Построение математической модели, описывающей процесс решения дифференциального уравнения

Тип работы:
Курсовая
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Лист задания

Начальные условия:, ,, , ,

Постановка задачи:

1. Рассчитать погрешности уточненных значений

1.1 Рассчитать уравнения с шагом h

1.2 Рассчитать уравнения с шагом h/2

1.3 Оценить погрешности вычислений при решении задачи

1.4 Рассчитать уточненные решения yут.

1.5 Составить таблицу данных 1

1.6 Построить график 1 — значений yh, yh/2, yут

2. Аппроксимирование квадратного трехчлена методом наименьших квадратов

2.1 Составить таблицу 2 — рассчитанных значений для расчета коэффициентов

2.2 Составить систему уравнений

2.3 Решить систему уравнений методом Гаусса

2.4 Составить таблицу 3 — данных для расчета погрешности аппроксимации

2.5 Построить график 2 — значений yh и F (x).

3. Интерполирование

3.1 Построить интерполяционный многочлен Лагранжа и сгустить значения

3.2 Рассчитать погрешность интерполяции

3.3 Составить таблицу данных 4

3.4 Построить график 3 — значений y (x), F (x), P (x)

4. Проанализировать полученные результаты

5. Составить программу для проверки правильности расчетов

Содержание

Введение

1. Расчет погрешностей и уточненных значений

1.1 Расчет уравнений с шагом h

1.2 Расчет уравнений с шагом h/2

1.3 Оценка погрешности вычислений при решении задачи

1.4 Расчет уточненных решений yут

1.5 Таблица данных 1

1.6 График 1 — значений yh, yh/2, yут

2. Аппроксимирование квадратного трехчлена методом наименьших квадратов

2.1 Таблица 2 — рассчитанных значений для расчета коэффициентов

2.2 Составление системы уравнений

2.3 Решение системы уравнений методом Гаусса

2.4 Таблица 3 — данных для расчета погрешности аппроксимации «оапп»

2.5 График 2 — значений yh и F (x)

3. Интерполяция

3.1 Построение интерполяционного многочлена Лагранжа

3.2 Расчет погрешности интерполяции

3.3 Таблица данных 4

3.4 График 3 — значений y (х), F (X) и P (x)

4. Анализ полученных результатов

Заключение

Введение

Настоящее время характеризуется резким расширением математики, что связано с созданием и развитием средств вычислительной техники. В результате появления ЭВМ с программным управлением, менее чем за 50 лет скорость выполнения операций возросла от 0,1 операции в секунду при ручном счете до 1012 операций на современных серийных ЭВМ.

Мнение о всемогуществе современных ЭВМ порождает впечатление, что разработка численных методов не столь важна. В действительности же, расширение возможностей приложения математики обусловило математизацию химии, экономики, биологии, географии, геологии и д.р. суть математизации состоит в построении новых математических моделей явлений и процессов, а также разработке методов их исследования.

1. Расчет погрешностей и уточненных значений

1.1 Расчет уравнений с шагом h

Начальные условия:

,, , ,

метод Эйлера-Коши, аппроксимирование методом квадратного трехчлена, составление многочлена Лагранжа.

Необходимо вычислить табличные значения решений квадратного уравнения, используя формулы:

;;;

1. х1 = 0,1

2. х2 = 0,2

3. х3 = 0,3

4. х4 = 0,4

5. х5 = 0,5

6. х6= 0,6

7. х7 = 0,7

8. х8 = 0,8

9. х9 = 0,9

1.2 Расчет уравнений с шагом h/2

1. х1 = 0,1

2. х2 = 0,2

5. х5 = 0,5

9. х9 = 0,9

1.3 Оценка погрешности вычислений при решении задачи

Допустимая погрешность на шаге определяется его максимальной величиной. Шаг интегрирования должен быть таким, чтобы быть существенно меньше интеграла, на котором решение дифференциального уравнения значительно изменяется. Удобный способ оценки погрешности и правильного выбора шага дает метод Рунге.

Погрешность для метода второго порядка точности можно вычислить по следующей формуле:

В результате расчетов пришлось уменьшить шаг до, чтобы выполнить условие вычисления погрешности.

1.4 Расчет уточненных решений yут

Если оh/2 по модулю не больше допустимой погрешности, то шаг выбран правильно и находятся уточненные решения:

В противном случае шаг уменьшается вдвое и все повторяется.

1. х1 = 0,1

2. х2 = 0,2

9. х9 = 0,9

.

1.5 Таблица данных 1

оhi

0,100 000

1,470 387

1,471 685

0,1 731

1,478 388

0,200 000

2,173 681

2,176 455

0,3 698

2,193 262

0,300 000

3,205 241

3,210 517

0,7 035

3,244 853

0,400 000

4,709 109

4,718 558

0,12 599

4,782 654

0,500 000

6,894 874

6,911 161

0,21 716

7,24 763

0,600 000

10,66 320

10,93 667

0,36 462

10,288 284

0,700 000

14,663 307

14,708 347

0,60 053

15,33 829

0,800 000

21,322 495

21,395 582

0,97 449

21,930 238

0,900 000

30,965 262

31,82 471

0,156 278

31,948 581

1.6 График 1 — значений yh, yh/2, yут

2. Аппроксимирование квадратного трехчлена методом наименьших квадратов

2.1 Таблица 2 — рассчитанных значений для расчета коэффициентов

0

1

1

1

1

1

1

0,100 000

1,470 387

1,155

1,21

1,331

1,4641

1,2705

0,200 000

2,173 681

1,318 604

1,44

1,728

2,0736

1,582 325

0,300 000

3,205 241

1,490 628

1,69

2,197

2,8561

1,937 817

0,400 000

4,709 109

1,670 904

1,96

2,744

3,8416

2,339 266

0,500 000

6,894 874

1,859 283

2,25

3,375

5,0625

2,788 925

0,600 000

10,66 320

2,55 629

2,56

4,096

6,5536

3,289 006

0,700 000

14,663 307

2,259 817

2,89

4,913

8,3521

3,841 689

0,800 000

21,322 495

2,471 733

3,24

5,832

10,4976

4,449 119

0,900 000

30,965 262

2,691 274

3,61

6,859

13,0321

5,113 421

У

18,6

15,92 739

24,44 054

30,26

51,336

90,1814

40,69 714

2.2 Составление системы уравнений

Сумма квадрата разности соответствует значению функции ѓ(x) и F (x):

Данная функция — сумма трех переменных (a, b, c), задача сводится к отысканию ее минимума. Функция трех переменных имеет минимум, когда все ее частные производные равны нулю.

Получим:

1) — первое уравнение системы

2) — второе уравнение системы

, где

Таким образом, получена система линейных уравнений следующего вида (после замены сумм коэффициентов):

, где, ,

,, , ,

Решение полученной системы дает значения параметров a, b и с для приближенной функции вида.

2.3 Решение системы уравнений методом Гаусса

;;

2.4 Таблица 3 — данных для расчета погрешности аппроксимации «оапп»

0

1

2,282 894

1,282 894

1,645 818

0,1

1,470 387

1,206 049

-0,264 338

0,69 874

0,2

2,173 681

1,146 702

-1,26 979

1,54 685

0,3

3,205 241

2,104 853

-1,100 388

1,210 853

0,4

4,709 109

4,80 502

-0,628 607

0,395 146

0,5

6,894 874

7,73 649

0,178 775

0,31 961

0,6

10,66 320

11,84 294

1,17 974

1,36 271

0,7

14,663 307

16,112 437

1,449 130

2,99 978

0,8

21,322 495

22,158 078

0,835 583

0,698 199

0,9

30,965 262

29,221 217

-1,744 045

3,41 694

У = 11,284 479

д = 1,62 284

2.5 График 2 — значений yh и F (x)

3. Интерполяция

3.1 Построение интерполяционного многочлена Лагранжа и сгущение значений

Очевидный прием решения данной задачи — вычисление значений ѓ(x), воспользовавшись аналитическими значениями функции ѓ. Для этого — по исходной информации, заданной табличными значениями, отыскивается приближенное значение функции F (x), которая в некотором смысле близка к ѓ(x). И аналитическим выражением которой можно воспользоваться для вычисления, считая, что. Классический подход к решению данной задачи, а именно — построение приближенной функции основано на требовании строгого совпадения значений ѓ(x) и F (x) в xi, при данная функция — интерполируема, а — узлы интерполяции. Как правило, интерполяция функции F (x) отыскивается в виде полинома в степени не больше n.

Значения совпадают со значениями заданной функции в узлах интерполяции.

Интерполирование геометрически обозначает необходимость нахождения алгебраической кривой вида yn, проходящую через систему точек. Значения и значения исходной функции должны быть одинаковы в узлах интерполяции.

Пусть:, , тогда многочлен Лагранжа будет иметь следующий вид:

В соответствии с заданием получим:

Подставив значения, получим:

Теперь подставим значения в поучившийся многочлен. Значения «x» возьмем из таблицы, взяв шаг равный 0,02.

3.2 Расчет погрешности интерполяции

Если известно выражение интерполируемой функции ѓ(х), то можно применить формулу для оценки погрешности интерполирования, как погрешности метода. Остаточный член интерполяционного многочлена имеет следующий вид:

.

Предполагая, что ѓ(х) имеет производную до n+1 порядка включительно, можно предположить, оценивая формулу:

В связи с тем, что формулы Ньютона и Лагранжа — различны способы записи одного и того же интерполяционного многочлена, то для подсчета погрешности интерполяции может быть использована одна и та же формула:

Исходя из задания, формула погрешности будет выглядеть так:

Подставив данные, получим следующие значения погрешностей:

3.3 Таблица данных 4

0

1

0

0,02

1,64 286

0,668

0,04

1,141 542

0,1 142

0,06

1,231 044

0,1 437

0,08

1,332 232

0,1 566

0,1

1,444 705

0,1 558

0,12

1,568 225

0,1 408

0,14

1,702 716

0,1 150

0,16

1,848 264

0,811

0,18

2,5 116

0,418

0,2

2,173 681

0

0,22

2,354 529

0,414

0,24

2,548 393

0,793

0,26

2,756 166

0,1 110

0,28

2,978 905

0,1 339

0,3

3,217 826

0,1 455

0,32

3,474 310

0,1 442

0,34

3,749 897

0,1 289

0,36

4,46 289

0,992

0,38

4,365 351

0,556

0,4

4,709 109

0

0,42

5,79 751

0,648

0,44

5,479 626

0,1 347

0,46

5,911 245

0,2 041

0,48

6,377 281

0,2 662

0,5

6,880 570

0,3 131

0,52

7,424 106

0,3 358

0,54

8,11 049

0,3 247

0,56

8,644 717

0,2 705

0,58

9,328 593

0,1 644

0,6

10,66 320

0

0,62

10,861 702

0,2 259

0,64

11,718 706

0,5 109

0,66

12,641 461

0,8 445

0,68

13,634 256

0,12 046

0,7

14,701 543

0,15 541

0,72

15,847 937

0,18 350

0,74

17,78 210

0,19 625

0,76

18,397 302

0,18 174

0,78

19,810 310

0,12 362

0,8

21,322 495

0

0,82

22,939 279

0,21 793

0,84

24,666 245

0,56 758

0,86

26,509 139

0,109 695

0,88

28,473 868

0,186 701

0,9

30,566 501

0,295 448

3.4 График 3 — значений y (х), F (X) и P (x)

4. Анализ полученных результатов

Интегрирование методом Эйлера-Коши подтвердило то, что данный метод обладает достаточно высокой точностью. Погрешность вычислений метода Эйлера-Коши зависит от шага h и пропорциональна шагу h во второй степени. Поэтому метод Эйлера-Коши является методом второго порядка. Погрешность не превысила указанной величины.

В результате аппроксимирования были вычислены значения и построена приближающая функция F (x). Значения полученной функции, как и следует из задачи аппроксимирования, получились достаточно близки к табличным. Найденная погрешность аппроксимации была в пределах нормы.

В ходе интерполирования с использованием многочлена Лагранжа была выполнена задача по построению приближенной функции к физической величине f (x) по известным значениям в некоторых точках.

Заключение

дифференциальный уравнение алгоритм многочлен

При выполнении данной курсовой работы осуществлено построение математической модели, описывающей процесс решения дифференциального уравнения. На её основе разработан алгоритм и написана программа.

При построении математической модели произведен расчет значений дифференциального уравнения с шагом h и с шагом h/2, выполнена оценка погрешности вычислений, осуществлена аппроксимация решений дифференциального уравнения. По полученным данным составлена система уравнений.

Используя метод Гаусса, найдены решения данной системы. Затем построен интерполяционный многочлен.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой