Моделирование разогрева жала паяльника с учетом потерь тепла на излучение

Тип работы:
Контрольная
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Моделирование разогрева жала паяльника с учетом потерь тепла на излучение

Введение

В технологии ЭА (электронной аппаратуры) поддержание на заданном уровне температуры жала паяльника является весьма важной задачей, поскольку при формировании электромонтажных соединений на печатных платах с использованием микросхем, полупроводниковых приборов и функциональных элементов, термочувствительных и критичных к нагреву, возможны выход из строя дорогих и дефицитных элементов, снижение надежности изделия. Особенно критична к температурному режиму ручная пайка паяльником, которая имеет следующие параметры: температура жала паяльника 280 — 320 °C, время пайки не более 3 с. Однако из-за интенсивной теплоотдачи сначала в припой, набираемый на жало, а затем в паяемые элементы температура рабочей части жала паяльника снижается на 30−110°С и может выйти из оптимального температурного интервала пайки. В связи с этим становится актуальным моделирование разогрева жала паяльника.

Процесс создания математических моделей трудоемок, длителен и требует использования труда специалистов достаточно высокого уровня, имеющих хорошую подготовку как в предметной области, связанной с объектом моделирования, так и в области прикладной математики, современных математических методов, программирования, знающих возможности и специфику современной вычислительной техники. Необходимость построения таких моделей требует разработки системы правил и подходов, позволяющих снизить затраты на разработку модели и уменьшить вероятность появления трудноустранимых впоследствии ошибок.

В связи с этим возникает роль «простого», доступного моделирования, которое смог бы осуществить специалист, студент имеющий не высокий уровень подготовки как в предметной области, связанной с объектом моделирования, так и в области прикладной математики, современных математических методов, программирования.

Решением данной проблемы является среда программирования MathCAD, которая является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. Пользователи Mathcad — это студенты, ученые, инженеры, разнообразные технические специалисты. Благодаря простоте применения, наглядности математических действий, обширной библиотеке встроенных функций и численных методов, возможности символьных вычислений, а также превосходному аппарату представления результатов (графики самых разных типов, мощных средств подготовки печатных документов и Web-страниц), Mathcad стал наиболее популярным математическим приложением.

Таким образом, цель данной работы заключается в моделировании разогрева жала паяльника с учётом потерь тепла на излучение. Для решения данной задачи воспользуемся системой MathCAD.

1. Теоретическое описание разогрева жала паяльника с учётом потерь тепла на излучение

Рассмотрим однородный стержень длины L, теплоизолированный с боков и достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой. Если концы стержня поддерживать при постоянных температурах u1 и u2, то, как хорошо известно, вдоль стержня устанавливается линейное распределение температуры (рис. 36)

(1)

При этом от более нагретого к менее нагретому концу стержня будет перетекает тепло. Количество тепла, протекающего через сечения стержня площади S за единицу времени, даётся экспериментальной формулой:

(2)

где k — коэффициент теплопроводности, зависящий от материала стержня.

Величина теплового потока считается положительной, если тепло течёт в сторону возрастания х.

Рассмотрим процесс распространения температуры в стержне. Этот процесс может быть описан функцией u (x, t), представляющей температуру в сечении х в момент времени t. Найдём уравнение, которому должна удовлетворять функция u (x, t). Для этого сформулируем физические закономерности, определяющие процессы, связанные с распространением тепла.

1. Закон Фурье. Если температура тела неравномерна, то в нём возникают тепловые потоки, направленные из мест с более высокой температурой в места с более низкой температурой.

Количество тепла, протекающего через сечение х за промежуток времени (t, t+dt), равно:

(3)

(4)

— плотность теплового потока, равная количеству тепла, протекшего в единицу времени через площадь в 1 см2. Этот закон представляет обобщение формулы (2). Ему так же можно придать интегральную форму:

(5)

где Q — количество тепла, протекающего за промежуток времени (t1, t2) через сечение х. Если стержень неоднороден, то k является функцией от х.

2. Количество тепла, которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на? u, равно:

(6)

где с — удельная теплоёмкость, m — маса тела, с — его плотность, V — объём.

Если изменение температуры имеет различную величину на разных участках стержня или если стержень неоднороден, то:

(7)

3. Внутри стержня может возникать или поглощаться тепло (например, при прохождении тока, вследствие химической реакции и т. д.). Выделение тепла может быть характеризовано плотностью тепловых источников F (x, t) в точке х в момент t1). В результате действия этих источников на участке стержня (х, х+dx) за промежуток времени (t, t+dt) выделится количество тепла:

(8)

или в интегральной форме:

(9)

где Q — количество тепла, выделяющегося на участке стержня (х1, х2) за промежуток времени (t1, t2).

Уравнение теплопроводности получается при подсчёте баланса тепла на некотором отрезке (х1, х2) за некоторый промежуток времени (t1, t2). Применяя закон сохранения энергии и пользуясь формулами (5), (7) и (9), можно написать равенство:

(10)

которое представляет уравнение теплопроводности в интегральной форме.

Чтобы получить уравнение теплопроводности в дифференциальной форме, предположим, что функция u (x, t) имеет непрерывные производные uxx и ut2).

Пользуясь теоремой о среднем, получаем равенство:

(11)

которое при помощи теоремы о конечных приращениях можно преобразовать к виду:

(12)

где t3, t4, t5 и х3, х4, х5 — промежуточные точки интервалов (t1, t2) и (х1, х2).

Отсюда, после сокращения на произведение? x?t, находим:

(13)

Все эти рассуждения относятся к произвольным промежуткам (х1, х2) и (t1, t2). Переходя к приделу при х1, х2>х и t1, t2> t, получим уравнение:

(14)

называемое уравнением теплопроводности.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Если стержень однороден, то k, c, с можно считать постоянными, и уравнение обычно записывают в виде:

где — постоянная, называемая коэффициентом температуропроводности. Если источники отсутствуют, т. е.

то уравнение теплопроводности принимает простой вид:

(14ґ)

2. Плотность тепловых источников может зависеть от температуры. В случае теплообмена с окружающей средой, подчиняющегося закону Ньютона, количество тепла, теряемого стержнем, рассчитанное на единицу длины и времени, равно:

где — температура окружающей среды, h — коэффициент теплообмена. Таким образом, плотность тепловых источников в точке x в момент времени t равна:

(15)

где — плотность других источников тепла.

Если стержень однороден, то уравнение теплопроводности с боковым теплообменом имеет следующий вид:

где — известная функция.

Перепишем последнее уравнение в более привычном для нас виде:

(16)

Будем считать, что температура жала не зависит от координаты х, тогда уравнение (16) примет вид:

(16ґ)

Так как ,

то уравнение будет иметь вид:

Преобразуя данное уравнение получим:

(17)

С учётом, что: и потерь тепла на излучение, уравнение (17) примет вид:

Данное дифференциальное уравнение решим с помощью программы MathCAD. Для решения дифференциальных уравнений программа MathCAD содержит ряд функций таких как: rkfixed, rkadapt, оdesolve и алгоритм Эйлера.

2. Средства среды MathCAD для моделирования разогрева жала паяльника с учётом потерь тепла на излучение

Большое количество задач сводится к решению дифференциальных уравнений, однако, лишь небольшая часть их может быть решена аналитически. В связи с этим значительно возрастает роль численного решения дифференциальных уравнений.

Дифференциальным называется уравнение относительно неизвестной функции и её производных различных порядков.

Даже в том случае, когда аналитическое решение данного уравнения все же существует, необходимо представить решение в графическом виде, чтобы понять его характер. В связи с этим, необходимо найти численное решение уравнения.

Для численного интегрирования одного ОДУ у пользователя Mathcad 11 (начиная с версии Mathcad 2000 Pro) имеется выбор-либо использовать вычислительный блок Given/odesoive, либо встроенные функции, как в прежних версиях Mathcad. Первый путь предпочтительнее из соображений наглядности представления задачи и результатов, а второй дает пользователю больше рычагов воздействия на параметры численного метода. Рассмотрим последовательно оба варианта решения.

Вычислительный блок для решения одного ОДУ, реализующий численный метод Рунге-Кутты, состоит из трех частей:

Given — служебное слово;

ОДУ и начальные условия, записанное с помощью логических операторов, причем начальное условие должно быть в форме: y(t0) = b;

Оdesolve (V, t, tmax, N) — встроенная функция для решения ОДУ относительно переменной t на интервале (t0, tmax), N — число шагов. Метод численных вычислений по которому будет работать функция пользователь может выбрать после щелчка по имени функции: фиксированный — метод Рунге-Кутта 4-го порядка с постоянным шагом интегрирования, адаптивный — метод Рунге-Кутта 4-го порядка с переменным шагом интегрирования либо жёсткий — метод Радаус.

Альтернативный метод решения ОДУ перешел из прежних версий Mathcad. Он заключается в использовании одной из встроенных функций: rkfixed (vi, tmin, tmax, n, f), Rkadapt (vi, tmin, tmax, n, f), Bulstoer (vi, tmin, tmax, n, f) и др. Аргументы функций одинаковы: vi — вектор начальных значений, tmin — начальное значение текущей переменной, tmах — конечное значение текущей переменной, n — число шагов, на которые разбит интервал tmах — tmin, f — символьный вектор правых частей уравнений системы. Этот способ несколько проигрывает первому и в простоте, и в наглядности Поэтому предпочтительнее вычислительный блок Given/odesoive.

Так же для нахождения численного решения дифференциального уравнения можно воспользоваться алгоритмом Эйлера.

Применим алгоритмом Эйлера для решения данной задачи.

Алгоритмом Эйлера.

Метод численного решения диф. уравнений включает в себя преобразование дифференциального уравнения в уравнение конечноразностное. Поскольку уравнение:

(1)

описывает изменение величины u (t), то с известной степенью точности можно записать

,

где, а t — конечный интервал, т. е. (2). С учетом этого из уравнения (1) получим:

(3)

Это и есть конечноразностное уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (1). В первом приближении предполагается, что правая часть уравнения (1), т. е. скорость изменения u постоянна на отрезке t. Это метод касательных или метод Эйлера. Совершенно очевидно, что данный метод будет давать хорошее приближение, если t достаточно мало.

При решении такого типа задач часто сталкиваются с необходимостью определить влияние на полученное решение какого либо изменяющегося параметра. Для этого необходимо задать вектор, соответствующий изменению параметра и рассчитывать уже набор векторов решения, т. е. матрицу решения. Принцип реализации таких вычислений приведён ниже в MathCad программе. В которой представлено влияние параметра h (коэффициент теплообмена) на изменение температуры жала паяльника с учётом потерь тепла на излучение.

3. Решение задачи в среде MathCAD

Значения констант:

В среде MathCAD программа имеет вид:

— количество шагов интегрирования.

— вектор начальных условий.

решение системы уравнений методом Эйлера.

График изменения температуры жала паяльника

паяльник излучение жало

На графике приведены три зависимости температуры жала паяльника, соответствующие трём значениям параметра h (коэффициента теплопроводности). Уменьшение h приводит к увеличению температуры жала паяльника.

Заключение

В процессе выполнения данной работы мы исследовали разогрев жала паяльника с учётом потерь тепла на излучение, а так же определили влияние параметра h (коэффициента теплообмена) на разогрев жала. С помощью графика и программы решения задачи, мы смогли проанализировать изменение температуры жала паяльника. С помощью данной программы мы сможем наблюдать изменение температуры жала паяльника с учётом изменения значений констант, что мы и продемонстрировали на графике.

Данная задача имеет большое применение в технологии производства и ремонта электронной аппаратуры, так как с помощью её мы сможем обеспечить требуемый температурный режим необходимый при пайке дорогих и дефицитных элементов чувствительных к перепаду температуры.

Литература

1. Достанко А. П., Пикуль М. И. Хмыль А.А. Технология производства ЭВМ. Мн.: Высшая школа, 1994.

2. Ланин В. Л., Емельянов В. А., Хмыль А. А. Проектирование и оптимизация технологических процессов производства электронной аппаратуры. Мн. :БГУИР, 2008.

3. Ланин В. Л. Технология сборки, монтажа и контроля в производстве электронной аппаратуры. Мн.: БГУИР, 2007.

4. Кирьянов Д. В. Самоучитель MathCad 11. — СПб.: БХВ — Петербург, 2003.

5. Шушкевич Г. Ч., Шушкевич С. В. Введение в MathCad 2000: Учебное пособие. — Гродно: ГрГУ, 2001. — 140 с.

6. А. Н Тиханов, А. А Самарский. Уравнения математической физики.

7. М. Херхагер, Х. Партолль MathCad 2000: полное руководство. Пер. с нем. — К.: Издательская группа BHV, 2000, — 416 с.

8. Очков В. Ф. Mathcad 7 PRO для студентов и инженеров. — М.: «Компьютер Пресс», 1998 г. — 384 с.

9. Бородич Л. И., Герасимович А. И., Кеда Н. П., Мелешко И. Н. Справочное пособие по приближенным методам решения задач высшей математики. — Мн.: Высшая школа, 2010. — 189 с.

10. Макаров Е. Г. Инженерные расчеты в MathCad Учебный курс. — СПб.: Питер. 2011. — 448 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой