Метод А.Ф. Смирнова для определения критических нагрузок в стержневых системах

Тип работы:
Научная работа
Предмет:
Производство и технологии


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

МЕТОД А.Ф. СМИРНОВА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК В СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ

1. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ

1)Нагрузка приложена только в узлах стержневой системы и до потери устойчивости не вызывает изгиба стержней.

2)Материал работает в упругой стадии.

3)Перемещения при потере устойчивости малы по сравнению с размерами конструкции

4)При определении перемещений учитываются продольные силы только в тех стержнях, в которых они возникали до потери устойчивости.

Примечание: Если критические нагрузки определяются в статически неопределимой системе, то ее статическая неопределимость раскрывается методом сил.

Основная система выбирается в момент потери устойчивости.

Основная система-это статически определимая и геометрически неизменяемая система, полученная из заданной путем удаления лишних связей в деформированном состоянии.

Основную систему рекомендуется выбирать таким образом, чтобы сжато-изогнутые элементы не имели смещений вдоль своих осей.

1.2. Алгоритм расчета по методу А.Ф. Смирнова

Рассмотрим упругую систему, загруженную узловыми нагрузками.

В момент потери устойчивости система характеризуется наличием сжато-изогнутых и изогнутых элементов.

Деформированное состояние системы характеризуется вектором отклонений Y, имеющим размер (m?1):

Y1

Y2

Y3

= …

(m?1) …

Yn ,

где m-число ненулевых координат вектора отклонений, которые задаются только для сжато-изогнутых стержней.

Вектор отклонений можно определить по формуле Мора, которая в матричной форме имеет вид

(1. 1)

При определении перемещений система разбивается на участки. В пределах каждого участка намечаются расчетные сечения по концам каждого участка и в тех точках сжато-изогнутых стержней, перемещение которых подлежит определению.

Обозначим: м-число расчетных сечений

Для составления My необходимо в основной системе построить эпюры моментов от единичных сил приложенных в направлении искомых перемещений Y1, Y2, Y3… Yn.

Матрица Му имеет размер (м?m)

Эпюра Эпюра Эпюра … Эпюра

=

(м?m)

G-размером (м?м)-матрица податливости всей системы.

Она формируется из матриц податливости отдельных участков.

Мр— матрица-столбец, элементами которой являются ординаты эпюр изгибающих моментов на тот период времени, когда заданная система находится в критическом состоянии.

Для статически-неопределимых систем при определении Мр используется матричный алгоритм метода сил:

(1. 2),

где (1. 3)-матрица, раскрывающая статическую неопределимость системы.

Если заданная система статически определимая, то матрица превращается в единичную матрицу (м?м):

=Е (1. 4)

Структура матрицы

Эпюра Эпюра Эпюра … Эпюра

=

(м?m)

-матрица столбец, элементами которой являются ординаты эпюры моментов, построенной от действия внешних узловых сил в основной системе, с учетом ее деформированного состояния.

Ординаты эп. зависят от вектора перемещений y

Получим матрицу в виде:

(1. 5),

где: H-числовая матрица размером (м?m), преобразующая вектор отклонений у в эпюру моментов грузового состояния

Тогда (1. 6)

Подставляя (1. 6) в (1. 1) получим вектор перемещений

(1. 7)

Обозначим: =k•c (1. 8),

Где k-общий множитель, полученный из множителей при перемножаемым матрицах Н и G

Тогда: или, обозначим (1. 9),

где: л-собственное число матрицы; -собственный вектор матрицы

Преобразуем (1. 9)

(1. 10)-УРАВНЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДА СМИРНОВА,

где ;.

Выражение (1. 10) представляет собой систему однородных уравнений относительно, где матрица составлена из коэффициентов при неизвестных Y1, Y2, Y3… YN.

Уравнение устойчивости (1. 10) имеет два решения

1) Вектор перемещений равен 0

Y1 0

Y2 0

Y3 0

= … = … (1. 11)-начальная форма равновесия

… …

Yn 0

2) Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных равен 0.

=0 (1. 12)-характеристическое уравнение

Если раскрыть определитель, то получим уравнение m10 порядка, где неизвестным будет л.

Решение этого уравнения дает значения л, л1, л2, л3…лm.

Минимальное значение Ркр составляет лmax ()

minPкр= (1. 13),

где -наибольшее собственное число характеристической матрицы.

Собственный вектор характеристической матрицы дает форму потери устойчивости.

2. ПОРЯДОК РАСЧЕТА СИСТЕМ НА УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТОДОМ А.Ф. СМИРНОВА

1. Заданная система изображается в критическом деформированном состоянии.

Выявляются сжато-изогнутые и изогнутые элементы, назначается число ненулевых координат вектора отклонений для сжато-изогнутых элементов.

2. Ось системы разбивается на участки. Назначаются расчетные сечения и правило знаков для эпюр изгибающих моментов.

3. Определяется степень статической неопределимости n и, если n>0 выбирается основная система метода сил.

4. Формируются необходимые матрицы.

5. Вычисляется характеристическая матрица

,

где -для статически неопределимых систем;

=Е-для статически определимых систем

6. Решается характеристическое уравнение =0 >

7. Определяется значение критической нагрузки:

minPкр=

3. ФОРМИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТИ ДЛЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПРИ РАСЧЕТЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

Матрица податливости всей системы формируется из матриц податливости отдельных участков и имеет следующую структуру

0

G= Gk

(м?м) Gk-матрица податливости участка k

Вид матрицы Gk зависит от типа участка (какую деформацию он испытывает).

1)Участок, испытывающий только изгиб

G,

где: l0-длина любого участка, принятого за основной

B0-жесткость любого участка, принятого за основную

;

2)Участки, испытывающие деформацию сжатие с изгибом. Для такого участка вид матрицы Gk зависит от того, на сколько панелей разбита его длина

а)Длина участка разбита на две панели:

-длина участка

-длина панели

;

б)Длина участка разбита на три панели:

; ;

в)Длина участка разбита на четыре и более панелей:

В этом случае общая длина сжато-изогнутого элемента компонуется из подучастков с двумя или тремя панелями. Соответственно и компонуется матрица податливости.

GЙ

Gk = GЙ Й

4. ФОРМИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ H

Матрица H-числовая матрица размером (м?m), преобразующая вектор перемещений в эпюру моментов грузового состояния.

;

Для построения матрицы H необходимо определить изгибающие моменты во всех расчетных сечениях основной системы от узловых нагрузок и построить эпюру М0

Эпюра М0 строится со стороны растянутых волокон с учетом деформированного состояния системы.


М0=

В матрицу H вписываются коэффициенты при перемещениях из каждого уравнения.

5. РЕШЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Существует несколько методов решения характеристического уравнения. Все методы делятся на две группы:

1)Первая -позволяет вычислить все собственные числа (метод Крылова-Лузина и др.)

2)Вторая -позволяет вычислить наибольшее собственное число (и соответственно наименьшее значение критической нагрузки)

К этой группе относится метод последовательных приближений

Метод итераций позволяет вычислить наибольшее собственное число характеристической матрицы. Вместе с определением собственного числа одновременно производится определение собственного вектора, соответствующего этому числу и удовлетворяющего равенству:

,

где -характеристическая матрица

-для статически неопределимых систем

=Е- для статически определимых

— собственное число характеристической матрицы

-собственный вектор матрицы

Порядок решения:

1)Задаемся приближенным вектором перемещений -первое приближение;

2)Вычисляется: ,

где -второе приближение собственного вектора; -первое приближение собственного числа.

Вектор следует сделать нормированным, т. е. его наибольшую координату надо вынести за знак матрицы в виде множителя.

3)Далее вновь подсчитывается:

и т.д.

4)Повторение процесса продолжается до тех пор, пока значения координат векторов двух последних приближений не совпадут.

Величина найденная в последнем приближении принимается за искомое

6. ПРИМЕР.

Определить критическую силу методом А.Ф. Смирнова

; =Е- т.к. система статически определима

=; ;

;

;

;

=0

=0

С

С=

у1

1

0,5

Су1

118,5

30,5

у2

1

0,257

Су2

109,75

25,15

у3

1

0,229

Су3

108,74

24,54

у4

1

0,2257

Су4

108,62

24,46

у5

1

0,225

=108,62

у=

minPкр=;

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой