністю.

Креслення через свої функції і предмет вивчення (у широкому розумінні - це будь-яке графічне представлення інформації за допомогою креслярських засобів) дуже тісно пов’язане з багатьма науками, особливо — з математикою. Цей зв’язок відчувається уже у шкільному курсі математики, адже саме за допомогою креслень теоретичні знання можна застосувати і показати на практиці. У геометрії уміння правильно і точно передавати словесну інформацію за допомогою певних елементів і фігур проявляється під час різноманітних геометричних побудов, розв’язання задач на побудову чи створенні малюнка до умови задачі, щоб краще розуміти напрямок пошуку її рішення. В алгебрі ж креслення знайшло своє відображення у побудові різноманітних діаграм, схем, графіків функцій, необхідних для полегшення подальшої роботи із завданнями. Роль креслень у математиці, доцільність і специфіка їх використання на уроках, їх вплив розвиток логіки та просторового мислення у дітей, необхідність виховання у школярів графічної культури — ці питання розглядаються у першому розділі курсової роботи.

Креслення повинні бути однаково зрозумілими для тих, хто їх виконує, і для тих, хто буде користуватись ними. Тому існують єдині правила виконання креслень і побудов та вимоги до їх оформлення. Вони містяться у документах, які називають державними стандартами. Саме цим правилам присвячений другий розділ курсової роботи. Тут наведено основні вимоги оформлення різних геометричних зображень та побудов, які повинен знати і дотримуватись кожен школяр та розглянуто деякі найпростіші приклади розв’язку задач з геометрії із використанням креслень.

1. ЗВ’ЯЗОК МІЖ ДВОМА ДИСЦИПЛІНАМИ — КРЕСЛЕННЯМ ТА МАТЕМАТИКОЮ

1.1 Креслення як практична геометрія в математиці

Необхідність вивчення креслення в середній школі зумовлена не тільки його винятковим значенням у сучасному житті, а й тією величезною роллю, яку відіграє графічна діяльність у розвитку мислення та пізнавальної активності учнів, їх творчих здібностей і самостійності, у формуванні спеціальних умінь і навичок [4].

Міжпредметні зв’язки залишаються однією з головних умов підвищення ефективності навчального процесу. Забезпечення міжпредметних зв’язків сприяє формуванню в учнів діалектико-матеріалістичного світогляду, пізнавального інтересу, свідомого засвоєння знань, поглибленню політехнічних знань. Особливо важливо забезпечити міжпредметні зв’язки при викладанні креслення, математики, трудового навчання, образотворчого мистецтва і фізики, оскільки знання й уміння, набуті учнями при вивченні цих предметів, взаємозв'язані між собою і в цілому створюють в уяві учнів цілісну картину світу.

Креслення і математика тісно взаємопов'язані ще з «Арифметики» Л. Ф. Магницького, хоч креслення й входило до курсу математики як практична геометрія.

Спільність у викладанні креслення і геометрії спирається на традиції, що склалися історично в процесі вивчення цих двох предметів. Мета вивчення геометрії - це ознайомлення із властивостями фігур на площині, розвиток просторових уявлень та просторового мислення. Одночасно з тим повинні набуватись практичні навички та вміння, до яких відносять і уміння виконувати вимірювання та розв’язувати різноманітні геометричні задачі практичного характеру. Ці ж задачі, включаючи й інші, вирішуються і в курсі креслення. Також, і в геометрії, і в кресленні школярі навчаються правильно виконувати малюнки і креслення, що є задачею підготовки учнів до практичної діяльності.

У школах нашої країни креслення вивчається як окремий предмет. Зв’язок геометрії і креслення зумовлений ще й тим, що креслення побудоване на теоретичних основах геометрії, а навички побудов, яких учні набувають на уроках креслення, використовують на уроках геометрії для побудови трапецій, паралелограмів, ромбів. Наприклад, такі питання як поділ та побудова кутів за допомогою циркуля і лінійки, побудова взаємно перпендикулярних прямих тощо, яких не розглянуто в підручнику з креслення, мають бути вивчені на уроках математики під час розв’язування геометричних прикладів і задач.

На уроках математики учні набувають елементарних знань і вмінь будувати паралельні прямі, перпендикуляри до прямої, поділу відрізка й кута на дві рівні частини і т. д. Далі закріплюють свої знання й уміння, які потрібні в майбутньому для складніших побудов з креслення і геометрії. У 8−9-х класах графічні знання та вміння формують паралельно на уроках креслення й геометрії, що сприяє кращому їх засвоєнню.

Відомо, що методи паралельних і прямокутних проекцій використовують не тільки в кресленні, а й у геометрії. Незнання цих методів гальмує глибоке засвоєння учнями способів як плоских, так і просторових зображень фігур. Треба звернути також увагу на вивчення методів проектування.

Як було вже зазначено, креслення і геометрія користуються тими самими теоретичними викладками, правилами і законами. Прикладом цього може бути правило симетрії, яке широко застосовують як у кресленні, так і в математиці. Пропедевтичний зв’язок між цими предметами встановлюють під час вивчення основ якого-не-будь явища поняття з математики для використання цих знань на уроках креслення, наприклад, вивчення масштабу, властивостей тангенсів гострого кута тощо.

З графічних понять і правил, які вивчають на уроках креслення, паралельне і прямокутне проектування учитель геометрії використовує при вивченні паралельних проекцій фігур та їх властивостей.

При виконанні креслень треба намагатись, щоб в усіх побудовах учні знаходили їх геометричний зміст. Для цього вивчення креслення має ґрунтуватись на математичній основі. Учитель продумує, який геометричний матеріал доцільно розглядати на уроках і коли, та в якому обсязі він вивчався на уроках геометрії. Використання згаданих порад сприятиме підвищенню активності учнів та якіснішому засвоєнню ними знань.

1.2 Роль креслення як засобу наочності під час навчання

креслення геометрія математика фігура

Значення креслення для навчання геометрії загальновідоме. Цей простий наочний засіб доступний і зрозумілий всім. Запис умови теореми або задачі за допомогою креслення досить компактний і геометрично виразний, що дозволяє учням охопити усю умову в цілому, тобто допомагає краще засвоїти його і зрозуміти. Зрозумівши умову, учні починають розмірковувати по кресленню, виконуючи різні додаткові побудови, а також аналізувати данні задачі чи теореми. Так що уявити доведення теореми чи розв’язок геометричної задачі без малюнка неможливо [3].

Разом з тим у використанні креслення є своя специфіка. Дійсно, перехід від абстрактного (мислення) до конкретного (креслення) сприймається учнями легко. А от обернений перехід, від конкретного до абстрактного, має для їх розуміння чималі труднощі. Пояснюється це тим, що учні звикли довіряти зображенню повністю, а отже, відноситись до нього критично не вміють. Для них креслення — це та ж об'єктивна реальність, яка нерозривно пов’язана з процесом мислення. Тому, щоб навчити дітей відноситися до креслення критично, необхідно відірвати їх мислення від нього, чому і сприяє навчальне правило: «Не дозволяється використовувати в міркуваннях властивості фігури, які видно на малюнку, якщо ми не можемо обґрунтувати їх, спираючись на аксіоми і теореми, доведенні раніше». Смисл цього правила простий — довіряй, але перевіряй.

Показана специфіка користування кресленням має пряме відношення і до визначень. В підручниках, як відомо, деякі визначення (наприклад, внутрішніх односторонніх і вертикальних кутів) були настільки тісно пов’язані з малюнком, що без нього їх застосування втрачало будь-який сенс. Для того, щоб реальним стало посилання саме на визначення поняття, а не наочне уявлення про нього, визначення його не повинно «прив'язуватися» до креслення.

Такий підхід дозволяє учням здійснювати постійні переходи від конкретного до абстрактного і навпаки, а отже, стимулює розвиток у них логічного мислення. Внаслідок відриву визначення від креслення, ми створюємо тим самим умови для відриву від нього і мислення учнів.

1.3 Формування графічної культури на уроках алгебри

1.3.1 Графічна культура як одна із складових математичної культури

Математика володіє величезними можливостями для розумового розвитку учнів, завдяки своїй систематичності, винятковій ясності і точності своїх понять, висновків і формулювань. У вивченні цієї науки важливим напрямком є розвиток логічного мислення, постійна опора на закони і правила логіки, оволодіння ідеєю дедуктивної побудови математичних знань.

Специфіка математичної мови полягає в тому, що вона включає в себе принаймні дві «підмови»: символічну мову математичних формул і мову геометричних фігур, графіків, діаграм. Друга «підмова» хоча і включає в себе символи, але володіє образною природою, дає можливість матеріалізувати ідеї за допомогою тих чи інших геометричних образів.

Графічну культуру можна розглядати, як уміння створювати ілюстрації, блок-схеми, плакати, малювати схеми та креслення. Розвиток графічної культури учнів — одна із задач шкільного курсу алгебри. Під час побудови графіків закладаються основи аналітичного мислення, формується відповідна інтуїція, розвивається логіка і культура використання функціональних зображень [2,3].

Графічна культура включає в себе не лише уміння побудови графіків (хоча це і вважається важливим фактором), але й уміння «бачити» по готовому кресленню властивості функцій, а також «бачити» найбільш раціональний спосіб розв’язання рівняння, нерівності, і системи рівнянь та нерівностей. Важливо, щоб учні могли робити висновки про взаємне розміщення графіків.

Графічна мова є важливим засобом подолання формалізму у знаннях школярів, розвитку геометричної інтуїції необхідної для розуміння основних факторів аналізу і їх застосування на практиці, сприяє формуванню прикладних і політехнічних умінь. Реалізація цих можливостей в процесі навчання вимагає активного оперування графічними моделями і може бути здійснена під час широкого систематичного використання різноманітних задач графічного змісту (тобто задач, які передбачають побудову або аналіз графічних моделей).

1.3.2 Функції і графіки

Функції, їх властивості і графіки, як у явній, так і в неявній формі, складають основу шкільного курсу алгебри. Для вивчення різних видів функцій в системі вправ виділяють шість напрямків:

- функціональна символіка;

— графічне розв’язання рівнянь;

— видозміна і спрощення графіків;

— читання графіку;

— пошук найбільшого і найменшого значень функції на заданому проміжку;

— кускові функції.

Розкрию методичні особливості деяких з цих напрямків, під час вивчення яких і формується та розвивається графічна культура учнів[2].

Графічний розв’язок рівнянь. Цей метод розв’язку рівнянь приводить учня до ситуації, коли креслення будується не заради графіка, а задля розв’язку іншої задачі. Графік функції стає не ціллю, а засобом, який допомагає розв’язати рівняння. Графічний метод дозволяє визначити число коренів рівняння, знайти точні значення коренів (хоча і рідко, але це все-таки вдається), вгадати значення кореня. Це зовсім немало. Учні змушені використовувати його, так як в деяких ситуаціях ніяких інших прийомів того чи іншого рівняння до цього часу не знають. Більшості учням подобається цей метод, вони відчувають його корисність і в той же час постають перед проблемною ситуацією, яка спричинена неточністю цього методу.

Пошук найбільшого і найменшого значень функції на заданому проміжку. Учні будують графік функції, виділяють ту частину графіка, яка відповідає заданому проміжку, і по графіку знаходять найбільше і найменше значення функції.

Методична цінність подібних завдань заклечається в тому, що, по-перше, це нова «гра» з функцією, коли графік потрібен не сам по собі, а для відповіді на запитання задачі, по-друге, учні звикають до достатньо складних математичних понять, сприйняття яких потребує як певної підготовки, так і певного рівня графічної культури.

Функції з точками розриву. У багатьох випадках саме такі функції є математичними моделями реальних ситуацій. Їх використання сприяє подоланню звичайної помилки учнів, які асоціюють функцію лише з її аналітичним поданням у вигляді деякої формули. Використання на уроках розривних функцій дозволяє зробити систему вправ більш різноманітною (що важливо для підтримки зацікавленості), творчою (оскільки з’являється можливість запропонувати учням самим конструювати приклади). В цьому також присутній і виховний ефект: це уміння приймати рішення, яке залежить від правильної орієнтації в умовах; це і своєрідна естетика (оцінка «краси» графіків розривних функцій, які запропонують самі учні).

Читання графіка. Дуже важливо навчити учнів по графіку описувати властивості функції, переходити від заданої геометричної моделі (графіка) до вербальної (словесної). Учень повинен уміти складати достатньо чіткий «словесний портрет» функції по її графіку і складати аналітичну модель, яка відповідає даній геометричній. Часу на даний вид роботи витрачається небагато, а виховний ефект від нього достатньо великий. Школярам, як правило, подобається процедура читання графіка, для них це своєрідна «гра в перекладача».

В 11 класі вивчається тема «Первісна і інтеграл». Центральне місце в цьому розділі займає обчислення площі плоских фігур. Основною фігурою вважається криволінійна трапеція. Головне тут — побудова геометричних моделей і зняття відповідної інформації з креслення, а не обчислення інтегралів. Не заради вивчення інтеграла рахуються площі, а навпаки, інтеграл вивчається заради обчислення площ.

Графічно-аналітичний метод є достатньо ефективним при розв’язанні задач з параметром. В шкільному курсі алгебри їм не приділяють достатньо уваги: або розв’язують найпростіші задачі на уроці, або на факультативних заняттях. В результаті більшість учнів не вміють або ж бояться розв’язувати задачі з параметром. Насправді ж, даний метод робить розв’язок задачі наочним і доступним. Таким чином, графіки функцій спрощують рішення задач, а іноді заміняють аналітичний метод більш простим і очевидним графічним.

Отже, під час вивчення функцій та їх властивостей застосування найрізноманітніших вправ, які стосуються графіків та креслень, є дуже важливим. Часто наочне зображення функції набагато спрощує подальшу роботу з нею. Використання задач графічного характеру під час вивчення шкільного курсу алгебри сприяє розвитку просторового мислення, логіки, умінь глибокого аналізу інформації, поданої у будь-якому вигляді, і взагалі, підтримує інтерес учнів до предмету.

1.3.3 Формула і її геометричне зображення

У школі учням завжди представляють формули скороченого множення в аналітичному вигляді:

, (1. 1)

, (1. 2)

. (1. 3)

Цікаво знати, що ці формули мають свою геометричну інтерпретацію.

Згідно з формулою (1. 1) можна із квадрата зі стороною a і із квадрата зі стороною b і з двох прямокутників зі сторонами a і b скласти один квадрат зі стороною a+b (див. рис. 1. 1).

Згідно з формулою (1. 2), якщо із суми площ двох квадратів, одного зі стороною a і другого зі стороною b, віднімемо площі двох прямокутників зі сторонами a і b, то отримаємо квадрат зі стороною a — b. Площа фігури ABCD=a2, площа EAGF=b2, площа фігури EBCDGF=a2+b2, площа прямокутника EHJF дорівнює площі прямокутника HBCK=a*b. Якщо від фігури EBCDGF відріжемо два рівних заштрихованих прямокутника, то залишиться квадрат зі стороною a — b (див. рис. 1. 2).

Формула (1. 3) представлена графічно на Рисунку 1.3 На ньому: AB=BC=CD=DA=a, AG=GF=FE=EA=b, ED=GB=a-b, BD1=a+b, S ABCD=a2, S AGFE=b2, S EFGBCD= (a+b)(a-b).

Такий нестандартний підхід до вивчення теми «Формули скороченого множення» викличе інтерес в учнів, забезпечить краще запам’ятовування, адже таким чином діти візуально зможуть сприймати формули, проведуть аналогії з геометричними фігурами і побачать, як можна застосовувати їх на практиці. Отже, і тут креслення відіграє позитивну роль, виконуючи свою функцію наочності.

2. СУЧАСНІ ВИМОГИ ДО ЗОБРАЖЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ФІГУР ПІД ЧАС РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ

Особливе місце у формуванні мислення учнів займає геометрія, яка сприяє розвитку евристичної, тобто творчої його спрямованості, просторової уяви, строгої логіки висловлень з одного боку і пошукової активності, фантазії з іншого.

Формування вміння аналізувати, узагальнювати, бачити зв’язки, уявити, що відбудеться, якщо змінити умову задачі - це і є розвиток мислення, творчого потенціалу особистості, здібностей до пошукової діяльності [1].

В свою чергу, в процесі вивчення геометрії особливе місце займає побудова фігур. Це досить важливий аспект геометрії, адже побудова малюнку є одним із етапів розв’язання задач, без якого іноді просто неможливо зрозуміти ідею та рішення задачі.

Зображення даної в умові задачі фігури виконують за допомогою креслярських інструментів з використанням (в окремих випадках) шаблонів. Лінії на малюнку креслять олівцем, а буквені позначення роблять пастою, але тільки не олівцем. Числових величин або параметрів не треба наносити на малюнок, за винятком кутів, які можна позначити дугами та буквами грецького алфавіту (б, в, та ін.) або цифрами (1, 2, 3 і т. д.).

Іноді для виділення окремих елементів або частин малюнка можна користуватися кольоровими олівцями, пастою або фломастерами, крім червоного кольору.

Для виконання креслень застосовують лінії різної товщини й начерку. Кожна лінія на кресленні має своє призначення. Державним стандартом встановлено 9 типів ліній креслення. У шкільному курсі математики зазвичай використовують лише чотири з них: суцільну товсту основну, суцільну тонку, штрихову і штрих-пунктирну [5].

/

Суцільна товста основна лінія призначена для показу видимих контурів предметів. Її товщина може бути у межах від 0,5 до 1,4 мм (залежно від розмірів і складності зображень на кресленні, від формату креслення). Вибрана товщина лінії має бути однаковою для всіх зображень на даному кресленні.

/

Суцільна тонка лінія використовується для проведення виносних, poзмірних ліній та ліній штриховки перерізів. Товщина суцільної тонкої лінії в 2−3 рази менша від товщини суцільної товстої.

/

Штрихова лінія застосовується для показу на зображеннях невидимих контурів предметів. Вона складається з окремих штрихів приблизно однакової довжини -- у межах від 2 до 8 мм (на учнівських кресленнях доцільно брати 4 мм). Відстань між штрихами повинна бути приблизно однаковою по всій лінії становити 1−2 мм. Товщину штрихів слід брати в 2−3 рази меншою за товщину суцільної товстої основної лінії. Штрихова лінія на контурах зображення повинна починатись i закінчуватись тільки штрихами.

/

Штрих-пунктирна лінія призначена для показу осьових i центрових ліній. Вона складається з довгих тонких штрихів (довжиною від 5 до 30 мм) i точок (коротких штрихів) між ними. На учнівських кресленнях довжина штрихів рекомендується 20 мм. Відстань між довгими штрихами від 3 до 5 мм. Товщина штрихів в 2−3 рази менша від товщини суцільної товстої лінії. Штрих-пунктирні лінії повинні починатись i закінчуватись тільки штрихами. Якщо штрих-пунктирна лінія показує вісь, вона повинна виступати за контур зображення на 3−5 мм.

Центрові лінії проводять так, щоб вони обов’язково перетиналися між собою штрихами. Перетин двох штрихів визначає центр фігури. Центрові лінії виводять за зображення на 3−5 мм. Якщо діаметр кола на кресленні менший 12 мм, центрові лінії проводять суцільними тонкими.

Розміри малюнка, як правило, не обмежуються. Однак практика свідчить, що найбільш зручним є малюнок, розміри якого не перевищують 6−7 см.

При зображенні комбінацій геометричних фігур, зокрема многогранників й фігур обертання, допускається зображати вписану фігуру штриховими лініями (як невидиму) або суцільними, вдвоє тоншими, ніж лінії видимого контуру, вважаючи описану фігуру прозорою. Можна також вписану і описану фігури, їх елементи зображати різними кольорами.

Часто доводиться будувати два або й більше малюнки, серед яких є такі, що зображають частину даної фігури. В такому разі буквені позначення повинні бути ідентичними, а малюнки пронумеровані, як і всі малюнки в роботі.

Від учнів не вимагається виконувати малюнки до задач на окремих аркушах. Малюнок не самоціль: він є геометричним записом того, що виражено в умові задачі словами, має ілюстративний характер і не забезпечує повноти розв’язання.

2.1 Базові задачі на побудову на площині

В процесі вивчення геометрії особливе місце займають задачі на побудову. Вони є важливими, бо вимагають від учня саме діяльності (провести, відкласти, поділити тощо).

Розв’язання задач на побудову полегшує початок розвитку просторової уяви, бо аналіз в задачі на побудову — це міркування в процесі пошуку способів розв’язання, коли учень «робить вигляд», що шукана побудова відбулася [1].

Такі задачі також сприяють формуванню в учнів вміння виділяти окремі кроки в процесі розв’язання та фіксувати їх в процесі його пояснення, бо при розв’язанні задач на побудову такі кроки пов’язані з практичною діяльністю.

З іншого боку, задачі на побудову у старших класах сприяють формуванню строгості логічного мислення (відокремлення аналізу умови від саме побудови, а останнього від доведення; необхідної умови від достатньої), а їх запис — вміння обґрунтовано та лаконічно формулювати думку.

Свідченням математичної культури учнів є чітке усвідомлення умови задачі, вміння моделювати розв’язання та виділяти логічні кроки доведень, лаконічність записів розв’язування задач, правильне і раціональне використання позначень та математичної символіки.

Відомо, що при обґрунтуванні логічних кроків розв’язання задач як на доведення, так і на обчислення, учні повинні спиратись на опорні факти.

Опорні факти -- це відомі математичні твердження, співвідношення, які є підставою для логічних висновків. Ними можуть бути:

— математичні твердження, що містить теоретичний матеріал шкільного підручника (аксіоми, теореми, ознаки, означення);

— базові (опорні) задачі, на які учні в процесі навчання спиралися при розв’язанні складених задач;

— відомості, одержані учнями поза шкільною програмою під керівництвом вчителя або самостійно.

Опорними задачами (фактами) геометричних побудов є: побудова перпендикуляра до заданої прямої, що проходить через задану точку (на даній прямій, або поза нею); кута, що дорівнює даному; знаходження середини відрізка; побудова бісектриси кута та інші. Розглянемо ці задачі більш детально.

1. Побудова перпендикуляра із даної точки до прямої:

— із даної точки С проводять дугу кола довільного радіуса так, щоб вона пересікала пряму, задану відрізком АВ, в точках D і F;

— із цих точок описують дві дуги кола радіусом R, дещо більшим половини відрізка DF, до перетину в точці Е;

— точки С і Е з'єднують прямою, яка і буде шуканим перпендикуляром (див. рис. 2. 1).

Рисунок 2.1 — Побудова перпендикуляра із даної точки до прямої

2. Побудова кута, що дорівнює заданому

Нехай даний кут АВС. Необхідно побудувати такий же кут, але зі стороною DE і вершиною в точці D. Для цього:

— із вершини В даного кута проведемо дугу кола довільного радіусу R, яка пересікає сторони 1 і 2;

— з вершини D шуканого кута тим же радіусом R проведемо дугу кола, яка пересікатиме відрізок DE в точці 3;

— з точки 3 проведемо дугу радіусом r, який дорівнює довжині відрізка 12, до перетину з раніше проведеною дугою радіуса R в точці 4;

— через отриману точку 4 і точку D проводимо сторону шуканого кута, якої не вистачає (див. рис. 2. 2).

Рисунок 2.2 — Побудова кута, що дорівнює заданому

3. Ділення відрізка на дві і чотири рівні частини:

— з кінців відрізка, А і В циркулем проводять дві дуги кола радіусом R, дещо більшим від половини відрізка, до взаємного перетину в точках, а і b;

— через отримані точки, а і b проведемо пряму, яка пересікає відрізок АВ в точці С, яка ділить відрізок на дві рівних частини;

— проводимо аналогічні побудови для відрізків АС і СВ, отримуємо точки D і F. Точки С, D і F ділять відрізок АВ на чотири рівні частини (див. рис. 2. 3).

4. Побудова бісектриси кута:

— із вершини кута проводять дугу кола довільного радіусу r до перетину зі сторонами кута в точках D і F;

— з отриманих точок проводять дві дуги радіуса R, величина якого більша половини довжини дуги DF, до взаємного перетину в точці К;

— пряма, що проходить через вершину В і точку К — шукана бісектриса даного кута (див. рис. 2. 4).

Рисунок 2.3 — Ділення відрізка на дві і чотири рівні частини

Рисунок 2.4 — Побудова бісектриси кута

2. 2 Побудови фігур при розв’язанні задач із стереометрії

В старших класах учні вивчають розділ геометрії, в якому розглядаються як плоскі, так і об'ємні фігури. Одна із труднощів, з якою зустрічаються в стереометрії, це зображення об'ємних тіл на площині. Саме тут можуть знадобитись знання, отримані з курсу креслення, особливо розділ — паралельне проектування [6].

У всіх випадках, коли розглядаються просторові фігури, доводиться будувати їх зображення на горизонтальній площині: спочатку зображення основи фігури, а потім решти її елементів (висот, твірних, вершин, ребер тощо). Іноді можна обмежитися зображенням відповідного перерізу фігури, наприклад, коли розглядаються конус, циліндр, фігури обертання, комбінації фігур обертання з многогранниками тощо.

Дуже часто в учнів викликають труднощі в записі розв’язування задач з стереометрії. Ці труднощі полягають у тому, що тематика геометричних задач дуже різноманітна, а способи розв’язування важко піддаються алгоритмізації, як це можна спостерігати при розв’язуванні рівнянь, нерівностей, їх систем, дослідженні функцій тощо. Однією з причин цього є складність, пов’язана з використанням малюнка до задачі, тобто з правильним усвідомленням змісту задачі, просторової форми фігури, про яку йдеться в ній, іншими словами, з уміннями зробити геометричний запис того, що дано в умові задачі.

Малюнок у геометричній задачі відіграє надзвичайно важливу роль. Він має допомогти учневі конкретніше уявити собі ті абстрактні геометричні об'єкти, які даються в умові задачі, розібратись у взаємному положенні всіх тих ліній, кутів, площин, які йому треба розглянути, щоб розв’язати задачу.

Добре виконаний малюнок сприяє розвитку просторової уяви учня, його окоміру, допомагає правильно встановити співвідношення між частинами фігури та її елементами, тобто дає можливість швидше визначити план і шлях розв’язування задачі.

Малюнок тільки тоді може виконувати позитивну роль, коли він правильно і наочно відображає форму і співвідношення між елементами даної геометричної фігури.

Щоб малюнок став справді ефективним засобом розв’язування геометричної задачі, в процесі його виконання мають бути реалізовані такі вимоги:

1) правильність, яка означає, що існує такий спосіб проекції, при якому зображення фігури подібне до одержання проекції;

2) наочність, яка передбачає, що образ фігури створює те саме враження, що і її прообраз;

3) простота побудови, яка полягає в тому, що при виконанні додаткових побудов не доводиться користуватися складними допоміжними побудовами;

4) повнота, суть якої полягає в тому, що за розташуванням всіх елементів геометричної фігури на малюнку можна судити про розташування цих елементів у просторі;

5) метрична визначеність, яка означає, що малюнок визначає зображену геометричну фігуру з точністю до подібності.

Реалізувати ці вимоги допомагають правила побудови зображень геометричних фігур.

При побудові стереометричних фігур більшість учнів вдається до довільної паралельної проекції, але часто без урахування інваріантних її властивостей, що знижує якість виконання робіт.

Зображенням фігури (прообразу) називається будь-яка фігура (образ), подібна до паралельної проекції даної фігури на деяку площину.

Форма її зображення залежить, перш за все, від положення зображуваної фігури по відношенню до площини проекції, а також від вибору напрямку проектування. Способи побудови зображення фігури ґрунтуються на властивостях паралельного проектування (мається на увазі загальний випадок, коли проектування здійснюється паралельно прямій, не паралельній прямим чи відрізкам, що проектуються):

1) проекція точки -- точка;

2) проекція прямої -- пряма;

3) проекція паралельних прямих -- паралельні;

4) відношення довжин відрізків прямої (що проектується) дорівнює відношенню довжин їх проекцій;

5) відношення довжин проекцій двох паралельних відрізків дорівнює відношенню довжин відрізків, що проектуються.

Паралельне проектування можна розглядати також як геометричне перетворення з деякими інваріантами, найважливіші з них:

а) прямолінійність відрізків, променів, прямих;

б) паралельність відрізків, променів, прямих;

в) відношення довжин відрізків однієї і тієї ж прямої;

г) відношення довжин відрізків двох паралельних прямих.

Отже, якщо відрізок, що зображується, паралельний площині малюнка, то його проекція паралельна і дорівнює даному відрізку, в решті випадків -- проекція не паралельна зображуваному відрізку, а її довжина залежить від величини кута нахилу прямих, що проектуються. Якщо площина кута, що зображується, паралельна площині, то проекцією є кут, який дорівнює куту, що зображується, в решті ж випадків -- кут-прообраз і кут-образ не будуть рівними.

2.3 Приклади геометричних побудов при паралельному проектуванні

1. В рівносторонньому трикутнику АВС проведіть висоту АН [6].

Розв’язок: зауважимо, що під час паралельного проектування не зберігається величина кута і співвідношення відрізків, які лежать на прямих, що пересікаються. Отже, рівносторонній трикутник АВС може бути зображений як довільний трикутник А1В1С1. Так як точка Н — середина відрізка ВС (в рівносторонньому трикутнику висота є і медіаною), то і точка Н1 — середина відрізка В1С1 (див. рис. 2. 5).

Отже, відрізок А1Н1 і є зображенням висоти.

Рисунок 2.5 — Зображення висоти в рівносторонньому трикутнику при паралельному проектуванні

2. Для квадрату ВСРН побудуйте ОК — радіус вписаного кола.

Розв’язок: центром вписаного в квадрат кола є точка перетину його діагоналей, а радіус — це відрізок, який сполучає точку перетину діагоналей з серединою його сторони. Тому зобразимо квадрат у вигляді паралелограма (не зберігається величина кута і відношення відрізків на прямих, що пересікаються), проведемо його діагоналі, визначимо середини сторони та діагоналі, проведемо відрізок, який сполучає ці дві точки (див. рис. 2. 6).

Рисунок 2.6 — Зображення радіуса вписаного в квадрат кола при паралельному проектування

3. Побудувати діаметр кола.

Розв’язок: якщо у колі провести дві паралельні хорди і провести ще одну хорду, яка проходить через середини двох раніше проведених хорд, то остання хорда і є діаметром кола. Коло при паралельному проектуванні зображується у вигляді еліпса.

Відрізок АВ — діаметр кола (див. рис. 2. 7).

Рисунок 2.7 — Зображення діаметра кола при паралельному проектуванні

4. Побудувати переріз трикутної піраміди ОАВС, який проходить через точки М, Н, Р, за умови, що точка Р лежить на відрізку ОА, точка М лежить на відрізку АВ, точка Н лежить на відрізку ВС.

Розв’язок:

— площина перерізу пересікає площину грані (АОВ) по прямій МР;

— площина перерізу пересікає площину грані (АВС) по прямій МН;

— прямі МН і АС пересікаються в точці Х;

— площина перерізу пересікає площину грані (АОС) по прямій РХ;

— пряма РХ пересікає відрізок ОС в точці К.

Чотирикутник МРКН — шуканий переріз (див. рис. 2. 8).

Рисунок 2.8 — Побудова перерізу трикутної піраміди

ВИСНОВКИ

У даній курсовій роботі була досліджена роль креслення на уроках математики та визначено основні вимоги, які встановлюються державними стандартами до оформлення креслень.

Графічна підготовка учнів сприяє раціональнішому засвоєнню предмету математики, допомагає глибше вникати в поняття об'єктів та їх властивості, які не можна безпосередньо спостерігати.

Необхідність використання креслення під час викладання математики в школі зумовлена великою роллю, яку відіграє графічна діяльність у розвитку мислення та пізнавальної активності учнів, їх творчих здібностей і самостійності, у формуванні спеціальних умінь і навичок.

Креслення як практична частина математики розв’язує такі завдання:

— навчає учнів свідомо читати креслення, відтворювати образи предметів та аналізувати їх форму і властивості;

— самостійно користуватися інструментами та приладдям, а також навчальними довідковими засобами;

— розвиває логічне мислення, пізнавальну активність та просторову уяву учнів;

— ознайомлює учнів з найважливішими правилами виконання креслень, передбачених державними стандартами ЄСКД;

— впливає на розвиток і виховання в учнів уважності, спостережливості, охайності, точності в роботі, самостійності і планомірності, які є елементами загальної культури праці.

Основне завдання використання креслень -- навчити учнів правильно читати та виконувати креслення, різні геометричні побудови, сформувати у них вміння аналізувати умову задачі та переходити від абстрактної форми подачі інформації до конкретної.

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ

1. Апостолова Г. В. Планіметрія-7 [Текст] / Галина Вадимівна Апостолова. — К.: Генеза, 2004. — 86 с.

2. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников [Текст] / Вадим Андреевич Крутецкий. — М.: Просвещение, 1968. — 346 с.

3. Медяник А. И. Учителю о школьном курсе геометрии: Кн. для учителя [Текст] / Анатолий Игнатьевич Медяник. — М.: Просвещение, 1984. — 96 с.

4. Немчинова Е. А. Межпредметные связи геометрии и черчения [Текст] / Немчинова Е. А. // Успехи современного естествознания. — 2011. — Август (№ 8). — С. 183.

5. Сидоренко В. К. Креслення: Підруч. для учнів загальноосвіт. навч. -вихов. закл. [Текст] / Віктор Костянтинович Сидоренко. — К.: Школяр, 2003. — 239 с.

6. Чурбанов В. И. Геометрическое черчение: Методические указания к самостоятельной работе студентов [Текст] / В. И. Чурбанов, А. Ю. Лапшов, Л. Л. Сидоровская. — Ульяновск: УлГТУ, 2007. — 24 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой