Проблема когерентности световых волн

Тип работы:
Курсовая
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Оглавление

Введение

Понятие когерентности

Источники когерентных волн

Лазер

Заключение

Литература

Введение

Когерентность световых волн играет большую роль в настоящее время, т.к. интерферировать могут только когерентные волны. Интерференция света имеет широкую область применения. Это явление используют при: контроле качества поверхностей, создании светофильтров, просветляющих покрытий, измерении длины световых волн, точных измерения расстояния и др. На явлении интерференции света основана голография.

Когерентные электромагнитные колебания дециметрового-миллиметрового диапазонов длин волн преимущественно используются в таких областях, как радиоэлектроника и связь. Но за последние 10−15 лет все более быстрым темпом возрастает их применение в нетрадиционных областях, среди которых видное место занимают медицина и биология.

Целью нашей работы является изучение проблемы когерентности световых волн.

Задачами данной работы являются:

1. Изучение понятия когерентности.

2. Изучение источников когерентных волн.

3. Выявление областей науки, в которых используется данное явление.

Понятие когерентности

Когерентностью называется согласованное протекание нескольких колебательных или волновых процессов. Степень согласованности может быть различной. Соответственно можно ввести понятие степени когерентности двух волн. Различают временную и пространственную когерентность. Мы начнем с рассмотрения временной когерентности. Временная когерентность. Описанный в предыдущем параграфе процесс интерференции является идеализированным. В действительности этот процесс гораздо более сложен. Это обусловлено тем, что монохроматическая волна, описываемая выражением

A cos (t--kr+)

где А, и -- константы, представляют собой абстракцию. Всякая реальная световая волна образуется наложением колебаний все- возможных частот (или длин волн), заключенных в более или менее узком, но конечном интервале частот (соответственно длин волн). Даже для света, который считается монохроматическим (одно- цветным), интервал частот До является конечным. Кроме того, амплитуда волны, А и фаза, а претерпевают со временем непрерывные случайные (хаотические) изменения. Поэтому колебания, возбуждаемые в некоторой точке пространства двумя накладывающимися друг на друга световыми волнами, имеют вид

, (1)

причем хаотические изменения функций, , и являются совершенно независимыми. Для простоты будем считать амплитуды и, а постоянными. Изменения частоты и фазы можно свести либо к изменению одной лишь фазы, либо к изменению одной лишь частоты. Представим функцию

f (t)= (2)

в виде

где -- некоторое среднее значение частоты, и введем обозначение: Тогда формула (2) примет вид

(3)

Мы получили функцию у которой хаотические изменения претерпевает лишь фаза колебаний.

Другой стороны, в математике доказывается, что негармоническую функцию, например функцию (2), можно представить в виде суммы гармонических функций с частотами, заключенными в некотором интервале (см. формулу (4)).

Таким образом, при рассмотрении вопроса о когерентности возможны два подхода: «фазовый» и «частотный». Начнем с «фазового» подхода. Допустим, что частоты и в формулах (1) удовлетворяют условию: ==const, и выясним, какое влияние оказывает изменение фаз и. При сделанных предположениях интенсивность света в данной точке определяется выражением

где Последнее слагаемое в этой формуле носит название интерференционного члена. Всякий прибор, с помощью которого можно наблюдать интерференционную картину (глаз, фотопластинка и т. п.), обладает некоторой инерционностью. В связи с этим он регистрирует картину, усредненную по промежутку времени, необходимому для «срабатывания» прибора. Если за время множитель принимает все значения от --1 до +1, среднее значение интерференционного члена будет равно нулю. Поэтому регистрируемая прибором интенсивность окажется равной сумме интенсивностей, создаваемых в данной точке каждой из волн в отдельности,-- интерференция отсутствует, и мы вынуждены признать волны некогерентными.

Если за время значение остается практически неизменным, прибор обнаружит интерференцию, и волны надо признать когерентными.

Из сказанного следует, что понятие когерентности является относительны две волны могут вести себя как когерентные при наблюдении с одним прибором (с малой инерционностью) и как некогерентные при наблюдении с другим прибором (с большей инерционностью). Для характеристики когерентных свойств волн вводится время когерентности, которое определяется как такое время, за которое случайное изменение фазы волны (t) достигает значения порядка. За время колебание как бы забывает свою первоначальную фазу и становится некогерентным по отношению к самому себе.

Воспользовавшись понятием времени когерентности, можно сказать, что в тех случаях, когда постоянная времени прибора много больше времени когерентности накладываемых волн), прибор не зафиксирует интерференции. Если же прибор обнаружит четкую интерференционную картину. При промежуточных значениях четкость картины будет убывать по мере того, как растет от значений, меньших, до значений, больших.

Расстояние, на которое перемещается волна за время, называется длиной когерентности (или длиной цуга). Длина когерентности есть то расстояние, на котором случайное изменение фазы достигает значения ~п. Для получения интерференционной картины путем деления естественной волны на две части необходимо, чтобы оптическая разность хода была меньше, чем длина когерентности. Это требование ограничивает число видимых интерференционных полос, наблюдаемых по схеме на рис 1.

С увеличением номера полосы m разность хода растет, вследствие чего чекость полос делается все хуже и хуже. Перейдем к выяснению роли немонохроматичности световых волн. Допустим, что свет состоит из последовательности идентичных цугов частоты и длительности. При смене одного цуга другим фаза претерпевает беспорядочные изменения, вследствие чего цуги оказываются взаимно некогерентными. При этих предположениях дли-тельность цуга практически совпадает со временем когерентности.

В математике доказывается теорема Фурье, согласно которой любую конечную и интегрируемую функцию F (t) можно представить в виде суммы бесконечного числа гармонических составляющих с непрерывно изменяющейся частотой

(4)

Выражение (4) называется интегралом Фурье. Стоящая под знаком интеграла функция, А () представляет собой амплитуду соответствующей монохроматической составляющей. Согласно теории интегралов Фурье аналитический вид функции, А () определяется выражением

А () = (5)

где -- вспомогательная переменная интегрирования. Пусть функция F (t) описывает световое возмущение в некоторой точке в момент времени t, вызванное одиночным волновым цугом.

Тогда она определяется условиями:

F (t)= при

F (t)=0 при

График вещественной части этой функции дан на рис. 2. Вне интервала от-до +функция F (t) равна нулю. Поэтому выражение (5), определяющее амплитуды гармонических составляющих, имеет вид

После подстановки пределов интегрирования и несложных преобразований приходим к формуле

Интенсивность I () гармонической составляющей волны пропорциональна квадрату амплитуды, т. е. выражению

(6)

График функции (6) показан на рис. 3. Из рисунка видно, что интенсивность составляющих, частоты которых заключены в интервале

значительно превосходит интенсивность остальных составляющих. Это обстоятельство позволяет связать длительность цуга с эффективным частотным диапазоном фурье-спектра:

Отождествив со временем когерентности, придем к соотношению:

(7)

Из соотношения (7) следует, что чем шире интервал частот, представленных в данной световой волне, тем меньше время когерентности этой волны. Частота связана с длиной волны в вакууме соотношением. Продифференцировав это соотношение, найдем, что

(знак минус, получающийся при дифференцировании, мы опустили, кроме того, положили). Заменив в формуле (7) его выражением через и, получим для времени когерентности выражение

(8)

Отсюда для длины когерентности получается следующее значение:

(9)

Разность хода, при которой получается максимум m-го порядка, определяется соотношением:

Когда эта разность хода достигает значения порядка длины когерентности, полосы становятся неразличимыми. Следовательно, предельный наблюдаемый порядок интерференции определяется условием:

откуда

(10)

Из (10) следует, что число интерференционных полос, наблюдаемых по схеме, изображенной на рис. 1, возрастает при уменьшении интервала длин волн, представленных в используемом свете. Пространственная когерентность. Согласно формуле

k=

разбросу частот соответствует разброс значений k. Мы установили, что временная когерентность определяется значением. Следовательно, временная когерентность связана с разбросом значений модуля волнового вектора к. Пространственная когерентность связана с разбросом направлений вектора к, который характеризуется величиной.

Возникновение в некоторой точке пространства колебаний, возбуждаемых волнами с разными, возможно в том случае, если эти волны испускаются разными участками протяженного (неточечного) источника света. Допустим для простоты, что источник имеет форму диска, видимого из данной точки под углом (смотри рис. 4) видно, что угол характеризует интервал, в котором заключены орты. Будем считать этот угол малым. Пусть свет от источника падает на две узкие щели, за которыми находится экран (рис. 5). Интервал частот, испускаемых источником, будем считать очень малым, для того чтобы степень временной когерентности была достаточной для получения четкой интерференционной картины. Волна, пришедшая от участка поверхности, обозначенного на рис. 5 через О, создает нулевой максимум М в середине экрана. Нулевой максимум М'-, созданный волной, пришедший от участка О', будет смещен от середины экрана на расстояние х'. Вследствие малости угла и отношения d/l можно считать, что x'=/2. Нулевой максимум М", созданный волной, пришедшей от участка О", смещен от середины экрана в противоположную сторону на расстояние х", равное х'. Нулевые максимумы от остальных участков источника располагаются между максимумами М' и М".

Отдельные участки источника света возбуждают волны, фазы которых никак не связаны между собой. Поэтому интерференционная картина, возникающая на экране, будет наложением картин, создаваемых каждым из участков в отдельности. Если смещение х1' много меньше ширины интерференционной полосы x=l /d, максимумы от разных участков источника практически наложатся друг на друга и картина будет такой, как от точечного источника. При х’х максимумы от одних участков придутся на минимумы от других, и интерференционная картина наблюдаться не будет. Таким образом, интерференционная картина будет различимой при условии, что х’х, т. е.

(11)

или

(12)

При переходе от (11) к (12) мы опустили множитель 2. Формула (12) определяет угловые размеры источника, при которых наблюдается интерференция. Из этой формулы можно также определить наибольшее расстояние между щелями, при котором можно еще наблюдать интерференцию от источника с угловым размером. Умножив неравенство (12) на d/, придем к условию

(13)

Совокупность волн с разными можно заменить результирующей волной, падающей на экран со щелями. Отсутствие интерференционной картины означает, что колебания, возбуждаемые этой волной в местах нахождения первой и второй щелей, некогерентны. Следовательно, и колебания в самой волне в точках, находящихся на расстоянии d друг от друга, являются некогерентными. Если бы источник был идеально монохроматическим (это значит, что v=0 и поверхность, проходящая через щели, была бы волновой и колебания во всех точках этой поверхности происходили бы в одинаковой фазе. Мы установили, что в случае v0 и конечных размеров источника () колебания в точках поверхности, отстоящих на расстояние некогерентны.

Поверхность, которая была бы волновой при условии монохроматичности источника, будем для краткости называть псевдовол новой. Мы могли бы удовлетворить условию (12), уменьшив расстояние между щелями d, т. е. взяв более близкие точки псевдоволновой поверхности. Следовательно, колебания, возбуждаемые волной в достаточно близких точках псевдоволновой поверхности, оказываются когерентными. Такая когерентность называется пространственной. Итак, фаза колебания при переходе от одной точки псевдоволновой поверхности к другой изменяется беспорядочным образом. Введем расстояние, при смещении на которое вдоль псевдоволновой поверхности случайное изменение фазы достигает значения ~. Колебания в двух точках псевдоволновой поверхности, отстоящих друг от друга на расстояние, меньшее, будут приблизительно когерентными. Расстояние называется длиной пространственной когерентности или радиусом когерентности. Из (13) следует, что

(14)

Угловой размер Солнца составляет около 0,01 рад, длина световых волн равна примерно 0,5 мкм. Следовательно, радиус когерентности приходящих от Солнца световых волн имеет значение порядка

= 0,5/0,01 =50 мкм = 0,05 мм. (15)

Все пространство, занимаемое волной, можно разбить на части, в каждой из которых волна приблизительно сохраняет когерентность. Объем такой части пространства, называемый объемом когерентности, по порядку величины равен произведению длины временной когерентности на площадь круга радиуса. Пространственная когерентность световой волны вблизи поверхности излучающего ее нагретого тела ограничивается размером всего в несколько длин волн. По мере удаления от источника степень пространственной когерентности возрастает. Излучение лазера обладает огромной временной и пространственной когерентностью. У выходного отверстия лазера пространственная когерентность наблюдается во всем поперечном сечении светового пучка.

Можно было бы, казалось, наблюдать интерференцию, пропустив свет, распространяющийся от произвольного источника, через две щели в непрозрачном экране. Однако при малой пространственной когерентности падающей на щели волны пучки света, прошедшие через щели, окажутся некогерентными, и интерференционная картина будет отсутствовать.

Источники когерентных волн

Тепловые источники некогерентны друг другу. Для получения когерентных световых волн, волну, излучаемую одним источником света, разделяют на две, и затем полученные волны сводят вместе в некоторой области пространства, называемой областью перекрытия. Для того, что бы возникла устойчивая интерференционная картина, разность хода? этих волн до области перекрытия не должна превышать некоторой характерной длины, называемой длиной когерентности.

1. Опыт Юнга

Первым интерференционным опытом, получившим объяснение на основе волновой теории света, явился опыт Юнга (1802 г.). Источником света является освещенная щель S, от которой световая волна падает на две узкие щели S1 и S2, освещаемые различными участками одного и того же волнового фронта (Рис. 1. 5). Проходя через каждую из щелей, световой пучок уширялся вследствие дифракции, поэтому на белом экране Р световые пучки, прошедшие через щели S1 и S2, перекрывались. В области перекрытия световых пучков наблюдалась интерференционная картина в виде чередующихся светлых и темных полос.

Юнг был первым, кто понял, что нельзя наблюдать интерференцию при сложении волн от двух независимых источников. Поэтому в его опыте щели S1 и S2, которые в соответствии с принципом Гюйгенса можно рассматривать как источники вторичных волн, освещались светом одного источника S. Юнг первый наблюдал осуществленное таким способом явление интерференции и первый в математически корректной форме установил принцип суперпозиции амплитуд как суть явления интерференции. При симметричном расположении щелей вторичные волны, испускаемые источниками S1 и S2, находятся в фазе, но эти волны проходят до точки наблюдения P разные расстояния r1 и r2, следовательно, фазы колебаний, пришедших от источников S1 и S2 в точку P, вообще говоря, различны. Таким образом, задача об интерференции волн сводится к задаче о сложении колебаний одной и той же частоты, но с разными фазами. Утверждение о том, что волны от источников S1 и S2 распространяются независимо друг от друга, а в точке наблюдения они просто складываются, является опытным фактом, и получило определение как принцип суперпозиции.

Интересно, однако, что сходный, по сути, опыт был выполнен еще в 1665 г. Гримальди, в котором отсутствовала щель S, и в качестве источника света использовались прямые солнечные лучи. Расчет показывает, что в виду значительных угловых размеров (0,01 рад) Солнца при расстоянии между щелями S1 и S2 превышающем 0,05 мм интерференционная картина не возникает в виду нарушения условия пространственной когерентности:

При характерной длине волны света

и получаем результат

Весьма сомнительно, чтобы Гримальди смог реализовать на практике столь незначительное расстояние между щелями.

Остроумие установки Юнга заключается именно в том, что, внеся, казалось бы, лишний элемент — дополнительный экран с отверстием S, он сумел уменьшить угловые размеры источника света. При апертурных размерах отверстия S равных 0,1 мм на расстоянии в 1 м между дополнительным экраном S и экраном с двумя щелями и получаем угловые размеры источника света, то есть отверстия S, равные. При этих условиях расстояние между щелями в 2 мм является допустимым для получения интерференционной картины.

2. Бипризма и бизеркало Френеля.

Для разделения световой волны используют двойную призму (бипризму) с малым преломляющим углом. Источником света является ярко освещенная щель S, параллельная преломляющему ребру бипризмы. В силу малости преломляющего угла бипризмы (несколько угловых минут) все лучи отклоняются на один и тот же угол независимо от угла падения, при этом отклонение происходит в сторону основания каждой из призм, составляющих бипризму. В результате образуются две когерентные волны, виртуально исходящих из мнимых источников и, лежащих в одной плоскости с реальным источникомСмещение изображений источника

Тогда расстояние между мнимыми источниками

Область перекрытия когерентных пучков, исходящих из двух мнимых копий источника S, равна

Теперь нетрудно вычислить количество интерференционных полос, которое наблюдается в установке

В установке бизеркала Френеля две когерентные волны получают при отражении от двух зеркал, плоскости которых образуют двугранный угол

где — очень малый угол. Источник — узкая освещенная щель, параллельная грани двугранного угла. Отраженные от зеркал пучки падают на экран Э, и в области перекрытия PQ возникает интерференционная картина в виде полос, параллельных щели. Как и в любой системе плоских зеркал, все три источника (реальный и два мнимых) находятся на одинаковом расстоянии от ребра двугранного угла, то есть на окружности с центром в ребре. При повороте зеркала на угол световой луч смещается на, поэтому

Используя малость угла, получим расстояние между мнимыми источниками

и ширину интерференционной полосы

где Хотя при отражении от зеркала происходит фазовый сдвиг дополнительной разности фаз не возникает, так как сдвигаются фазы обоих пучков.

3. Зеркало Ллойда

Прямой пучок от источника интерферирует с пучком, отраженном от зеркала под углом, близким к прямому. Таким образом, источниками когерентных волн являются источник S и его мнимое изображение в.

В отличии от схем Френеля в схеме Ллойда апертура интерференции сильно зависит от того, для какого места на экране исследуется интерференция. Она тем меньше, чем ближе это место в центру поля. Поэтому для точек экрана, близких к плоскости зеркала, можно пользоваться сравнительно широкими источниками, и установка получается достаточно светосильной; однако при этом на некотором расстоянии от плоскости зеркала полосы размываются.

4. Светосильное расположение (Р. Поль).

Свет от источника S отражается от двух поверхностей тонкой плоскопараллельной пластинки (тонкий лист слюды), толщина которой l не превышает 0,03−0,05 мм. Таким образом, источниками когерентных волн являются и — мнимые изображения S. Расстояние

Апертура интерференции не зависит от точки интерференционного поля, т. е. от угла. Из чертежа найдем

где A=SO — расстояние от источника до слюды, а K=MN — расстояние от слюды до экрана. Так как гораздо меньше A+K, то даже при апертура интерференции будет очень мала. В соответствии с этим размер источника можно выбрать большим, дающим, следовательно, большой световой поток. Поэтому данное расположение отличается большой светосилой и может быть легко продемонстрировано. Угловой размер интерференционного поля очень велик. Располагая листком слюды площадью в несколько квадратных сантиметров, можно получить от небольшой ртутной лампы яркую интерференционную картинку, покрывающую потолок и стены аудитории.

Так как расстояние A+K весьма значительно, то на экране получаются очень широкие полосы интерференции.

Лазеры

Лазеры — это генераторы и усилители когерентного излучения в оптическом диапазоне, действие которых основано на индуцированном (вызванном полем световой волны) излучении квантовых систем — атомов, ионов, молекул, находящихся в состояниях, существенно отличных от термодинамического равновесия. Лазеры, как и мазеры, генераторы и усилители СВЧ диапазона, называют еще квантовыми генераторами (усилителями), поскольку поведение участвующих в их работе частиц описывается законами квантовой механики. Принципиальным отличием лазеров от всех других источников света (тепловых, газоразрядных и др.), представляющих собой по сути дела источники оптического шума, является высокая степень когерентности лазерного излучения. С созданием лазеров в оптическом диапазоне появились источники излучения, аналогичные привычным в радиодиапазоне генераторам когерентных сигналов, способные успешно использоваться для целей связи и передачи информации, а по многим своим свойствам — направленности излучения, полосе передаваемых частот, низкому уровню шумов, концентрации энергии во времени и т. д. — превосходящие классические устройства радиодиапазона.

Лазеры обладают чрезвычайно высокой по сравнению с другими источниками света степенью когерентности излучения, временной и пространственной. При работе лазера в одномодовом режиме достигается полная пространственная когерентность, что определяет высокую направленность лазерного излучения и делает возможным его фокусировку в пятно чрезвычайно малых размеров (порядка длины волны). Временная когерентность, связанная с монохроматичностью (время когерентности tk = 1/ Dnh), оказывается тоже очень высокой. Так, для непрерывно работающего лазера на He-Ne в одночастотном режиме при Dnh ї 1 кГц tk = 10- 3 с и длина когерентности lk = tkc (с — скорость света) составляет 3 «107 см (300 км), в то время как для нелазерных источников света (например, натриевая лампа) tk = 10 c (lk = 3 см). Таким образом, с использованием лазеров можно наблюдать интерференционную картину даже при разности хода лучей в несколько километров.

Появление лазеров сразу оказало и продолжает оказывать влияние на различные области науки и техники, где стало возможным применение лазеров для решения конкретных научных и технических задач. Проведенные исследования подтвердили возможность значительного улучшения многих оптических приборов и систем при использовании в качестве источника света лазеров и привели к созданию принципиально новых устройств (усилители яркости, квантовые гирометры, быстродействующие оптические схемы и др.). На глазах одного поколения произошло формирование новых научных и технических направлений — голографии, нелинейной и интегральной оптики, лазерных технологий, лазерной химии, использование лазеров для управляемого термоядерного синтеза и других задач энергетики.

Высокая монохроматичность и когерентность лазерного излучения обеспечивают успешное применение лазеров в спектроскопии, иницировании химических реакций, в разделении изотопов, в системах измерения линейных и угловых скоростей, во всех приложениях, основанных на использовании интерференции, в системах связи и светолокации. Особо следует, очевидно, выделить применение лазеров в голографии. С созданием лазеров произошел колоссальный прогресс в развитии нелинейной оптики, исследовании и использовании таких явлений, как генерация гармоник, самофокусировка световых пучков, многофотонного поглощения, различных типов рассеивания света, вызванных полем лазерного излучения.

Лазеры успешно используются в медицине: в хирургии (в том числе хирургии глаза) и терапии различных заболеваний, в биологии, где фокусировка в малое пятно позволяет действовать на отдельные клетки или даже на их части.

Большинство из перечисленных выше областей применения лазеров представляет собой самостоятельные и обширные разделы науки или техники и требует, естественно, самостоятельного рассмотрения. Цель приведенного здесь краткого и неполного перечня применений лазеров — проиллюстрировать то громадное влияние, которое оказало появление лазеров на развитие науки и техники, на жизнь современного общества.

Заключение

В данной работе мы выполнили поставленные цели: изучение проблемы когерентности. Мы изучили понятие когерентности. Когерентностью называется согласованное протекание нескольких колебательных или волновых процессов. Степень согласованности может быть различной. Соответственно можно ввести понятие степени когерентности двух волн. А также мы рассмотрели такие опытные установки как: бипризма и бизеркало Френеля, зеркало Ллойда, Светосильное расположение (Р. Поль). Первым интерференционным опытом стал опыт Юнга.

Кроме того мы узнали что в настоящее время когерентные волны излучаемые лазерами имеют огромное значение в жизни человека. Лазеры применяются во многих отраслях науки. Высокая монохромотичность и когерентность лазерного излучения обеспечивают успешное применение лазеров в спектроскопии, инициировании химических реакций, в разделении изотопов, в системах измерения линейных и угловых скоростей, во всех приложениях, основанных на использовании интерференции, в системах связи и светолокации.

В данной работе мы подчеркнули огромную роль явления когерентности в жизни человека на данном этапе развития человечества.

Литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики: том 2. / М., 1970.

2. Трофимова Т. И. Курс физики./ М., 1990.

3. Ландсберг Г. С. Оптика: учебное пособие для вузов./ 2003.

4. Сэм М. Ф. Лазеры и их применение./ 1996.

5. Зисман Г. А., Тодес О. М. — Курс общей физики

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой