Построение решений дифференциальных уравнений в виде степенных рядов

Тип работы:
Курсовая
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Построение решений дифференциальных уравнений в виде степенных рядов

Курсовая работа

Исполнитель

Студентка группы М-22 Касьянович А. В.

Научный руководитель

Профессор, к. ф. — м. наук Мироненко В. И.

Гомель 2013

Содержание

  • Введение
  • 1. Понятие о голоморфном решении задачи Коши
  • 2. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши
  • 2.1 Теорема Коши
  • 2.2 Случай линейного уравнения. Выбор начальных данных. Радиус сходимости ряда, представляющего решение
  • 3. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов
  • 4. Интегрирование однородного линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов
  • 5. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов
  • 6. Уравнение Бесселя
  • Заключение
  • Список использованных источников

Введение

Дифференциальным уравнением называется равенство, содержащее независимые переменные, искомую функцию и её производные. При этом независимые переменные всегда предполагаются вещественными, а рассматриваемые функции — вещественными и однозначными. Порядок старшей производной, входящей в состав уравнения, называется порядком уравнения. Если независимая переменная только одна, то уравнение называется обыкновенным. В противном случае оно называется уравнением с частными производными. В теории дифференциальных уравнений изучаются также системы дифференциальных уравнений.

Теоретической основой нахождения решений дифференциальных уравнений в виде степенных рядов является теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши.

Ввиду большой важности многих дифференциальных линейных уравнений второго порядка для приложений, в тех случаях, когда их интегрирование при помощи элементарных функций не удаётся, их решения вводятся в качестве новых трансцендентных функций. Таковы, например, функции Бесселя первого и второго рода — два линейно независимых решения уравнения Бесселя. Для определения этих функций часто пользуются представлением решения уравнения в виде степенного ряда по возрастающим степеням, где — начальное значение. В аналитической теории дифференциальных уравнений доказывается, что если коэффициенты уравнения являются многочленами или степенными рядами из целых неотрицательных степеней , причём не равно нулю, то решения уравнения тоже выражаются сходящимися степенными рядами по целым неотрицательным степеням . Не доказывая здесь этого общего положения, мы сумеем в каждом отдельном случае доказать сходимость рядов, представляющих решения данного уравнения.

задача коши дифференциальное уравнение

1. Понятие о голоморфном решении задачи Коши

Напомним сначала определение голоморфной функции.

Функция называется голоморфной в точке, если она разложима в некоторой окрестности этой точки в степенной ряд по степеням:

(1. 1)

В этом случае говорят также, что допускает в области аналитическое представление в виде степенного ряда по степеням.

При этом на и на представляющий её степенной ряд налагаются в указанной окрестности три условия: определена, т. е. имеет конечное значение, ряд сходится и его сумма совпадает с.

Рассмотрим примеры голоморфных функций.

Пример 1.

Функции, , голоморфны в точке, т.к. известно:

, ,

Причём ряды справа сходятся при.

Пример 2.

Полином от, , , — целые функции. В частности, при имеем известные разложения:

Причём ряды справа сходятся при всех.

Пример 3.

Функция является голоморфной в точке, т.к.

Причём ряд справа сходится в области.

Важным частным случаем голоморфных функций являются функции, для которых представление (1. 1) имеет место в окрестности любой точки, а ряд сходится при всех значениях. Такие функции называются целыми. (Пример 2.)

Данное выше определение голоморфности функции распространяется на случай функции, зависящей от n независимых переменных. Последняя называется голоморфной в точке, если

Где ряд справа сходится в области (пример 3.)

Вернёмся к функции, зависящей от одной независимой переменной. Из теории степенных рядов известно, что если допускает разложение (1. 1), то это разложение единственно; причём коэффициенты выражаются через значения и её производных в точке по известным формулам

Поэтому разложение (1. 1) можно переписать в виде

(1. 2)

Ряд справа называется рядом Тейлора для функции в точке.

Таким образом, всякий сходящийся степенной ряд Тейлора для своей суммы, и мы можем говорить, что функция голоморфна в точке, если она допускает в окрестности этой точки разложение в ряд Тейлора. В частности, функция, для которой имеет место разложение

голоморфна в точке 0.

Из разложения (1. 2) следует, что функция, голоморфная в точке, допускает следующее асимптотическое представление при:

Где — бесконечно малая функция при более высокого порядка малости, чем.

В частности, при имеем асимптотическое представление

Отбросив все члены ряда Тейлора (1. 2), кроме свободного и члена с первой степенью разности, получаем линеаризацию функции в точке:

(1. 3)

Геометрически (рис. 1. 1) здесь речь идёт о замене отрезка графика функции в достаточно малой окрестности точки отрезком касательной (1. 3) к нему в точке, Совершаемая при этом погрешность будет иметь порядок при , т. е. является бесконечно малой функцией при более высокого порядка малости, чем.

Рис. 1.1 Рис. 1. 2

Обратимся теперь к задаче Коши.

Рассмотрим сначала задачу Коши для уравнения первого порядка в нормальной форме:

(1. 4)

Говорят, что задача (1. 4) имеет решение

(1. 5)

голоморфное в точке (т.е. при начальном значении независимой переменной), если функция (1. 5) голоморфна в точке, т. е. представима в виде (1. 1):

Или

(1. 6)

(здесь свободный член есть начальное значение решения (1. 5) при).

Линеаризация решения задачи Коши (1. 4) в точке имеет вид

Или

(т.к.).

Рассмотрим пример, в котором решение задачи Коши представимо в виде сходящегося степенного ряда.

Пример 4.

Найти голоморфное решение задачи Коши

(1. 7)

т.е. нужно найти функцию, которая удовлетворяла бы начальному условию, дифференциальному уравнениюлегко интегрируется, то мы сначала найдём искомое решение, а потом попытаемся представить его в виде ряда по степеням.

Интегрируя уравнение, имеем

Удовлетворяя начальному условию, находим, что. Следовательно, искомым решением будет

(1. 8)

Это решение представимо в окрестности начального значения , т. е. в окрестности нуля, известным степенным рядом, а именно геометрическим рядом:

(1. 9)

Заметим, что решение (1. 8) определено в более широком интервале, так что ряд (1. 9) дает аналитическое представление не всего решения (1. 8), а лишь сужения его на интервал.

Линеаризацией в точке 0 будет

(см. рис. 1. 2).

Для непосредственного нахождения голоморфного решения поставленной задачи Коши (1. 7) можно использовать либо метод последовательного дифференцирования данного дифференциального уравнения, основанный на представлении решения в виде ряда Тейлора (ибо всякий сходящийся степенной ряд есть ряд Тейлора для его суммы), либо метод неопределенных коэффициентов. Рассмотрим оба эти метода.

Представляя искомое решение в виде ряда Тейлора по степеням, имеем

(1. 10)

Свободный член нам известен из начального условия. Коэффициент при можно найти из дифференциального уравнения, положив в его обеих частях; приняв во внимание начальное условие, получим

.

Далее, дифференцируя обе части уравнения по (при этом рассматривается как сложная функция от), имеем:

(1. 11)

Полагая здесь и заменяя y и их значениями при, получим

Дифференцируя (1. 11) по, найдем:

Откуда, полагая, получим

Аналогично найдем, Подставляя значение и найденные значения производных от у в точке в (1. 10), получим снова разложение (1. 9).

В методе неопределенных коэффициентов голоморфное решение задачи Коши (1. 7) ищется согласно (1. 6) в виде

(1. 12)

Где — неопределенные коэффициенты, значения которых определяются подстановкой (1. 12) в дифференциальное уравнение и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях в левой и правой частях полученного равенства (предполагая, что ряд (1. 12) сходится, и, используя известную теорему о тождестве степенных рядов). Имеем

Подставляя (1. 12) в, получим

Выполняя, справа операцию возведения степенного ряда в квадрат, получим

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:

Определяя отсюда последовательно найдем, Подставляя найденные значения в ряд (1. 12), получим искомое решение в виде (1. 9).

Рассмотрим теперь задачу Коши для уравнения n-го порядка в нормальной форме

(1. 13)

Говорят, что задача (1. 13) имеет решение

(1. 14)

Голоморфное в точке, если функция (1. 14) голоморфна в точке, т. е. представима в виде (1. 1):

Или

(1. 15)

(Здесь заданные начальные значения решения (1. 13) при). Коэффициенты так же, как и в случае построения голоморфного решения задачи Коши для уравнения первого порядка, могут быть найдены из самого дифференциального уравнения и уравнений, полученных из него последовательным дифференцированием, или методом неопределенных коэффициентов.

Заметим, что формула (1. 6) есть частный случай формулы (1. 15) при n = 1. В этом последнем случае нам заранее известно лишь одно первое слагаемое. Обратимся, наконец, к задаче Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений

(1. 16)

Решение этой задачи

(1. 17)

Называется голоморфным в точке, если все функции (1. 17) голоморфны в этой точке. Оно имеет вид

Где — заданные числа (начальные значения искомых функций).

2. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши

2.1 Теорема Коши

Начнем с уравнения первого порядка в нормальной форме. Пусть поставлена задача Коши (1. 4)

Оказывается, если функция голоморфна в точке, то задача Коши (1. 4) имеет голоморфное в точке решение, и притом единственное. Это решение имеет вид (1. 6),

Можно считать начальные данные, нулевыми (= 0, = 0), ибо этого всегда можно добиться преобразованием. Таким образом, вместо задачи Коши (1. 4) мы можем рассматривать задачу

(2.1. 1)

Теорема Коши. Если голоморфна в точке (0, 0), т. е. допускает разложение

(2.1. 2)

То задача Коши (2.1. 1) имеет единственное решение, голоморфное в точке 0:

(2.1. 3)

Доказательство. Утверждение теоремы, будет доказано, если покажем, что все коэффициенты Сk могут быть найдены (единственным образом) и что ряд (2.1. 3) сходится в указанной окрестности точки 0. В связи с этим разобьем доказательство на две части.

Часть 1 (построение (единственного) формального решения (2.1. 3)). Будем искать (2.1. 3) методом неопределенных коэффициентов. Подставляя ряд (2.1. 3) в уравнение

(2.1. 4)

Получим

(2.1. 5)

(Здесь выполнены формальные операции почленного дифференцирования степенного ряда и подстановки ряда в ряд, законность которых следует из сходимости ряда (2.1. 3), которую мы восстановим во второй части доказательства.)

Считая равенство (2.1. 5) тождеством (т.к.2.1. 3) — решение дифференциального уравнения (2.1. 4) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, будем иметь

Мы видим, что С1 и С2 выражены через некоторые первые коэффициенты разложения функции.

Аналогично, приравнивая в (2.1. 5) коэффициенты при, найдем

(2.1. 6)

Где Рk — полиномы от своих аргументов с положительными коэффициентами (у Р2 эти коэффициенты равны).

Таким образом, формальное решение (2.1. 3) построено. Из единственности определения Сk следует, что если голоморфное решение задачи Коши (1. 4) существует, то оно единственно.

Часть 2. Докажем теперь, что ряд (2.1. 3) сходится в некоторой окрестности точки 0. Для этого достаточно построить степенной ряд, мажорирующий ряд (2.1. 3), т. е. ряд

(2.1. 7)

С положительными коэффициентами, сходящийся в некоторой области

(2.1. 8)

И такой, что

(2.1. 9)

Тогда, как известно, ряд (2.1. 3) будет заведомо сходиться в той же области (2.1. 8)

Для построения ряда (2.1. 7) рассмотрим мажорантную задачу Коши:

(2.1. 10)

Где — некоторая мажоранта функции. В качестве возьмем мажоранту Коши

Где, а M — сумма ряда

(2.1. 11)

(который сходится вследствие абсолютной сходимости ряда (2.1. 2) в области), Мажоранта F конструируется на основе оценки Коши коэффициента сходящегося степенного ряда (2.1. 2)

(2.1. 12)

Вытекающей из (2.1. 11).

Взяв ряд по степеням и y с коэффициентом Атп, получим

Мажорантная задача Коши (2.1. 10) примет вид

(2.1. 13)

Дифференциальное уравнение, входящее в задачу (2.1. 13), называется мажорантным уравнением для уравнения задачи (1. 4)

Мажорантная задача (2.1. 13) имеет единственное решение. Найдём его.

Интегрируя мажорантное уравнение, имеем

, (2.1. 14)

Удовлетворяя начальному условию, найдем. Подставляя это значение С в (2.1. 14) и умножая обе части на, получим

Разрешая относительно, найдем

(2.1. 15)

Это решение голоморфно в точке 0 как суперпозиция двух голоморфных функций:

Таким образом, решение (2.1. 15) представимо в виде

(2.1. 16)

Где ряд справа в некоторой окрестности точки 0 (по определению голоморфной функции). Оценим область сходимости ряда (2.1. 16).

Согласно известной теореме Абеля достаточно ограничиться исследованием положительных значений. Так как радиус сходимости логарифмического и биномиального рядов равен 1, то допустимые значения должны удовлетворять системе двух неравенств

(2.1. 17)

Последнее неравенство следует из неравенства с учётом того, что

Решая второе из неравенств (2.1. 17), имеем

Первое из неравенств (2.1. 17) выполняется автоматически. Таким образом, ряд (2.1. 16) сходится в области

Остается показать, что все коэффициенты ряда (2.1. 16) положительны и что имеют место оценки (2.1. 9).

Но это следует из того, что можно найти методом неопределенных коэффициентов по тому же алгоритму, что и Сk. Получим

(2.1.6 `)

Где Pk — те же самые полиномы, что и в (2.1. 6), только аргументы другие: не коэффициенты разложения функции, а коэффициенты разложения мажоранты F. Из формулы (2.1.6 `) в силу положительности коэффициентов полиномов Pk и оценок (2.1. 12) следует, что все положительны и мажорируют Ck, т. е. имеют место оценки (2.1. 9). Мажорирующий ряд (2.1. 7) построен.

Таким образом, ряд (2.1. 16) мажорирует формальное решение (2.1. 3), чем завершается доказательство теоремы Коши.

2.2 Случай линейного уравнения. Выбор начальных данных. Радиус сходимости ряда, представляющего решение

Рассмотрим линейное уравнение, записанное в нормальной форме

(2.2. 1)

Мы видим, что его правая часть, являясь линейной функцией от у, голоморфна относительно у в любой точке. Поэтому для выполнимости условий теоремы Коши достаточно потребовать голоморфности p и q в точке, беря любым.

Будем по-прежнему считать, что

Итак, пусть поставлена задача Коши

(2.2. 2)

Предположим, что p и q голоморфны в точке 0:

(2.2. 3)

Утверждение. Задача Коши (2.2. 2) имеет единственное решение, голоморфное точке 0, причём ряд (2.1. 13), представляющий это решение, будет заведомо сходиться в той же самой области

(2.2. 4)

В которой сходятся ряды (2.2. 3), представляющие функции p и q.

Доказательство этого утверждения будем проводить по той же схеме, что и в общем случае. При этом окажется, что в силу линейности уравнения (2.2. 1) можно взять мажоранту, определенную в более широкой области, что и обеспечит сходимость решения (2.1. 3) в области (2.2. 4).

Сначала методом неопределенных коэффициентов строим формальное решение (2.1. 3). Окажется, что

(2.2. 5)

Для доказательства сходимости ряда (2.1. 3) воспользуемся мажорантой задачи Коши (2.1. 10), где F — мажоранта для функции (2.2. 1). Для построения мажоранты F достаточно заменить функции р и q их общей мажорантой Ф, в качестве которой можно взять

(2.2. 6)

Где

М — некоторое положительное число.

В самом деле, взяв положительное число, меньше, будем иметь

Поэтому

И ряды

Будут мажорировать ряды (2.2. 3). Поэтому в качестве общей мажоранты для p и q можно взять функцию (2.2. 6), где М = max (М1, М2).

Итак,

Или

Таким образом, в качестве мажорантной задачи Коши можно взять

Решая эту задачу, имеем

Откуда

Полученное решение, очевидно, голоморфно в точке 0:

(2.2. 7)

Далее, так же как и в общем случае теоремы Коши, устанавливается, используя (2.2. 5), что

Поэтому ряд (2.2. 7) мажорирует формальный ряд (2.1. 3), вследствие чего ряд (2.1. 3) заведомо сходится в области. Но можно выбрать сколь угодно близким к. Поэтому ряд (2.1. 3) представляет решение задачи Коши во всём интервале (2.2. 4). Утверждение доказано.

На практике возможность построения голоморфного решения задачи Коши для линейного уравнения зависит от аналитических свойств и аналитической структуры функций р и q. Если, в частности, эти функции суть полиномы, то не только, но и можно задавать произвольно, а ряд

(2.2. 8)

представляющий решение, будет сходиться при всех. В случае, когда р и q являются отношениями полиномов, за можно брать любое число, не являющееся нулем знаменателя (только при таком выборе в качестве можно брать любое число); причём радиус сходимости ряда (2.2. 8) равен расстоянию от точки до ближайшего из нулей заменителя, включая комплексные. Наконец, если p и q — любые целые функции (не обязательно полиномы), то будем иметь ту же ситуацию, что и в случае полиномов: и — любые и ряд (2.2. 8) сходится при всех.

Отмеченные два преимущества линейных уравнений, относящиеся к выбору и, и области сходимости ряда (2.2. 8), имеют большое теоретическое и прикладное значение, значительно облегчая построение общей теории. Нелинейные уравнения такими свойствами не обладают. Мы это уже видели для уравнения (см. задачу Коши (1. 7)).

Доказанная теорема Коши и ее линейный случай распространяются на нормальную систему дифференциальных уравнений.

Пусть поставлена задача Коши (1. 16)

Предположим, что все fт голоморфны точке ; тогда существует единственное решение задачи Коши (1. 16), голоморфное точке .

В случае линейной системы задача Коши

При условии, что Ртl (х) и fт (х) голоморфны в точке , а - любые заданные числа, имеет единственное решение, голоморфное в точке ; причём ряды

Представляющие это решение, заведомо сходятся в той же области, в которой сходятся ряды, представляющие Ртl (х) и fт (х).

Для уравнений высших порядков (и систем таких уравнений) тоже имеет место теорема существования и единственности голоморфного решения задачи Коши.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения n-го порядка в нормальной форме (1. 13).

Если функция f голоморфна в точке , то задача Коши (1. 13) имеет единственное решение, голоморфное в точке .

Это следует из того, что задача Коши (1. 13) равносильна задаче Коши для соответствующей нормальной системы.

(2.2. 9)

Существование и единственность голоморфного решения, которой обеспечено теоремой существования и единственности голоморфного решения нормальной системы, ибо правые части системы (2.2. 9) голоморфны в начальной точке.

В случае линейного уравнения n-го порядка задача Коши

(2.2. 10)

При условии, что функции Р1, …, Рп и f голоморфны в точке, а - любые заданные числа, имеет единственное решение, голоморфное точке , а ряд (1. 15)

Представляющий это решение, заведомо сходится в той же области, в которой сходятся ряды, представляющие функции Р1, …, Рп и f.

Это утверждение следует из того, что задача Коши (2.2. 10) равносильна задаче Коши для соответствующей нормальной системы, которая на этот раз окажется линейной:

(2.2. 11)

Все коэффициенты этой (линейной) системы и функция голоморфны в точке. А тогда задача Коши (2.2. 11) имеет единственное решение у1, …, уn, голоморфное в точке, какие бы начальные значения искомых функций не взяли. В том числе существует у1 = у. Это решение представимо в виде ряда (1. 15)

3. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов

Пусть дано линейное уравнение второго порядка

(3. 1)

И требуется найти его решение, удовлетворяющее начальным условиям

(3. 1)

и голоморфное в точке, т. е. представимое в некоторой окрестности точки степенным рядом

(3. 3)

Из указанной выше теоремы Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши для линейного уравнения n-го порядка следует, что искомое решение заведомо существует и единственно, если точка является точкой голоморфности функций p, f и q. Что касается начальных данных и, то их можно брать любыми. Теорема Коши гарантирует также, что ряд (3. 3) сходится, по крайней мере, в той же области, в которой сходятся ряды по степеням, представляющие функции p, f и q.

Остается только найти коэффициенты Сk. Это всегда можно сделать, например, методом неопределенных коэффициентов, вычисляя и почленным дифференцированием ряда (3. 3) (которое законно, ибо этот ряд сходится в рассматриваемом интервале) и подставляя у, и в уравнение (3. 1), разложив предварительно p, q и f в ряды по степеням. Приравнивая в полученном тождестве коэффициенты при одинаковых степенях, придем к уравнениям относительно, которое всегда (последовательно) разрешимы. Заметим, что исследовать найденное решение (3. 3) на сходимость не требуется.

Она уже гарантирована теоремой Коши.

На деле (особенно если Сk не имеет удобной структуры) ограничивается вычислением нескольких коэффициентов Ck, чтобы обеспечить заданную точность приближенного решения задачи Коши (3. 1), (3. 2), получающегося из (3. 3) сохранением только первых членов ряда.

В частности, линеаризация решения задачи Коши (3. 1), (3. 2)

получающаяся из (3. 3) отбрасыванием всех степеней, начиная со второй, доставляется уже начальными условиями (3. 2) без использования самого дифференциального уравнения (3. 1), которое обеспечивает за счёт голоморфности финкций p, q и f справедливость асимптотического представления точного решения задачи Коши (3. 1), (3. 2):

Коэффициенты Сk ряда (3. 3) можно найти также методом последовательного дифференцирования.

При этом мы исходим из представления голоморфного решения задачи Коши (3. 1), (3. 2) в виде ряда Тейлора, т. е. переписываем (3. 3) в виде

Значение можем найти из уравнения (3. 1), подставив в него вместо, у и их начальные значения, и. Затем, дифференцируя (3. 1), имеем

Заменяя здесь, у,, числами , ,, найдем и т. д.

Пример 5. Найти голоморфное решение уравнения

(3. 4)

Удовлетворяющее начальным условиям

Так как

То искомое решение существует, единственно и имеет вид

(3. 5)

причем ряд справа заведомо сходится при.

Найдем. Перепишем уравнение (3. 4) в виде

(3. 6)

Разложив коэффициент при у в ряд по степеням. Вычислим и. Имеем

Подставим разложения y и в дифференциальное уравнение (3. 6).

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:

Из этой системы находим

Искомым решением будет

(3. 7)

Линеаризация этого решения имеет вид.

Найдем коэффициенты Сk методом последовательного дифференцирования. Имеем

Значение находим из уравнения (3. 4), полагая

Получим

откуда. Дифференцируя (3. 4), имеем

Откуда

Далее, имеем

Откуда

Заменяя в (3. 5) С2, С3, С4, … Их значениями, снова получим (3. 7)

4. Интегрирование однородного линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов

Рассмотрим однородное линейное уравнение порядка

(4. 1)

Предположим, что его коэффициенты p и q голоморфны в некоторой точке, т. е. и представимы в окрестности этой точки степенными рядами по степеням, сходящимися в некоторой области.

Тогда, пользуясь теоремой Коши, можно построить фундаментальную систему решений, голоморфную в этой точке, т. е. состоящую из голоморфных решений — голоморфный базис линейного пространства решений. Обычно строят голоморфный базис (у1, у2), нормированный в точке, т. е. линейно независимые решения у1 и у2 с начальными условиями

Так что у1 и у2 представимы степенными рядами

сходящимися в некоторой окрестности точки, что позволяет согласно основной теореме теории линейных уравнений построить общее решение

В области

Таким образом, при сделанном предположении относительно голоморфности коэффициентов уравнения (4. 1) всегда можем проинтегрировать последнее при помощи степенных рядов.

Рассмотрим два модельных примера.

Пример 6.

Проинтегрировать при помощи степенных рядов уравнение

Построим сначала голоморфный базис (у1, у2), нормированный в точке 0, которая (как и любая точка) является точкой голоморфности коэффициента при у. Теорема Коши для случая линейного уравнения гарантирует существование и единственность этого базиса (как, впрочем, и любо другого); причем ряды, представляющие функции у1 и у2, заведомо сходятся при всех, представляя, таким образом, целые функции. Нам остается только построить у1 и у2.

Строим у1 в виде

Будем искать Сk методом последовательного дифференцирование, рассматривая их как коэффициенты Тейлора для функции у1

Дело сводится, таким образом, к нахождению.

Из тождества

(4. 2)

Находим

Дифференцируя (4. 2), имеем

Откуда

Далее, имеем

Легко видеть, что

Поэтому

Аналогично найдем

Как и следовало ожидать, ряды для у1, у2 сходятся при всех, а их сумы и — целые функции.

Легко непосредственной проверкой убедиться, что функция и образуют голоморфный в точке 0 базис, нормированный в этой точке.

Используя найденный голоморфный базис, получаем общее решение

В области

(4. 3)

Пример 7. Построить фундаментальную систему решений уравнения

(4. 4)

нормированную в точке 0 в виде степенных рядов.

Известно, что уравнение (4. 4) имеет фундаментальную систему решений.

Оба эти решения голоморфны в точке 0. Но эта фундаментальная система не нормирована в точке 0.

Для построения нормированной в точке 0 фундаментальной систему у1, у2 можно воспользоваться общим решением

(4. 5)

Получим.

Найдем эту фундаментальную систему непосредственно.

Имеем

Поэтому

Аналогично находим

Снова получили ту же самую фундаментальную систему, чего и следовало ожидать, в силу единственности фундаментальной системы решений, нормированный в данной точке.

Используя фундаментальную систему, можем записать обще решение уравнения (4. 4) в виде

Это общее решение, так же как и общее решение (4. 5), определено в области (4. 3).

5. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов

Пример 8.

Найти общее решение уравнения.

Ищем это решение в виде степенного ряда по степеням:

Формальным дифференцированием находим:

Подставляем в уравнение и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

Из этих уравнений находим:

Коэффициенты и не определяются этими уравнениями, это — два произвольных постоянных. Общее решение имеет вид:

С помощью элементарных признаков легко установить сходимость рядов и для всех значений; по общим свойствам степенных рядов эти ряды, так же как полученные из них формальным дифференцированием, сходятся равномерно на любом конечном отрезке оси. Следовательно, формальное получение этих решений оправдано, и они являются, в самом деле, решениями данного уравнения.

Метод интегрирования линейных дифференцированных уравнений рядами, расположенными по степеням, применим также в некоторых случаях, когда коэффициент обращается в нуль при. Однако получаемые при этом степенные ряды (сходящиеся) содержат, вообще говоря, не целые степени, а имеет вид:

(5. 1)

где r — некоторое число, вообще не целое. Уже из (5. 1) ясно, что полное значение такого разложения может обнаружиться лишь при рассмотрении х как комплексного переменного, так как при и дробном или иррациональном r выражение в действительной области может не иметь смысла. Теория Фукса дает условия, при которых уравнение n-го порядка имеет n частных решений вида (5. 1) или еще более общего — произведения многочлена от на ряд этого вида. Мы опять ограничимся рассмотрением одного случая, имеющего, однако, большой теоретический интерес, — так называемого гипергеометрического уравнения.

Рассмотрим уравнение вида:

(5. 2)

Корни многочлена второй степени, стоящего множителем при, пусть будут различны и действительны (однако ограничение отпадет, если рассматривать переменную в комплексной области). Чтобы не вводить мнимых величин, мы предположим также, что А, В, C, D, E — действительные числа. В таком случае можно переписать уравнение (5. 2) в виде:

(5. 2')

где и — корни многочлена Это показывает, что коэффициент при обращается в нуль при значениях и. Преобразуем независимое переменное так, чтобы эти значения были 0 и 1. для этого вводим новое переменное z, связанное с соотношением:

Тогда

,

и мы получаем:

.

Вводя обозначения, C=б+в+1, E=бв и обозначения независимое переменное снова через, мы получим гипергеометрическое уравнение в обычном его виде:

(5. 3)

Пример 9.

Привести к виду (5. 3) уравнение Лежандра замена переменного дает:

Здесь

Мы видим, что уравнение (5. 3) зависит от трех параметров: б, в, г, причем параметры б и в входят симметрично. Найдем решения уравнения (5. 3) в виде рядов по степеням. подставляем в уравнение ряды:

(5. 4)

последний из рядов (5. 4) умножаем на, второй ряд — на, третий — на — бв, складываем, собираем коэффициенты при одинаковых степенях и приравниваем их к нулю. Низшая степень в результате будет; приравниваем нулю коэффициент при:

Без ограничения общности можно положить. тогда для r получается кратное уравнение:

, откуда

Исследуем решение, соответствующее значению. Ряды (5. 4) перепишутся так:

(5. 4')

подстановка в уравнение (5. 3) рядов (5. 4') дает свободный член в виде, откуда, предполагая г?0,

Собирая члены при, получим:

Или

Следовательно (если г?-1),

Вообще, члены, содержащие, дают:

Откуда (если г?0, — 1, — 2,., — n)

Полагая произвольное постоянное А0=1, получаем, в предложении, что г не равно нулю или целому отрицательному числу, частное решение (5. 3) — так называемый гипергеометрический ряд:

(5. 5)

Признак сходимости Даламбера показывает, что ряд (5. 5) сходится при; как известно из теории степенных рядов, он сходится равномерно в любом замкнутом интервале, внутреннем к (-1, +1), и допускает почленное дифференцирование любое число раз; следовательно, он удовлетворяет гипергеометрическому дифференциальному уравнению (5. 3). Итак, первое частное решение уравнения (5. 3) есть

чтобы получить второе частное решение, можно было бы воспользоваться рядами (5. 4), полагая в них. Но мы скорее придем к цели, если в уравнение (5. 3) введем новую функцию, связанную с y соотношением:

тогда

Подставляем в уравнение (5. 3):

Или

т.е. мы получили опять гипергеометрическое уравнение, в которое вместо параметров б, в, г входят соответственно б+1-г, в+1-г, 2-г.

Его решение в виде ряда, начинающегося с члена, не содержащего, есть F (б+1-г, в+1-г, 2-г, х). Итак, второе частное решение уравнения (5. 3) есть

Оно имеет смысл, если 2-г не равно нулю или целому отрицательному числу. В частности, оно имеет смысл всегда, когда г равно нулю или целому отрицательному числу, т. е. когда теряет смысл y1. мы не останавливаемся на нахождении второго частного решения в указанных исключительных случаях.

Гипергеометрический ряд, содержащий три параметра, б, в, г, дает при частных значениях этих параметров весьма большое число различных элементарных функций. Например, при б=г получаем:

F (б, в, г;) =

Далее, при имеем

F (1, 1, 2;) =

Заметим, наконец, что при б или в равном целому отрицательному числу-n, ряд (5. 5) обрывается на члене, содержащем, т. е. является многочленом относительно. так, например, при n целом одно решение уравнения Лежандра является многочленом; с точностью до постоянного множителя An этот так называемый многочлен Лежандра выражается так:

Pn () =

Метод, примененный нами для интегрирования гипергеометрического уравнения, применим к большому числу уравнений второго порядка, встречающегося в физике и механике. Так, например, для уравнения Бесселя:

в случае если n не равно целому числу, он дает два ряда по возрастающим степеням, начинающихся соответственно с и; эти ряды определяют функции Бесселя и; общее решение уравнения Бесселя есть

Если n равно целому числу (можно принять n?0), то только одно частное решение выражается степенным рядом: функция Бесселя первого рода; второе частное решение содержит еще 1; оно называется функцией Бесселя второго рода.

Тот же способ без изменений может быть применен к нахождению решений уравнений порядка выше второго.

6. Уравнение Бесселя

В качестве примера приложения построенной теории рассмотрим уравнение Бесселя:

(6. 1)

Где

. Особая точка z =0 является регулярной. Других особенностей в конечной части плоскости нет.

В уравнении (6. 1), поэтому определяющее уравнение имеет вид

,

Т.е. и.

I. Пусть 2n — не целое число.

Уравнение (6. 1) имеет фундаментальную систему решений

Где — целые функции, причём запишем в виде обобщённого степенного ряда

(6. 2)

Дифференцируя (6. 2) и подставляя выражения для и в уравнение (6. 1), домноженное на, получаем

(6. 3)

Сокращаем (6. 3) на и приравниваем нулю коэффициент при в левой части (6. 3). Имеем:

При, следовательно, c0 произвольно, (6. 4)

При, следовательно, с1 =0; (6. 5)

При следовательно,

(6. 6)

Формулы (6. 4) — (6. 6) позволяют последовательно определить все коэффициенты сk. При k нечётном сk=0.

Поскольку в рассматриваемом случае 2n — не целое число, коэффициенты обобщённого степенного ряда

, (6. 7)

Также определяются по формулам (6. 4) — (6. 6), если в них заменить n на — n.

IIa. Пусть 2n — целое нечётное число: 2n=2p+1. коэффициенты ряда (6. 2) определяются, как и в случае I, по формулам (6. 4) — (6. 6). Коэффициенты сk ряда (6. 7) при k< 2p+1 определяются по тем же формулам с заменой n на — n. Для определения с2p+1 получаем уравнение

,

Но так как по доказанному, то можно взять произвольным. Полагая, остальные коэффициенты определяем по старым формулам, причём нечётные коэффициенты по-прежнему равны нулю. Таким образом, когда 2n нечётно, уравнение Бесселя не имеет решений, содержащих логарифм.

IIб. Пусть 2n чётное: n=p. Коэффициенты ряда (6. 2) определяются по старому правилу. При определении коэффициента ряда (6. 7) встретится затруднение, так как он должен удовлетворять условию

,

не имеющему решений, так как

.

Это означает, что линейно независимого с решения в виде обобщённого степенного ряда не существует. Из общей теории следует, что линейно независимое решение должно содержать логарифм.

При определённом выборе произвольной постоянной с0 решения уравнения Бесселя, представляемые обобщёнными степенными рядами (6. 2) и (6. 7), называются функциями Бесселя первого рода. Они линейно независимы при. Если же, то линейно независимое с (6. 2) решение, содержащее логарифм, называется при определённом выборе произвольной постоянной функцией Бесселя второго рода.

Заключение

Во всех рассмотренных случаях в первом пункте голоморфные решения задачи Коши представимы рядами Тейлора.

Следует иметь в виду, что всегда представляется весьма перспективным иметь голоморфное решение задачи Коши, которое является источником приближенных решений. Здесь степенной ряд выступает как поисковый аналитический аппарат, представляющий собой решение задачи Коши. Получающиеся при этом степенные ряды, как правило, не суммируются, т. е. их суммы не являются элементарными функциями, так что в этом случае дифференциальные уравнения являются источником новых элементарных функций.

Иногда степенные ряды, представляющие голоморфные решения дифференциальных уравнений, обрываются, обращаясь в полиномы.

Рассмотренный способ интегрирования дифференциальных уравнений распространяется и на системе дифференциальных уравнений с опорой на теорему Коши. Наиболее успешно он применяется к интегрированию однородных линейных систем, для чего, так же как и в случае однородного линейного уравнения, достаточно построить фундаментальную систему решений, голоморфную в некоторой точке голоморфности коэффициентов системы (обычно строят фундаментальную систему решений, нормированную в этой точке).

Список использованных источников

1. В. В. Степанов «Курс Дифференциальных Уравнений» (издание шестое), Государственное издательство технико-теоретической литературы, Москва 1953, стр. 245−250.

2. Н. М. Матвеев «Дифференциальные уравнения», Москва «Просвещение» 1988, Глава 8, стр. 194−215.

3. Н. М. Матвеев «Дифференциальные уравнения» (издание четвёртое, дополненное), Минск, 1976, стр. 5.

4. Ю. Н. Бибиков «Курс обыкновенных дифференциальных уравнений», Москва «Высшая школа», 1991, стр. 208−210.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой