Линии в полярной системе координат

Тип работы:
Научная работа
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Отдел образования Калинковичского райисполкома

Государственное учреждение образования

Средняя общеобразовательная школа № 1 г. Калинковичи

Научно-практическая работа по теме

«Линии в полярной системе координат»

Авторы

Арнаут Иван Юрьевич, 7 «В» класс

Есьман Иван Владимирович, 7 «В» класс

Руководитель

Самсонова Ольга Григорьевна

учитель математики

г. Калинковичи 2010 г.

Введение

Метод координат — это способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Числа, с помощью которых определяется положение точки, называют координатами точки. Чтобы задать положение точки на прямой выбирают начало отсчета, единицу масштаба и направление. Чтобы определить координаты точки на плоскости проводят две взаимно перпендикулярные оси. Одну из них называют осью абсцисс, другую осью ординат. Такая система называется декартовой системой координат или прямоугольной. Своеобразные координаты используются в шахматах.

Географические координаты широта и долгота определяют положение точки на поверхности Земли. Своеобразные координаты используются в шахматах. Чтобы определить положение точки в пространстве, нужны уже не два числа, а три.

Наряду с прямоугольной системой координат употребляются и другие системы. Есть координаты, которые более существенно отличаются от декартовой. Примером таких координат является полярная система координат. Полярная система координат в некоторых случаях удобнее декартовой системы координат. В полярной системе координат положение точки на плоскости задается двумя числами, указывающими направление, в котором находится точка, и расстояние до этой точки. С помощью полярных координат можно задавать на плоскости различные множества точек. Кто занимался в туристических секциях, легко поймёт, что хождение по азимуту основано на том же принципе, что и полярные координаты.

Координаты, применяемые в математике, позволяют определять с помощью чисел положение любой точки пространства, или плоскости, или линии. Это даёт возможность «шифровать» различного рода фигуры, записывать их с помощью чисел.

Теоретическая часть

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча ОА, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки). В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1) пользоваться одним и тем же масштабом, 2) при определении полярных углов считать положительным повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную ось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной осью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, то есть ось Ох направлена вправо, а ось Оу — вверх, то и отсчет полярных углов должен быть обычным, то есть положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки). Полярный угол имеет бесконечно много возможных значений.

?

Полярная система координат отличается от прямоугольной. Она используется в тригонометрии и других исчислениях. В полярной системе координат положение точки определяется как (?, ?), где? — полярный радиус или расстояние точки от начала координат, а? — угол, образуемый полярным радиусом и полярной осью. В полярной системе координат положение точки на плоскости задается двумя числами, указывающими направление, в котором находится точка, и расстояние до этой точки. Полярный угол? имеет бесконечно много возможных значений.

Спираль Архимеда

Полярное уравнение архимедовой спирали, изученной древнегреческим математиком Архимедом, имеет вид ?=a?. Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является постоянство расстояний между витками; каждое из них равно 2? a, где? ?3,14.

По спирали Архимеда идёт, например, на грампластинке звуковая дорожка. Перемещение острия корундовой иглы по этой дорожке будет результирующим двух равномерных движений: приближения к полюсу и вращения вокруг полюса.

Металлическая пластина с профилем в виде половины витка архимедовой спирали часто используется в конденсаторе переменной ёмкости. Одна из деталей швейной машины — механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку — имеет форму спирали Архимеда.

Квадратичная спираль

Её уравнение в полярных координатах ?=a?2. Если положить рядом с центром вращающейся грампластинки натёртый мелом шарик для настольного тенниса, то, скатываясь с неё, он оставит на грампластинке след в виде квадратичной спирали. Действительно, абсолютно горизонтально установить грампластинку не удастся, а прямая её наибольшего наклона та, по которой шарик скатывается под действием силы тяжести, равномерно вращается по пластинке.

Логарифмическая спираль

Уравнение в полярных координатах логарифмической спирали имеет вид ?=a?. Спираль эта имеет бесконечное множество витков и при раскручивании, и при скручивании. Последнее означает, что она не проходит через свой полюс. Логарифмическую спираль называют ещё равноугольной спиралью. Это её название отражает тот факт, что в любой точке логарифмической спирали угол между касательной к ней и радиусом-вектором сохраняет постоянное значение. Впервые была открыта в 1638 г. французским математиком Рене Декартом (1596−1650) и в 1644 г. итальянским математиком Эванджелиста Торричелли (1608−1647) независимо друг от друга. Многие свойства спирали были исследованы швейцарским математиком Якобом Бернулли (1654−1705).

Логарифмическая спираль нередко используется в технических устройствах. Например, вращающиеся ножи нередко имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали — под постоянным углом к разрезаемой поверхности, благодаря чему лезвие ножа стачивается равномерно. Особенности логарифмической спирали известны не только математикам, но и биологам. Ночные бабочки, которые пролетают большие расстояния, ориентируясь по параллельным лунным лучам, инстинктивно сохраняют постоянный угол между направлением полёта и лучом света. Если они ориентируются на точечный источник света, скажем на пламя свечи, инстинкт их подводит, и бабочки попадают в пламя по скручивающейся логарифмической спирали.

Рога горного барана имеют форму логарифмической спирали; семечки подсолнуха размещены по дугам, близким к логарифмической спирали (количество спиралей каждого направления — числа Фибоначчи), раковина малюска наутилуса имеет форму логарифмической спирали.

Общий вид роз? = aSink?, а> 0, k>0; а-const, k- const.

Общие свойства:

1. Если k-нечётное число, роза состоит из k лепестков.

2. Если k-нечётное число, роза состоит из 2k лепестков.

3. Если k=т/п, п> 1, -рациональное число, роза состоит из т лепестков при т и п нечетных и из 2 т лепестков, если одно из этих чисел четное (при этом каждый следующий лепесток частично покрывает предыдущий).

4. Если k-иррациональное число, роза состоит из бесчисленного множества лепестков, частично накладывающихся друг на друга.

Практическая часть

№ 1. Построить в полярных координатах линию ?= 5 (окружность)

Решение

?

45?

90°

135°

180°

270°

360°

?

5

5

5

5

5

5

5

Строим линию

№ 2. Построить линию: ?=4•С?s?. (окружность)

Решение

?

0

22. 5?

45?

67. 5?

90?

112. 5?

135?

157. 5?

180?

?

4

?3. 6

?2,8

?1. 5

0

?-1,5

?-2,8

?-3,6

-4

Используем данные для построения линии. Для построения в нижней полуплоскости используем свойство симметрии. Строим линию

№ 3. Построить в полярных координатах линию ?= 3/(2+Cos?).

?

Cos?

2+Cos?

?=3/(2+Cos?)

1.

0

1

3

1

2.

22. 5?

0,924

2,924

1,026

3.

45?

0,707

2,707

1,108

4.

67. 5?

0,383

2. 383

1,259

5.

90?

0

2

1,5

6.

112. 5?

— 0,383

1,617

1, 855

7.

135?

— 0,707

1,293

2,32

8.

157. 5?

— 0,924

1,076

2,788

9.

180?

-1

1

3

Решение

Используем данные для построения линии. Для построения в нижней полуплоскости используем свойство симметрии.

№ 4. Построить в полярных координатах линию ?=? (Спираль Архимеда).

Решение

?

0

45?

90?

135?

180?

270?

360?

540?

720?

?

0

0,78

1,57

2,36

3,14

4,71

6,28

9,42

12,56

Используем данные для построения линии. Спираль при неограниченном возрастании «навертывается» на точку О.

№ 5. Построить линию ?=?2 (квадратичная спираль).

Решение.

?

0

22. 5?

45?

67. 5?

90?

112. 5?

135?

157. 5?

180?

225?

247. 5?

270?

360?

?

0

0,15

0,62

1,4

2,5

3,9

5,5

7,5

9. 8

15,4

18,6

22,2

39,4

Используем данные для построения линии.

№ 7. Построить в полярных координатах? = 2?(Логарифмическая спираль)

Решение

?

0

22. 5?

45?

67. 5?

90?

112. 5?

135?

157. 5?

180?

225?

247. 5?

270?

360?

?

1

1,3

1,7

2,3

2,97

3,92

5. 9

6,7

8,8

14,9

19,6

25,9

77,7

№ 6. Построить в полярных координатах ?=2(1+C?s?) (кардиоида)

?

Cos?

1+Cos?

?=2(1+Cos?)

1.

0

1

2

4

2.

22. 5?

0,924

1,924

3,85

3.

45?

0,707

1,707

3,41

4.

67. 5?

0,383

1,383

2,76

5.

90?

0

1

2

6.

112. 5?

— 0,383

0,617

1,234

7.

135?

— 0,707

0,293

0,583

8.

157. 5?

— 0,924

0,076

0,152

9.

180?

-1

0

0

Решение

Используем данные для построения линии. Для построения в нижней полуплоскости используем свойство симметрии. Строим линию

Линия называется кардиоидой, потому что имеет форму сердца.

№ 9. Построить в полярных координатах линию? = 1- Sin?(кардиоида)

Решение

?

Sin?

? = 1- Sin?

1.

0

0

1

2.

22. 5?

0,38

0,61

3.

45?

0,707

0,29

4.

67. 5?

0,92

0,07

5.

90?

1

0

6.

112. 5?

0,92

0,07

7.

135?

0,707

0,29

8.

157. 5?

0,38

0,61

9.

180?

0

1

10.

202. 5?

-0,38

1,38

11.

225?

-0,707

1. 707

12.

247. 5?

-0,92

1. 92

13.

270?

-1

2

14.

292. 5?

-0,92

1,92

15.

315?

-0. 707

1,707

16.

337. 5?

-0,38

1. 38

17.

360?

0

1

№ 10. Построить в полярных координатах линию? =2(1+Sin?) (кардиоида)

Решение

1.

0

0

2

2.

22. 5?

0,38

2,78

3.

45?

0,707

3,4

4.

67. 5?

0,92

3,8

5.

90?

1

4

6.

112. 5?

0,92

3,8

7.

135?

0,707

3,4

8.

157. 5?

0,38

2,78

9.

180?

0

2

10.

202. 5?

-0,38

1,24

11.

225?

-0,707

0,6

12.

247. 5?

-0,92

0,2

13

270?

-1

0

14

292. 5?

0,92

0,2

15

315?

0. 707

0,6

16

337. 5?

0,38

1,24

17

360?

0

2

Построенные линии кардиоиды обрисовывают лист кувшинки.

№ 8. Построить в полярных координатах? = 2|Sin2?| (Четырехлепестковая роза)

Решение

?

0

22. 5?

45?

67. 5?

90?

112. 5?

135?

157. 5?

180?

?

0

1,4

2

1,4

0

1,4

2

1,4

0

Используем данные для построения линии. Для построения в нижней полуплоскости используем свойство симметрии. Строим линию.

Построение линий в полярной системе координат с помощью математического пакета MathCAD

№ 1. Построить в полярных координатах? = 2|Sin8?|

№ 2. Построить в полярных координатах

№ 3. Построить в полярных координатах

№ 4. Построить в полярных координатах

№ 4. Построить в полярных координатах

№ 6. Построить в полярных координатах

№ 7. Построить в полярных координатах

№ 8. Построить в полярных координатах

№ 9. Построить в полярных координатах

№ 10. Построить полярных координатах

№ 11. Построить в полярных координатах

№ 12. Построить в полярных координатах

(кислица)

№ 13. Построить в полярных координатах

№ 14. Построить в полярных координатах

(лист сирени).

№ 15. Построить в полярных координатах

№ 16. Построить в полярных координатах

№ 17. Построить в полярных координатах

№ 18. Построить в полярных координатах

№ 19. Построить в полярных координатах

№ 20. Построить в полярных координатах

№ 21. Построить в полярных координатах

№ 22. Построить в полярных координатах

№ 23. Построить в полярных координатах

№ 24. Построить в полярных координатах

Заключительная часть

Творчество присуще не только гениям, но и в повседневной жизни. Эта работа явилась для нас творческой. В ней мы познакомился с новыми математическими терминами: полярные координаты, спираль Архимеда, логарифмическая спираль, кардиоидой, четырехлепестковой розой. Работая над этой темой мы научились строить линии в полярной системе координат с помощью математического пакета MathCAD. Эта работа явилась для нас трудной, но интересной.

В современной математике, а также в ряде разделов биологи и физики используют полярные координаты. Математика является одной из сложных наук и без знаний математики невозможны разработки новых технологий. Поэтому нам нравится математика и изучать её самостоятельно. Для самостоятельного изучения математики нам приходится пользоваться научно-популярной литературой. Математика как наука обладает мировоззренческим и эстетическим потенциалом. Эстетический потенциал математики заключается в её связи с живой и неживой природой.

Хотелось бы закончить свою работу словами Д. Пойа: «Математическая задача иногда столь же увлекательна, как кроссворд, и напряженная умственная работа может быть столь же желанным упражнением, как стремительный теннис».

Литература

1. Энциклопедический словарь юного математика Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика. 1985. -352 с., ил.

2. К. П. Сикорский, Дополнительные главы по курсу математики 7−8 классов для факультативных занятий. Пособие для учащихся. Сост. К. П. Сикорский. М., «Просвещение», 1969. — 320 с.

3. Н. С. Пискунов, Дифференциальное и интегральное исчисления. Для втузов, том I. М., 1976 г. — 456с. с ил.

4. О. Ю. Кунцевич, Математика. Эстетика. Действительность. / О. Ю. Кунцевич. — Минск: Нац. ин-т образования, 2010. -52с.

5. В. Т. Воднев [и др. ], Основные математические формулы: Справочник/ В. Т. Воднев, А. Ф. Наумович; Под ред. Ю. С. Богданова. -2-е изд., перераб. и доп. -Мн.: Выш. Шк., 1988.- 269с.: ил.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой