Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп

Тип работы:
Дипломная
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП, ЗАМКНУТЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫХ -ПОДГРУПП

Курсовая работа

Исполнитель:

Студентка группы М-43 МОКЕЕВА О. А.

Научный руководитель:

доктор ф-м наук, профессор Семенчук В. Н.

Гомель 2008

Содержание

  • Перечень условных обозначений
  • Введение
  • 1 Некоторые базисные леммы
  • 2 Критерий принадлежности факторизуемой группы
  • классическим классам конечных групп
  • 3 Сверхрадикальные формации
  • Заключение
  • Список использованных источников

Перечень условных обозначений

Рассматриваются только конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].

--- множество всех натуральных чисел;

--- множество всех простых чисел;

--- некоторое множество простых чисел, т. е.;

---

дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности,;

примарное число --- любое число вида.

Буквами обозначаются простые числа.

Пусть --- группа. Тогда:

--- порядок группы;

---

множество всех простых делителей порядка группы;

-группа --- группа, для которой;

-группа --- группа, для которой;

--- коммутант группы, т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы;

--- подгруппа Фиттинга группы, т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы;

--- наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы;

--- подгруппа Фраттини группы, т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы;

--- наибольшая нормальная -подгруппа группы;

--- -холлова подгруппа группы;

--- силовская -подгруппа группы;

--- дополнение к силовской -подгруппе в группе, т. е. -холлова подгруппа группы;

--- нильпотентная длина группы;

--- -длина группы;

--- минимальное число порождающих элементов группы;

--- цоколь группы, т. е. подгруппа, порожденная всеми минимальными нормальными подгруппами группы;

--- циклическая группа порядка.

Если и --- подгруппы группы, то:

--- является подгруппой группы;

--- является собственной подгруппой группы;

--- является нормальной подгруппой группы;

--

— ядро подгруппы в группе, т. е. пересечение всех подгрупп, сопряженных с в;

--- нормальное замыкание подгруппы в группе, т. е. подгруппа, порожденная всеми сопряженными с подгруппами группы;

--- индекс подгруппы в группе;

;

--- нормализатор подгруппы в группе;

--- централизатор подгруппы в группе;

--- взаимный коммутант подгрупп и;

--- подгруппа, порожденная подгруппами и.

Минимальная нормальная подгруппа группы --- неединичная нормальная подгруппа группы, не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы;

--- является максимальной подгруппой группы.

Если и --- подгруппы группы, то:

--- прямое произведение подгрупп и;

--- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы;

--- и изоморфны;

--- регулярное сплетение подгрупп и.

Подгруппы и группы называются перестановочными, если.

Группу называют:

-замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в;

-нильпотентной, если -холлова подгруппа группы нормальна в;

-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;

-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;

нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;

разрешимой, если существует номер такой, что;

сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.

Монолитическая группа --- неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу.

-замкнутая группа --- группа, обладающая нормальной холловской -подгруппой.

-специальная группа --- группа, обладающая нильпотентной нормальной холловской -подгруппой.

-разложимая группа --- группа, являющаяся одновременно -специальной и -замкнутой.

Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.

Добавлением к подгруппе группы называется такая подгруппа из, что.

Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.

Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.

Ряд подгрупп называется:

субнормальным, если для любого;

нормальным, если для любого;

главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех.

Класс групп --- совокупность групп, содержащая с каждой своей группой и все ей изоморфные группы.

-группа --- группа, принадлежащая классу групп.

Формация --- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.

Если --- класс групп, то:

--- множество всех простых делителей порядков всех групп из;

--- множество всех тех простых чисел, для которых;

--- формация, порожденная классом;

--- насыщенная формация, порожденная классом;

--- класс всех групп, представимых в виде

где, ;

;

--- класс всех минимальных не -групп, т. е. групп не принадлежащих, но все собственные подгруппы которых принадлежат;

--- класс всех -групп из;

--- класс всех конечных групп;

--- класс всех разрешимых конечных групп;

--- класс всех -групп;

--- класс всех разрешимых -групп;

--- класс всех разрешимых -групп;

--- класс всех нильпотентных групп;

--- класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной.

Если и --- классы групп, то:

.

Если --- класс групп и --- группа, то:

--- пересечение всех нормальных подгрупп из таких, что;

--- произведение всех нормальных -подгрупп группы.

Если и --- формации, то:

--- произведение формаций;

--- пересечение всех -абнормальных максимальных подгрупп группы.

Если --- насыщенная формация, то:

--- существенная характеристика формации.

-абнормальной называется максимальная подгруппа группы, если, где --- некоторая непустая формация.

-гиперцентральной подгруппой в называется разрешимая нормальная подгруппа группы, если обладает субнормальным рядом таким, что

(1) каждый фактор является главным фактором группы;

(2) если порядок фактора есть степень простого числа, то.

--- -гиперцентр группы, т. е. произведение всех -гиперцентральных подгрупп группы.

Введение

Вопросы, посвященные факторизации групп, в теории конечных групп занимают важное место. Под факторизацией конечной группы понимается представление ее в виде произведения некоторых еe подгрупп, взятых в определенном порядке, или попарно перестановочных. Исследуются как способы факторизации заданной группы, так и свойства групп, допускающих ту или иную заданную факторизацию.

Начало исследований по факторизации конечных групп восходит к классическим работам Ф. Холла [62, 63], посвященных изучению строения разрешимых групп. Как известно, Ф. Холлом было доказано [63], что конечная разрешимая группа допускает факторизацию при помощи некоторых своих перестановочных силовских подгрупп различных порядков (составляющих так называемую силовскую базу разрешимой группы).

Следующий важный шаг в данном направлении был сделан С. А. Чунихиным, которым был исследован ряд важных арифметических свойств конечных групп [43]. Вопросами факторизации конечных групп занималось много математиков, и развитию данного направления посвящено много научных работ известных математиков.

Кегель и Виландт [68, 75] установили, что конечная группа, факторизуемая двумя нильпотентными подгруппами разрешима. Теорема Кегеля --- Виландта послужила источником многочисленных обобщений и стимулировала дальнейшее развитие ряда вопросов, связанных с факторизациями конечных групп.

Cреди дальнейших исследований, посвященных факторизации групп, выделяются работы Л. С. Казарина [6, 7, 67], Л. А. Шеметкова [45, 46], В. С. Монахова [13, 14], А. Н. Скибы [12, 61], В. Н. Тютянова [38] и др.

Важную роль для дальнейшего строения факторизуемых групп оказала идея Гашюца о том [59], что внутреннее строение конечной группы удобно исследовать по отношению к некоторому фиксированному классу групп, названному Гашюцем насыщенной формацией.

Напомним, что насыщенной формацией конечных групп называется класс конечных групп, замкнутый относительно гомоморфных образов, подпрямых произведений и фраттиниевых расширений. Такой подход к изучению строения конечных групп привлек внимание многих специалистов по алгебре и исследования, связанные с насыщенными формациями, составили одно из доминирующих направлений современной теории классов групп.

Эффективность метода Гашюца проявилась прежде всего в том, что многие коренные свойства конечных групп имеют инвариантный характер при переходе от одной насыщенной формации к другой.

Известно, что класс нильпотентных групп замкнут относительно произведения нормальных подгрупп. В работе [64] Хоуксом была поставлена задача об описании наследственных разрешимых формаций Фиттинга, т. е. формаций, замкнутых относительно произведения нормальных -подгрупп. Брайс и Косси в работе [53] доказали, что любая разрешимая наследственная формация Фиттинга является насыщенной. Полное решение проблемы Хоукса было получено В. Н. Семенчуком в работах [27, 30].

Развивая подход Хоукса, Л. А. Шеметков предложил изучать формации, замкнутые относительно произведения -подгрупп, обладающих некоторыми заданными свойствами. В настоящее время данная тематика активно развивается математиками Испании, Китая, Беларуси.

В теории классов конечных групп естественным обобщением понятия субнормальности является понятие -субнормальности и -достижимости. В дальнейшем такие подгруппы будем нызывать обобщенно субнормальными.

Одной из первых классификационных проблем данного направления является проблема Л. А. Шеметкова об описании наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, т. е. формаций с тем свойством, что любая группа, где и -- -субнормальные -подгруппы, принадлежит.

Данная проблема сразу привлекла пристальное внимание специалистов по теории классов конечных групп. В работе [28] В. Н. Семенчуком в классе конечных разрешимых групп получено полное решение данной проблемы. Л. А. Шеметковым и В. Н. Семенчуком в работе [33] найдены серии произвольных наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций.

Известно, что формация всех сверхразрешимых групп не замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп, но замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп взаимно простых индексов. В связи с этим возникает задача об описании наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения обобщенно субнормальных (-субнормальных, -достижимых) -подгрупп, индексы которых взаимно просты.

Классифицировать наследственные насыщенные формации с тем свойством, что любая группа, где и --- -субнормальные -подгруппы взаимно простых индексов, принадлежит.

В 1996 году В. Н. Тютянов в работе [38] доказал, что любая конечная группа вида, где и --- -нильпотентные подгруппы и индексы, не делятся на некоторое простое число, является -нильпотентной группой.

Естественно возникает задача об описании наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения -подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое фиксированное простое число.

В попытках решения этих и других классификационных проблем выявилась особая роль критических групп формации (минимальных не -групп), т. е. групп, не принадлежащих некоторому классу групп, но все собственные подгруппы которых принадлежат. Еще в 1933 году С. А. Чунихин [40] поставил задачу изучения строения группы, в зависимости от свойств ее критических подгрупп. Развивая данную идею С. А. Чунихина, Л. А. Шеметков на восьмом (Сумы, 1982 г.) и девятом (Москва, 1984 г.) Всесоюзных симпозиумах по теории групп отметил особую роль критических групп при изучении не только отдельной группы, но и при описании классов групп.

Таким образом, задача классификации наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения -подгрупп, обладающих заданными свойствами, занимает важное место в современной теории классов групп. На реализацию этой актуальной задачи и направлено данное диссертационное исследование.

1. Некоторые базисные леммы

В теории конечных групп одним из основных понятий является понятие субнормальности подгрупп, введенное Виландтом в работе [73].

Напомним, что подгруппа называется субнормальной подгруппой группы, если существует цепь подгрупп

такая, что для любого подгруппа нормальна в.

Естественным обобщением понятия субнормальности является понятие -субнормальности, которое для произвольных конечных групп впервые введено Л. А. Шеметковым в монографии [44].

Пусть --- непустая формация. Подгруппу группы называют -субнормальной, если либо, либо существует максимальная цепь

такая, что для всех.

Несколько другое понятие -субнормальности введено Кегелем в работе [69]. Фактически оно объединяет понятие субнормальности и -субнормальности в смысле Шеметкова.

Подгруппу называют -субнормальной в смысле Кегеля или -достижимой, если существует цепь подгрупп

такая, что для любого либо подгруппа нормальна в, либо.

Для любой непустой формации множество всех -достижимых подгрупп произвольной группы содержит множество всех субнормальных подгрупп группы и множество всех -субнормальных подгрупп группы. Если же --- непустая нильпотентная формация, то множество всех -достижимых подгрупп в точности совпадает с множеством всех субнормальных подгрупп для любой группы.

В Коуровской тетради [10] Л. А. Шеметковым была поставлена проблема классификации сверхрадикальных формаций.

Напомним, что формация называется сверхрадикальной, если она удовлетворяет следующим требованиям:

1) --- нормально наследственная формация;

2) любая группа, где и --- -субнормальные -подгруппы из, принадлежит.

В.Н. Семенчуком в работе [28] в классе конечных разрешимых групп было получено полное решение данной проблемы.

В данной главе получено полное решение проблемы Шеметкова для наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы

В данном разделе приводятся некоторые свойства критических групп (минимальных не -групп) и обобщенно субнормальных (-субнормальных и -достижимых) подгрупп, которые будут использоваться при доказательстве основных результатов диссертации.

Напомним, что критической группой формации (минимальной не -группой) называется группа, не принадлежащая, все собственные подгруппы которой принадлежат. Множество всех таких групп обозначают. Через обозначают множество всех разрешимых групп, а через --- множество всех групп, у которых -корадикал разрешим.

1.1 Лемма. Пусть --- насыщенная формация, --- наследственная насыщенная формация. Если и, где, то.

Доказательство. Пусть. По теореме 2.2. 1, --- -группа. Очевидно, что. По лемме 2.2. 2,, где --- -группа, --- -группа и. Так как и, то. Следовательно, --- -группа. Пусть --- -главный фактор. Если --- -группа, то -централен.

Пусть --- -группа. По теореме 2.2. 3,. Пусть и --- произвольная -абнормальная максимальная подгруппа группы. Тогда. Так как, то, по теореме 2.2. 4,. Следовательно,. Поскольку

то. Учитывая, что, по теореме 2.2. 5, имеем

где --- максимальные внутренние локальные экраны, соответственно и. Если, то. Отсюда и из того, что

следует. А это значит, что -централен.

Пусть. Так как --- насыщенная формация и, то. Следовательно, --- -нормализатор группы. В силу того, что покрывает, то -централен. Следовательно,. По теореме 2.2. 4,. Лемма доказана.

1.2 Лемма. Пусть --- непустая наследственная формация. Если --- -субнормальная подгруппа, то --- субнормальная подгруппа.

Доказательство. Пусть --- -субнормальная подгруппа группы. Если, то лемма очевидна. Пусть. Тогда содержится в максимальной -нормальной подгруппе группы. По индукции, --- субнормальная подгруппа из. Так как и --- наследственная формация, то. Следовательно,, значит,. Поскольку --- нормальная подгруппа группы, то --- субнормальная подгруппа. Лемма доказана.

1.3 Лемма. Пусть --- наследственная насыщенная формация, --- -субнормальная подгруппа группы такая, что. Тогда.

Доказательство. Пусть. Очевидно,

Так как, то по индукции. Следовательно,

Отсюда, согласно лемме 2.2. 6,

Пусть. Тогда --- цоколь группы. По лемме 3.1. 2, --- субнормальная подгруппа группы. По теореме 2.2. 7,. Следовательно, --- нормальная подгруппа группы. Тогда

По теореме 2.2. 8,. Отсюда следует, что. Так как и --- наследственная формация, то. Получаем, т. е. Лемма доказана.

В следующих леммах приводятся основные свойства -субнормальных подгрупп.

1.4 Лемма. Пусть --- непустая наследственная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если --- подгруппа группы и, то --- -субнормальная (-достижимая) подгруппа группы;

2) если --- -субнормальная (-достижимая) подгруппа группы, то --- -субнормальная (-достижимая) подгруппа для любой подгруппы группы;

3) если --- -субнормальная (-достижимая) подгруппа и --- -субнормальная (-достижимая) подгруппа группы, то --- -субнормальная (-достижимая) подгруппа группы;

4) если и --- -субнормальные (-достижимые) подгруппы группы, то --- -субнормальная (-достижимая) подгруппа группы;

5) если все композиционные факторы группы принадлежат формации, то каждая субнормальная подгруппа группы -субнормальна в;

6) если --- -субнормальная (-достижимая) подгруппа группы, то -субнормальна (-достижима) в для любых.

Доказательство. 1) Пусть --- подгруппа группы и. Так как и --- наследственная формация, то подгруппа является -субнормальной подгруппой группы. Отсюда, согласно определению -субнормальной подгруппы, существует максимальная цепь

такая, что для всех. Отсюда, с учетом леммы 2.2.6 получаем, что в группе существует максимальная цепь

такая, что для всех.

А это значит, что --- -субнормальная подгруппа группы.

Пусть --- подгруппа группы, содержащая, тогда --- -субнормальная подгруппа группы. А так как любая -субнормальная подгруппа группы является -достижимой в, то --- -достижимая подгруппа группы.

2) Пусть --- -субнормальная подгруппа группы. Тогда, по определению, существует максимальная цепь подгрупп

такая, что для любого.

Пусть --- некоторая подгруппа из. Рассмотрим цепь подгрупп

Так как и формация наследственна, то из следует, что

Теперь, ввиду изоморфизма,

имеем. Значит,. Так как, то. Итак,. Отсюда, по определению, --- -субнормальная подгруппа группы.

Пусть --- -достижимая подгруппа группы. Тогда, по определению, существует цепь подгрупп

такая, что для любого либо подгруппа нормальна в, либо.

Пусть --- некоторая подгруппа из. Рассмотрим цепь подгрупп:

Если подгруппа нормальна в, то подгруппа нормальна в. Пусть. Так как формация наследственна, то из следует, что

Теперь, ввиду изоморфизма,

имеем. Значит,. Так как, то. Итак, для каждого либо подгруппа нормальна в, либо. Отсюда, по определению, --- -достижимая подгруппа группы.

Утверждение 3) следует непосредственно из определения -субнормальной (-достижимой) подгруппы.

Утверждение 4) следует теперь из утверждений 2) и 3).

5) Пусть все композиционные факторы группы принадлежат формации, и пусть --- субнормальная подгруппа группы. Тогда в группе существует цепь подгрупп

такая, что для любого подгруппа нормальна в.

Согласно условию,, отсюда следует, что. А это значит, что подгруппа -субнормальна в группе.

Утверждение 6) следует непосредственно из определения -субнормальной (-достижимой) подгруппы. Лемма доказана.

1.5 Лемма. Пусть --- непустая формация, и --- подгруппы группы, причем нормальна в. Тогда:

1) если -субнормальна (-достижима) в, то -субнормальна (-достижима) в и -субнормальна (-достижима) в;

2) если, то -субнормальна (-достижима) в тогда и только тогда, когда -субнормальна (-достижима) в.

Доказательство. Пусть --- -субнормальная подгруппа группы. Тогда, по определению, существует максимальная цепь подгрупп

такая, что для любого.

Рассмотрим следующую цепь подгрупп

Так как, то ввиду леммы 2.2. 6,. Отсюда следует, что

Итак, для каждого. Отсюда, по определению, --- -субнормальная подгруппа группы.

Ввиду леммы 2.2. 6,

Поэтому для любого. Значит, --- -субнормальная подгруппа группы.

Пусть --- -достижимая подгруппа группы. Тогда, по опрeделению, существует цепь подгрупп

такая, что для любого либо нормальна в, либо. Рассмотрим следующую цепь подгрупп

Если подгруппа нормальна в, то подгруппа нормальна в. Пусть. Тогда ввиду леммы 2.2. 6,. Отсюда следует, что. Итак, для каждого либо подгруппа нормальна в, либо. Отсюда, по определению, --- -достижимая подгруппа группы.

Ввиду леммы 2.2. 6,. Поэтому для любого либо подгруппа нормальна в, либо. Значит, --- -достижимая подгруппа группы.

Утверждение 2) следует из 1) и леммы 2.2.6. Лемма доказана.

2 Критерий принадлежности факторизуемой группы классическим классам конечных групп

В работе [3] А. Ф. Васильевым была предложена задача об описании наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения подгрупп и, у которых любая силовская подгруппа -субнормальна в. В этой же работе было получено описание таких формаций в классе конечных разрешимых групп. Развитию данного направления были посвящены работы [4, 16].

В данном разделе найдены серии наследственных насыщенных формаций, не входящих в класс конечных разрешимых групп, обладающих отмеченным выше свойством.

В теории классов групп важную роль играет класс всех -групп (--- некоторое множество простых чисел), который обозначается через. Большинство важнейших классов групп можно построить из классов вида с помощью операций пересечения и произведения классов.

Напомним, что произведением классов групп и называется класс групп, который состоит из всех групп, таких, что в найдется нормальная -подгруппа с условием.

Пусть --- множество всех натуральных чисел. Обозначим через некоторое подмножество из. Пусть, --- некоторые множества простых чисел, а, --- классы всех -групп и -групп соответственно. В дальнейшем рассматриваем формации вида:

Напомним, что группа называется -замкнутой (-нильпотентной), если ее силовская -подгруппа (силовское -дополнение) нормальна в. Группа называется -разложимой, если она одновременно -замкнута и -нильпотентна.

Через обозначим дополнение к во множестве всех простых чисел, если, то вместо будем просто писать. Тогда --- класс всех -нильпотентных групп, --- класс всех -замкнутых групп, --- класс всех -разложимых групп, --- класс всех нильпотентных групп, где пробегает все простые числа.

Группа называется -нильпотентной (-разложимой), если она -нильпотентна (-разложима) для любого простого числа из. Классы всех -нильпотентных (-разложимых) групп можно записать в виде

Группа называется -замкнутой, если она имеет нормальную -холлову подгруппу. Тогда --- класс всех -замкнутых групп.

2.1 Лемма. Пусть --- наследственная формация. Если --- -субнормальная -подгруппа группы, то композиционные факторы группы содержатся среди композиционных факторов групп из.

Доказательство. Если, то лемма верна. Пусть. Тогда содержится в -нормальной максимальной подгруппе группы. По индукции,. Так как, то. Отсюда, и из, получаем. Лемма доказана.

2.2 Лемма. Пусть --- наследственная формация, --- класс всех групп. Тогда формация совпадает с формацией.

Доказательство леммы осуществляется непосредственной проверкой.

2.3 Теорема [10-A, 13-A]. Пусть --- наследственная формация. Тогда всякая формация, представимая в виде, содержит любую группу, у которой и силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в.

Доказательство. Пусть --- формация указанного вида и --- такая группа, что, где и любая силовская подгруппа из и -субнормальна в. Индукцией по порядку докажем, что. Рассмотрим сначала случай, когда --- класс всех групп.

Пусть --- минимальная нормальная подгруппа из. Ясно, что любая силовская подгруппа из и имеет вид, , где и --- силовские подгруппы из и соответственно. Согласно лемме 3.1. 5, и --- -субнормальные подгруппы фактор-группы. По индукции,. Так как --- формация, то отсюда следует, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу. Очевидно, что. Так как --- насыщенная формация, то нетрудно показать, что.

Пусть --- силовская подгруппа из. Покажем, что.

Пусть --- абелева группа. Так как --- -субнормальная подгруппа группы, то, согласно теореме 2.2. 8,.

Пусть --- неабелева группа. В этом случае есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и.

Рассмотрим подгруппу. Согласно лемме 3.1. 5, --- -субнормальная подгруппа группы. Пусть. Так как и --- собственная -субнормальная подгруппа группы, то равенство невозможно. Итак,.

Так как и --- насыщенная формация, то. Отсюда следует, что

А это значит, что. Если, то. Последнее равенство невозможно, так как согласно лемме 3.1.4 --- собственная -субнормальная подгруппа.

Итак, --- собственная подгруппа. Если, то

Так как и --- наследственная формация, то. Но тогда нетрудно заметить, что.

Так как, то согласно лемме 3.1. 4, --- -субнормальная подгруппа. Так как и --- наследственная формация, то любая силовская подгруппа -субнормальна в. Согласно лемме 3.1. 4, --- -субнормальная подгруппа группы. По индукции,. Отсюда следует, что для любой.

Аналогичным образом доказывается, что для любой, где --- любая силовская подгруппа из. Из того, что, следует.

Рассмотрим два случая: и.

Пусть. Покажем, что.

Если --- абелева, то --- примарная -группа, где. Отсюда следует, что.

Если --- неабелева, то есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп.

Так как --- нормальная подгруппа из, то

Так как, то очевидно, что. Так как, то для любой. Следовательно,.

Пусть теперь. Если --- неабелева, то. Тогда. Отсюда следует, что. А это значит, что. Отсюда следует, что, где --- любое простое число из.

Рассмотрим подгруппу, где --- любая силовская подгруппа из.

Если, то, как и выше, получаем, что.

Если, то, как и выше, получаем, что. Отсюда следует, что, где --- любое простое число из. Согласно лемме 2.2. 9, любая силовская подгруппа группы есть, где --- силовские подгруппы из и соответственно. Отсюда следует, что любое простое число из принадлежит. Следовательно,. А это значит, что.

Пусть --- абелева группа, то. Но тогда.

Ввиду, получаем, что для любой. А это значит, что.

Пусть теперь --- произвольная наследственная формация и. По лемме 3.2. 1, композиционные факторы группы содержатся среди композиционных факторов групп из. Это значит, что принадлежит.

Пусть. Так как, то ввиду леммы 3.2. 2, силовские подгруппы из и -субнормальны в. По доказанному,. Так как, то, по лемме 3.2. 2,. Теорема доказана.

2.4 Следствие (В.Н. Семенчук, Л. А. Шеметков [33]). Пусть --- наследственная формация. Тогда всякая формация вида является сверхрадикальной.

Доказательство. Пусть, где и --- -субнормальные -подгруппы группы. Так как --- наследственная формация, то согласно лемме 3.1. 4, любая силовская подгруппа из (из) -субнормальна в (соответственно в). Отсюда, согласно лемме 3.1. 4, любая силовская подгруппа из и из -субнормальна в. Теперь требуемый результат следует из теоремы 3.2.3.

2.5 Следствие (В.Н. Семенчук, Л. А. Шеметков [33]). Формация вида является сверхрадикальной.

2.6 Следствие. Пусть --- формация всех -нильпотентных групп. Тогда содержит любую группу, где и --- -субнормальные подгруппы группы, принадлежащие.

2.7 Следствие. Пусть --- формация всех -замкнутых групп. Тогда содержит любую группу, где и --- -субнормальные подгруппы группы, принадлежащие.

2.8 Следствие. Пусть --- формация всех -разложимых групп. Тогда содержит любую группу, где и --- -субнормальные подгруппы группы, принадлежащие.

2.9 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть. Тогда формация содержит любую группу, у которой и силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в.

2. 10 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть --- формация всех -нильпо- тентных групп. Тогда содержит любую группу, у которой силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в.

2. 11 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть --- формация всех -замкнутых групп. Тогда содержит любую группу, у которой силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в.

2. 12 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть --- формация всех -разложимых групп. Тогда содержит любую группу, у которой силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в.

2. 13 Лемма. Пусть --- непустая наследственная формация. Пусть все композиционные факторы группы принадлежат. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) --- -субнормальная подгруппа группы;

2) --- -достижимая подгруппа группы.

Доказательство. Пусть --- -субнормальная подгруппа группы. Тогда, по определению, --- -достижимая подгруппа группы.

Пусть --- -достижимая подгруппа группы. Тогда существует цепь

в которой для любого либо нормальна в, либо.

Пусть. Уплотним участок от до цепи до максимальной -цепи.

Ввиду утверждения 1) леммы 3.1. 4, все подгруппы, содержащие, -субнормальны в. Пусть теперь нормальна в. Можно считать, что --- максимальная нормальная подгруппа (в противном случае уплотняем участок от до до композиционной -цепи). Ввиду условия леммы, т. е. Пришли к рассматриваемому выше случаю. Теперь, ввиду утверждения 1) леммы 3.1. 4, подгруппа -субнормальна в. Лемма доказана.

2. 14 Лемма. Пусть --- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) любая группа, где и любые силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в, принадлежит;

2) любая группа, где и любые силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в, принадлежит.

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2). Доказательство проведем индукцией по порядку группы.

Пусть --- минимальная нормальная подгруппа группы. Очевидно, что. Пусть --- произвольная -силовская подгруппа из. Ясно, что --- -силовская подгруппа из. По лемме 3.1. 5, --- -достижимая подгруппа группы. Аналогичным образом доказыватся, что любая силовская подгруппа из -достижима в. Так как, то по индукции,. Предположим, что и --- две различные минимальные нормальные подгруппы группы. Выше показано, что ,. Так как --- формация, то. Итак, имеет единственную минимальную нормальную подгруппу.

Покажем, что. Предположим противное. Тогда, как и выше, с учетом индукции можно показать, что. Так как --- наследственная формация, то. Итак,.

Рассмотрим следующие два случая.

1) Пусть --- абелева, тогда --- примарная группа. Так как --- насыщенная формация и, то. Как и выше, с учетом индукции можно показать, что. Теперь, с учетом леммы 3.2. 13 и условия следует, что.

2) Пусть --- неабелева группа. В этом случае

есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и.

Рассмотрим подгруппу. Согласно лемме 3.1. 5, --- -субнормальная подгруппа группы. Пусть. Так как и --- собственная -субнормальная подгруппа группы, то равенство невозможно. Итак,.

Так как и --- насыщенная формация, то. Отсюда следует, что

А это значит, что. Если, то. Последнее равенство невозможно, так как, согласно лемме 3.1. 4, собственная -субнормальная подгруппа.

Итак, --- собственная подгруппа. Если, то

Так как и --- наследственная формация, то. Но тогда нетрудно заметить, что.

Согласно индукции, группа принадлежит формации. Согласно лемме 3.2. 13, любая -достижимая подгруппа является -субнормальной подгруппой. Согласно условию получаем, что группа принадлежит.

Непосредственно из определения -субнормальности и -достижимости из 2) следует 1). Лемма доказана.

Непосредственно из данной леммы и теоремы 3.2.3 следует следующая теорема.

2. 15 Теорема. Пусть --- наследственная формация. Тогда всякая формация, представимая в виде, содержит любую группу, у которой и силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в.

2. 16 Следствие. Пусть. Тогда формация содержит любую группу, у которой и силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в.

2. 17 Следствие. Пусть --- формация всех -нильпотентных групп. Тогда содержит любую группу, у которой силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в.

2. 18 Следствие. Пусть --- формация всех -замкнутых групп. Тогда содержит любую группу, у которой силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в.

2. 19 Следствие. Пусть --- формация всех -разложимых групп. Тогда содержит любую группу, у которой силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в.

3. Сверхрадикальные формации

В теории формаций конечных групп одной из известных проблем является проблема Шеметкова об описании сверхрадикальных формаций.

В.Н. Семенчуком в работе [28] получено полное решение проблемы Л. А. Шеметкова в классе конечных разрешимых групп. Оказалось, что все такие формации имеют следующее строение: , где --- некоторые множества простых чисел, а --- множество всех разрешимых -групп.

В данном разделе приводится описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, критические группы которых разрешимы.

Приведем примеры сверхрадикальных формаций.

3.1 Пример. Формация всех -групп, где --- некоторое множество простых чисел является сверхрадикальной формацией.

Действительно. Пусть, где и --- -группы, и --- -субнормальные подгруппы группы. Так как формация замкнута относительно расширений, то, очевидно, что --- -группа.

3.2 Пример. Формации, --- сверхрадикальные формации.

Действительно, если --- -субнормальная подгруппа группы, то --- субнормальная подгруппа из. Очевидно, что любая группа, где и --- нильпотентные субнормальные подгруппы из, нильпотентна.

Если --- разрешимая -субнормальная подгруппа из, то разрешима. Следовательно, --- сверхрадикальная формация.

Аналогичным образом доказывается, что любая нормально наследственная, замкнутая относительно расширений, формация является сверхрадикальной.

Следующая лемма устанавливает связь между сверхрадикальными формациями и формациями Фиттинга.

Напомним, что формациями Фиттинга называются формации, которые замкнуты относительно взятия субнормальных подгрупп и произведения нормальных -подгрупп.

3.3 Лемма. Пусть --- наследственная сверхрадикальная формация, тогда --- формация Фиттинга.

Доказательство. Пусть, где и --- нормальные -подгруппы группы. Так как

то. Аналогичным образом,. Согласно лемме 3.1. 4, и --- -субнормальные подгруппы группы. Так как --- сверхрадикальная формация, то. Итак, --- формация Фиттинга. Лемма доказана.

3.4 Лемма. Пусть --- непустая наследственная формация. Если содержит любую группу, где для любого из силовские -подгруппы и принадлежат и -субнормальные подгруппы в, то --- сверхрадикальная формация.

Доказательство. Пусть --- непустая наследственная формация, удовлетворяющая условию леммы. Покажем, что --- сверхрадикальная формация. Пусть, где и --- -субнормальные -подгруппы группы. Пусть --- произвольное простое число из, а и --- силовские -подгруппы из и соответственно. Так как и принадлежат и --- наследственная формация, то и принадлежат и, и -субнормальны в и соответственно. Так как и --- -субнормальные подгруппы группы, то согласно лемме 3.1. 4, и -субнормальны в группе. Согласно условию леммы, принадлежит. А это значит, что --- сверхрадикальная формация. Лемма доказана.

3.5 Лемма. Пусть --- наследственная насыщенная разрешимая формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) --- сверхрадикальная формация;

2) --- содержит любую группу, где и для любого простого числа из силовские -подгруппы и -субнормальны в.

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Пусть --- сверхрадикальная формация и пусть, где и для любого простого числа из и --- -субнормальные подгруппы группы. Так как --- насыщенная формация и, то и принадлежат. Так как --- разрешимая формация и --- -субнормальная подгруппа группы, то отсюда нетрудно показать, что --- разрешимая группа. А это значит, что и разрешимы.

Согласно теореме Ф. Холла [63],, где. Так как --- сверхрадикальная формация, то принадлежит. Так как и --- -субнормальные подгруппы группы, то согласно теореме 2.2. 10, --- -субнормальная подгруппа группы. Так как принадлежит и --- сверхрадикальная формация, то подгруппа принадлежит. Продолжая в аналогичном порядке получаем, что принадлежит. Аналогичным образом можем доказать, что принадлежит. Так как --- сверхрадикальная формация, то.

Тот факт, что из 2) следует 1) вытекает из леммы 3.3.4. Лемма доказана.

В следующей теореме получено решение проблемы Шеметкова о классификации сверхрадикальных формаций для наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы.

3.6 Теорема [20-A]. Пусть --- наследственная насыщенная формация такая, что. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) --- сверхрадикальная формация;

2), где --- некоторые множества простых чисел.

Доказательство. Пусть --- сверхрадикальная формация. Вначале докажем, что любая минимальная не -группа является либо группой простого порядка, либо группой Шмидта.

Пусть --- произвольная минимальная не -группа. Согласно условию теоремы, разрешима. Если, то нетрудно заметить, что --- группа простого порядка, где.

Рассмотрим случай, когда. Согласно теореме 2.2. 5,, где --- единственная минимальная нормальная подгруппа из, --- -группа,, --- максимальный внутренний локальный экран формации. Очевидно, что.

Покажем, что является примарной циклической подгруппой. Предположим противное. Поскольку --- разрешимая группа, то в существуют максимальные подгруппы и такие, что. Так как, то очевидно, что и --- -нормальные максимальные -подгруппы группы. Но тогда. Так как --- сверхрадикальная формация, то. Противоречие. Итак, имеет единственный класс максимальных сопряженных подгрупп. Следовательно, --- циклическая -подгруппа. Поскольку --- насыщенная формация и, имеем.

Покажем, что. Предположим противное. Пусть, где. Пусть и --- циклические группы соответственно порядков и. Обозначим через регулярное сплетение. Пусть --- база сплетения, т. е. Так как некоторая подгруппа группы изоморфна, то. Очевидно, подгруппы, принадлежат формации.

Пусть, где. Обозначим через базу сплетения. Тогда.

Так как, то, значит, что подгруппы и -субнормальны в. Легко видеть, что, .

Так как --- сверхрадикальная формация, то. Но, и поэтому.

Полученное противоречие показывает, что. Итак, --- группа Шмидта. Теперь из леммы 3.1.1 следует, что --- группа Шмидта.

Пусть --- максимальный внутренний локальный экран формации. Покажем, что формация имеет полный локальный экран такой, что, для любого из. Действительно, пусть --- такая формация, у которой есть локальный экран. Покажем, что.

С учетом того, что для любого простого из, получим.

Покажем обратное включение. Пусть --- группа наименьшего порядка из. Так как --- наследственная формация, то формация также является наследственной, значит,. Так как --- насыщенная формация, то нетрудно показать, что.

Выше показано, что --- либо группа простого порядка, либо группа Шмидта. Пусть --- группа простого порядка и. Нетрудно показать, что. Так как, имеем. Отсюда следует, что. Противоречие.

Пусть теперь --- группа Шмидта. Поскольку, то из свойств группы Шмидта следует, где и. Так как, то. Из того, что, следует. Так как и --- наследственная формация, то. Теперь из того, что, где --- единственная минимальная нормальная подгруппа группы и, следует что. Получили противоречие. Итак,, значит,.

Так как --- локальный экран формации, имеем

следовательно, --- формация из 2).

Пусть. Тогда из следствия 3.2.5 следует, что --- сверхрадикальная формация. Теорема доказана.

Покажем, что в теореме 3.3.6 условие наследственной насыщенной формации можно отбросить, в случае, когда --- разрешимая формация.

3.7 Лемма. Пусть --- разрешимая нормально наследственная формация. Если и, то.

Доказательство. Пусть и. Если, то утверждение леммы очевидно. Пусть. Пусть --- нормальная максимальная подгруппа группы. Если, то.

Пусть. Ясно, что. Так как и --- нормально наследственная формация, то. Индукцией по порядку группы получаем, что. Лемма доказана.

Если --- произвольный класс групп, то через обозначим наибольший по включению наследственный подкласс класса. Более точно

3.8 Лемма. Всякая разрешимая сверхрадикальная формация является наследственной формацией.

Доказательство. Пусть --- разрешимая сверхрадикальная формация. Как и в теореме 3.3.6 нетрудно показать, что любая разрешимая минимальная не -группа является группой Шмидта, либо группой простого порядка.

Покажем, что, где --- максимальная наследственная подформация из. Допустим, что множество непусто и выберем в нем группу наименьшего порядка. В силу леммы 2.2. 11, формация является насыщенной. Поэтому. Очевидно, что группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и. Так как, то в найдется минимальная не -группа. Из нормальной наследственности формации следует, что. Ясно, что является также минимальной не -группой.

По условию, --- группа Шмидта. В этом случае, где --- нормальная силовская -подгруппа, а --- циклическая -подгруппа группы, и --- различные простые числа.

Если, то

Получили противоречие с выбором. Остается принять, что. Отсюда и из получаем, что, а значит, --- -группа. Рассмотрим. Тогда группу можно представить в виде

где --- элементарная абелева -группа, а. Так как не входит в, то по лемме 2.2. 12, где --- максимальный внутренний локальный экран формации. Так как и, то является -группой. Отсюда следует, что. Из нормальной наследственности формации, по теореме 2.2. 13, следует, что является нормально наследственной формацией. Тогда, по лемме 3.3. 7,. Получили противоречие. Таким образом,. Лемма доказана.

Напомним, что формация называется формацией Шеметкова, если любая минимальная не -группа является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка.

3.9 Теорема [16-A]. Пусть --- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) --- формация Шеметкова;

2) формация содержит любую группу, где и --- -достижимые -подгруппы из и;

3) --- сверхрадикальная формация и;

4) формация такая, что для любой группы и для любых ее перестановочных -субнормальных подгрупп и подгруппа -субнормальна в и;

5) формация такая, что для любой группы и для любых ее перестановочных -достижимых подгрупп и подгруппа -достижима в и;

6), где --- некоторые множества простых чисел и.

Доказательство следует из теорем 2.2. 14, 2.2. 15 и теоремы 3.3.6.

3. 10 Теорема [3-A, 5-A]. Пусть --- наследственная насыщенная формация такая, что. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) формация содержит любую группу, где и --- -субнормальны в G и;

2), где --- некоторые множества простых чисел.

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Пусть --- формация, удовлетворяющая утверждению 1). Покажем, что она является сверхрадикальной формацией. Пусть --- любая группа такая, что, где и --- -субнормальные подгруппы группы, принадлежащие. Пусть и произвольные -силовские подгруппы из и соответственно. Так как, и --- наследственная формация, то и -субнормальны соответственно в и. Так как и -субнормальны в, то по лемме 3.1. 4, и -субнормальны в группе. Отсюда следует, что. Следовательно, --- сверхрадикальная формация.

Теперь, согласно теореме 3.3. 6, получаем, что.

Обратное утверждение следует из следствия 3.2. 16. Теорема доказана.

Из леммы 3.3.5 следует, что в классе конечных разрешимых групп класс всех наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций совпадает с классом всех наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения подгрупп и, силовские подгруппы которых обобщенно субнормальны в.

Как следует из теоремы 3.3. 10, аналогичное утверждение верно для всех наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы. Однако для произвольной наследственной насыщенной формации данный вопрос остается открытым.

Заключение

В главе 1 приведены некоторые свойства критических групп и обобщенно субнормальных подгрупп, необходимые для доказательства основных результатов глав2 и 3.

В главе 2 найдены серии наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения подгрупп и, у которых любая силовская подгруппа -субнормальна в, теорема 2.3 [10-A, 13-A].

В главе 3 получено описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, критические группы которых разрешимы, теорема 3.6 [20-A].

Основные научные результаты работы

В данной работе проведено изучение строения наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения -подгрупп, обладающих заданными свойствами.

1. Найдены серии произвольных наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения подгрупп и, у которых любая силовская подгруппа -субнормальна в [10-A, 13-A].

2. Получено описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, критические группы которых разрешимы [20-A].

3. В классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения обобщенно субнормальных -подгрупп взаимно простых индексов [18-A].

4. Доказано, что любая разрешимая 2-кратно насыщенная формация, замкнутая относительно произведения обобщенно субнормальных -подгрупп, индексы которых взаимно просты является сверхрадикальной [18-A].

5. Получено описание наследственных насыщенных -формаций Шеметкова [14-A, 21-A].

6. Получено описание наследственных насыщенных -формаций Шеметкова [14-A, 21-A].

7. В классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных формаций Фиттинга, замкнутых относительно произведения -подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое фиксированное простое число [14-A, 21-A].

Полученные результаты могут найти приложение в вопросах классификации классов конечных групп, в дальнейшем развитии теории обобщенно субнормальных подгрупп, а также при изучении строения непростых конечных групп по заданным свойствам её обобщенно субнормальных и критических подгрупп.

Решенные в диссертации задачи позволяют подойти к ещё нерешенным проблемам: задаче об описании наследственных сверхрадикальных формаций; задаче об описании наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведений обобщенно субнормальных -подгрупп, индексы которых взаимно просты.

Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей в высших учебных заведениях, написании курсовых, дипломных проектов и диссертаций.

Список использованных источников

1. Васильев, А.Ф. О максимальной наследственной подформации локальной формации / А. Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во народного обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л. А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1990. -- Вып. 5. -- С. 39--45.

2. Васильев, А.Ф. О решетках подгрупп конечных групп / А. Ф. Васильев, С. Ф. Каморников, В. Н. Семенчук // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы / Ин-т математики Акад. Украины; редкол.: Н. С. Черников [и др.]. -- Киев, 1993. -- С. 27--54.

3. Васильев, А.Ф. О влиянии примарных -субнормальных подгрупп на строение группы / А. Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во обр. и науки Республики Беларусь, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; редкол.: Л. А. Шеметков [и др.]. -- Гомель, 1995. -- Вып. 8. -- С. 31--39.

4. Васильева, Т.И. О конечных группах с -достижимыми силовскими подгруппами / Т. И. Васильева, А. И. Прокопенко. -- Гомель, 2006. -- 18 с. -- (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 4).

5. Ведерников, В.А. О локальных формациях конечных групп / В. А. Ведерников // Матем. заметки. -- 1989. -- Т. 46, № 3. -- С. 32--37.

6. Казарин, Л. С. Признаки непростоты факторизуемых групп / Л. С. Казарин // Известия А Н СССР. -- 1980. -- Т. 44, № 2. -- С. 288--308.

7. Казарин, Л.С. О произведении конечных групп / Л. С. Казарин // ДАН СССР. -- 1983. -- Т. 269, № 3. -- С. 528--531.

8. Каморников, С.Ф. О некоторых свойствах формаций квазинильпотентных групп / С. Ф. Каморников // Матем. заметки. -- 1993. -- Т. 53, № 2. -- С. 71--77.

9. Каморников, С.Ф. О двух проблемах Л. А. Шеметкова / С. Ф. Каморников // Сибир. мат. журнал. -- 1994. -- Т. 35, № 4. -- С. 801--812.

10. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО АН СССР. -- Новосибирск, 1992. -- 172 с.

11. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО РАН. -- Новосибирск, 1999. -- 146 с.

12. Легчекова, Е. В. Конечные группы с заданными слабо квазинормальными подгруппами / Е. В. Легчекова, А. Н. Скиба, О. В. Титов // Доклады НАН Беларуси. -- 2007. -- Т. 51, № 1. -- С. 27--33.

13. Монахов, В. С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным / В. С. Монахов // Конечные группы. -- 1975. -- С. 70--100.

14. Монахов, В.С. О произведении двух разрешимых групп с максимальным пересечением факторов / В. С. Монахов // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во высш. и ср. спец. обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л. А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1985. -- Вып. 1. -- С. 54--57.

15. Мокеева, С. А. Конечные группы с перестановочными -субнормальными (-достижимыми) подгруппами / С. А. Мокеева. -- Гомель, 2003. -- 25 с. -- (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 56).

16. Прокопенко, А.И. О конечных группах с -достижимыми силовскими подгруппами / А. И. Прокопенко // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 2004. -- № 6 (27). -- С. 101--103.

17. Семенчук, В.Н. О минимальных не -группах / В. Н. Семенчук // ДАН БССР. -- 1978. -- № 7. -- С. 596--599.

18. Семенчук, В. Н. Конечные группы с заданными свойствами подгрупп / В. Н. Семенчук // ДАН БССР. -- 1979. -- № 1. -- С. 11--15.

19. Семенчук, В. Н. Минимальные не -группы / В. Н. Семенчук // Алгебра и логика. -- 1979. -- Т. 18, № 3. -- С. 348--382.

20. Семенчук, В. Н. Конечные группы с системой минимальных не -подгрупп / В. Н. Семенчук // Подгрупповое строение конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1981. -- С. 138--149.

21. Семенчук, В. Н. Минимальные не -группы / В. Н. Семенчук // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984. -- С. 170--175.

22. Семенчук, В. Н. Характеризация локальных формаций по заданным свойствам минимальных не -групп / В. Н. Семенчук, А. Ф. Васильев // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984. -- С. 175--181.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой