Методика викладання тригонометрії в середній школі

ДИПЛОМНА РОБОТА Методика викладання тригонометріі в середній школі

АНОТАЦІЯ Дипломна робота бакалавра на тему: «Методика викладання тригонометріі в середній школі» — 100 с., 3 табл., 40 рис., 20 джерел.

Згідно з «Навчальною програмою з математики для учнів 10−11 класів (академічний рівень „Алгебра та початки аналізу — 10 клас-70 год“)» викладення основ тригонометрії на площині у середній школі в даній бакалаврській роботі були систематизовані матеріали наступних тем:

1. Тригонометричні функції (20 год.).

2. Тригонометричні рівняння і нерівності (16 год.).

Теоретичний матеріал в кожному підрозділі супроводжується розв’язанням типових прикладів, що робить бакалаврську роботу практичним спеціалізованим посібником курсу «Основи тригонометрії» для вчителя математики у 10 класі середньої школи.

THE SUMMARY

Degree work of the bachelor on a subject: «А Technique of teaching the trigonometry in high school «- 100 pg., 3 tab., 40 fig., 20 sources.

10−11 classes (academic level «Algebra agree to the Educational program on mathematics for the schoolboys and the beginnings of the analysis» — 10 classes — 70 h.) teaching the bases of trigonometry on a plane in high school in given work of the bachelor were systematized materials a statement of the following subjects:

1. Trigonometrical functions (20 h.).

2. Trigonometrical equations and inequalities (16 h.).

The theoretical material in each section is accompanied by the decision of typical tasks, that makes work of the bachelor by the practical specialized manual of a rate «Bases of trigonometry «for the teacher of mathematics in 10 class in high school.

ЗМІСТ ВСТУП РОЗДІЛ 1. ВИЗНАЧЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ ТА ЇХ ОСНОВНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ

1.1 Кути та їхні вимірювання

1.2 Визначення тригонометричних функцій

1.2.1 Визначення тригонометричних функцій для гострих кутів в трикутнику

1.2.2 Визначення періодичності тригонометричних функцій для безкінечних числових аргументів

1.3 Основні тригонометричні тотожності

1.4 Розв’язування важливих прикладів, доведення тотожностей РОЗДІЛ 2. ТЕОРІЯ ОСНОВНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ

2.1 Парність і непарність тригонометричних функцій. Періодичність тригонометричних функцій

2.2 Формули зведення

2.3 Основні формули тригонометрії

2.4 Розв’язування прикладів на тотожні перетворення тригонометричних виразів РОЗДІЛ 3. ГРАФІКИ ФУНКЦІЙ. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ

3.1 Властивості і графіки функцій

3.2 Обернені тригонометричні функції

3.3 Тригонометричні функціях від обернених тригонометричних функцій

3.4 Найпростіші тригонометричні рівняння

3.5 Розв’язування тригонометричних рівнянь із застосуванням комбінованих

способів РОЗДІЛ 4. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ З ОБЕРНЕНИМИ ФУНКЦІЯМИ. СИСТЕМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ ТА НЕРІВНОСТІ

4.1 Тригонометричні рівняння, що містять обернені тригонометричні функції

4.2 Системи тригонометричних рівнянь

4.3 Тригонометричні нерівності

ВИСНОВКИ СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ВСТУП Тригономемтрия (від грец. фсЯгпнп (трикутник) і грец. мефсейн (вимірюва-ти), тобто вимірювання трикутників) — це розділ математики, у якому вивчаються тригонометричні функції і їх використання в геометрії. Даний термін уперше з’явився в 1595 р. як назва книги німецького математика Бартоломеуса Пітіскуса (Bartholomaus Pitiscus, 1561−1613), а сама наука ще в далекій давнині використовувалася для розрахунків в астрономії, геодезії й архітектурі.

Спочатку тригонометричні функції були пов’язані зі співвідношеннями сторін у прямокутному трикутнику. Їхнім єдиним аргументом є кут (один з гострих кутів цього трикутника).

— Синус — відношення протилежного катета до гіпотенузи.

— Косинус — відношення прилежного катета до гіпотенузи.

— Тангенс — відношення протилежного катета до прилежного.

— Котангенс — відношення прилежного катета до протилежного.

— Секанс — відношення гіпотенузи до прилежного катета.

— Косеканс — відношення гіпотенузи до протилежного катета.

Дані визначення дозволяють обчислити значення функцій для гострих кутів, тобто від 0° до 90° (від 0 до радіан). В XVIII столітті Леонард Ейлер дав сучасні, більше загальні визначення, розширивши область визначення цих функцій на всю числовую вісь.

Хоча в роботах Євкліда й Архімеда немає тригонометрії в точному значенні цього слова, їхні теореми представлені в геометричному виді, еквівалентному специфічним тригонометричним формулам. Теорема Архімеда для ділення хорд еквівалентна формулам для синусів суми й різниці кутів. Для компенсації відсутності таблиці хорд математики часів Аристарха іноді використовували добре відому теорему, у сучасному записі — sin б/ sin в < б/в < tan б/ tan в, де 0° < в < б < 90°, разом з іншими теоремами.

Перші тригонометричні таблиці були, імовірно, складені Гіппархом Нікейським (180—125 років до н.е.). Гіппарх був першим, хто звів у таблиці відповідні величини дуг і хорд для серії кутів. Систематичне використання повного кола в 360° встановилося в основному завдяки Гіппарху і його таблиці хорд.

У 2010 — 2011 навчальному році учні 10-х класів розпочали навчання за новими навчальними планами і програмами Сипченко Т. М. Календарно-тематичний план з математики. 5—11 класи /Т. М. Сипченко.— 2-ге вид., перероб. і доп.— X.: Видавництво «Ранок», 2011.— 128 с.

У старшій школі вивчення математики диференціюється за чотирма рівнями: рівнем стандарту, академічним, профільним та рівнем поглибленого вивчення математики. Кожному з них відповідає окрема навчальна програма.

Програма рівня стандарту визначає зміст навчання предмета, спрямований на завершення формування в учнів уявлення про математику як елемент загальної культури. При цьому не передбачається, що в подальшому випускники школи продовжуватимуть вивчати математику або пов’язуватимуть з нею свою професійну діяльність.

Програма академічного рівня задає дещо ширший зміст і вищі вимоги до його засвоєння у порівнянні з рівнем стандарту. Вивчення математики на академічному рівні передбачається передусім у тих випадках, коли вона тісно пов’язана з профільними предметами і забезпечує їх ефективне засвоєння.

Програма профільного рівня передбачає вивчення предмета з орієнтацією на майбутню професію, безпосередньо пов’язану з математикою або її застосуваннями.

Програма поглибленого вивчення математики розрахована на вивчення математики у 8−11 класах, та передбачає поглиблене вивчення предмету.

Згідно до «Навчальної програми з математики для учнів 10−11 класів (ака-демічний рівень „Алгебра та початки аналізу — 10 клас-70 год“)» в бакалаврсь-кій роботі поставлені завдання по систематизації матеріалів викладення нас-тупних тем:

1. Тема 3. Тригонометричні функції (20 год.):

— Радіанне вимірювання кутів. Синус, косинус, тангенс, котангенс кута.

— Тригонометричні функції числового аргументу. Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу. Формули зведення.

— Періодичність. Властивості та графіки тригонометричних функцій.

— Гармонічні коливання.

— Тригонометричні тотожності: формули додавання; формули под-війного кута; формули перетворення суми і різниці тригонометричних функцій на добуток; формули пониження степеня; формули половинного кута; формули перетворення добутку тригонометричних функцій на суму.

2. Тема 4. Тригонометричні рівняння і нерівності (16 год.):

— Обернені тригонометричні функції: означення, властивості, графіки.

— Найпростіші тригонометричні рівняння.

— Основні способи розв’язування тригонометричних рівнянь.

— Найпростіші тригонометричні нерівності.

Навчання математики у 10-х класах загальноосвітніх навчальних закладах здійснюється за новими підручниками для академічного рівня: «Алгебра і початки аналізу. 10 клас» (автор Є.П. Нелін) видавництва «Гімназія»; «Алгебра і початки аналізу. 10 клас» (автори А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировський, В. Б. Полонський, М.С. Якір) видавництва «Гімназія». Ці підручники створено у відповідності до Державного стандарту та нових програм з алгебри та початків аналізу для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів.

В той же час, наведена бакалаврська робота, спеціалізована для викладення курсу «Тригонометрія в школі», спирається на матеріали більш науково та математично послідовних підручників та посібників:

1. П. Я. Кожеуров «Тригонометрія» (1957 — 1963 роки видання);

2. О. М. Титаренко «Форсований курс шкільної математики» (2003 року видання)

3. О. М. Титаренко 5770 задач з математики з відповідями (2007 рік видання).

РОЗДІЛ 1.

ВИЗНАЧЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ ТА ЇХ ОСНОВНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ

1.1 Кути та їх вимірювання Кут — це геометрична фігура, утворена двома променями, які виходять з однієї точки, названою вершиною кута (рис. 1.1 а)).

Слово «кут» заміняють символом :.Часто символ опускають і пишуть просто, тобто .

а) б) в) Рис. 1.1. Основні елементи кутів Кут можно розглядати як фігуру, утворену обертанням промення навколо своєї початкової точки 0 (рис. 1.1 б)). Промінь можна повертати навколо своєї початкової точки у двох напрямах: за годинниковою стрілкою і проти годинникової стрілки. Напрям обертання проти годинникової стрілки умовно називають додатним, а за годинниковою стрілкою від'ємним. Відповідно до цього кути і дуги, отримані обертанням промення проти годинникової стрілки, вважаються додатними, а кути і дуги, отримані обертання променя за годинниковою стрілкою, вважаються від'ємними.

Якщо сторони кута утворюють пряму, то такий кут називається розгорнутим. Якщо промінь робить повний оберт навколо своєї початкової точки, то отриманий кут називається повним.

Осі абсцис і ординат ділять повний кут (коло) на чотири чверті (-), або чотири квадранта (рис. 1.1. в)).

Кути вимірюються в градусах і радіанах. Кут у 1 градус — це кут, що опи-ше промінь, зробивши 1/360 частину повного оберту навколо своєї початкової точки проти годинникової стрілки (позначка). 1/60 частина градуса назива-ється хвилиною (позначка). 1/60 частина хвилини називається секундою (позначка).

Центральним кутом у колі називається кут, вершина якого знаходиться в його центрі. Кут в 1 радіан — це центральний кут, який спирається на таку дугу кола, довжина якої дорівнює радіусу цього кола.

Рис. 1.2. Визначення кута в 1 радіан Слово «радіан» звичайно не пишуть. Таким чином, якщо то, тобто кут дорівнює одному радіану.

Зв’язок між радіанною і градусною мірами кута.

Оскільки довжина всього кола дорівнює, то повний кут складає радіан, тому що. Оскільки повний кут дорівнює, то. Звідси 1 радіан = (57 градусів, 17 хвилин, 45 секунд).

Таким чином, зі співвідношень

Приклад 1. а) Виразити в радіанах кут у ;

б) виразити в градусах кут у 2 радіани.

Розв’язання.

1)

2)

Зобразимо таблицю переходу від градусів до радіан для найбільш поши-рених кутів.

Таблиця 1.1

Співвідношення між градусами і радіанами

1.2 Визначення тригонометричних функцій

1.2.1 Визначення тригонометричних функцій для гострих кутів в трикутнику Розглянемо спочатку тригонометричні функції гострого кута, які можно ввести за допомогою прямокутного трикутника.

Нехай у прямокутному трикутнику ACB:

Рис. 1.3. Визначення тригонометричних функцій в прямокутному трикутнику

(відношення протилежного катета до гіпотенузи)

(відношення прилеглого катета до гіпотенузи)

(відношення протилежного катета до прилеглого)

(відношення прилеглого катета до протилежного) З останніх двох рівнянь випливає, що ,

1.2.2 Визначення періодичності тригонометричних функцій для безкінечних числових аргументів Розглянемо тригонометричні функції довільних значень аргументу.

Маємо прямокутну систему ординат на площині і коло одиничного радіуса, що має центр на початку координат (рис. 1.4).Таке коло називається одиничним колом чи тригонометричним колом. Відзначимо на осі справа від початку координат точку, яка лежить на тригонометричному колі: Радіус називається початковим радіусом. При повороті початко-вого радіуса біля центра на кут точка переходить в деяку точку .

Синусом кута називається відношення ординати точки до радіусу. Косинусом кута називається відношення абсциси точки до радіусу .

Рис. 1.4. Визначення тригонометричних функцій в одиничному колі

Таким чином, .Оскільки, то.

і можна розглядати як проекції на осі координат одиничного вектора. Таким чином, можна стверджувати, що синус кута дорівнює ординаті, а косинус-абсцисі вектора одиничної довжини, що виходить з початку координат і утворює з додатним напрямом осі кут .Оскільки координати будь-якої точки одиничного кола задовільняють рівнянню то. Співвідношення називається тригонометричною тотожністю.

Тангенсом кута називається відношення ординати точки до її абсциси:

.

Котангенсом кута називається відношення абсциси точки до її ординати:

.

Рис. 1.5. Визначення тангенсу кута Пряма (рис. 1.5) називається віссю тангенсів. Кожному куту можна поставити у відповідність точку на осі тангенсів, що є точкою перетину кінцевої сторони кута (або її продовження) з віссю тангенсів. Тангенс кута дорівнює ординаті відповідної точки на осі тангенсів.

Рис. 1.6. Визначення котангенсу кута

Пряма (рис. 1.6) називається віссю котангенсів. Кожному куту можна поставити у відповідність точку на осі котанген-сів, що є точкою перетину кінцевої сторони кута (або її продовження) з віс-сю котангенсів. Котангенс кута дорівнює ординаті відповідної точки на осі тангенсів.

Знаки тригонометричних функцій у різних чвертях (квадрантах) дані на рис. 1.7.

sinб cosб tgб, ctgб Рис. 1.7. Знаки тригонометричних функцій у різних чвертях (квадрантах) Зобразимо таблицю значень тригонометричних функцій деяких кутів, які найбільш часто використовуються на практиці (таблиця 1.2).

Таблиця 1.2

Таблиця значень тригонометричних функцій деяких кутів

Символ (нескінченість) означає, що або при відповідних значеннях аргументу не визначені і набувають великих значень за модулем.

Секансом кута (позначення) називається величина протилежна, тобто .

Косекансом кута (позначення) називається величина протилежна, тобто .

1.3 Основні тригонометричні тотожності

Крім тотожності, основними тригонометричними тотожностями називаються також такі співвідношення Кожеуров П. Я. Тригонометрія. 7-е видання / П. Я. Кожуров. — М.: Гос. изд-во «Физ.-мат. литературы», 1963. — 342 с. :

,

,

,

.

Доведемо деякі з цих тотожностей.

У формулах, знаки «+» або «-» вибираються в залежності від того, у якій чверті закінчується кут. Так, якщо кут закінчується в І або ІІ квадранті, то беремо знак «+», а якщо в ІІІ або ІY квадрантах, то знак «-».

У формулі для кутів, що закінчуються в І або ІY квад-рантах, потрібно взяти знак «+», а якщо кути закічуються в ІІ або ІІІ квадран-тах, то знак «-».

1.4 Розв’язування важливих прикладів доведення тотожностей Приклад 1.1. Визначити знак виразів:

а) б)

Розв’язання.

Зобразимо кути в 2 і 6 радіан на тригонометричному колі. Зазначимо, що, але, з іншого боку, радіан. Тому ,. Звідси кут закінчується в ІІ чверті, а кут закінчується в ІY чверті.

Тоді, відповідно з графіками рис. 1.7, .

Приклад 1.2. Обчислити

Розв’язання.

Відповідно даним табл.1.2:

Відповідь: .

Приклад 1.3. Знайти, якщо Розв’язання а) .

Оскільки за умовою кут закінчується в ІІ чверті, то і перед радикалом потрібно взяти знак «-». Звідси:

б) .

в) .

Відповідь: ,

Приклад 1.4. Знайти, якщо Розв’язання

а) .

Оскільки за умовою кут закінчується в ІІІ чверті, то і перед радикалом потрібно взяти знак «-». Звідси.

б)

в) .

Відповідь: ,.

Приклад 1.5. Спростити .

Розв’язання Відповідь:

Приклад 1.6. Спростити

Розв’язання

Відповідь: .

Приклад 1.7. Спростити, якщо .

Розв’язання Позбудимося модулів. кут закінчується в ІY чверті Звідси

Відповідь:

Приклад 1.8. Дано .

Знайти а);б) Розв’язання а) Піднесемо обидві частини початкового виразу до квадрата:

б)

У процесі розв`язування ми врахували, що якщо, то

відповідно висновкам пункту а).

Відповідь: а); б) При доведенні тотожностей (прикладні 1.9 — 1.15) звичайно використовують такі способи:

1) вираз, який стоїть в одній частині тотожності, за допомогою тотожніх перетворень приводять до виразу, який стоїть в іншій частині тотожності;

2) вираз, який стоїть у лівій і правій частинах тотожності приводять до одного того ж виду;

3) доводять, що різниця між лівою і правою частинами тотожності дорівнює нулю.

Приклад 1.9.

Довести тотожність:

Доведення:

Приклад 1.10.

Довести тотожність:

Доведення:

Приклад 1.11.

Довести тотожність:

Доведення:

Приклад 1.12.

Довести тотожність:

Доведення:

Приклад 1.13.

Довести тотожність:

Доведення:

Застосуємо тотожність .

Тоді ліву частину можна перетворити у такий спосіб:

2 спосіб.

Приклад 1.14.

Довести тотожність:

Доведення:

Приклад 1.15.

Довести тотожність:

Доведення:

Цю тотожність можна розглядати як пропорцію. Щоб довести справедливість пропорції достатньо довести, що. Тому достатньо показати, що .

Ця рівність очевидна, оскільки

а .

Висновок: тотожності доведені.

РОЗДІЛ 2.

ТЕОРІЯ ОСНОВНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ

2.1 Парність і непарність тригонометричних функцій. Періодичність тригонометричних функцій Розглянемо парність і непарність тригонометричних функцій Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: підруч. для 10 кл. загально-освіт. навчальн. закладів: академ. рівень / С.II. Нелін. X.: Гімназія, 2010. — 416 с. .

При повороті одиничного вектра (початкового радіуса)

на кути і - абсциси векторів і рівні, а ординати рівні за модулем, але протилежні за знаком (рис. ___). Це значить, що, , тобто функція є парною, а непарною.

Розглянемо інші тригонометричні функції:

Звідси функція є непарною.

Звідси функція є непарною.

Таким чином, з шести основних тригонометричних функцій функції, є парними, а іншінепарними.

Приклад 1. Дослідити на парність функції:

а);

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

Розв’язання а) функція

є непарною;

б)функція є парною;

в) функція є непарною;

г) функція є непарною;

д)

функція не є ні парною, ні непарною, тобто це функція загального вигляду.

Розглянемо періодичність тригонометричних функцій.

Для періодичної функції виконується рівність, де — відмінне від нуля число, назване періодом функції. Кожна періодична функція має велику кількість періодів, тобто якщоперіод, топеріод, де. Звичайно, говорячи про період, мають на увазі найменший додатний період, який називається основним. Основними періодами для тригонометричних функцій є: для функцій для функцій У більш загальному вигляді можемо записати:

Якщо кути виражати в адіанах, то можна сказати, що періоди функцій

а періоди функцій .

При цьомуосновний період функцій — основний період функцій

Відомо, що періоди функцій і обчислюються за формулою, а періоди функцій і - за формулою

.

Якщо період функції дорівнює, а період функції дорівнює, то період функцій + і - дорівнює найменшому числу, при діленні якого на і дістаємо цілі числа.

Приклад 2. Обчислити без використання калькулятора і таблиць:

а) ;

б);

в);

а) ;

б);

в)=.

Відповідь: а) ;б);в).

Приклад 3. Знайти періоди функцій:

а)

б)

в) .

а) Період функції дорівнює а період функції дорівнює .Найменшим числом, при діленні якого на і дістаємо цілі числа, є число .Відповідно, період заданої функції дорівнює .

б) Знаходимо періоди доданків. Період функції дорівнює, а період функції дорівнює .Очевидно, що період заданої функції дорівнює .

в) Період функції дорівнює а період функції дорівнює .Періоду функції не існує, тому що немає такого числа, приділенні якого на 2 і на одночасно діставали б цілі числа.

Відповідь: а); б); в) періоду не існує.

2.2 Формули зведення Формулами зведення називаються співвідношення, за допомогою яких значення тригонометричних функцій аргументів виражаються через значення .

Для полегшення запам’ятування формул зведення можна користуватися такими правилами:

1) якщо у формулах містяться кути і, то найменування функції не змінюється;

2) якщо ж у формулах містяться кути і, то найменування функції змінюється на подібне (синусна косинус, тангенс на котангенс і навпаки)

3) щоб визначити знак у первій частині формули («+» або «-»), досить, вважаючи кут гострим, визначити знак виразу, який стоїть у лівій частині формули; при цьому перед функцією кута ставлять такий знак, який має зведена функція кутів .

Наприклад,; .

Таблиця 2.1

Таблиця формул зведення

Приклад 1. Звести до тригонометричної функції гострого кута:

а);

б);

Розв’язання.

а) б)

Відповідь: а) б).

Приклад 2. Обчислити

Розв’язання.

;

Відповідь: .

Приклад 3. Обчислити

Розв’язання. Застосовуючи періодичність функцій і формули зведення, маємо Відповідь:

Приклад 4. Без калькулятора визначити знак виразу

Розв’язання.

Використаємо той факт, що періодом функції є ,

Звідси

(Оскільки то) Відповідь:

2.3 Основні формули тригонометрії

Вкажемо вісім основних груп формул тригонометрії (частина з яких уже раніше наведена).

1. Основні співвідношення між тригонометричними функціями того самого аргументу:

2. Формули додавання аргументів:

3. Формули подвійного і потрійного аргументів:

4. Формули зниження степеня:

5. Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму:

6. Формули перетворення суми і різниці однойменних тригонометричних функцій:

7. Формули, які дають раціональний вираз тригонометричних функцій через тангенс половинного аргументу:

8. Формули тригонометричних функцій половинного аргументу:

Знак перед радикалом в останніх трьох формулах залежить від того, в якій кординатній чверті знаходиться кут .

Крім основних формул тригонометрії, при розв’язуванні прикладів часто використовують метод введення допоміжного кута для виразів виду

де

Цей вираз можна перетворити у добуток у такий спосіб:

(такий кут існує, оскільки

).

Таким чином,, де (інакше).

Наведемо приклади допоміжного кута Приклад 1. Перетворити вираз за допомогою введення допоміжного кута.

Розв’язання.

1 спосіб.

2 спосіб.

Відповідь:

Приклад 2. Перетворити за допомогою введення допоміжного кута.

Розв’язання.

де З останніх двох рівностей і в’якості можна взяти

Відповідь:

2.4 Розв’язування прикладів на тотожні перетворення тригонометричних виразів Приклад 1. Обчислити без допомоги калькулятора

Розв’язання.

Помножимо і поділимо початковий вираз на .Тоді маємо Відповідь:

Приклад 2. Обчислити без допомоги калькулятора

Розв’язання.

Помножимо і поділимо початковий вираз на Дістаємо Відповідь:

Приклад 3. Перетворити у добуток

Розв’язання.

У чисельнику і знаменнику до суми перших і третіх доданків застосовують формули перетворення суми тригонометричних функцій у добуток:

Відповідь:

Приклад 4. Спростити до числа .

Розв’язання.

Перетворимо чисельник даного виразу:

Тоді

Відповідь:

Приклад 5. Обчислити, якщо

Розв’язання.

Перетворимо початковий вираз

(з урахуванням того, що

Відповідь

Приклад 6. Довести тотожність.

Розв’язання.

Перетворивши ліву частину початкової тотожності, маємо Відповідь: тотожність доведена.

Приклад 7. Довести тотожність

Розв’язання.

Оскільки то для будь-якого

Тому для доказу тотожності найкраще перетворити праву часту з урахуванням того, що .При піднесенні до куба дістаємо Відповідь: тотожність доведено.

Приклад 8 Довести тотожність Розв’язання.

Перетворимо ліву частину початкової тотожності. Вираз зобразимо як суму кубів, а 1 запишемо у виді Тоді з урахуванням тотожності для суми кубів Відповідь: тотожність доведено.

Приклад 9. Довести тотожність Розв’язання.

За формулами зведення маємо

…;

Тоді

(Ми змінили порядок множників і використали 44 рази тотожність, а також той факт, що).

Відповідь: тотожність доведена.

Приклад 10. Довести тотожність .

Розв’язання.

Перетворимо ліву чаcтину тотожності, застосувавши формули зведення Тоді

Відповідь: тотожність доведено.

тригонометричний функція рівняння

РОЗДІЛ 3.

ГРАФІКИ ФУНКЦІЙ. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ

3.1 Властивості і графіки функцій

а) Властивості і графіки функції

1. Область визначення-уся числова пряма, тобто

2. Область значень-відрізок тобто

3. Функція — непарна, тобто графік симетричний від-носно початку координат.

4. Функція періодична з основним періодом .

5.Нулі функції: при

6. Інтервали знакосталості:

а) якщо б) якщо

7. Інтервали зростання й спадання:

а) Функція зростає на проміжках б) Функція спадає на проміжках

8. Екстремуми функції:

а) при

б) при

9. Функція є обмеженою,

Графік функції називається синусоїдою, він показаний на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Графік функції

б) Властивості і графіки функції

1. Область визначення-уся числова пряма, тобто

2. Область значень-відрізок тобто

3. Функція — парна, оскільки графік симетричний щодо осі ю

4. Функція періодична з основним періодом .

5. Нулі функції: при

6. Інтервали знакосталості:

а) якщо

б), якщо

7. Інтервали зростання й спадання:

а) Функціязростання на проміжках б) Функція спадає на проміжках

8. Екстремуми функції:

а) при

б) при

9. Функція є обмеженою,

Графік функції називається косинусоїдою, він показаний на рис. 3.2

в) Властивості і графік функції

1. Область визначення-множина усіх дійсних чисел, крім чисел виду

тобто

Інакше

2. Область значень-вся числова пряма, тобто

3. Функція — непарна, оскільки графік симетричний відносно початку координат.

4. Функція періодична з основним періодом .

5. Нулі функції: при

6. Інтервали знакосталості:

а) якщо

б), якщо

7. Інтервали зростання й спадання функціязростає на проміжках

8. Функція екстремумів не має

9. Функція необмежена

Рис. 3.3. Графік функції

Прямі називаються вертикальними асимптотами графіка функції

г) Властивості і графік функції

1. Область визначення-множина усіх дійсних чисел, крім чисел виду тобто

2. Область значень-вся числова пряма, тобто

3. Функція — непарна, оскільки графік симетричний відносно початку координат.

4. Функція періодична з основним періодом .

5. Нулі функції: при

6. Інтервали знакосталості:

а) якщо

б), якщо

7. Інтервали зростання й спадання функціязростає на проміжках

8. Функція екстремумів не має

9. Функція необмежена Графік функції називається котангенсоїдою, він показаний на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Графік функції

Прямі називають вертикальними асимптотами графіка функції

3.2 Обернені тригонометричні функції

Функції, обернені функціям на відповідних інтервалах, називаються оберненими тригонометричними. Вони позначаються

Тригонометричні функції не є монотонними у всій області їх визначення. Тому для утворення обернених функцій виділяють інтервали монотонності.

а) Функція та її графік Функція на відрізку зростає і набуває всіх значень з відрізка. Тому функція на відрізку оборотна, тобто має обернену функцію, що називається арксинусом і позначається .

Таким чином, арксинусом числа називається число з відрізка таке, що його синус дорівнює. Математично це можно записати так:

Геометрично означає величину кута (дуги), узятого у проміжку, синус якого дорівнює .

Наприклад (оскільки), ,

,.

Графік функції зображено на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Графік функції

Цей графік симетричний графіку функції, відносно прямої

Визначимо основні властивості функції

1.

2.

3. тобто — непарна функція;

4. функція зростаюча;

5. при

Приклад 1 Обчислити:

а) б) в) г)

Розв’язання А)

Оскільки, то дістанемо

б) в) позначимо .Оскільки з визначення випливає,, то Звідси остаточно

г) позначимо Звідси не можемо зробити висновок, що оскільки має належати відрізку від до, тобто

Використовуємо періодичність функції. Тоді тому що Тому і остаточно

Відповідь: а) б)в)г) б) Функція та її графік.

Функція на відрізку спадає і набуває всіх значень з відрізка. Тому функція на відрізку оборотна, тобто має обернену функцію, що називається арккосинусом і позначається Таким чином, арккосинусом числа називається число з відрізка таке, що його синус дорівнює. Математично це можно записати так:

Геометрично означає величину кута (дуги), узятого у проміжку, косинус якого дорівнює .

Наприклад, (оскільки),

,. (помилково записувати оскільки і).

Графік функції зображено на рис. 3.6.

Рис. 3.6. Графік функції

Цей графік симетричний графіку функції, відносно прямої Визначимо основні властивості функції

1.

2.

3.тобто функція — є функцією загального виду

4.функція спадна;

5. при

Приклад 2. Обчислити:

А)

Б)

В) Г)

Розв’язання.

А)

;

;

.

Звідси

Б)

В) позначимо (оскільки отже, з).Остаточно

Г) позначимо, Перетворимо у такий спосіб :

Тоді дістанемо: Звідси оскільки

Відповідь: а) б)в)г).

Зауваження 1. Зв’язок між і задається формулою .

в) Функція та її графік.

Функція на інтервалізростає і набуває всіх числових значень, оскільки Тому функція на відрізку оборотна, тобто має обернену функцію, що називається арктангенсом і позначається. Таким чином, арктангенсом числа називається число з відрізка таке, що його тангенс дорівнює. Математично це можно записати так: .

Геометрично означає величину кута (дуги), узятого у в інтервалі, тангенс якого дорівнює .

Наприклад, (оскільки ,), ,.

Графік функції зображено на рис. 3.7. Цей графік симетричний графіку функції, відносно прямої Прямі є горизонтальними асимптотами графіка функції .

Рис. 3.7. Графік функції

1.

2.

3. тобто функція є непарною;

4. функція є зростаючою;

5. при

Приклад 3. Обчислити:

А)

Б) В)

Г) Розв’язання А)

б) в) позначимо оскільки і з рівності тангенсів випливає рівність самих кутів. Остаточно

г) позначимо. Не можна записати, що оскільки 2 не належить інтервалу .Перетворимо в такий спосіб: оскільки. Остаточно г) Функція та її графік.

Функція на інтервалі спадає і набуває усіх числових значень, оскільки Тому функція на відрізку оборотна, тобто має обернену функцію, що називається арккотангенсом і позначається. Таким чином, арктангенсом числа називається число з відрізка таке, що його котангенс дорівнює. Математично це можно записати так: .

Геометрично означає величину кута (дуги), узятого у в інтервалі, котангенс якого дорівнює .

Наприклад, (оскільки ,), ,

Графік функції зображено на рис. 3.8. Цей графік симетричний графіку функції, відносно прямої Прямі є горизонтальними асимптотами графіка функції .

Рис. 3.8. Графік функції

Основні властивості функції :

1.

2.

3. тобто функція є функцією загального виду;

4.функція спадаюча;

5. при

Приклад 4.

А) Б) В) Г) Розв’язання.

А)

б)

в) позначимо тому що .Оскільки

г) позначимо Оскільки то перетворимо вираз Використовуючи періодичність функції, дістаємо Тоді оскільки .Остаточно

Відповідь:а);б)в);г) Зауваження 2 Зв’язок між функціями і задається формулою

3.3 Тригонометричні функції від обернених тригонометричних функцій а) Тригонометричні функції від

Позначимо Тоді де Нехай Тоді можна побудувати прямокутний трикутник, один з гострих кутів, якого дорівнює, гіпотенуза дорівнює 1, а катет, протилежний куту, дорівнює (рис. 3.9).

Рис. 3.9. Тригонометричні функції від

Тоді за теоремою Піфагора другий катет дорівнює .Маємо

Оскільки то дістаємо

Можна довести, що якщо, то наведені вище формули залишаються в силі, тобто ці формули справедливі для

б).Тригонометричні функції від

Позначимо Тоді де

На відміну від попереднього випадку, у прямокутному трикутнику тепер уже прилеглий катет потрібно покласти таким, що дорівнює (рис. 3.10), а гіпотенузу як і раніше таку, що дорівнює 1.

Рис. 3.10. Тригонометричні функції від

Звідси Формули правильні для

в).Тригонометричні функції від

Позначимо Тоді і у трикунику потрібно покласти протилежний катет такий, що дорівнює, а прилеглий такий, що дорівнює 1 (рис. 3.11) .За теоремою Піфагора гіпотенуза

Рис. 3.11. Тригонометричні функції від

Остаточно дістанемо Ці формули справедливі для будь-якої дії

г).Тригонометричні функції від

Позначимо Тоді отже, у прямокутному трикутнику прилеглий катет дорівнює, протилежний дорівнює 1 (рис. 3.12) .Тоді гіпотенуза дорівнює

Рис. 3.12. Тригонометричні функції від

З наведеного трикутника дістанемо Остаточно

Ці формули справедливі для будь-якої дії

Приклад 1. Обчислити

Розв’язання Використовуючи формули зведення, а також формулу, дістаємо

Відповідь :

Приклад 2. Обчислити

Розв’язання.

Відповідь:

3.4 Найпростіші тригонометричні рівняння Рівняння називаються тригонометричними, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння — означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

Розглянемо розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь.

1. Рівняння

Оскільки, то рівняння має розв’язки тільки при. Корені рівняння можна розглядати як абсциси точок перетину синусоїди з прямою (рис. 3.13)

Рис. 3.13 До рівняння

Нехай .Тоді при и — точки перетину синусоїди і прямої. Абсциси цих точок мають координати і. Враховуючи періодичність функції, дістанемо дві серії (дві множини) розв’язків:

Серії(групи) коренів і можна показати однією формулою

Дійсно, якщо (серія коренів); якщо

(серія коренів).

Можна довести, що формула що дає розв’язок рівняння, лишається справедливою і для, а також для, тобто вона справедлива для Однак при цією формулою користуватися недоцільно.

Розглянемо, наприклад, рівняння Використаємо тригонометричне коло (рис. 3.14).

Рис. 3.14. До рівняння

Оскільки — це ордината вектора одиничної довжини, то розв’язати рівняння — це фактично знайти загальний вид кутів, що закінчуються на осі абсцис. Це будуть такі значення:

тобто загальний вид кутів, що закінчуються на осі абсцис, є

Таким чином,

Положення одиничного вектора на тригонометричному колі, коли показані на рис. 3.15.

Рис. 3.15. До рівняння приклад Розв’язати рівняння — це фактично написати загальний вид кутів, що закінчуються на додатній частині осі ординат. Їх можна записати так:

Звідси

Положення одиничного вектора, якщо показано на рис. 3.16.

Рис. 3.16. Положення одиничного вектора, якщо приклад Це загальний вид кутів, що закінчуються на від ємній частині осі ординат, і є розв’язком рівняння тобто Таким чином, остаточно дістаємо

Зазначимо, що для запису розв’язків тригонометричних рівнянь часто використовують символіку з теорії множин. Наприклад, множина розв’язків рівняння можна записати у вигляді .

Приклад 1. Розв’язати рівняння

Розв’язання

Відповідь .

Приклад 2. Розв'язати рівняння

Розв’язання

Відповідь .

Приклад 3. Розв’язати рівняння

Розв’язання

Відповідь .

2. Рівняння

Оскільки, то рівняння має розв’язки тільки при. Використовуючи рис. 3.17, і провівши міркування, аналогічно при розв’язанні рівняння, остаточно дістаємо:

Для окремих випадків

А) Б)

В) Відповідні геометричні ілюстрації наведені на рис. 3.17.

Рис. 3.17. До рівняння

Приклад 4. Розв’язати рівняння

Необхідно відзначити, що

Дуже часто наводиться помилковий запис Тому бажано перевіряти себя на деяких етапах розв’язання рівнянь. Зокрема, оскільки ,

Відповідь:

Приклад 5. Розв’язати рівняння

Відповідь:

Зауваження 1 (про форму запису відповіді) Наведена форма запису відповіді прикладу 5 не є єдино правильною. Зокрема, можна було б відповідь давати в такий спосіб:

Відповідь:

Відповідь:

Відповідь:

Відповідь:

Відповідь:

Відповідь:

3. Рівняння

Використовуючи рис. 3.18, неважко довести, що всі корені рівняння задаються формулою

Для окремих випадків, коли дістаємо:

Рис. 3.18. До рівняння

Приклад 6. Розв’язати рівняння

Розв’язання.

Відповідь

Приклад 7. Розв’язати рівняння

Розв’язання.

Відповідь:

4. Рівняння

Використовуючи рис. 3.19, неважно довести, що всі корені рівняння визначаються співвідношенням

Для окремих випадків, коли дістаємо:

Рис. 3.19. До рівняння

Приклад 8. Розв’язати рівняння

Розв’язання.

Відповідь :

Приклад 9. Розв’язати рівняння

Розв’язання.

Відповідь:

Зауваження 2 (про форму запису відповіді). Відповідь до прикладу 9 можна дати ще в наступних формах:

Відповідь:

Відповідь:

Відповідь:

Відповідь:

В останній формі запису відповіді цілочислові параметри в різних серіях (множинах) розв’язків рівняння позначені однією і тією ж буквою, а не різними буквами, як в інших формах запису. У тих же випадках, коли елемент множин порівнюються між собою, потрібно використовувати різні букви для позначення цілочислових параметрів.

Приклад 10. Розв’язати рівняння

Розв’язання.

якщо

Відповідь:

Завершуючи розгляд найпростіших тригонометричних рівнянь наведемо таблицю розв’язків найпростіших тригонометричних рівнянь табл.3.1.

Таблиця 3.1

В усіх наведених формулах таблиці

Відзначимо, що при, загальними формулами також можна користуватися, вони дають правильний результат, однак найчастіше ці формули не мають компактного вигляду.

Наприклад, якщо використовувати окремі випадки, то Якщо ж скористатися спільною формулою, то Покажемо, що и це та сама множина.

Дійсно, при при

Таким чином, множини розв’язків, отримані двома способами, збігаються.

Зауваження 3. При розв’язуванні тригонометричних рівнянь (і, зокрема, найпростіших) з однаковим успіхом можна користуватися і радіанною, і градусною мірами.

Так, наприклад, а), (використовується радіанна міра);

б) (використовується градусна міра).При цьому слід, однак, знати, що можна використовувати або тільки радіанну міру, тобто не можна використовувати в тому самому розв’язку частково радіанну і частково градусну міру. Так, не можна записувати чи потрібно записувати так, як наведено вище, тобто чи .

Зауваження 4. Крім обернених тригонометричних функцій

користуються багатозначними оберненими тригонометричними функціями

При цьому

У цьому випадку функції називають головними значеннями відповідно арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса.

Із застосуванням багатозначних обернених тригонометричних функцій розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь можна записати так:

Зауваження 5. При розв’язуванні тригонометричних рівнянь виду де — одна з тригонометричних функцій їх зводять до систем виду тобто необхідно виключити з розв’язання ті значення, для яких перетворюється в нуль.

Приклад 11. Розв'язати рівняння

Розв’язання. Початкове рівняння рівносильне системі

Звідси

тобто підходять тільки Таким чином,

Відповідь:

Приклад 12. Розв’язати рівняння

Розв’язання

Звідси підходять тільки парні тобто Таким чином, .

Відповідь: .

Приклад 13. Розв’язати рівняння

Розв’язання

Відповідь: .

Приклад 14. Розв'язати рівняння

Розв’язання.

Звідси

підходять тільки парні тобто. Таким чином,

Відповідь:

3.5 Розв’язування тригонометричних рівнянь із застосуванням комбінованих способів Розв’язання тригонометричних рівнянь грунтується на використанні властивостей тригонометричних функцій і основних співвідношень між ними.

Розглянемо основні методи розв’язання тригонометричних рівнянь. Ці рівняння в загальному підсумку зводяться до найпростіших, розв’язання яких уже розглянуто в попередніх підрозділах роботи.

1.Розв'язання тригонометричних рівнянь методом розкладання на множники.

Застосування цього методу засновано на тому, що рівняння рівносильне сукупності рівнянь в області визначення рівняння .

Приклад 1. Розв’язати рівняння

Розв’язання

Відповідь:

Зауваження 1. Цілочислові параметри у наведеній відповіді можна позначити тією самою буквою, тобто відповідь можна записати так:

Зауваження 2. При розв’язуванні рівнянь із застосуванням рівносильних (еквівалентних) перетворень нерідко замість символу ставлять крапку з комою або не ставлять взагалі ніякого розділового знака. Іноді розв’язування треба для ясності супроводжувати коментарями, що роз’яснюють суть розв’язання. Так, наприклад, форма запису розв’язання прикладу 1 може бути такою:

Тепер задача звелася до розв’язання сукупності рівнянь З рівняння знаходимо

З рівняння знаходимо і далі

тобто Таким чином, розв’язок початкового рівняння такий:

(у різних серіях розв’язків можна писати з індексами, тобто і)

Приклад 2. Розв’язати рівняння

Розв’язання.

Відповідь:

Приклад 3. Розв’язати рівняння

Розв’язання. За формулою зниження степеня дістаємо Відповідь:

При розв’язанні рівнянь методом розкладання на множники воно може виявитися не рівносильним дістаній сукупності рівнянь, оскільки можлива поява сторонніх коренів. Щоб уникнути помилок у відповіді, бажано знаходити ОДЗ (якщо ОДЗмножина дійсних чисел, то про ОДЗ звичайно не згадується)і при записі відповіді виключити розв’язки, які не задовольняють ОДЗ.

Приклад 4. Розв’язати рівняння Наведемо дві форми запису розв’язання вихідного рівняння.

1.форма запису розв’язання.

ОДЗ:

Знаходимо значення, що задовольняють рівнянням і якщо якщо

Оскільки через ОДЗ, то серія розв’язків непридатна, вона не входить в ОДЗ, і відповіддю є тільки друга серія розв’язків Відповідь:

2.форма запису розв’язання.

Відповідь:.

2.Спосіб зведення тригонометричних рівняння до

однієї з функції.

Якщо рівняння, що містять дві або більше тригонометричних функцій, вдається звести до якоїсь однієї (тощо), то після відповідної замінної тригонометричне рівняння перетворюється в алгебричне відносно зробленої заміни змінної. Якщо алгебричне рівняння вдається розв’язати, то тим самим початкове рівняння зводиться до одного або до сукупності кількох найпростіших рівнянь Особливо позначимо тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратних рівнянь. Тут часто використовується основна тригонометрична тотожність

Приклад 5. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Замінюючи через дістаємо

Поклавши дістаємо квадратне рівняння Розв’язуючи це рівняння, знаходимо Отже, або Якщо, то Якщо то

Відповідь:

Приклад 6 Розв’язати рівняння

Розв’язання. З огляду на те, що і позначивши дістанемо корені якого Рівняння

Коренів не має, а рівняння можна розв’язати двома способами.

1 спосіб.

2 спосіб.

Можна показати, що серії коренів. отримані другим способом, збігаються із серією, отриманою першим способом.

Відповідь:

Приклад 7. Розв’язати рівняння

ОДЗ:

Оскільки то після заміни приходимо до квадратичного рівняння звідки

Звідки знаходимо

З рівняння знаходимо

Очевидно Що всі серії коренів входят в ОДЗ.

Відповідь:

3. Розв’язування тригонометричних рівнянь однорідних відносно синуса і косинуса, а також зводяться до однорідних Однорідними тригонометричними рівняннями називаються рівняння виду:

(однорідні рівняння 1-го степеня);

(однорідні рівняння 2-го степеня);

(однорідні рівняння 3-го степеня);

(однорідні рівняння к-го степеня);

Бачимо, що у всіх доданих однорідних рівнянь сума показників степенів однакова.

Рівняння при не є однорідним, але його можна звести до однорідного рівняння 2-го степеня, замінивши число тотожно рівним йому виразом

Для розв’язування однорідних рівнянь у випадку розглянемо такі значення, для яких. Тоді з початкового однорідного рівняння випливає, що при тих самих значеннях має бути, а це неможливо, оскільки суперечить основній тригонометричній тотожності Звідси розв’язками однорідного рівняння (при) можуть бути тільки такі значення, для яких .Звідси однорідне тригонометричне рівняння можна звести до рівняння відносноякщо всі його члени поділити на і при цьому (якщо) таке ділення не приведе до втрати розв’язків, оскільки значення, при яких, не задовольняють початковому рівнянню. Якщо ж, то таке ділення приведе до втрати коренів і, значить, у відповідь варто включити розв’язок рівняння

тобто

Приклад 8. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Поділивши обидві частини початкового рівняння на

Дістаємо

Відповідь:

Приклад 9. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Поділивши обидві частини початкового рівняння на дістаємо звідси

Відповідь:

Приклад 10. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Початкове рівняння не є однорідним, однак воно легко зводиться до однорідного 2-го степеня після заміни Тоді дістанемо Відповідь:

Приклад 11. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Початкове рівняння є однорідне рівнянням 3-го степеня. Поділивши обидві частини його на дістанемо Позначивши, дістаємо Оскільки є коренем цього рівняння, то маємо Відповідь:

4. Розв’язування тригонометричних рівнянь за допомогою універсальної підстановки

При використанні універсальної підстановки функції нескладно виражаються через з по таким формулам:

.

Оскільки використання універсальної підстановки можливо лише при то потрібно перевіряти, чи не є числа виду розв’язками початкового рівняння.

Приклад 12 Розв’язати рівняння

Розв’язання. Виконавши у початковому рівнянні підстановку, дістаємо рівняння

З рівняння

Дістаємо З рівняння Залишається перевірити, чи не задовільняють початковому рівнянню числа

Підставляючи у початкове рівняння, маємо: значить, числа не є розв’язками початкового рівняння.

Відповідь:

Приклад 13. Розв’язати рівняння Розв’язання Виражаючи і через і думаючи приходимо до раціонального рівняння Розв’язавши це рівняння, дістаємо З рівняння

находимо перевіряємо, чи не є число розв’язками початкового рівняння маємо при :

є розв’язками початкового рівняння.

Відповідь:

5.Метод введення допоміжного аргументу

Іноді при розв’язуванні тригонометричних рівнянь корисно скористатися формулою

де .

У цьому випадку називається допоміжним аргументом або допоміжним кутом.

Приклад 14. Розв'язати рівняння

Розв’язання.

Оскільки то

У процесі розв’язування ми врахували той факт, що то покласти таким, що дорівнює

Відповідь:

Зауваження 3. Приклад 14 можна розв’язати ще, наприклад, такими способами:

А)

Відповідь:

Б)Застосовуючи універсальну тригонометричну підстановку, дістанемо

Необхідно перевірити ще серію коренів Перевіркою переконуємося, що значення задовольняють початковому рівнянню, тобто є розв’язками.

Відповідь:

Зазначимо, що відповідь збігається з отриманими способами а) і б), якщо покласти і .При цьому в обох серіях розв’язків цілочисловий параметр буде позначений однією буквою .

Приклад 15. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Допоміжний кут можна ввести в такий спосіб: тоді

Звідси

Відповідь:

Приклад 16. Розв’язати рівняння

Розв’язання Оскільки то як можна взяти або або Остаточний розв’язок може бути записаний у вигляді (замість можна записати або).

Відповідь:

Зауваження 4. Тригонометричні рівняння як ми бачимо з прикладу 14, можна розв’язувати крім методу введення допоміжного аргументу і за допомогою універсальної тригонометричної підстановки Однак недоліком цієї підстановки є той факт, що доводиться додатково перевіряти серію розв’язків оскільки числа виду можуть бути розв’язками початкового рівняння. Цього недоліку позбавлений метод введення допоміжного аргументу.

6.Розв'язок рівнянь перетворенням суми (різниці) тригонометричних функцій у добуток.

Приклад 17. Розв’язати рівняння

Роз’вязання.

Відповідь:

Приклад 18. Розв’язати рівняння

Розв’язання.

Використовуючи формулу зведення дістаємо

Відповідь:

Приклад 19. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Оскільки то маємо Зобразивши множину розв’язків и на рис. 3.20, бачимо, що множина розв’язків повністю є в множині Тому відповіддю служить тільки ця множина.

Відповідь:

Рис. 3.20. До прикладу 19

7. Розв’язок рівнянь перетворенням добутку тригонометричних функцій у суму.

Приклад 20. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Застосовуючи формулу перетворення добутку тригонометричних функцій у суму, дістаємо:

Серія розв’язків є підмножиною серії розв’язків, тому у відповіді потрібно записати .(при серії і збігаються).

Відповідь:

Зауваження 5. Оскільки елементи множин і, порівнюються між собою, то для позначення цілочислових параметрів у прикладі 20 необхідно використовувати різні букви.

8.Тригонометричні рівняння, що розв’язуються із застосуванням формул зниження степеня.

При розв’язанні подібного роду рівнянь користуються формулами зниження степеня

Приклад 21. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Застосовуючи формулу зниження степеня дістаємо

Застосовуючи до перших двох доданків формулу перетворення суми однойменних тригонометричних функцій у добуток дістаємо:

Відповідь:

Приклад 22. Розв'язати рівняння

Розв’язання. Оскільки то при піднесенні до 4-го степеня з використанням трикутника Паскаля дістаємо Відповідь:

9. Розв’язування рівнянь із застосуванням формул подвійного і потрійного аргументів Приклад 23. Розв'язати рівняння

Розв’язання. У лівій частині застосуємо формулу Поділити обидві частини отриманого рівняння на не можна, оскільки це приведе до втрати розв’язків, що є коренями рівняння Дістаємо Відповідь:

Приклад 24. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Перетворимо початкове рівняння, використовуючи формулу

Відповідь:

Зауваження 6. відповідь до прикладу 24 можна дати і за допомогою отриманих двох серій розв’язків, оскільки ці множини не перетинаються.

Приклад 25. Розв’язати рівняння

Розв’язання.

Використовуючи формулу дістаємо

Рівняння (а) має множину розв’язків

Рівняння (б) після застосування формули зводиться до виду

Відповідь:

10.Розв'язування рівнянь за допомогою заміни змінних У деяких раніше розглянутих рівняннях застосовувалася заміна змінної, коли ці рівняння зводилися до алгебраїчних функцій. Розглянемо більш складні випадки заміни змінних.

Якщо рівняння містить один з виразів або і функцію (або добуток), то, вводячи нову змінну

або, приходимо до рівняння відносно .Це пов’язано з тим, що якщо позначити

якщо позначити Приклад 26. Розв’язати рівняння Розв’язання. Позначивши, дістанемо

Розглянемо кожне з рівнянь сукупності окремо.

(а)

Зазначимо, що рівняння можна було б розв’язувати за формулами и тобто

Ця відповідь збігається з дістаною раніше, оскільки, вважаючи і дістанемо збігання відповідей.

(б) оскільки, а число

Відповідь:

Приклад 27. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Позначивши, дістанемо. Тогда, початкове рівняння запишеться у вигляді

рівняння (а) розв’язуються найпростіше методом введення допоміжного кута:

Друге рівняння сукупності (б) розв’язків не має. Оскільки

а число

Відповідь:

11. Розв’язування тригонометричних рівнянь виду

Приклад 28. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

оскільки друга серія розв’язків зі знаком «-» не задовольняє нерівності

Відповідь:

Зауваження 7. Якщо бути більш точним, то

Однак така еквівалентність (без зайвої нерівності у системі) має, на думку автора, меншу наочність, ніж наведена у розв’язання прикладу 28 еквівалентність.

12. Розв’язування тригонометричних рівнянь з використанням обмеженості функцій

Розв’язуючи подібні рівняння, нерідко приходять до систем тригонометричних рівнянь.

Приклад 29. Розв'язати рівняння

Розв’язання. Оскільки мають найбільше значення, що дорівнює 1, то сума їх дорівнює 2 тоді й тільки тоді, коли одночасно. Звідси початкове рівняння рівносильне системі

(оскільки серія розв’язків входить повністю до серії).

Відповідь:

Приклад 30. Розв’язати рівняння

Розв’язання .Оскільки то

Знак «=» з урахуванням наведених нерівностей може мати місце тільки у тому випадку, коли

(оскільки).

Відповідь:

Приклад 31. Розв'язати рівняння

Розв’язання. Порівняємо множини значень лівої та правої частини початкового рівняння. Для лівої частини рівняння ліва частина не перевищує Для правої частини рівняння маємо, до того ж знак «=» має місце тоді і тільки тоді, коли Таким чином, початкове рівняння може мати розв’язки тоді і тільки тоді, коли