Методика обучения школьников основам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в рамках профильной школы

Тип работы:
Дипломная
Предмет:
Педагогика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Содержание

Глава 1. Теоретические аспекты обучения основам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в рамках профильной школы.

1.1. Особенности обучения математике в рамках профильной школы.

1.1.1. Профильная школа как составляющая модернизации российского образования.

1.1.2. Роль и место математики в профилях различных направлений.

1.2. Структура и содержание элективного курса «Основы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики» в профилях различных направлений.

1.2.1. Анализ содержания учебных пособий для средней школы по теме «Основы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики».

1.2.2. Содержание элективного курса «Основы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики» в профилях различных направлений.

1.2.3. Структура элективного курса «Основы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики» в профилях различных направлений.

Выводы по главе 1

Глава 2. Методика обучения школьников основам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в рамках профильной школы.

2.1. Особенности формирования основных дидактических единиц при изучении основ комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в профилях различных направлений.

2.1.1. Формирование основных дидактических единиц в физико-математическом профиле.

2.1.2. Формирование основных дидактических единиц в естественнонаучных профилях.

2.1.3. Формирование основных дидактических единиц в гуманитарных профилях.

2.2. Организация и анализ опытно-экспериментальной работы.

2.2.1. Организация опытно-экспериментальной работы.

2.2.2. Анализ опытно-экспериментальной работы.

Выводы по главе 2

Заключение

Основные выводы и полученные результаты. Перспективы дальнейшей работы над темой.

Библиографический список

Приложения

Глава 1 Теоретические аспекты обучения основам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в рамках профильной школы

1.1. Особенности обучения математике в рамках профильной школы

1.1.1. Профильная школа как составляющая модернизации российского образования

В соответствии с приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 18. 07. 2002 г. № 2783 «Об утверждении Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования» в старших классах общеобразовательных учреждений предусматривается профильное обучение. Оно является важнейшим средством дифференциации и индивидуализации обучения, позволяющим за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования с учетом реальных потребностей рынка труда. Профильное образование направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса, расширяющего возможности выстраивания учеником индивидуальной образовательной траектории [электронный ресурс].

Однако попытки такой организации образования принимались в России и раньше — по крайней мере, с середины XIX века.

Функционально наиболее удачным оказался самый простой и самый первый проект, в ходе которого в 1864 году произошло дифференцирование среднего образования. Именно тогда появляется классическая гимназия и реальная школа. Первая целенаправленно готовила к поступлению в университет, вторая — ориентировала на практическую деятельность и поступление в специализированные учебные заведения. Специализация учащихся начиналась очень рано — в первом классе, что было со временем признано ошибочным, так как по данным социологических опросов, проведенных Центром социологических исследований Минобразования России, профессиональное самоопределение в основном складывается в 9 классе.

Новый импульс идея профильного обучения получила в процессе подготовки реформы образования в 1915—1916 гг., осуществлявшейся под руководством министра просвещения П. Н. Игнатьева. По предложенной структуре 4−7 классы гимназии разделялись на три ветви: новогуманитарную, гуманитарно-классическую, реальную. Однако в связи с отставкой министра реформа не была проведена.

В 1918 году советским правительством было принято «Положение о единой трудовой школе», среди прочего предусматривающие профилизацию содержания обучения на старшей ступени школы. Были выделены три направления: гуманитарное, естественно-математическое и техническое. После долгих педагогических экспериментов, не оправдавших возлагаемых на них надежд, было решено вернуться к общеобразовательной школе и классно-урочной системе занятий.

В 1958 году на заседании Академии педагогических наук с докладом «О введении фуркации в старших классах средней школы» выступил профессор Н. К. Гончаров. Он отметил недостатки сложившейся системы обучения и предложил организовать дифференцированное обучение старшеклассников. Предполагалось создание следующих четырех отделений: физико-технического, химико-технического, естественно-агрономического и гуманитарного. Однако проект осуществлен не был.

В 1966 году были введены две формы дифференциации содержания образования по интересам школьников: факультативные занятия 8−10-х классах и школы (классы) с углубленным изучением отдельных предметов. Факультативные занятия на какое-то время прижились в школе, хотя их введение сопровождалось определенными трудностями.

В конце 1980-х — в начале 1990-х годов в стране появились новые виды общеобразовательных учреждений (лицеи и гимназии), ориентированные на углубленное обучение школьников по избираемым ими образовательным областям с целью дальнейшего обучения в вузе. Также многие годы успешно существовали и развивались специализированные (профильные) художественные, спортивные, музыкальные и другие школы.

Таким образом, отечественная школа имеет некоторый опыт массового дифференцированного обучения, а также весьма богатые традиции «элитарного» профильного обучения — ориентированного на небольшую по численности группу способных учащихся [МШ № 14, 2006].

Переход к профильному обучению преследует следующие основные цели:

· обеспечить углубленное изучение отдельных предметов программы полного общего образования;

· создать условия для существенной дифференциации содержания обучения старшеклассников с широкими и глубокими возможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ;

· способствовать установлению равного доступа к полноценному образованию разным категориям обучающихся в соответствии с их способностями, индивидуальными склонностями и потребностями;

· расширить возможности социализации учащихся, обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием, более эффективно подготовить выпускников школы к освоению программ высшего профессионального образования [МШ № 14, 2006].

Модель общеобразовательного учреждения с профильным обучением на старшей ступени предусматривает возможность разнообразных комбинаций учебных предметов, что и будет обеспечивать гибкую систему профильного обучения. Эта система включает в себя курсы следующих типов: базовые общеобразовательные, профильные общеобразовательные и элективные курсы.

Базовые общеобразовательные курсы — курсы федерального и регионального компонента, обязательные для всех учащихся во всех профилях обучения. Набор этих курсов должен быть функционально полным (с точки зрения реализации задач общего образования), но минимальным. Безусловно, набор базовых общеобразовательных курсов, обеспечивающих минимальный уровень общего образования для каждого старшеклассника должен отражать наиболее значимые цели, задачи, функции общего образования.

В «Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования» предлагается следующий набор обязательных общеобразовательных курсов (образовательных областей): математика, русский язык и литература, иностранный язык, история, физическая культура, а также интегрированные курсы обществознания для естественно-математического, технологического профилей, естествознания — для гуманитарного, филологического, социально-экономического профилей.

При определении содержания базовых общеобразовательных курсов должно в равной мере учитываться мнение специалистов по этому учебному предмету и мнение специалистов по другим предметам (межпредметные связи, оценка общеобразовательной значимости учебного материала с позиций содержания образования в целом, а не только потребностей, внутренней логики построения каждого отдельного учебного предмета).

Профильные общеобразовательные курсы — курсы повышенного уровня (фактически углубленные курсы для старшей ступени школы), определяющие направленность каждого конкретного профиля обучения. Например, физика, химия, биология — профильные курсы в естественнонаучном профиле; литература, русский и иностранные языки — в филологическом профиле; право, экономика и другие — в социально-экономическом профиле и т. д.

Достижение выпускниками уровня требований государственного образовательного стандарта по базовым общеобразовательным и профильным предметам определяется по результатам единого государственного экзамена.

Элективные курсы — обязательные для посещения курсы по выбору учащихся, входящие в состав профиля обучения на старшей ступени школы. Именно они по существу и являются важнейшим средством построения индивидуальных образовательных программ, так как в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов. Элективные курсы «компенсируют» во многом достаточно ограниченные возможности базовых и профильных курсов удовлетворения разнообразных образовательных потребностей старшеклассников. Эта роль элективных курсов в системе профильного обучения определяет широкий спектр их функций и задач.

По назначению можно выделить несколько типов элективных курсов.

Элективы первого типа могут являться «надстройкой» профильных курсов и обеспечить для наиболее способных школьников повышенный уровень изучения того или иного учебного предмета.

Элективные курсы второго типа должны обеспечить межпредметные связи и дать возможность изучать смежные учебные предметы на профильном уровне. Примером таких элективных курсов могут служить курсы: «Основы теории вероятностей и математической статистики» для школьников, выбравших экономический профиль, «Компьютерная графика» для индустриально-технологического профиля или «Геометрия архитектурной гармонии» для гуманитарного профиля.

Третий тип элективных курсов поможет школьнику, обучающемуся в профильном классе, где один из учебных предметов изучается на базовом уровне, подготовить к сдаче ЕГЭ по этому предмету на повышенном уровне.

Четвертый тип элективных курсов может быть ориентирован на приобретение школьниками образовательных результатов для успешного продвижения на рынке труда, например: «Делопроизводство», курсы по подготовке к работе в сфере обслуживания и т. п. В свою очередь, познавательные интересы у многих старшеклассников часто могут выходить за рамки традиционных школьных предметов, распространяться на области деятельности человека вне круга выбранного ими профиля обучения. Это определяет появление в старших классах элективных курсов, носящих «внепредметный» или «надпредметный» характер. Примером подобных курсов могут служить такие элективные курсы, как «Основы правильного питания», «Начальные курсы автолюбителя» и т. п.

К настоящему времени уже сложились четыре основные модели организации профильного обучения.

1) В рамках одного общеобразовательного учреждения действуют несколько профильных классов. Эта модель начала складываться еще в 1990-е гг.

2) Организация однопрофильных школ старшей ступени, то есть учащиеся 10−11-х классов готовятся по одному и единому для всех профилю. Постепенно формируются новые типы образовательных учреждений — школы третей ступени.

3) Профильное обучение на основе индивидуальных учебных планов учащихся. На старшей ступени учащимся предлагается несколько учебных курсов независимо от того, связаны ли они общей направленностью. Можно выбрать и математику, и литературу одновременно, что позволяет под одно определение подвести название профиля для такого ученика. Эти школы работают по сложному расписанию.

4) Сетевое взаимодействие школ. Этот вариант наиболее характерен для сельских образовательных учреждений. Учащимся предлагается выбрать учебный курс не только в школе, но и за ее пределами. Иными словами, ученик получает образование фактически в нескольких учебных заведениях, а часть курсов осваивает дистанционно.

В целом переход на профильное обучение — процесс длительный и занимает на уровне образовательного обучения около трех, а на муниципальном уровне в сетевом варианте — около пяти лет.

1.1.2. Роль и место математики в профилях различных направлений

Математика объективно является одной из самых сложных школьных дисциплин и вызывает трудности у многих школьников. В тоже время имеется большое число учащихся с явно выраженными способностями к этому предмету. Разрыв в возможностях восприятия курса учащимися, находящимися на двух «полюсах», весьма велик.

В преподавании математики накоплен определенный опыт дифференцированного обучения. Он относится в основном к обучению сильных школьников. Однако дифференциацию обучения нельзя рассматривать исключительно с позиций интересующихся математикой учащихся и по отношении лишь к старшему звену школы. Ориентация на личность ученика требует, чтобы дифференциация обучения математике учитывала потребности всех школьников — не только сильных, но и тех, кому этот предмет дается с трудом или чьи интересы лежат в других областях.

Дифференциация затрагивает все компоненты методической системы обучения и все ступени школы. Она может проявляться в двух основных видах: уровневая и профильная дифференциация. Первый выражается в том, что, обучаясь в одном классе, по одной программе и учебнику, школьники могут усваивать материал на различных уровнях. Второй вид дифференциации — это дифференциация по содержанию. Она предлагает обучение разных групп школьников по программам, отличающимся глубиной изложения материала, объемом сведений и даже номенклатурой включенных вопросов. В основной школе ведущим направлением дифференциации является уровневая, хотя она не теряет своего значения и в старших классах. На старшей ступени школы приоритет отдается разнообразным формам профильного изучения предметов. Основная школа является обязательной, старшая школа — профильной.

В последнее время привлекает внимание методистов и учителей идея становления отечественной профильной школы. Профильная школа не является профессиональной, ее задача — дать общее среднее образование с ориентацией на некоторую сферу деятельности, к которой данные группы учащихся имеют большую склонность.

Теоретические и экспериментальные исследования позволили сформулировать общие требования к формированию содержания математического образования и построению учебно-методического комплекса, реализующего профильную дифференциацию обучения математике в общеобразовательной школе:

· изучение математики является обязательным для профильной средней школы любого направления;

· в программу по математике должны включаться дополнительные разделы, полезные для применения в будущей профессии;

· содержание математики имеет некоторое общее ядро;

· все виды пособий по математике для учащихся различных направлений должны иметь качественные различия по методическим подходам, языку, системам упражнений.

В 10−11-х классах дифференциация образования приобретает систематический характер. Математика входит в число обязательных учебных предметов, однако она может иметь разный удельный вес в общеобразовательной подготовке ученика по времени, отводимого на ее изучение, а также по глубине и охвату рассматриваемого материала. В соответствии с общими целями обучения математике выделяются разделы, общие для всех профилей обучения: числа, уравнения, функции и их графики, геометрические величины и их измерения, начало теорий вероятностей и статистики.

В зависимости от той роли, которую математика может играть в образовании человека, выделяют два типа школьных курсов для завершающей ступени школы: курс общекультурной ориентации (курс А), рассчитанный на учащихся, склонных рассматривать математику только как элемент общего образования и не предполагающих использовать ее непосредственно в своей будущей профессиональной деятельности, и курсы повышенного типа, обеспечивающие дальнейшее изучение математике и ее применение в качестве элемента профессиональной подготовки.

Целесообразно выделить два основных курса повышенного типа. Первый из них (курс В) предназначен для учащихся, выбравших для себя те области деятельности, в которых математика играет роль аппарата, специфического средства для изучения закономерности окружающего мира. Второй (курс С) ориентирован на тех учащихся, для которых математика является одной из основных целей познаний.

Таким образом, для старшей ступени школы целесообразно наличие трех основных математических курсов — А, В, С, которые призваны предоставить каждому ученику возможность изучать математику на уровне, соответствующем его интересам, способностям, склонностям. Этих трех курсов достаточно для преподавания математики по профилю любого направления.

Курс, А может быть выбран теми учащимися, которых интересует, например, языки, искусство, художественное творчество, спорт или предметно-практическая деятельность, то есть работа парикмахера, повара, косметолога. Они рассматривают математику как элемент общего образования и не предполагают использовать ее непосредственно в своей деятельности. Специфической особенностью курса, А должна быть явно выраженная гуманитарная направленность, то есть специальная ориентация на умственное развитие человека, на знакомство с математикой как с областью человеческой деятельности, на формирование тех знаний и умений, которые необходимы для свободной ориентации в современном мире.

Однако при этом курс, А не должен сводиться к «прогулкам по саду математики». Преподавание по курсу, А должно опираться на традиционные для школьного курса разделы. Обязательные требования по усвоению курса, А фактически должны совпадать с базовым уровнем математической подготовки выпускников средней школы.

Нельзя согласиться с той точкой зрения, согласно которой преподаванию математики в нематематических классах отводится лишь второстепенная роль. Наоборот, значение математического образования в этих класса должно быть не только не меньше, но даже и больше, чем в классах математических. Ведь учащиеся гуманитарных классов завершают в средней школе свое математическое образование. Они не смогут в будущем осознать философию математики, увидеть ее историю, как это сделает другая часть молодежи, изучая математику в вузах. В программах по математике для гуманитарных классов больше места должны занимать вопросы мировоззренческого характера, факты из истории математики, описания ее приложений в различных областях ее деятельности. Ведь математика по своей сути является гуманитарным предметом, призванным всесторонне развивать личность ученика, отшлифовывать логику его рассуждений и научить правильно ориентироваться в окружающей обстановке. Использование гуманитарного потенциала математики, ее межпредметных связей с профильными предметами позволит школьникам глубже уяснить содержание последних, а тем самым превратить ее из второстепенного в существенно важный и полезный предмет.

Курс В ориентирован на учащихся с научным стилем мышления, выбравших для себя профили естественно-научных и научно-гуманитарных направлений: химический, биологический, географический, исторический, социологический, экономический и другие. Заметим, что математизация соответствующих наук касается лишь отдельных их областей, в основном наиболее современных, тогда как другие области практически не используют математических знаний. Поэтому курс В должен быть построен с учетом того, что математика для учащихся указанной категории является хотя бы необходимым, но и не самым важным предметом. Этот курс должен обеспечивать овладение конкретными математическими знаниями, позволяющими, в частности, выработать представления о применении в математике в профилирующей науке и достаточными для изучения математики в вузе соответствующего направления.

Заметим, что можно было бы ставить вопрос о разделении курса В на два в соответствии с особенностями процесса математизации в естественно-научных и научно-гуманитарных областях знаний. Сущностью математизации естественных и гуманитарных наук является математическое моделирование. В естественных науках главную роль играют в настоящее время количественные описания реальных процессов и соответствующие количественные модели, для исследования которых необходимы традиционные разделы математики, наряду с началами математического анализа и элементами теории вероятностей и математической статистики. В гуманитарных науках значение имеют структурные модели, построение и исследование которых требует привлечение разделов математики, более современных и весьма далеких от нынешнего курса математики, и, прежде всего, дискретной математики (например, создание информационных систем в приложениях различных гуманитарных наук).

Во всяком случае, в настоящее время выделение научно-гуманитарного направления нецелесообразно и математические потребности в конкретной профилирующей науке должны удовлетворяться в основном в рамках внеклассной работы. Решать одновременно две задачи — освоение и традиционных, и специализированных разделов математики — вряд ли возможно.

Курс С — наиболее строгий и полный курс математики — ориентирован на учащихся, выбравших для себя деятельность, непосредственно связанную с математикой, и какой-то профиль из группы профилей «математического направления». В эту группу вместе с математическим профилем объединяются такие профили, как физический и компьютерный. Дело в том, что процесс математизации знаний исторически начался с математизации физики, а современное развитие и состояние физики, как и всего физического цикла наук, неразрывно связано с математическим аппаратом и математическим мышлением. Современная наука информатика, обязанная своим происхождением вычислительной математике и математической логике, целиком основана на математическом стиле мышления, в том числе и в разделах, которые содержательно с математикой не связаны. Эти особенности физики и информатики и позволяют объединить их в одну группу с математическим профилем с точки зрения обучения математике.

Основой учебно-методического обеспечения по математике этой группы профилей и должен быть курс С, ориентированный на овладение учащимися необходимых объемов конкретных математических знаний и формирование в этом процессе интеллектуальной культуры личности. Практика углубленного изучения математики и физики показывает, что гуманитарное воздействие математики проявляется автоматически, что вытекает из самой природы математической деятельности.

Особенности конкретного профиля могут потребовать включения в соответствующий курс материала, расширяющего основной курс и углубляющего его. Например, для развития абстрактного и логического мышления учащихся какого либо профиля научно-гуманитарного направления целесообразно повышенное внимание к аксиоматическому методу, для нужд технического и архитектурного профилей, может быть, следует усилить внимание к стереометрии или даже предусмотреть знакомство с элементами начертательной геометрии.

Если изучение математики в профиле чисто математическом является фактически самоцелью, то в профиле физическом изучение математики проводится, прежде всего, с целью создания необходимого для физики аппарата, а в профиле с уклоном в информатику математика формируется как основа решения специфических задач этой области знаний. Поэтому, например, изучение основ теории вероятностей и математической статистики, составляя специфическую область математических знаний, представляется обязательным в физическом профиле. Вряд ли их изучение необходимо в математическом профиле, поскольку основы соответствующей науки являются в большей степени функцией высшего образования. Аналогично основы математической логики, не являясь столь существенной частью математической науки, чтобы ее изучение в школе могло считаться обязательным, естественно рассматривать как необходимые в профиле с уклоном в информатику.

Курс общекультурной ориентации (курс А) рассчитан на 4−6 уроков в неделю, преподается в рамках единого курса математики и не ставит задачу подготовки учащихся к поступлению в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке. Курс повышенного типа рассчитан на 5−6 уроков математики в неделю для социально-экономического, естественного, технического направлений профилей и семь уроков для физико-математического. Основными задачами этого курса являются подготовка к поступлению и продолжению образования вуза, где математика является одним из базовых предметов.

1.2. Структура и содержание элективного курса «Основы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики»

Изучение вероятностно-статистического материала продиктовано самой жизнью. Современной России нужны люди, способные принимать нестандартные решения, умеющие творчески мыслить, хорошо ориентироваться в обычных житейских ситуациях и производственной деятельности. Вероятностный характер многих явлений действительности во многом определяет поведение человека, и курс должен формировать соответствующие практические ориентиры, вооружать учащихся, как общей вероятностной интуицией, так и конкретными способами оценки данных. Дети должны научиться извлекать, анализировать и обрабатывать разнообразную, порой противоречивую информацию, принимать обоснованные решения в ситуациях со случайными исходами, оценивать степень риска и шансы на успех. Необходимость формирования вероятностного мышления обусловлена и тем, что вероятностные закономерности универсальны: современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, весь комплекс социально-экономических наук развивается на базе вероятностно-статистической математики.

Вероятностно-статистический материал обладает огромным воспитывающим потенциалом, его изучение влияет на развитие интеллектуальных способностей, усиливает прикладной аспект курса математики, способствует развитию интереса к предмету.

Введение элементов статистики и теории вероятностей в содержание математического образования является одним из важнейших аспектов модернизации содержания образования, так как роль этих знаний в современном мире повышается.

Основными целями изучения курса являются следующие.

— Способствовать формированию и развитию умений решения комбинаторных задач, позволяющих ученикам разумно организовать перебор ограниченного числа данных, подсчитать всевозможные комбинации элементов, составленных по определённому правилу.

— Способствовать формированию и развитию вероятностного мышления, вероятностной интуиции.

— Способствовать развитию творческих способностей и дарований.

— Создать условия для развития умений самостоятельно приобретать и применять знания.

— Создать условия для расцвета личности школьника с учётом его возрастных особенностей.

1.2.2. Структура и содержание элективного курса

В соответствии с целями изучения данного элективного курса был проведен отбор содержания.

Раздел 1. Элементы комбинаторики.

Исторические и занимательные комбинаторные задачи (фигурные числа, магические и латинские квадраты). Основные комбинаторные методы: перебор всех возможных вариантов (систематический перебор, перебор с ограничениями), полный граф, дерево вариантов (граф-дерево), таблица вариантов, правила произведения и суммы. Факториал. Перестановки. Размещения. Сочетания. Формулы для подсчёта числа перестановок, размещений и сочетаний. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона. Комбинированные задачи.

Ученические проекты:

· «Из истории комбинаторики».

· «Задание для друга» (по бесформульным методам).

· «Бином Ньютона».

· «Комбинаторика вокруг нас».

Раздел 2. Элементы теории вероятностей.

Испытания и события. Невозможные, достоверные и случайные события. Виды случайных событий (совместные и несовместные, равновозможные и неравновозможные, противоположные, независимые), действия над случайными событиями (сумма, произведение). Полная группа. Эксперименты и их исходы. Классическое определение вероятности. Решение вероятностных задач с помощью формул комбинаторики. Относительная частота. Статистическая вероятность. Геометрические вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез, формула Бейеса. Формула Бернулли. Закон больших чисел.

Ученические проекты:

· Доклады об ученых, стоящих у истоков теории вероятности.

· «Парадоксы».

· «Кому нужна теория вероятностей?».

Раздел 3. Случайные величины.

Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения вероятностей ДСВ. Математическое ожидание ДСВ. Дисперсия ДСВ. Среднее квадратическое отклонение. Метод наименьших квадратов.

Ученические проекты:

· «Современные азартные игры».

· «Моделирование методом Монте-Карло».

Раздел 4. Элементы математической статистики.

Предмет статистики. Основная задача и основной метод статистики. Статистическая информация и способы её представления: простой статистический ряд (выборка), таблицы частот, таблицы относительных частот, столбчатые диаграммы, полигоны частот, круговые диаграммы, гистограммы. Простейшие статистические исследования. Этапы статистических исследований. Опрос общественного мнения как пример сбора, обработки, представления и интерпретации данных. Статистические характеристики: среднее значение, мода, медиана, размах, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратичное отклонение. Определение линий регрессии методом наименьших квадратов для двумерных выборок.

Ученические проекты:

· «Развитие математической статистики».

· Статистическое исследование на заданную тему.

В процессе обучения учащиеся приобретают умения:

· подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных определённому правилу;

· решать задачи с помощью графов;

· определять типы случайных событий;

· вычислять вероятность события, пользуясь простейшими свойствами вероятности;

· проводить эксперименты со случайными исходами;

· извлекать информацию из таблиц и диаграмм, анализировать её;

· записывать исходные данные в таблицу, используя их составлять диаграммы;

· регистрировать результаты наблюдений и делать выводы;

· выполнять математические, процентные расчёты.

Учитывая значимость и назначение курса в каждом из профилей определим структуру курса и составим учебный план.

РАЗДЕЛ

ТЕМА ЗАНЯТИЯ

КОЛ-ВО ЧАСОВ

Матема-тический профиль

Гумани-тарный профиль

Экономи-ческий профиль

1

Элементы комбинато-рики

1. Комбинаторные задачи. Перебор всех возможных вариантов.

2. Подсчет вариантов с помощью графов, таблица вариантов.

3. Кортежи. Правила произведения и суммы.

4. Перестановки.

5. Размещения.

6. Сочетания.

7. Самостоятельная работа

8. Некоторые свойства сочетаний.

9. Свойство сочетаний =+ и треугольник Паскаля.

10. Бином Ньютона.

11. Решение задач.

12. «Комбинаторика вокруг нас» (итоговое).

1

2

2

2

2

2

1

1

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

Всего

19

12

14

2

Элементы теории ве-роятностей

1. Предмет теории вероятностей. События.

2. Виды случайных событий.

3. Эксперименты и их исходы.

4. Классическое определение вероятности.

5. Решение вероятностных задач с помощью формул комбинаторики.

6. Статистическая вероятность.

7. Геометрическая вероятность.

8. Теорема сложения вероятностей.

9. Теорема умножения вероятностей.

10. Следствия теорем сложения и умножения.

11. Формула Бернулли. Закон больших чисел.

12. Решение задач.

13. Самостоятельная работа.

14. «Кому нужна теория вероятностей?» (итоговое).

2

1

1

1

1

1

1

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

2

1

2

Всего

20

13

18

18

3

Случайные величины

1. Понятие случайной величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

2 Математические операции над случайными величинами.

3 Числовые характеристики ДСВ. Математическое ожидание.

4 Дисперсия ДСВ. Среднее квадратическое отклонение.

5 Метод наименьших квадратов.

6. Зачет.

2

1

2

2

1

2

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

Всего

10

4

7

4

Элементы математической статистики

1. Выборочный метод.

2. Числовые характеристики статистических рядов.

3. Статистические исследования. Этапы статистического исследования.

4. Определение линий регрессии методом наименьших квадратов для двумерных выборок.

5. Исследовательские проекты и их защита.

3

2

1

2

2

2

1

1

1

3

2

1

2

2

Всего

10

5

10

Итого

60

34

Глава 2 Методика обучения школьников основам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в рамках профильной школы

2.1. Организация при формировании пространственного образа, c использованием компьютерной анимации, целесообразно выделить следующие шаги, на каждом из которых используются свои модели реального объекта:

Занятие № 1. Комбинаторные задачи. Перебор всех возможных вариантов.

В начале занятия учащимся необходимо дать понятие о таком разделе математики, как комбинаторика, и привести примеры нескольких комбинаторных задач для привития интереса к данному разделу.

В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называют комбинаторикой. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое означает «соединять, сочетать». Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии, биологии, экономике, теории вероятностей и других областях знаний.

Приведем примеры некоторых комбинаторных задач.

1) Сколькими способами можно расположить в электрической цепи 7 различных приборов?

2) Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из 5 языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского, на любой другой из этих 5 языков?

3) Вова точно помнит, что в формуле азотной кислоты подряд идут буквы H, N, O и что есть один нижний индекс — то ли двойка, то ли тройка. Сколько имеется вариантов, в которых индекс стоит не на втором месте?

4) Сколько разных типов гамет может дать гибрид, гетерозиготный по 3 независимым признакам?

5) Перечислить все трехзначные числа, в записи которых встречаются только цифры 1 и 2.

6) Три друга — Антон, Борис и Виктор — приобрели два билета на футбольный матч. Сколько различных вариантов посещения футбольного матча для троих друзей?

Таким образом, различают следующие типы комбинаторных задач:

· Задачи, в которых требуется перечислить все решения (пример 5).

· Задачи, состоящие в требовании выделить из всех возможных решений такое, которое удовлетворяет заданному дополнительному требованию (пример 3).

· Задачи, в которых требуется подсчитать число решений (пример 1, 2, 6, 4).

Процесс навыков подсчета комбинаторных объектов можно расчленить на три этапа в зависимости от времени обучения и методов подсчета:

— подсчет методом непосредственного перебора;

— подсчет с использованием комбинаторных принципов;

— подсчет с использованием формул комбинаторики.

Каждый из этих этапов готовит почву для формирования навыков следующих этапов. Поэтому на начальном этапе с учащимися нужно обязательно рассмотреть бесформульные методы.

Рассмотрим основные методы, используемые в решении комбинаторных задач.

Перебор всех возможных вариантов

Операция перебора раскрывает идею комбинирования, служит основой для формирования комбинаторных понятий, поэтому на первом месте должна стоять задача по формированию навыков систематического перебора.

Пример 1. Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека — Антонов, Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

Составим сначала все пары, в которые входит Антонов (для краткости будем писать первые буквы фамилий). Получим три пары: АГ, АС, АФ.

Выпишем теперь пары, в которые входит Григорьев, но не входит Антонов. Таких пар две: ГС, ГФ.

Далее составим пары, в которые входит Сергеев, но не входит Антонов и Григорьев. Такая пара только одна: СФ.

Других вариантов составления пар нет, так как все пары, в которые входит Федоров, уже составлены.

Итак, мы получили 6 пар: АГ, АС, АФ, ГС, ГФ, СФ. Значит, всего существует 6 вариантов выбора тренером пары теннисистов из данной группы.

Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов.

Тут же необходимо пояснить учащимся, что в данном примере нам не важен порядок выбора пары: Антонов и Григорьев или Григорьев и Антонов, и привести пример задачи, где учитывается порядок элементов в комбинации.

Пример 2. Три друга — Антон, Борис и Виктор — приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько у друзей есть вариантов занять эти два места на стадионе?

Если на матч пойдут Антон и Борис, то они могут занять места двумя способами: 1-е место — Антон, 2-е — Борис, или наоборот. Аналогично Антон и Виктор, Борис и Виктор. Таким образом, мы получили 6 вариантов: АБ, БА, АВ, ВА, БВ, ВБ.

Следующая система задач направлена на формирование умений учащихся систематическому перебору, составлению комбинаций с учетом и без учета порядка.

Задачи:

1. Перечислить знакомые виды четырехугольников.

2. В кафе предлагают два первых блюда: борщ и рассольник — и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель.

3. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, при условии, что цифра в числе не может повторяться? (перебор с ограничением).

4. (Устно) Важен или нет порядок в следующих выборках (комбинациях):

а) капитан волейбольной команды и его заместитель;

б) три ноты в аккорде;

в) «шесть человек останутся убирать класс!»;

г) две серии для просмотра из нового многосерийного фильма.

5. Придумайте сами четыре различные ситуации, в двух из которых порядок выбора важен, а в двух — нет.

6. Стадион имеет 4 входа: A, B, C, D. Укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой. Сколько таких способов?

7. В магазине продают кепки трех цветов: белые, красные и синие. Кира и Лена покупают себе по одной кепке. Сколько существует различных вариантов покупок для этих девочек? Перечислите их.

В качестве домашнего задания можно предложить учащимся написать работу (сообщение, реферат, доклад) на тему «Из истории комбинаторики».

Занятие № 2. Подсчет вариантов с помощью графов. Таблица вариантов.

Эффективным приемом, организующим подсчет, является составление учащимися таблиц, построение графов. Графы, таблицы позволяют в наглядной форме представить идею комбинирования и процесс подсчета комбинаторных объектов. Поэтому использование этих методов в обучении комбинаторике в школе оправдывается не только познавательными, но и педагогическими соображениями.

Для подведения учащихся к следующим комбинаторным методам целесообразно рассмотреть задачу, в которой количество всевозможных комбинаций из данных элементов велико и процесс их подсчета затруднителен.

Пример 1. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3 при условии, что цифры в числе могут повторяться?

Перебор вариантов можно организовать следующим образом. Выписать все числа, начинающиеся с цифры 1 в порядке их возрастания; затем — начинающиеся с цифры 2; после чего — начинающиеся с цифры 3. Таких комбинаций получим 27. При переборе легко было упустить какую-нибудь из них.

Нередко подсчет вариантов облегчают графы. Так называют геометрические фигуры, состоящие из точек (их называют вершинами) и соединяющих их отрезков (называемых ребрами графа). При этом с помощью вершин изображают элементы некоторого множества (предметов, людей, числовых и буквенных кодов и т. д.), а с помощью ребер — определенные связи между этими элементами.

Рассмотрим два вида графов:

1. Граф-дерево (называют за внешнее сходство с деревом).

С помощью дерева проиллюстрируем проведенный перебор вариантов в примере 1.

На первом месте в трехзначном числе может стоять одна из цифр 1, 2 или 3; на втором и третьем местах — (при условии, что цифры могут повторяться) также любая из трех цифр.

Таким образом, с помощью графа-дерева подсчет вариантов гораздо легче производить. Также вычерчивать дерево вариантов полезно, когда требуется записать все существующие комбинации элементов.

2. Полный граф. Используется для решения задач, в которых все элементы множества взаимосвязаны.

Пример 2. При встрече каждый из друзей пожал другому руку (каждый пожал каждому). Сколько рукопожатий было сделано, если друзей было четверо?

Четырех друзей поместим в вершины графа и проведем все возможные ребра. В данном случае отрезки-ребра обозначают рукопожатия каждой пары друзей.

Из рисунка видно, что граф имеет 6 ребер, значит, и рукопожатий было сделано 6.

Еще одним методом подсчета числа комбинаций является таблица вариантов. Ее можно использовать, когда составляемые комбинации состоят из двух элементов.

Пример 3. Записать всевозможные двузначные числа, используя при этом цифры 0, 1, 2 и 3. Подсчитать их количество N.

Для подсчета образующих чисел составим таблицу:

1-я

цифра

2-я цифра

0

1

2

3

1

10

11

12

13

2

20

21

22

23

3

30

31

32

33

N=3?4=12

Задачи:

1. По окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками (каждый вручил свою карточку каждому). Сколько всего визитных карточек было роздано, если во встрече участвовало 5 человек?

2. Перечислить все возможные цветовые сочетания брюк, свитера и ботинок, если в гардеробе имеются брюки трех цветов: серые, бежевые и зеленые; свитера двух расцветок: песочный и малиновый; ботинки двух цветов: черные и коричневые.

3. Одновременно происходят выборы мэра города и префекта округа. На должность мэра выставили свои кандидатуры Алкин, Балкин, Валкин, а на должность префекта — Эшкин, Юшкин, Яшкин.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов голосования и определите с его помощью число различных исходов.

б) В скольких вариантах будет кандидатура Эшкина?

в) В скольких вариантах фамилии кандидатов на должность мэра и на должность префекта состоят из разного числа букв?

г) Как изменятся ответы в пунктах а) и б), если учесть еще кандидата «против всех»?

4. Группа туристов планирует осуществить поход по маршруту Антоново — Борисово — Власово — Грибово. Из Антонова в Борисово можно сплавиться по реке или дойти пешком. Из Борисова во Власово можно дойти пешком или доехать на велосипедах. Из Власова в Грибово можно доплыть по реке, доехать на велосипедах или дойти пешком.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов похода.

б) Сколько всего вариантов похода могут выбрать туристы?

в) Сколько есть полностью не пеших вариантов?

г) Сколько вариантов похода могут выбрать туристы при условии, что хотя бы на одну из участков маршрута они должны использовать велосипеды?

5. С помощью таблицы вариантов перечислить все возможные двухбуквенные коды (буквы в коде могут повторяться), в которых используются буквы а, б, в.

6. Составляя расписание уроков на понедельник для 10А класса, завуч хочет первым уроком поставить либо физику, либо алгебру, а вторым — либо русский язык, либо литературу, либо историю. Сколько существует вариантов составления расписания на первые два урока?

Определиться в успешности усвоения данной темы поможет самостоятельное составление учащимися задач. Можно предложить им придумать так называемое «задание для друга» с использованием каждого из трех методов.

Занятие № 3. Кортежи. Правило произведения.

Второй этап формирования вычислительных навыков в решении комбинаторных задач связан с формированием правил суммы и произведения. Предлагаемая методика формирования правил суммы и произведения и последующих основных комбинаторных понятий базируется на таких теоретико-множественных понятиях, как множество, элемент множества, подмножество, упорядоченное множество. Поэтому с учащимися необходимо повторить эти понятия.

Рассмотрим задачу про «Суеверного председателя».

«Опять восьмерка!» — горестно воскликнул председатель клуба велосипедистов, взглянув на прогнутое колесо своего велосипеда. «А все почему? Да потому, что у меня членский билет № 888 — целых три восьмерки. И теперь не проходит и месяца, чтобы то на одном, то на другом колесе не появилась восьмерка. Надо менять номер билета! А чтобы меня не обвинили в суеверии, проведу ка я перерегистрацию всех членов клуба и буду выдавать только билеты с номерами, в которые не входит ни одна восьмерка. Не знаю только, хватит ли на всех номеров — ведь у нас в клубе почти 600 членов. Неужели придется сначала выписать все номера от 000 до 999, а затем вычеркивать из них все номера с восьмерками?» Чтобы помочь председателю, нам нужно решить такую комбинаторную задачу (учащимся можно предложить ее сформулировать):

Сколько существует трехзначных номеров, не содержащих цифры 8?

Далее учащиеся должны ответить на вопросы (Как бы вы решили такую задачу? С помощью какого метода? Какие еще методы решения применимы к данной задаче?) и вместе с учителем разобрать решение данной задачи.

Сначала найдем количество однозначных номеров, отличных от 8. Ясно, что таких номеров девять: 0,1,2,3,4,5,6,7,9. А теперь найдем все двузначные номера, не содержащие восьмерок. Их можно составить так: взять любой из найденных однозначных номеров и написать после него любую из девяти допустимых цифр. В результате из каждого однозначного номера получится 9 двузначных. А так как двузначных номеров было 9, то получится 9?9 = 92 двузначных номеров.

Итак, существует 92 = 81 двузначный номер без цифры 8. Но к каждому из этих номеров можно приписать справа любую из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,9 и получить трехзначный номер, не содержащий цифру 8. При этом получаются все трехзначные номера с требуемым свойством. В результате мы нашли 92?9 = 93 = 729 трехзначных номеров без восьмерок.

Если бы председатель клуба был еще суевернее и отказался и от цифры 0, поскольку она походит на вытянутое колесо, то он смог бы составить лишь 83 = 512 трехзначных номеров и их уже не хватило бы на всех членов клуба.

С помощью этого примера вводятся понятие кортежа и правило произведения.

Кортежи. Номера, составленные из трех цифр, нельзя рассматривать как множество элементов. Во-первых, в номерах цифры могут повторяться (например, 775), а в множествах элементы не повторяются, во-вторых, в номерах важен порядок цифр (175 и 571 — совсем разные номера), а в множествах порядок элементов роли не играет. Поэтому, если мы хотим изучать такие объекты, как номера, или слова (в них тоже могут буквы повторяться, от перестановки букв слово меняется), нужно ввести новое математическое понятие, отличное от понятия множество.

Это новое понятие математики назвали кортежем (наряду со словом «кортеж» применяют названия «слово», «набор», «вектор», «конечная последовательность» и т. д.). Кортеж — французское слово, означающее торжественное шествие. И у нас иногда говорят «кортеж автомашин», «свадебный кортеж» и т. д. При этом кортеж автомашин может состоять из нескольких «Волг», нескольких «БМВ» и нескольких «Ауди». Если считать машины одной и той же марки неразличимыми, то получим, что в кортеже автомашин один и тот же элемент может повторяться несколько раз.

В математике кортеж определяют так. Пусть имеется несколько множеств X1, …, Xk. Представим себе, что их элементы сложены в мешки, а мешки перенумерованы. Вытащим из первого мешка какой-нибудь элемент (то есть возьмем какой-нибудь элемент а1 множества Х1), затем вытащим элемент а2 из мешка Х2 и будем продолжать этот процесс до тек пор, пока из мешка Хk не будет вытащен элемент аk. После этого расставим полученные элементы в том порядке, в котором они появились из мешков (а1, а2, …, аk). Это и будет кортежем длины k, составленным из элементов множеств X1, …, Xk. Элементы а1, а2, …, аk называют компонентами кортежа.

Два кортежа называют равными в том и только в том случае, когда они имеют одинаковую длину, а на соответствующих местах стоят одни и те же элементы.

Здесь учащимся можно дать индивидуальное задание: взять любое множество и составить из его элементов кортеж, при этом спросить их, почему он является кортежем, и сколько кортежей можно составить из этого множества?

При больших значениях n (n — это количество элементов в множестве, из которого составляется кортеж) и k (k — это количество элементов в кортеже) перебор вариантов становиться очень громоздким, поэтому ограничиваются только подсчетом общего числа возможных вариантов построения кортежей. Для простейших комбинаторных задач формулы для подсчета числа возможных кортежей получаются с помощью двух основных правил комбинаторики.

Правило суммы. Если элемент, а можно выбрать m способами, а элемент b можно выбрать n способами, причем любой выбор элемента a отличен от любого выбора элемента b, то выбор «a или b» можно сделать m + n способами. (Например, если на блюде лежат 7 яблок и 4 груши, то выбрать один плод можно 7+4=11 способами).

На языке теории множеств это правило формулируется следующим образом: Если пересечение конечных множеств A и B пусто, A? B=O, то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов множеств A и B: A? B=O =>

Здесь целесообразно задать учащимся вопросы: А как будет сформулировано правило суммы для пересекающихся множеств A и B? в общем случае для конечного числа множеств?

Правило суммы применяется для решения комбинаторных задач. Именно, часто приходится разбивать все множество перечисляемых комбинаций, подсчитывать число элементов в каждой группе и потом складывать получившиеся ответы.

Правило произведения. Возьмем несколько конечных множеств X1, …, Xk, состоящих соответственно из n1, …, nk элементов, и найдем, сколько кортежей длины k можно составить из элементов этих множеств. Способ, которым мы решим эту задачу по сути дела будет тем же самым, каким было найдено число трехзначных номеров без восьмерок. Сначала найдем число кортежей длины 1, составленных из элементов множества Х1. Ясно, что их число равно n1. Возьмем теперь один из этих кортежей (а1) и припишем к элементу а1 справа по очереди все элементы множества х2. Получится n2 кортежей длины 2, у которых первая координата равна а1. Но вместо а1 можно было бы взять любой другой элемент из Х1. Поэтому получается n1 раз по n2 кортежа, а всего n1• n2 кортежей длины 2 или, как чаще говорят пар. Из каждой такой пары получим n3 троек, приписав к ней по очереди все элементы множества Х3, а всего n1• n2• n3 троек. Продолжая этот процесс, получим, в конце-то концов, n1• n2• …• nk кортежей длины k, составленных из элементов наших множеств.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой