Метод конечных разностей или метод сеток

Тип работы:
Лекция
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Метод конечных разностей, или метод сеток

Рассмотрим линейную краевую задачу

(2. 24)

(2. 25)

,

где, , и непрерывны на [a, b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей длины, или шага

.

Точки разбиения

,

называются узлами, а их совокупность — сеткой на отрезке [a, b]. Значения в узлах искомой функции и ее производных обозначим соответственно через

.

Введем обозначения

Заменим производные так называемыми односторонними конечно-разностными отношениями:

(2. 26)

Формулы (2. 26) приближенно выражают значения производных во внутренних точках интервала [a, b].

Для граничных точек положим

. (2. 27)

Используя формулы (2. 26), дифференциальное уравнение (2. 24) при, (i=1, 2,…, n-1) приближенно можно заменить линейной системой уравнений

(2. 28)

Кроме того, в силу формул (2. 27) краевые условия (2. 25) дополнительно дают еще два уравнения:

. (2. 29)

Таким образом, получена линейная система n+1 уравнений с n+1 неизвестными, представляющими собой значения искомой функции в узлах сетки. Система уравнений (2. 28), (2. 29), заменяющая приближенно дифференциальную краевую задачу (2. 24), (2. 25) обычно называется разностной схемой. Решить эту систему можно каким-либо общим численным методом. Однако схема (2. 28), (2. 29) имеет специфический вид и ее можно эффективно решить специальным методом, называемым методом прогонки. Специфичность системы заключается в том, что уравнения ее содержат три соседних неизвестных и матрица этой системы является трехдиагональной.

Преобразуем уравнения (2. 28):

. (2. 30)

Введя обозначения

получим

, (i=0, 1,…, n-2). (2. 31)

Краевые условия по-прежнему запишем в виде

. (2. 32)

Метод прогонки состоит в следующем.

Разрешим уравнение (2. 31) относительно:

. (2. 33)

Предположим, что с помощью полной системы (2. 31) из уравнения исключен член, содержащий. Тогда уравнение (2. 33) может быть записано в виде

, (2. 34)

где и должны быть определены. Найдем формулы для этих коэффициентов. При i=0 из формулы (2. 33) и краевых условий (2. 32) следует, что

Исключая из этих двух уравнений, найдем

.

Выразим теперь отсюда:

(2. 35)

Но, согласно формуле (2. 34),

(2. 36)

Сравнивая теперь (2. 35) и (2. 36), найдем, что

(2. 37)

Пусть теперь i > 0, то есть i=1, 2,…, n-2. Выражая по формуле (2. 34), получим:

.

Подставляя это в формулу (2. 33), будем иметь

.

Разрешая полученное уравнение относительно, находим

, или

. (2. 38)

Отсюда, сравнивая формулы (2. 34) и (2. 38), получаем для коэффициентов и рекуррентные формулы:

(2. 39)

Так как и уже определены по формулам (2. 37), то, используя формулы (2. 39), можно последовательно определить коэффициенты и до и включительно. Эти вычисления называются прямым ходом метода прогонки.

Из формулы (2. 33) при i=n-2 и второго краевого условия (2. 32) получаем

Разрешая эту систему относительно, будем иметь

. (2. 40)

Теперь, используя (2. 34) и первое краевое условие (2. 32), мы можем последовательно найти. Это? обратный ход метода прогонки.

Итак, получаем следующую цепочку:

(2. 41)

Для простейших краевых условий

формулы для и упрощаются. Полагая в этом случае из формул (2. 37), (2. 40), (2. 41) будем иметь

Рассмотренный нами подход сводит линейную краевую задачу к системе линейных алгебраических уравнений. При этом возникает три вопроса.

1) Существует ли решение алгебраической системы типа (2. 31)?

2) Как фактически находить это решение?

3) Сходится ли разностное решение к точному при стремлении шага сетки к 0?

Можно доказать, что если краевая задача имеет вид

причем р(x)> 0, то решение системы (2. 31), (2. 32) существует и единственно. Фактическое отыскание решения можно провести, например, методом прогонки. На третий вопрос дает ответ следующая

Теорема

Если и дважды непрерывно дифференцируемы, то разностное решение, соответствующее схеме с заменой

равномерно сходится к точному с погрешностью при

Таким образом, схема (2. 28), (2. 29) дает приближенное решение краевой задачи, но точность ее весьма мала. Это связано с тем, что аппроксимация производной

имеет низкий порядок точности? погрешность этой аппроксимации

Более точную разностную схему можно получить, если при переходе от линейной краевой задачи к конечно-разностным уравнениям воспользоваться центральными формулами для производных:

, (2. 42)

, (2. 43)

i=1, 2,… , n.

Погрешность формулы (2. 42) выражается так:

то есть формула (2. 42) имеет второй порядок точности относительно шага сетки h. Подставляя выражения (2. 42), (2. 43) в задачу (2. 24), (2. 25) и выполняя некоторые преобразования, получим следующую систему:

(2. 44)

Где.

Система (2. 44) снова трехдиагональная и ее решение также можно получить методом прогонки. Его алгоритм здесь будет выглядеть так. Сначала находят коэффициенты

(2. 45)

Затем определяют коэффициенты по следующим рекуррентным формулам:

(2. 46)

Обратный ход начинается с нахождения:

(2. 47)

После этого находим по формулам:

, (2. 48)

. (2. 49)

Относительно схемы (2. 44) можно также доказать, что она имеет единственное решение при

и ,

и это решение может быть найдено описанным методом прогонки. Кроме того, для схемы (2. 44) имеет место

Теорема

Пусть решение граничной задачи (2. 24), (2. 25) единственно и непрерывно дифференцируемо на [a, b] до четвертого порядка точности включительно. Если выполняются условия

, ,

то схема (2. 44) будет равномерно сходиться к решению задачи (2. 24), (2. 25) с погрешностью.

Заметим, что условия, приводимые в теоремах, являются достаточными, а отнюдь не необходимыми. Поэтому в практике численных расчетов нарушение этих условий обычно не вызывает заметного ухудшения расчетных схем.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой