Линейные алгебраические уравнения

Тип работы:
Контрольная
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Задание № 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремы способами: а) по правилу Крамера, б) матричным методом, в) методом Жордана-Гаусса.

линейный алгебраический уравнение задача

det A =

1

1

-1

= 1*(-3)* (-1) + 1*1*2 + 4*1*(-1) — 2*(-3)*(-1) — 1*1*1 — 4*1*(-1) =

= 3 + 2 — 4 — 6 — 1 + 4 = -2

4

-3

1

2

1

-1

det A1 =

-2

1

-1

= (-2) *(-3) *(-1)+1*1*1+1*1*(-1) — 1*(-3) *(-1) — 1*1*(-2)-1*1*(-1)=

= -6+1−1-3+2+1= -6

1

-3

1

1

1

-1

det A2 =

1

-2

-1

= 1*1*(-1)+(-2) *1*2 + 4*1*(-1) -2*1*(-1) — 4*(-2) *(-1) -1*1*1=

= -1−4-4+2−8-1= -16

4

1

1

2

1

-1

det A3 =

1

1

-2

= 1*(-3)*1+1*1*2+4*1*(-2)-2*(-3)*(-2) — 1*1*1- 4*1*1=

=-3+2−8-12−1-4= -26

4

-3

1

2

1

1

x1 = det A1 / det A = -6 / -2 = 3

x2 = det A2 / det A = -16 / -2 = 8

x3 = detA3 / detA = -26 / -2 = 13

Ответ: х1=3; х2=8; х3=13.

Б) Решим систему уравнений матричным методом.

x1

+ x2

— x3

=

-2

4 x1

-3 x2

+ x3

=

1

2 x1

+ x2

— x3

=

1

Запишем систему уравнений в матричной форме

A * X = B

1

1

-

1

*

4

-

3

1

2

1

-

1

x1

=

x2

x3

-

2

1

1

Найдем матицу A-1, обратную к матрице А, методом алгебраических

Дополнений. Будем обозначать элементы матрицы A маленькими буквами аij.

Первый индекс i обозначает номер строки, а второй j — номер столбца,

где находится элемент матрицы аij.

A =

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

Обратную матрицу A-1, будем искать в следующем виде:

A -1 = 1 / det A *

A11

A21

A31

A12

A22

A32

A13

A23

A33

гдеAij = (-1) i+j * M ij

Найдем определитель матрицы А.

det A =

1

1

-1

= 1*(-3)*(-1) + 1*1*2+4*1*(-1) — 2*(-3)*(-1),-4*1*(-1)-1*1*1=

=3+2−4-6+4−1= -2? 0

4

-3

1

2

1

-1

Определитель матрицы, А отличен от нуля, следовательно обратная матрица A-1 существует. Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (M…) элемента a….

M11 =

-3

1

= (-3) * (-1) — 1 * 1 = 3 — 1 = 2

1

-1

A11 = (-1) 1+1 * M 11 = (-1) 1+1 * 2 = 2

M12 =

4

1

= 4 * (-1) — 1 * 2 = (-4) — 2 = -6

2

-1

A12 = (-1) 1+2 * M 12 = (-1) 1+2 * (-6) = 6

M13 =

4

-3

= 4 * 1 — (-3) * 2 = 4 — (-6) = 10

2

1

A13 = (-1) 1+3 * M 13 = (-1) 1+3 * 10 = 10

M21 =

1

-1

= 1 * (-1) — (-1) * 1 = (-1) — (-1) = 0

1

-1

A21 = (-1) 2+1 * M 21 = (-1) 2+1 * 0 = 0

M22 =

1

-1

= 1 * (-1) — (-1) * 2 = (-1) — (-2) = 1

2

-1

A22 = (-1) 2+2 * M 22 = (-1) 2+2 * 1 = 1

M23 =

1

1

= 1 * 1 — 1 * 2 = 1 — 2 = -1

2

1

A23 = (-1) 2+3 * M 23 = (-1) 2+3 * (-1) = 1

M31 =

1

-1

= 1 * 1 — (-1) * (-3) = 1 — 3 = -2

-3

1

A31 = (-1) 3+1 * M 31 = (-1) 3+1 * (-2) = -2

M32 =

1

-1

= 1 * 1 — (-1) * 4 = 1 — (-4) = 5

4

1

A32 = (-1) 3+2 * M 32 = (-1) 3+2 * 5 = -5

M33 =

1

1

= 1 * (-3) — 1 * 4 = (-3) — 4 = -7

4

-3

A33 = (-1) 3+3 * M 33 = (-1) 3+3 * (-7) = -7

Осталось, только записать обратную матрицу.

A * X = B X = A-1 * B

В) Решим систему уравнений по методу Жордана — Гаусса

x1

+

x2

-

x3

=

-

2

4

x1

-

3

x2

+

x3

=

1

2

x1

+

x2

-

x3

=

1

Прямой ход.

Матрица строка, которая располагается между преобразованиями и есть строка, которую мы отнимаем.

Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 4.

Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на 7.

В данном случае ранг основной и расширенной матрицы равен 3.

Обратный ход

Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 3,

умноженные на ½.

Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 2

Задание № 2. Методом Жордана-Гаусса найти все системы с базисом, эквивалентные данной системе уравнений. Определить соответствующие базисные решения. Проверить полученные решения подстановкой в каждое уравнение исходной системы.

Прямой ход

Операции проводятся только с коэффициентами системы. Расширенная матрица — это просто форма записи нашей системы уравнений, и ничего более. На каждом шаге решения справа располагается система уравнений эквивалентная матрице.

2

-

1

-

1

1

1

-

1

2

1

1

4

1

1

2

-

1

2

Поменяем местами строки 1 и 3.

2

x1

-

x2

-

x3

+

x4

=

1

-

x1

+

2

x2

+

x3

+

x4

=

4

x1

+

x2

+

2

x3

-

x4

=

2

1

1

2

-

1

2

-

1

2

1

1

4

2

-

1

-

1

1

1

x1

+

x2

+

2

x3

-

x4

=

2

-

x1

+

2

x2

+

x3

+

x4

=

4

2

x1

-

x2

-

x3

+

x4

=

1

Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на -1.

-

1

-

1

-

2

1

-

2

1

1

2

-

1

2

0

3

3

0

6

2

-

1

-

1

1

1

x1

+

x2

+

2

x3

-

x4

=

2

3

x2

+

3

x3

=

6

2

x1

-

x2

-

x3

+

x4

=

1

Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 2.

2

2

4

-

2

4

1

1

2

-

1

2

0

3

3

0

6

0

-

3

-

5

3

-

3

x1

+

x2

+

2

x3

-

x4

=

2

3

x2

+

3

x3

=

6

-

3

x2

-

5

x3

+

3

x4

=

-

3

Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -1.

0

-

3

-

3

0

-

6

1

1

2

-

1

2

0

3

3

0

6

0

0

-

2

3

3

x1

+

x2

+

2

x3

-

x4

=

2

3

x2

+

3

x3

=

6

-

2

x3

+

3

x4

=

3

Система имеет решение, так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы. Основная матрица — это матрица, составленная из коэффициентов системы при переменных. Проще говоря, все, что слева до вертикальной черты. Напомним, рангом матрицы называется число строк матрицы, в которых присутствует хотя бы один элемент отличный от нуля, при условии, что матрица приведена к ступенчатому виду.

Обратный ход.

Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на -1.

0

0

2

-

3

-

3

1

1

0

2

5

0

3

3

0

6

0

0

-

2

3

3

x1

+

x2

+

2

x4

=

5

3

x2

+

3

x3

=

6

-

2

x3

+

3

x4

=

3

Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на -3/2.

Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на 1/3.

Элементы строки 2 разделим на 3.

Если x4= 0, то

x1 +? *0 = 3/2, x1=3/2

x2 +3/2*0 = 7/2, x2= 7/2

x3 -3/2*0 = -3/2, x3=-3/2

x = (3/2, 7/2, -3/2, 0)

Задание № 3. Даны координаты векторов А1, А2, А3, А4 в некотором базисе. Показать, что все эти векторы образуют базис, и найти координаты вектора В в данном базисе методом замещения вектора в базисе.

А1=(1,2,3,4); А2=(2,1,2,3); А3=(3,2,1,2); А4=(4,3,5,1); В=(5,1,1,-5).

Задание № 4. Даны четыре вектора А1, А2, А3, А4 в единичном базисе. Замещением вектора в базисе определить ранг, все базисы данной системы векторов и разложение свободных векторов по базису.

А1=, А2=, А34=

Контрольная работа

№ 1. В ящике 20 деталей, из которых 12 стандартные. Из ящика взяли 6 деталей. Найти вероятность того, что из них 4 детали стандартные.

№ 2. Два стрелка производят по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,9, а вторым 0,8. Найти вероятность того, что мишень поразит: а) только один стрелок, б) хотя бы один из стрелков.

№ 3. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения стандартной детали на первом автомате равна 0,95, а на втором 0,8. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена на первом автомате.

№ 4. Найти вероятность того, что в п независимых испытаниях событие появится не мениек раз, зная, что в каждом испытании вероятность появления события равна р.

п=6; к=3; р=0,5. ъ

№ 5. В задаче предполагается, что поток событий — простейший.

Среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за 1 мин., равно двум. Найти вероятность того, что за 4 мин. Прибудут: а) пять самолетов, б) менее пяти самолетов, в) не менее пяти самолетов.

№ 6. В задаче требуется найти: а) математическое ожидание, б) дисперсию, в) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х по закону ее распределения, заданному рядом распределения (в первой строке таблицы указаны возможные значения, во второй строке — вероятности возможных значений).

х 12,6 13,4 15,2 17,4 18,6

р 0,2 0,2 0,4 0,1 0,1

№ 7. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения

Требуется: а) найти плотность распределения f(x), б) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение х, в) найти вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале г) построить график функции

№ 8. Заданы математическое ожиданиеm и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х.

Требуется найти: а) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения X-mокажется меньше.

№ 1. Решить графически задачу линейного программирования f=2x1+3x2

x1, x2?0.

№ 2. Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используется три вида сырья S1, S2 и S3. Запасы сырья Si равны bi кг. Количество единиц сырьяSi, затрачиваемое на изготовление единицы продукции Рj, равно aij кг. Величина прибыли, получаемой от реализации единицы продукции Рj, равна cj (i=1,2,3; j=1,2).

Составить план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль, и определить величину максимальной прибыли. Решить задачу симплекс-методом.

a11=19, a21=16, a31=19, a12=26, a22=17, a32=8,

b1=855, b2=640, b3=874,

c1=5, c2=4.

№ 3. Решить задачу линейного программирования методом искусственного базиса.

f=-x1-2x2+2x3

x1, x2,? 0.

№ 4. В клетках таблицы поставлены значенияcij — стоимости перевозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения; справа -запасы ai груза в i-м пункте отправления; внизу — потребности bj в грузе в j-м пункте назначения. Решить соответствующую транспортную задачу методом потенциалов.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой