Методика обучения школьников применению теории к решению задач на вычисление и доказательство по теме "Многоугольники"

Тип работы:
Дипломная
Предмет:
Педагогика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Содержание

  • Введение
  • § 1. Роль и место темы «Многоугольники» в школьном курсе геометрии
  • § 2. Анализ содержания темы «Многоугольники» в школьных учебниках геометрии
  • § 3. Методика изучения темы «Треугольники»
  • 3.1 Определения равных треугольников
  • 3.2 Признаки равенства треугольников
  • 3.3 Методика введения понятия теоремы обратной данной
  • § 4. Методика изучения темы «Четырехугольники»
  • 4.1 Параллелограмм
  • 4.2 Методика изучения темы «Прямоугольник»
  • 4.3 Квадрат
  • 4.4 Ромб
  • 4.5 Трапеция
  • § 5. Методика изучения темы «Многоугольники»
  • 5.1 Выпуклые многоугольники
  • 5.2 Правильные многоугольники
  • § 6. Организация обобщающего повторения темы «Многоугольники» в курсе геометрии 9 класса
  • § 7. Задачи по теме «Многоугольники» в материалах ЕГЭ по математике
  • Литература

Введение

Школьный курс геометрии занимает важное место в математическом образовании учащихся. В ходе изучения геометрии у школьников развивается пространственное воображение, логическое мышление. Они приобретают навыки использования линейки, циркуля, прямого угла. Учащиеся убеждаются, что теоретические положения, изучаемые ими, являются отражением реальной действительности и находят отражение в практической деятельности людей.

В курсе геометрии 7−9 классов изучаются геометрические фигуры на плоскости, причём основное внимание уделяется изучению многоугольников и их свойств.

В ходе изучения темы «Многоугольники» вводится много новых понятий, изучаются теоремы, вводятся понятие теоремы обратной данной, решение задач требует от школьника актуализации имеющихся теоретических знаний.

Этот раздел школьного курса геометрии выполняет и определенные мировоззренческие функции.

Проблемам совершенствования методики обучения школьников геометрии посвящены многочисленные исследования математиков-методистов Александров А. Д. (2), Аргунов Б. И. (3), Балк М. Б. (3), Бескин Н. М., Болтянский В. Г. (6), Гусев В. А. (9), Киселёв А. П. (11), Колягин Ю. М. (15), Лянин С. Е., Погорелов А. В. (18), Саранцев Г. И. (21), и другие.

Аргунов Б.И., Балк М. Б., Бескин Н. М., Гусев В. А., Колягин Ю. М., Миншин В. И., Саранцев Г. И. и др. рассматривают методику изучения основных тем школьного курса геометрии, анализируют пути и способы обучения учащихся решению геометрических задач.

Киселев А.П., Черкасов Р. С. (22), Погорелов А. В., Атанасян (4), Александров А. Д. и др. являются авторами школьных учебников как для обычных, так и для профильных классов.

В тоже время анализ программ по геометрии, результатов ЕГЭ по математике свидетельствует о непрочном овладении школьников планиметрическим материалом. В частности, решаемость задач составляет до 10% от решавших. Как правило, задачи по геометрии решают до 60% школьников.

Именно поэтому весьма актуален поиск путей совершенствования методики обучения учащихся решению задач по теме «Многоугольники».

Гипотеза выпускной квалификационной работы заключается в том, что если в ходе изучения каждого вида многоугольников учитель будет подбирать систему задач, направленную на усвоение теоретических положений и выработку у школьников умений и навыков решать задачи на вычисление и доказательство, использовать наглядность, осуществлять дифференцированный подход к организации индивидуальной работы с учащимися. То это будет способствовать повышению качества их знаний.

Сформулированная гипотеза потребовала решения следующих задач:

1. Рассмотреть роль и место темы «Многоугольники» в школьном курсе геометрии.

2. Раскрыть методику работ учителя по изучению темы «Многоугольники» в курсе геометрии 7−9 классов.

Поставленные задачи были решены при помощи следующих методов исследования:

1. Теоретический (изучение и анализ математической и методической литературой).

2. Эмпирический (наблюдение за учебной деятельностью учащихся, знакомство с передовым педагогически опытом)

3. Статистический (анализ результатов контрольных работ)

Дипломная работа состоит из введения, семи параграфов, заключения, списка литературы.

геометрия многоугольник методика обучение

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, формулируется гипотеза выпускной квалификационной работы, перечисляются задачи и методы исследования.

В основной части рассматривается методика обучения школьников применять теорию к решению задач на вычисление и доказательство по теме «Многоугольники».

В заключении подводится итого проведенной работы. Список литературы состоит из наименований.

§ 1. Роль и место темы «Многоугольники» в школьном курсе геометрии

В курсе геометрии VII-IX классов систематически изучаются геометрические фигуры на плоскости, причем большое внимание уделяется многоугольникам, изучению их свойств, рассмотрению величин, характеризующих плоский многоугольник. В решении задач на многоугольники находят применение различные методы.

Систематическое изучение плоских многоугольников базируется на сформированных в I-III классах представлениях о простейших геометрических фигурах и служит средством развития логического мышления учащихся. Здесь вводится много определений, доказываются содержательные теоремы, введется работа по формированию понятий «свойство» и «признак». Уже в I-III классах они знакомы учащимся и служат хорошим дидактическим средством изучения арифметики. В I классе дети считают элементы многоугольников: вершины, стороны,., углы, измеряют их стороны. Разбитый на равные квадраты прямоугольник используется во II классе для иллюстрации переместительного закона умножения, задача на нахождение периметра прямоугольного закона умножения относительно сложения. В III классе формируются представления о площади фигуры, основное внимание при этом уделяется вычислению площади прямоугольника и квадрата.

При обучении элементам геометрии в IV-V классах многоугольник выступает не только как средство изучения арифметики и элементов алгебры, но и как объект изучения. Большое внимание при этом уделяется развитию пространственных представлений учащихся, работе с изображением отрезка, ломанной, угла, многоугольника, многогранника (прямоугольного параллелепипеда, куба). Основным для получения результатов является конкретно-индуктивный метод. Эпизодически вводятся элементы дедукции: формулируются некоторые определения (длина ломаной, дополнительные лучи, квадрат, куб и т. п.), отдельные свойства (отрезок АВ короче любой линии, соединяющий точки, А и В, свойства измерения углов и др.), на которые учащиеся ссылаются при решении задач типа «Объясните, почему. «

Этот раздел школьного курса геометрии выполняет и определенные мировоззренческие функции. В процессе его рассмотрения ученики знакомятся с историей отдельных вопросов, узнают об их месте и роли в практической деятельности человека.

Вместе с тем при изучении многоугольников идет формирование знаний, умений и навыков, необходимых для изучения смежных дисциплин: физики, черчения, трудового обучения и др.

Изучение в курсе планиметрии свойства и признаки многоугольников находят широкое применение в курсе стереометрии. Учителю необходимо помнить об этом при организации текущего и итогового повторения.

В различных школьных курсах планиметрии понятие многоугольников трактуется неодинаково.

В одних курсах многоугольник А1, А2,., Аn трактуется как фигура, состоящая из отрезков A1A2, A2A3,., An-1An, АnА1 любые два из которых, имеющие общий конец, не лежат на одной прямой (4), (18). В этом случае при рассмотрении площади многоугольников (прямоугольника, параллелограмма, треугольника и др.) под каждым из них понимается соответствующий плоский многоугольник (конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником).

В других курсах простой многоугольник (треугольник, четырехугольник и др.) трактуется с самого начала как часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной (2).

Если перечень вопросов курса, их объем предопределены программой, то структура материала внутри каждой темы, последовательность изучаемых вопросов обычно характерны для каждого отдельного учебника.

Так, учебники геометрии А. Д. Александрова и др. (2) и Л. С. Атанасяна и др. (4) отличает широкое использование практического опыта учащихся, различные приложения изучаемой теории.

Кроме того, нельзя не сказать о роли наглядности при изучении многоугольников. Наличие в учебнике большого числа рисунков ни в коем случае не ограничивает творчество учителя. В то же время это дает возможность ученику, вынужденному в силу сложившихся обстоятельств самостоятельно изучать тот или иной раздел, следить на хорошем иллюстративном материале за логикой рассуждений, «увидеть» идею и путь доказательства.

§ 2. Анализ содержания темы «Многоугольники» в школьных учебниках геометрии

В курсе геометрии 7−9 классов систематически изучаются геометрические фигуры на плоскости, причем большое внимание уделяется многоугольникам, изучению их свойств, рассмотрению величин характеризующих плоский многоугольник.

Курс геометрии 7 класса — это, по существу, геометрия треугольника.

Основное внимание при изучении темы следует уделить формированию умений доказывать равенство треугольников. Введение понятий медианы, биссектрисы и высоты треугольника, свойств равнобедренного треугольника расширяет класс задач на доказательство.

Темы «Четырехугольники» изучаются в курсе геометрии 8 класса. Здесь получают дальнейшее развитие умения учащихся проводить доказательные рассуждения. Основу для этого составляет изучение и применение признаков и свойств рассматриваемых в теме видов четырехугольников.

Доказательства большинства теорем данного раздела проводятся с опорой на признаки равенства треугольников, которые используются и при решении задач в совокупности с применением новых теоретических фактов.

Основное внимание при изучении темы отводится выработке у школьников умений применять многочисленные теоретические сведения при решении задач.

В 9 классе завершается изучение темы «Многоугольники». Сведения о многоугольниках обобщают известные учащимся факты о треугольниках и четырехугольниках. Большое практическое значение имеют теоремы о правильных многоугольниках. Особое внимание необходимо уделить выводу формул, связывающих стороны правильных многоугольников с радиусами вписанных в них и описанных около них окружностей и решению задач на вычисление элементов правильных многоугольников, длин окружностей и их дуг, что подготавливает аппарат решения задач, связанных с многогранниками и телами вращения в курсе стереометрии.

§ 3. Методика изучения темы «Треугольники»

3.1 Определения равных треугольников

Треугольник — самый «экономный» вид многоугольника. Для его задания достаточно указать его вершины — три точки, не лежащие на одной прямой, или три попарно пересекающиеся прямые.

Классифицируют треугольники также по степени их симметричности или по числу равных сторон.

Треугольник

Количество осей симметрии

Количество пар разных сторон

Равносторонний

Равнобедренный

Разносторонний

3

1

Нет

3

1

Нет

В школе принята также классификация треугольников по углам: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

Изучение треугольников в соответствии с программой распределено практически по всем классам неполной средней школы. Курс 7 класса — это, по существу, геометрия треугольника.

Треугольник — одна из основных «рабочих» фигур изучаемого в школе курса планиметрии. Установление цепочек равных треугольников — широко используемый прием доказательства различных геометрических утверждений.

Главная цель изучения признаков равенства треугольников — добиться активного владения им, обратив особое внимание на отработку навыков использования признаков равенства треугольников в решении задач.

Равенство традиционно изучается в курсе планиметрии. Однако трактовка этого понятия, методика введения разные для различных учебников. Так, в учебниках А. Н. Колмагорова и Л. С. Атанасяна (4) равные треугольники — частный случай равных фигур, т. е. фигур, которые можно совместить наложением. Такие понятия, как «совмещение» и «наложение», считаются интуитивно понятными учащимся и в курсе не определяются.

В учебнике «Геометрия 7−11» А. В. Погорелова (18) понятие «равные треугольники» вводится в § 1 «Основные свойства простейших геометрических фигур» п. 9 «Треугольник».

Сначала дается определение треугольника: треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами.

Затем рассматривают что такое угол треугольника, равные отрезки и равные углы: «Углом треугольника ABC при вершине, А называется угол, образованный полупрямыми АВ и АС. Так же определяются углы треугольника при вершинах В и С.

Два отрезка называются равными, если они имеют одинаковую длину. Два угла называются равными, если они имеют одинаковую угловую меру в градусах".

И только после введения выше перечисленных понятий дается определение «равные треугольники»: Треугольники называются равными, если них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны.

В учебнике «Геометрия 7−9» Л. С Атанасяна (4) понятие «равные треугольники» вводится в § 1 «Первый признак равенства треугольников» п. 14 «Треугольник», следующим образом:

«Отметим какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой, и соединим их отрезками. Получим геометрическую фигуру, которая называется треугольником. Отмеченные три точки называются вершинами, а отрезки — сторонами треугольника.

Три угла — ВАС, СВА и АСВ — называются углами треугольника ABC. Сумма длин трех сторон треугольника называется его периметром". Затем говорится, что две фигуры, в частности два треугольника, называются равными, если их можно совместить наложением.

Рассмотрим методику введения понятия «равные треугольники» на примере учебника геометрии А. В. Погорелова (29).

После введения перечисленных выше понятий и их определений школьники решают задачи:

3адача 1. Треугольники ABC и PQR равны. Известно, что сторона АВ равна 10 см, а угол С равен 900. Чему равны сторона PQ и угол R? Объясните ответ.

Дано: ?АВС=?PQR, AB=10 см, С=900.

Найти: PQ, R

Решение.

Так как? АВС=?PQR, то у них AB= PQ=10 см, С=R=90.

Ответ: PQ=10 см, R=900.

3адача 2. Треугольники ABC и PQR равны. Углы второго треугольника известны: P=400, Q=600, R=800. Найти углы? АВС.

/

Дано: ?АВС=?PQR, P=400, Q=600, R=800

Найти: А, В, С.

Решение.

По условию? АВС=?PQR, значит у них и соответствующие углы равны, получаем: Р=А=400, Q=В = 600, R=С=800

Ответ: А=400, В=600, С=800.

Затем им можно предложить систему задач, направленную на выработку соответствующих умений и навыков.

1). Треугольники MPQ и NPQ равны. Перечислите шесть пар равных друг другу элементов (сторон, углов) этих двух треугольников.

2). Для каждого из изображенных треугольников найти равный ему.

3.2 Признаки равенства треугольников

Основная идея доказательства I и II признаков равенства треугольников в учебнике Атанасяна (4) и др. Атанасян Л. С. состоит в последовательном осуществлении наложения одного из данных треугольников на другой и доказательства совмещения их при таком наложении. В доказательстве III признака существенно используется свойство углов при основании равнобедренного треугольника.

Доказательство первых двух признаков равенства треугольников в учебном пособии А. В. Погорелова (18) и пробном учебнике А. Д. Александрова (2) и др. Бевз Г. П. (5) сводится к доказательству совпадения некоторого третьего треугольника, равного первому и определенным образом расположенного относительно второго, с этим вторым данным треугольником.

При доказательстве первых двух признаков равенства можно использовать серию рисунков, отражающих динамику доказательства, отдельные его этапы. Так, при рассмотрении первого признака полезно использовать серию рисунков. Рассмотрим методику изучения признаков равенства треугольников по учебнику А. В. Погорелова.

Тема: «Первый признак равенства треугольников».

Чтобы подвести к формулировке теоремы, можно в начале урока предложить учащимся следующее задание практического характера:

Начертите треугольник ABC.

Проведите луч MN и отложите от него угол KMN, равный углу ВАС. На луче МК отложите отрезок MP, равный отрезку АВ, а на луче MN — отрезок ME, равный отрезку АС.

Соедините точки Р и Е.

Измерьте и сравните отрезки ВС и РЕ, углы ABC и МРЕ, углы АСВ и МЕР.

Запишите равные между собой элементы построенных треугольников.

По ходу выполнения задания ставятся вопросы:

Сколько равных между собой углов можно отложить от данного луча?

Что значит «Треугольник МРЕ равен треугольнику ABC»?

Сформулируйте аксиому существования треугольника, равного данному, если считать данными треугольник ABC и полупрямую MN.

В результате выполнения задания на доске и в тетрадях появляется чертеж (рис. 1) и запись:

Рис. 1

По условию AB=МР, AC=МЕ, ВАС=РМЕ. Результаты измерений

АСВ=МЕР, АВС=МРЕ, ВС=РЕ.

Опираясь на определение равных треугольников, из того, что все шесть элементов одного треугольника соответственно равны мести элементам другого, делается вывод: АВС=МРЕ.

Это задание подводит учащихся к формулировке первого признака равенства треугольников.

Теорема 3. 1: (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ?АВС и? А1В1С1, АВ=А1В1, АС=А1С1, А=А1

Доказать: ?АВС = ?А1В1С1

Доказательство:

1. Пусть Дано: ?АВС и? А2В2С2, (по аксиоме IV).

Причем расположен он может быть следующим образом: одна его вершина совпадает с вершиной А1 другая (В2) лежит на луче А1В1 a третья — (С2) лежит в той же полуплоскости относительно прямой А1В1, что и вершина С.

2. Т.к. А1В1=AB (по условию), то AB=A1B2 (из п. 1), следовательно В2 совпадает с вершиной В1.

3. Т.к. B1A1C1 = BAC (по условию), то B2A1С2=BAC (из п. 1), следовательно, B1A1C1 = B2A1С2

Тогда луч A1С2 совпадает с лучом A1C1.

4. AC= A1C1 (по условию), A1С2=AC (из п. 1), следовательно A1C1= A1С2. Тогда вершина С2 совпадет с вершиной С1.

Таким образом, ?АВС = ?А1В1С1

Ч. т.д.

После доказательства теоремы о первом признаке равенства треугольников предлагаются задачи:

Задача 1. В каждой из изображенных на рисунке пар треугольников равные элементы треугольников указаны пометками. Какие треугольники равны по первому признаку?

Задача 2. Отрезки AR и ВН делят друг друга пополам в точке F. Доказать, что AB=RH.

3адача 3. Отрезки А В и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС=10м?

Дано: АВUCD=0,AO=OB, CO=OD, АС=10м.

Найти: BD.

Решение.

?AOC=?BOD (по I признаку равенства треугольников).

1) AOC = BOD — вертикальные углы.

2) ОА=ОВ и OC=OD (т.к. точка О — середина отрезков АВ и CD).

Из равенства треугольников АОС и BOD следует равенство их сторон

АС и BD. А т.к. АС=10м (по условию), то и BD=10m.

Ответ: BD=1 Ом.

3адача 4. На стороне ВС? АВС отмечена точка D, а на стороне B1С11В1С1 - точка D1, причем BAD=B1A1D1. Докажите, что если? ADC=?A, D1C1, то? АВС=?А1В1С1.

Дано: ?АВС и? А1В1С1, BAD=B1A1D1, ?ADC=?A, D1C1.

Доказать: ?ABC=?A1B1C1.

Ч. т.д.

Затем учащимся можно предложить систему задач:

1. Докажите равенство треугольников ADC и ABC, изображенных на рисунке, если AD=AB и 1=2. Найдите: ADC и ACD, если ACB=380, ABC=1020.

2. Известно, что? АВС=?А1В1С1, причем A=A1, B=B1. На сторонах АС и A1C1 отмечены точки D и D1 так, что CD=C1 D1. Докажите, что? CBD=?C1B1 D1.

3. Известно, что? МКР=?М1К1Р1 причем M=M1, K=K1. На сторонах MP и M1P1 отмечены точки Е и Е1 так, что МЕ=М1Е1. Докажите, что? МЕК=?М1Е1К1.

4. Через середину О отрезка АВ проведена прямая, перпендикулярная прямой АВ. Докажите, что каждая точка X этой прямой одинаково удалена от точек, А и В.

Аналогично рассматриваются доказательства II и III признаков.

Теорема 3.2 (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 3.3 (признак равенства треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

И можно привести следующую систему задач, направленную на выработку соответствующих умений и навыков:

1. В каждой из изображенных на рисунке пар треугольников равные элементы треугольника указаны пометками. Какие треугольники равны по II признаку, а какие равны по III признаку?

2. В треугольниках МРК и XYZ РМК=ZYX, MKP= YXZ и сторона РК равна стороне XY. Докажите равенство сторон РК и ZX.

3. На рисунке AB=CD и BD=AC. Докажите, что:

a) CAD =ADB;

б) BAO = CDB.

4. В треугольнике DEC и D1E1С1 DE= D1E1, D=D1, E=E1. На сторонах DE и D1E1 отмечены точки Р и P1 так, что DCP= D1С1 P1. Докажите, что:

a) ?DCP=?D1C1P1;

б) ?СРЕ=?С1Р1Е1.

5. На рисунке, треугольник MNP равнобедренный с основанием MP, точка К — середина отрезка MP, MKE=PKF. Докажите, что? NEK=?NFK.

3.3 Методика введения понятия теоремы обратной данной

В учебнике «геометрия 7−11» А. В. Погорелова (18) после доказательства теорем Т.3.3 («В равнобедренном треугольнике углы при основании равны») § 3 «Признаки равенства треугольников» п. 23 «Равнобедренный треугольник» и Т.3.4 («Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный»), того же параграфа п. 24 «Обратная теорема», говорится, что Т.3.4 называется обратной Т.3.3.

В учебнике «Геометрия 7−9» Л. С. Атанасяна (4), сначала изучаются теоремы п. 25 § 1 «Признаки параллельности двух прямых» главы III. т. е. :

Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180, то прямые параллельны.

Затем в § 2 этой главы «Аксиома параллельных прямых» в п. 29 вводят определение:

теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением - условие данной теоремы.

После чего школьникам предлагают доказать теоремы, обратные теоремам п. 25.

Рассмотрим методику введения понятия «обратная теорема» на примере учебника А. В. Погорелова.

1способ: Вначале учащиеся доказывают Т.3. 3: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны», затем Т.3. 4: «Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный».

После чего учащиеся говорят «Теорема 3.4 называется обратной теореме 3.3 Заключение теоремы 3.3 является условием теоремы 3.4 А условие теоремы 3.3 является заключением теоремы 3. 4

Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна. Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах.

Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно.

Два равных угла вовсе не обязательно быть вертикальными".

В то же время в методической литературе перечисляют затруднения, которые испытывают учащиеся.

школьнику кажется, что прямая и обратная теоремы выражают одну и ту же мысль;

если ученик различает содержание каждой теоремы, то убежден, что справедливость одной влечет за собой справедливость другой;

3) не вполне ясное выделение в теореме условия и заключения приводит к тому, что ученики часто смешивают прямую и обратную теоремы;

4) большинству учащихся кажется, что обе записи выражают одну и ту же мысль.

Поэтому можно предложить второй способ изложения этого материала.

II способ: Перед доказательством Т.3.4 учитель предлагает учащимся самостоятельно сформулировать ту теорему, которая получается из Т.3. 3, если в ней поменять условие и заключение.

Учащиеся заполняют таблицу:

Прямая теорема

Обратная теорема

Условие

Если в треугольнике две стороны

равны,

Если треугольник равнобедренный,

Если в треугольнике два

угла равны,

Если углы при основании равны,

Заключение

то углы, лежащие против этих

сторон равны,

то углы при основании равны.

то стороны, лежащие против этих углов, равны.

то треугольник

равнобедренный.

Учитель предлагает доказать эту теорему. После доказательства возвращается к первой строчке таблицы, вводятся термины «прямая теорема», «обратная теорема».

После доказательства Т.3.4 надо предложить учащимся ряд упражнений на образование обратных теорем:

Например, составить для каждой из теорем обратную:

1. Если сумма цифр числа нацело делится на 9, то само число делится на 9.

2. Если число оканчивается двумя нулями, то оно нацело делится на 4.

3. Если в одном и том же круге центральные углы равны, то и соответственные им дуги равны.

Ученик, составляя обратную теорему, должен сказать верна ли она.

В упражнениях полезно ввести и жизненные примеры: образовать обратное утверждение к следующему: если ученик болен, то он пропускает уроки.

Также полезно предложить учащимся привести примеры доказанных ранее теорем сформировать для них обратные. При этом лучше переформулировать теоремы таким образом, чтобы они читались: «Если., то.». Можно взять в качестве примера теорему о вертикальных углах, I и II признаки равенства треугольников и теорему о смежных углах.

На примере теорем 3.3 и 3.4 и признаков равенства треугольников показывается, что в этих случаях наряду с исходной теоремой верна и обратная; на примере теоремы о вертикальных углах — что возможен случай, когда прямая теорема верна, а обратная утверждение неверно.

Можно также предложить ученикам сформировать теорему обратную к теореме 3.4 (или к любой другой, которую они формировали как обратную), и убедиться в том, что теорема, обратная обратной, есть прямая теорема.

§ 4. Методика изучения темы «Четырехугольники»

Четырехугольники — традиционный для курса планиметрии материал. Как и треугольник, четырехугольник трактуется в одних учебниках как простая замкнутая четырехзвенная ломаная, в других — как часть плоскости, ограниченная такой ломаной. Из всевозможных четырехугольников выделяют выпуклые. Во всех действующих в настоящее время пособиях осуществляется одинаковый подход во введении частных видов параллелограммов: прямоугольников и ромбов. Квадрат в одних учебниках вводится как четырехугольник, который одновременно является прямоугольником и ромбом. В других квадрат определяется как частный вид прямоугольника. Трапеция рассматривается после параллелограммов.

При установлении различных свойств и признаков параллелограмма широко используются свойства и признаки равных треугольников, свойств углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей, признаки параллельности прямых. Материал о параллелограммах и их частных видах очень удобен для формирования и развития логического мышления учащихся. Именно здесь учитель имеет широкие возможности по работе с определениями: предложить, например, ученику дать определение прямоугольника через понятие прямоугольника, параллелограмма и т. д.

4.1 Параллелограмм

В учебнике «Геометрия 7−11» А. В. Погорелова (18) тема «Параллелограмм» изучается в 6 параграфе «Четырехугольники» в трех пунктах.

В п. 51 «Параллелограмм» в начале вводится определение параллелограмма: «Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых», а затем рассматривают и доказывают признак параллелограмма (Т.6. 1).

Теорема 6. 1: Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

В п. 52 «Свойство диагоналей параллелограмма» и п. 53 «Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма» изучаются свойства параллелограмма:

1. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. (Т.6. 2, которая является обратной теореме 6. 1).

2. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны. (Т.6. 3)

В учебнике «Геометрия 7−9» Л. С. Атанасяна (5) тема «Параллелограмм» рассматривается в § 2 «Параллелограмм и трапеция» в пунктах 42 и 43.

Определение и свойства параллелограмма даются в п. 42 «Параллелограмм»:

Опр.: Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Свойства:

1. В параллелограмме противолежащие стороны и противолежащие углы равны.

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Л.С. Атанасян выделяет три признака параллелограмма, которые изучаются в 43 пункте «Признаки параллелограмма»:

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Рассмотрим методику изучения темы «Параллелограмм» на примере геометрии А. В. Погорелова. Понятие параллелограмма вводится с помощью таблицы «Четырехугольники».

В таблице показаны два вида четырехугольников: параллелограммы и не параллелограммы.

Параллелограмм иллюстрируется не одним объектом, входящим в объем этого понятия, что дает возможность с первого урока учащимся не приписывать этому понятию несущественные признаки: один угол острый, а другой — тупой, стороны не равны и т. д.

Классу задается вопрос: по какому признаку разделили все четырехугольники на два вида? (У четырехугольников справа противолежащие стороны параллельны.)

Составляется определение параллелограмма: параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.

Термин «параллелограмм» происходит от объединения греческих слов «параллелос» — то, что идет рядом, и «грамма» — черта, линия (этот термин ввел Евклид).

После введения определения параллелограмма школьники решают следующие задачи:

3адача 1. При пересечении двух прямых, а и b прямыми с и d образуется четырехугольник ABCD. Определите в каком случае четырехугольник является параллелограммом?

Ответ: a) a||b, с||d; б) a||b, c||d; в) а||b; г) с||d.

Задача 2. В треугольнике ABC параллельно сторонам АВ и АС проведены прямые DG и FG. Определите вид четырехугольника AFGD.

Решение.

Т.к. AF||DG. AD||FG (по условию), следовательно AFGD — параллелограмм (по определению).

Ответ: AFGD-параллелограмм.

Задача 3. В параллелограмме ABCD параллельно стороне АВ проведена прямая FG. Определите вид четырехугольника ABFG.

AB||GF, BF||AG, следовательно ABFG — параллелограмм (по определению параллелограмма).

Ответ: ABFG — параллелограмм.

Задача 4. В треугольнике ABC проведена медиана BF. На ее продолжении за точку F отложен отрезок FD, равный BF. Докажите, что четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Дано: BF-медиана ?АВС, FD=BF.

Доказать: ABCD-параллелограмм.

Решение. AF=CF, так как BF — медиана? АВС. FD=BF по условию.

Следовательно, в четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются и точкой пересечения F делятся пополам. Следовательно, по признаку параллелограмма четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Ч. т.д.

Признаки параллелограмма

Для «открытия» теоремы 6.1 учащимся предлагается в тетрадях выполнить следующие построения: провести две пересекающиеся прямые, отложить на них точки пересечения соответственно равные отрезки АО=ОС, OB=OD (AO не равен ОВ) и полученные точки А, В, С, D последовательно соединить отрезками. Такой подход дает возможность учащимся лучше понять и запомнить содержание теоремы, не путать ее условие и заключение.

Классу задается вопрос: Какой же получился четырехугольник? Формулируется теорема 6. 1, записывается ее условие.

Теорема: Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Дано: ABCD — четырехугольник, ACUBD=0,AO=OC, BO=OD.

Доказать: ABCD-параллелограмм.

Доказательство.

ABCD — четырехугольник, точка О — точка пересечения его диагоналей.

Рассмотрим ?AOD и? СОВ, они равны, т.к.

AOD= COB (вертикальные), OD=OB (по условию теоремы), ОА=ОС (по условию теоремы).

=> OBC=ODA, а они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и ВС и секущей BD.

=> AD||BC (по признаку параллельности прямых).

Аналогично доказывается параллельность прямых АВ и CD => ABCD — параллелограмм (по определению).

Ч. т.д.

Свойства параллелограмма

После введения определения параллелограмма и его признака, изучают свойства.

Свойство диагоналей параллелограмма учащиеся легко обнаружат, выполнив соответствующий рисунок.

Теорема 6.2 (обратная теореме 6. 1): Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD-параллелограмм,

АС и BD-диагонали.

Доказать: ACВBD и точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство.

Пусть ABCD — данный параллелограмм.

BD — диагональ, точка О ее середина. Предположим, что существует точка d, такая что АО=ОС1.

Получаем, что ABС1D — параллелограмм (по Т.6. 1).

=> BC||AD. Получили противоречие, т.к. через точку можно провести только одну прямую, параллельную данной. Значит ВС1 совпадает с ВС.

Точно так же доказывается, что прямая DC1 совпадает с прямой DC.

Значит, что C1 совпадает с точкой С => ABCD совпадает с ABC1D. Поэтому его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Ч. т.д.

Теорема 6. 3: У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Дано: ABCD-параллелограмм, АС и BD-диагонали, AC? BD=0

Доказать: AB=CD, AD=BC,

Доказать: AB=CD, AD=BC, B=D.

1. Рассмотрим? АОВ и? DOC, они равны, т.к. ОА=ОС, OB=OD (свойство диагоналей), AOB=COD (вертикальные) => AB=CD.

Равенство AD и ВС доказывается аналогично из треугольников AOD и СОВ.

2. ?ABC=?CDA (по III признаку равенства треугольников) AB=CD BC=DA

АС — общая, => ABC=CDA. Равенство углов BCD и DAB доказывается аналогично.

Ч. т.д.

После этого учащиеся приступают к решению задач.

Задача 1: Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делятся этой точкой пополам.

Дано: ABCD-параллелограмм,

АС, BD-диагонали, AC? BD = 0, FE-прямая, OЄFE.

Доказать: FO=OE.

Доказательство.

ABCD:

EFВАВ = Е

EFВDC = F

?ОАЕ = ?OCF (по II признаку)

О, А = ОС (т.к. О — середина диагонали АС)

O =О (вертикальные)

EA О = FCO (внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АВ, CD и секущей АС)

=> ОЕ = OF.

Ч. т.д.

Задача 2: Докажите, что если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом.

Дано: ABCD — четырехугольник, АВ||CD, AB=CD.

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство.

Через вершину В проведем прямую b, b||AD, b? DC = Cl.

ABC1D — параллелограмм (т.к. у параллелограмма противолежащие

стороны равны), то C1D = AB.

Т.к. AB = CD=> DC = DC1=>C = C1

=> ABCD совпадает с ABC1D => ABCD — параллелограмм.

Ч. т.д.

После введения перечисленных свойств и признаков параллелограмма учащимся можно предложить систему задач, направленную на выработку соответствующих умений и навыков.

1. Сторона AD параллелограмма ABCD равна 9 см, а его диагонали равны 14 см и 10 см. О — точка пересечения диагоналей. Чему равен периметр AAOD?

2. В параллелограмме ABCD диагонали равны, О — точка пересечения диагоналей. Докажите, что? AOD-равнобедренный.

3. Стороны А В и ВС параллелограмма ABCD равны 9 см и 6 см. Чему равны стороны CD и AD?

4. В параллелограмме сумма двух углов равна 120. Могут ли эти углы прилежать к одной стороне параллелограмма.

5. В равнобедренный треугольник вписан параллелограмм так, что угол параллелограмма совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежат на основании. Докажите, что периметр параллелограмма есть величина постоянная для данного треугольника.

Конспект урока по теме «Параллелограмм. Свойства параллелограмма».

Цели урока:

образовательные цели направлены на усвоение и закрепление понятия параллелограмма, его свойств, навыка построения параллелограмма и применения его свойств при решении задач;

развивающие цели данного урока направлены на развитие пространственного воображения учащихся, логического мышления; совершенствование графической культуры, формирование навыков осмысленного понимания теорем и быстрого их запоминания, развитие умений применять знания в различных ситуациях; умений самостоятельной работы;

воспитательные цели урока направлены на формирование положительной мотивации учения, воспитание самостоятельности и коллективизма.

Исходя из типа урока, целей урока, содержания учебного материала на уроке используются следующие методы и приемы обучения:

· эвристический (постановка проблемы и организация деятельности по ее решению);

· практический (закрепление умений и навыков происходит в ходе выполнения практических заданий);

· словесный;

· наглядный.

формы обучения

· общеклассная (на этапе изучения нового материала ведется работа со всем классом, что необходимо для закрепления материала обязательного уровня всеми учениками класса);

· индивидуальная и групповая (учащиеся работают самостоятельно, в парах, исходя из своих возможностей).

Обрудование: компьютер, мультимедийный проектор или интерактивная доска, линейки, угольники, циркули, нелинованная бумага, рабочая карта урока.

Урок проводится в сопровождении мультимедийной презентации PowerPoint.

Ход урока:

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Комментарий к слайдам

Организационный момент. Слайд 2.

Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.

Слайд 2

2. Актуализация опорных знаний.

Повторим свойства параллельных прямых. Как называются углы, изображенные на рисунках? Сформулируйте свойства параллельных прямых.

Слайд 3

Учащиеся после просмотра каждого рисунка формулируют свойства параллельных прямых

Слайд 3

— Повторим признаки равенства треугольников.

Слайд 4

Учащиеся формулируют признаки равенства треугольников.

Слайд 4

Устная работа с рисунком на Слайде 5.

1) Назовите пары параллельных прямых;

2) укажите четырехугольники, у которых не более двух параллельных прямых;

3) укажите четырехугольники, у которых стороны попарно параллельны.

Ответы учащихся:

AB CD, AB EF, AE KO, NR BF;

KMPN, MPRO, KNRO и т. д. ;

AKMC, CMOE, NPBD, PDFR, AKOE,

NBFR и т. д.

Слайд 5

После ответов учащихся 2) и 3) четырехугольники по клику мышки меняют цвет.

По гиперссылке возвращаемся на слайд с целями урока Слайд 2.

3. Изучение нового материала.

Четырехугольники, у которых стороны попарно параллельны, являются параллелограммами. Запишите это определение в тетрадь (Слайд 6).

Назовите противоположные стороны параллелограмма.

Слайд 6

По клику мышки появляется запись: пары параллельных сторон — противоположных сторон.

— Ребята, как вы предполагаете, какими свойствами обладает параллелограмм?

Предположения учащихся:

диагональ делит параллелограмм на равные треугольники;

противоположные стороны равны;

противоположные углы равны;

стороны параллельны сумма односторонних углов равна 180;

вторая диагональ делит параллелограмм на 4 попарно равных треугольника;

диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Слайд 7

— Но пока это только наши утверждения, которые требуют доказательства. Давайте попытаемся вместе доказать Свойство 1 (Слайд 8) и Свойство 2 (Слайд 10)

По ходу доказательства теорем, учащиеся делают записи в тетради

Слайд 8

Все необходимые элементы чертежа и записи теоремы появляются по клику мыши.

— Теперь, ребята, я предлагаю вам повторить доказательство с помощью анимированного чертежа (Слайд 9,11)

Учащиеся повторяют доказательства

(учитель помогает, руководя анимацией)

Слайд 9

Теперь записей на чертеже нет.

Слайд 9

Слайд 10

4. Физкультминутка

(1,5−2 мин)

5. Практическая работа.

Ребята, сейчас вы делали чертежи параллелограммов в тетради с помощью клеточек.

А как построить параллелограмм на нелинованной бумаге? Как могут свойства параллелограмма вам в этом помочь?

Ответы учащихся:

Так как у параллелограмма противоположные стороны параллельны, то параллельные прямые можно построить с помощью угольника и линейки.

Слайд 11

Можно предложить учащимся:

1) посмотреть готовые анимации построения на Слайдах 11,12;

2) построить на доске мелом или интерактивной доске маркером.

— Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то можно на пересекающихся прямых от точки пересечения отложить парные равные отрезки с помощью циркуля, а потом последовательно соединить полученные точки пересечения.

Учащиеся строят параллелограммы на доске и на нелинованных листах.

Работают в парах: проверяют друг у друга выполненные работы.

Слайд 12

6. Закрепление полученных знаний и умений. Решение задач.

(Слайды 13, 14)

Сильные учащиеся решают задачи самостоятельно, остальные — с помощью учителя.

Решение:

MNPK — параллелограмм

NP=MK=7см, PK=NM=4 см

P= (7+4) 2 = 22 см

M = P = 70

N = K = 180 — 70= 110

Слайд 13

Решение: по свойству параллелограмма ВО = ОD,

ВОМ = КОD — вертикальные,

МВО = DОК — накрест лежащие углы при параллельных прямых ВМ и DК и секущей ВD? OMB = ?OKD (по стороне и двум прилежащим углам).

Решение задач проверяются и обсуждаются совместно с учителем

Слайд 14

Подведение итогов. Задание на дом.

Подведем итоги нашего урока.

Достигли ли мы поставленной цели?

Какой главный итог нашего урока?

Что мы использовали для достижения цели урока?

Запишите домашнее задание.

Благодарю всех за урок. Молодцы.

Да, мы узнали определение и свойства параллелограмма, научились строить параллелограмм.

Изученные свойства параллелограмма можно применить в различных ситуациях: помогают решать задачи, делать построения.

Свойства параллельных прямых, признаки равенства треугольников, формула периметра.

Домашнее задание

п. 42, теоремы о свойствах параллелограмма,

№ 371 б), 372 в), 376 а), в).

Слайд 15

4.2 Методика изучения темы «Прямоугольник»

В учебнике «Геометрия 7−11» А. В. Погорелова (18) понятие «прямоугольник» вводится в § 6 «Четырехугольники» в пункте 54 «Прямоугольник»: Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые.

В учебнике «Геометрия 7−9» Л. С. Атанасяна (4) тема «Прямоугольник рассматривается в § 3 «Прямоугольник, ромб, квадрат» в п. 45 «Прямоугольник»: в начале параграфа вводится определение: «прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые», а затем рассматривают свойство прямоугольника (диагонали прямоугольника равны) и признак прямоугольника (если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник).

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой