Незалежні випробування
При практичному застосуванні теорії ймовірностей часто доводиться зустрічатися із задачами, у яких те саме випробування повторюється неодноразово. У результаті кожного випробування може з’явитися або не з’явитися деяка подія А, причому нас не цікавить результат кожного окремого випробування, а загальне число появ події А в результаті серії досвідів. Наприклад, якщо виробляється група пострілів… Читати ще >
Незалежні випробування (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Курсова робота з дисциплини: Теорема ймовірності
на тему: Незалежні випробування
Введення
При практичному застосуванні теорії ймовірностей часто доводиться зустрічатися із задачами, у яких те саме випробування повторюється неодноразово. У результаті кожного випробування може з’явитися або не з’явитися деяка подія А, причому нас не цікавить результат кожного окремого випробування, а загальне число появ події А в результаті серії досвідів. Наприклад, якщо виробляється група пострілів по однієї й тій же меті, нас, як правило, не цікавить результат кожного пострілу, а загальне число влучень. У подібних задачах потрібно вміти визначати ймовірність будь-якого заданого числа появ події в результаті серії досвідів. Такі задачі й будуть розглянуті. Вони вирішуються досить просто у випадку, коли випробування є незалежними.
Визначення. Випробування називаються незалежними, якщо ймовірність того або іншого результату кожного з випробувань не залежить від того, які результати мали інші випробування.
Наприклад, кілька кидань монети являють собою незалежні випробування.
1. Формула Бернуллі
Нехай зроблено два випробування (n=2). У результаті можливе настання одного з наступних подій:
Відповідні ймовірності даних подій такі: .
або — настання події тільки в одному випробуванні.
— імовірність настання події два рази.
— імовірність настання події тільки один раз.
— імовірність настання події нуль раз.
Нехай тепер n=3. Тоді можливе настання одного з наступних варіантів подій:
.
Відповідні ймовірності рівні .
Очевидно, що отримані результати при n=2 і n=3 є елементами и.
Тепер допустимо, зроблено n випробувань. Подія, А може наступити n раз, 0 разів, n-1 раз і т.д. Напишемо подію, що складається в настанні події А m раз
Необхідно знайти число випробувань, у яких подія, А наступить m раз. Для цього треба знайти число комбінацій з n елементів, у яких, А повторюється m раз, а n-m раз.
— імовірність настання події А.
(1)
Остання формула називається формулою Бернуллі і являє собою загальний член розкладання :
.
З формули (1) видно, що її зручно використовувати, коли число випробувань не занадто велике.
Приклади
№ 1. Кидається монета 7 разів. Знайти ймовірність настання орла три рази.
Рішення.
n=7, m=3
.
№ 2. Щодня акції корпорації АВС піднімаються в ціні або падають у ціні на один пункт із ймовірностями відповідно 0,75 і 0,25. Знайти ймовірність того, що акції після шести днів повернуться до своєї первісної ціни. Прийняти умову, що зміни ціни акції нагору й долілиць — незалежні події.
Рішення. Для того, щоб акції повернулися за 6 днів до своєї первісної ціни, потрібно, щоб за цей час вони 3 рази піднялися в ціні й три рази опустилися в ціні. Шукана ймовірність розраховується по формулі Бернуллі
№ 3. Мотори багатомоторного літака виходять із ладу під час польоту незалежно один від іншого з імовірністю р. Багатомоторний літак продовжує летіти, якщо працює не менш половини його моторів. При яких значеннях р двомоторний літак надійніше чотиримоторного літака?
Рішення. Двомоторний літак терпить аварію, якщо відмовляють обоє його мотора. Це відбувається з імовірністю р2. Чотиримоторний літак терпить аварію, якщо виходять із ладу всі 4 мотори, а це відбувається з імовірністю р4, або виходять із ладу три мотори з 4-х. Імовірність останньої події обчислюється по формулі Бернуллі:. Щоб двомоторний літак був надійніше, ніж чотиримоторний, потрібно, щоб виконувалася нерівність р2<�р4+4p3(1-p)
Ця нерівність зводиться до нерівності (3 р-р-1)(р-р-1)<0. Другий співмножник у лівій частині цієї нерівності завжди негативний (за умовою задачі). Отже, величина 3 р-р-1 повинна бути позитивної, звідки треба, що повинне виконуватися умову р>1/3. Слід зазначити, що якби ймовірність виходу з ладу мотора літака перевищувала одну третину, сама ідея використання авіації для пасажирських перевезень була б дуже сумнівною.
№ 4. Бригада з десяти чоловік іде обідати. Є дві однакові їдальні, і кожний член бригади незалежно один від іншого йде обідати в кожну із цих їдалень. Якщо в одну з їдалень випадково прийде більше відвідувачів, чим у ній є місць, то виникає черга. Яке найменше число місць повинне бути в кожній з їдалень, щоб імовірність виникнення черги була менше 0,15?
Рішення. Рішення задачі прийде шукати перебором можливих варіантів. Спочатку помітимо, що якщо в кожній їдальні по 10 місць, то виникнення черги неможливо. Якщо в кожній їдальні по 9 місць, то черга виникне тільки у випадку, якщо всі 10 відвідувачів потраплять в одну їдальню. З умови задачі треба, що кожний член бригади вибирає дану їдальню з імовірністю ½. Виходить, усі зберуться в одній їдальні з імовірністю 2(½)10=1/512. Це число багато менше, ніж 0,15, і варто провести розрахунок для їдалень. Якщо в кожній їдальні по 8 місць, то черга виникне, якщо всі члени бригади прийдуть в одну їдальню, імовірність цієї події вже обчислена, або 9 чоловік підуть в одну їдальню, а 1 чоловік вибере іншу їдальню. Імовірність цієї події розраховується за допомогою формули Бернуллі. Таким чином, якщо в їдальнях по 8 місць, то черга виникає з імовірністю 11/512, що поки ще менше, ніж 0,15. Нехай тепер у кожній з їдалень по 7 місць. Крім двох розглянутих варіантів, у цьому випадку черга виникне, якщо в одну з їдалень прийде 8 чоловік, а в іншу 2 чоловік. Це може відбутися з імовірністю .
Виходить, у цьому випадку черга виникає з імовірністю 56/512=0,109 375<0,15. Діючи аналогічним образом, обчислюємо, що якщо в кожній їдальні 6 місць, то черга виникає з імовірністю 56/512+120/512=176/512=0,34 375. Звідси одержуємо, що найменше число місць у кожній їдальні повинне рівнятися семи.
№ 5. В урні 20 білих і 10 чорних куль. Вийняли 4 кулі, причому кожну вийняту кулю повертають в урну перед добуванням наступні й кулі в урні перемішують. Знайти ймовірність того, що із чотирьох вийнятих куль виявиться 2 білих.
Рішення. Подія, А — дістали білу кулю. Тоді ймовірності
.
По формулі Бернуллі необхідна ймовірність дорівнює
.
№ 6. Визначити ймовірність того, що в родині, що має 5 дітей, буде не більше трьох дівчинок. Імовірності народження хлопчика й дівчинки передбачаються однаковими.
Рішення. Імовірність народження дівчинки
тоді .
Знайдемо ймовірності того, що в родині немає дівчинок, народилася одна, дві або три дівчинки:
бернуллі формула лаплас ймовірність
,
.
Отже, шукана ймовірність
.
№ 7. Серед деталей, оброблюваних робітником, буває в середньому 4% нестандартні. Знайти ймовірність того, що серед узятих на випробування 30 деталей дві будуть нестандартними.
Рішення. Тут досвід полягає в перевірці кожної з 30 деталей на якість. Подія, А — «поява нестандартної деталі», його ймовірність, тоді. Звідси по формулі Бернуллі знаходимо
.
№ 8. При кожному окремому пострілі зі знаряддя ймовірність поразки мети дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що з 20 пострілів число вдалих буде не менш 16 і не більше 19.
Рішення. Обчислюємо по формулі Бернуллі:
№ 9. Незалежні випробування тривають доти, поки подія, А не відбудеться k раз. Знайти ймовірність того, що буде потрібно n випробувань (n і k), якщо в кожному з них .
Рішення. Подія В — рівно n випробувань до k-го появи події А — є добуток двох наступних подій:
D — в n-ом випробуванні А відбулося;
С — у перші (n-1)-ом випробуваннях, А з’явилося (до-1) раз.
Теорема множення й формула Бернуллі дають необхідну ймовірність:
.
№ 10. З n акумуляторів за рік зберігання k виходить із ладу. Вибирають m акумуляторів. Визначити ймовірність того, що серед них l справних n = 100, k = 7, m = 5, l = 3.
Рішення: Маємо схему Бернуллі з параметрами p=7/100=0,07 (імовірність того, що акумулятор вийде з ладу), n = 5 (число випробувань), k = 5−3 =2 (число «успіхів», несправних акумуляторів). Будемо використовувати формулу Бернуллі (імовірність того, що в n випробуваннях подія відбудеться k раз).
Одержуємо
№ 11. Пристрій, що складається з п’яти незалежно працюючих елементів, включається за час Т. Імовірність відмови кожного з них за цей час дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що відмовлять: а) три елементи; б) не менш чотирьох елементів; в) хоча б один елемент.
Рішення: Маємо схему Бернуллі з параметрами p = 0,2 (імовірність того, що елемент відмовить), n = 5 (число випробувань, тобто число елементів), k (число «успіхів», що відмовили елементів). Будемо використовувати формулу Бернуллі (імовірність того, що для n елементів відмова відбудеться в k елементах):. Одержуємо а) — імовірність того, що відмовлять рівно три елементи з п’яти. б) — імовірність того, що відмовлять не менш чотирьох елементів з п’яти (тобто або чотири, або п’ять). в) — імовірність того, що відмовить хоча б один елемент (знайшли через імовірність протилежної події - жоден елемент не відмовить).
№ 12. Скільки варто зіграти партій у шахи з імовірністю перемоги в одній партії, рівної 1/3, щоб число перемог було дорівнює 5?
Рішення: Число перемог k визначається з формули Тут p =1/3 (імовірність перемоги), q = 2/3 (імовірність програшу), n — невідоме число партій. Підставляючи даного значення, одержуємо:
Одержуємо, що n = 15, 16 або 17.
2. Локальна формула Муавра-Лапласа
Легко бачити, що користуватися формулою Бернуллі при більших значеннях n досить важко, тому що формула вимагає виконання дій над величезними числами. Природно, виникає питання: чи не можна обчислити ймовірність, що цікавить нас, не прибігаючи до формули Бернуллі.
В 1730 р. інший метод рішення при p=½ знайшов Муавр; в 1783 р. Лаплас узагальнив формулу Муавра для довільного p, відмінного від 0 і 1.
Ця формула застосовується при необмеженому зростанні числа випробувань, коли ймовірність настання події не занадто близька до нуля або одиниці. Тому теорему, про яку мова йде, називають теоремою Муавра-Лапласа.
Теорема Муавра-Лапласа. Якщо ймовірність p появи події А в кожному випробуванні постійне й відмінна від нуля й одиниці, то ймовірність того, що подія, А з’явиться в n випробуваннях рівно k раз, приблизно дорівнює(тим точніше, чим більше n) значенню функції
При .
Є таблиці, у яких поміщені значення функції
відповідним позитивним значенням аргументу x (див. додаток 1). Для негативних значень аргументу користуються тими ж таблицями, тому що функція парна, тобто .
Отже, імовірність того, що подія A з’явиться в n незалежних випробуваннях рівно k раз, приблизно дорівнює
де .
№ 13. Знайти ймовірність того, що подія, А наступить рівно 80 разів в 400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,2.
Рішення. За умовою n=400; k=80; p=0,2; q=0,8. Скористаємося формулою Лапласа:
.
Обчислимо обумовлене даними задачі значення x:
.
По таблиці додатка 1 знаходимо .
Шукана ймовірність
.
№ 14. Імовірність поразки мішені стрільцем при одному пострілі p=0,75.
Знайти ймовірність того, що при 10 пострілах стрілок уразить мішень 8 разів.
Рішення. За умовою n=10; k=8; p=0,75; q=0,25.
Скористаємося формулою Лапласа:
.
Обчислимо обумовлене даними задачі значення x:
.
По таблиці додатка 1 знаходимо Шукана ймовірність
.
№ 15. Знайти ймовірність того, що подія, А наступить рівно 70 разів в 243 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,25.
Рішення. За умовою n=243; k=70; p=0,25; q=0,75. Скористаємося формулою Лапласа:
.
Знайдемо значення x:
.
По таблиці додатка 1 знаходимо
.
Шукана ймовірність
.
№ 16. Знайти ймовірність того, що подія, А наступить 1400 разів в 2400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,6.
Рішення. За умовою n=2400; k=1400; p=0,6; q=0,4. Як і в попередньому прикладі, скористаємося формулою Лапласа:
Обчислимо x:
.
По таблиці додатка 1 знаходимо Шукана ймовірність
.
3. Формула Пуассона
Ця формула застосовується при необмеженому зростанні числа випробувань, коли ймовірність настання події досить близька до 0 або 1.
.
Доказ.
.
.
У такий спосіб одержали формулу:
.
Приклади
№ 17. Імовірність виготовлення негідної деталі дорівнює 0,0002. Знайти ймовірність того, що серед 10 000 деталей тільки 2 деталі будуть негідними.
Рішення. n=10 000; k=2; p=0,0002.
.
№ 18. Імовірність виготовлення бракованої деталі дорівнює 0,0004. Знайти ймовірність того, що серед 1000 деталей тільки 5 деталі будуть бракованими.
Рішення. n=1000; k=5; p=0,0004.
Шукана ймовірність
.
№ 19. Імовірність виграшу лотереї дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що з 5000 спроб виграти вдасться 3 рази.
Рішення. n=5000; k=3; p=0,0001.
Шукана ймовірність
.
4. Теорема Бернуллі про частоту ймовірності
Теорема. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність появи події дорівнює p, абсолютна величина відхилення відносної частоти появи події від імовірності появи події не перевищить позитивного числа, приблизно дорівнює подвоєної функції Лапласа при :
.
Доказ. Будемо вважати, що виробляється n незалежних випробувань, у кожному з яких імовірність появи події А постійна й дорівнює p. Поставимо перед собою задачу знайти ймовірність того, що відхилення відносної частоти від постійної ймовірності p по абсолютній величині не перевищує заданого числа. Інакше кажучи, знайдемо ймовірність здійснення нерівності
. (*)
Замінимо нерівність (*) йому рівносильними:
.
Множачи ці нерівності на позитивний множник, одержимо нерівності, рівносильні вихідному:
.
Тоді ймовірність знайдемо в такий спосіб:
.
Значення функції перебуває по таблиці(див. додаток 2).
Приклади
№ 20. Імовірність того, що деталь не стандартна, p=0,1. Знайти ймовірність того, що серед випадково відібраних 400 деталей відносна частота появи нестандартних деталей відхилиться від імовірності p=0,1 по абсолютній величині не більш, ніж на 0,03.
Рішення. n=400; p=0,1; q=0,9; =0,03. Потрібно знайти ймовірність. Користуючись формулою
маємо
.
По таблиці додатка 2 знаходимо. Отже,. Отже, шукана ймовірність дорівнює 0,9544.
№ 21. Імовірність того, що деталь не стандартна, p=0,1. Знайти, скільки деталей треба відібрати, щоб з імовірністю, рівної 0,9544, можна було затверджувати, що відносна частота появи нестандартних деталей (серед відібраних) відхилиться від постійної ймовірності p по абсолютній величині не більше ніж на 0,03.
Рішення. За умовою, p=0,1; q=0,9; =0,03;. Потрібно знайти n. Скористаємося формулою
.
У силу умови Отже, По таблиці додатка 2 знаходимо. Для відшукання числа n одержуємо рівняння. Звідси шукане число деталей n=400.
№ 22. Імовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,2. Знайти, яке відхилення відносної частоти появи події від його ймовірності можна чекати з імовірністю 0,9128 при 5000 випробуваннях.
Рішення. Скористаємося тією же формулою, з якої треба:
.
Література
1. Гмурман Е. В. Теорія ймовірностей і математична статистика. — К., 2003
2. Гмурман Е. В. Керівництво до рішення задач по теорії ймовірностей і математичній статистиці. — К., 2004.
3. Гнеденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — К., 2007.
4. Колемаєв В.А., Калініна В.Н., Соловйов В. И., Малихин В.І., Курочкин О. П. Теорія ймовірностей у прикладах і задачах. — К., 2004.
5. Вентцель Е. С. Теорія ймовірностей. — К., 2004
Додатки
Додаток 1
Таблиця значень функції
1.6 | |||||||||||
1.7 | |||||||||||
1.8 | |||||||||||
1.9 | |||||||||||
2,0 | |||||||||||
2.1 | |||||||||||
2.2 | |||||||||||
2.3 | |||||||||||
2,4 | |||||||||||
2.5 | |||||||||||
2.6 | |||||||||||
2,7 | |||||||||||
2,8 | |||||||||||
2.9 | |||||||||||
3,0 | |||||||||||
3,1 | 0028. | ||||||||||
3,2 | |||||||||||
3,3 | |||||||||||
3,4 | |||||||||||
3,5 | |||||||||||
3,6 | |||||||||||
3,7 | |||||||||||
3,8 | |||||||||||
3,9 | |||||||||||
Додаток 2
Таблиця значень функції
x | x | x | x | |||||
0,0000 | 0,32 | 0,1255 | 0,64 | 0,2389 | 0,96 | 0,3315 | ||
0,01 | 0,0040 | 0,33 | 0,1293 | 0,65 | 0,2422 | 0,97 | 0,3340 | |
0,02 | 0,0080 | 0,34 | 0,1331 | 0,66 | 0,2454 | 0,98 | 0,3365 | |
0,03 | 0,0120 | 0,35 | 0,1368 | 0,67 | 0,2486 | 0.99 | 0,3389 | |
0,04 | 0,0160 | 0,36 | 0,1406 | 0,68 | 0,2517 | 1,00 | 0,3413 | |
0,05 | 0,0199 | 0,37 | 0,1443 | 0,69 | 0,2549 | 1,01 | 0,3438 | |
0,06 | 0,0239 | 0,38 | 0,1480 | 0,70 | 0,2580 | 1,02 | 0,3461 | |
0,07 | 0,0279 | 0,39 | 0,1517 | 0,71 | 0,2611 | 1,03 | 0,3485 | |
0,08 | 0,0319 | 0,40 | 0,1554 | 0,72 | 0,2642 | 1,04 | 0,3508 | |
0,09 | 0,0359 | 0,41 | 0,1591 | 0,73 | 0,2673 | 1,05 | 0,3531 | |
0,10 | 0,0398 | 0,42 | 0,1628 | 0,74 | 0,2703 | 1,06 | 0,3554 | |
0,11 | 0,0438 | 0,43 | 0,1664 | 0,75 | 0,2734 | 1,07 | 0,3577 | |
0,12 | 0,0478 | 0,44 | 0,1700 | 0,76 | 0,2764 | 1,08 | 0,3599 | |
0,13 | 0,0517 | 0,45 | 0,1736 | 0,77 | 0,2794 | 1.09 | 0,3621 | |
0,14 | 0,0557 | 0,46 | 0,1772 | 0,78 | 0,2823 | 1.10 | 0,3643 | |
0,15 | 0,0596 | 0,47 | 0,1808 | 0,79 | 0,2852 | 0,3665 | ||
0,16 | 0,0636 | 0,48 | 0,1844 | 0,80 | 0,2881 | 0,3686 | ||
0,17 | 0,0675 | 0,49 | 0,81 | 0,2910 | 1,13 | 0,3708. | ||
0,18 | 0,0714 | 0,50 | 0,1915 | 0,82 | 0,2939 | 1,14 | 0,3729 | |
0,19 | 0,0753 | 0,51 | 0,1950 | 0,83 | 0,2967 | 1,15 | 0,3749 | |
0,20 | 0,0793 | 0,52 | 0,1985 | 0,84 | 0,2995 | 1,16 | 0,3770 | |
0,21 | 0,0832 | 0,53 | 0,2019 | 0,85 | 0,3023 | 1,17 | 0,3790 | |
0,22 | 0,0871 | 0,54 | 0,2054 | 0,86 | 0,3051 | 1,18 | 0,3810 | |
0,23 | 0,0910 | 0,55 | 0,2088 | 0,87 | 0,3078 | 1,19 | 0,3830 | |
0,24 | 0,0948 | 0,56 | 0,2123 | 0,88 | 0,3106 | 1,20 | 0,3849 | |
0,25 | 0,0987 | 0,57 | 0,2157 | 0,89 | 0,3133 | 1.21 | 0,3869 | |
0,26 | 0,1026 | 0,58 | 0,2190 | 0,90 | 0,3159 | 1,22 | 0/3883 | |
0,27 | 0,1064 | 0,59 | 0,2224 | 0,91 | 0,3186 | 1,23 | 0,3907 | |
0,28 | 0,1103 | 0,60 | 0,2257 | 0,92 | 0,3212 | 1.24 | 0,3925 | |
0,29 | 0,1141 | 0,61 | 0,2291 | 0,93 | 0,3238 | 1,25 | 0,3944 | |
0,30 | 0,1179 | 0,62 | 0,2324 | 0,94 | 0,3264 | |||
0,31 | 0,1217 | 0,63 | 0,2357 | 0,95 | 0,3289 | |||
x | x | x | x | |||||
1,26 | 0,3962 | 1,59 | 0,4441 | 1,92 | 0,4726 | 2,50 | 0,4938 | |
1,27 | 0,3980 | 1,60 | 0,4452 | 1,93 | 0,4732 | 2,52 | 0,4941 | |
1,28 | 0,3997 | 1,61 | 0,4463 | 1,94 | 0,4738 | 2,54 | 0,4945 | |
1,29 | 0.4015 | 1,62 | 0,4474 | 1,95 | 0,4744 | 2,56 | 0,4948 | |
1,30 | 0,4032 | 1,63 | 0.4484 | 1.96 | 0,4750 | 2,58 | 0,4951 | |
1,31 | 0,4049 | 1,64 | 0,4495 | 1,97 | 0,4756 | 2,60 | 0,4953 | |
1,32 | 0.4066 | 1,65 | 0,4505 | 1,98 | 0,4761 | 2,62 | 0,4956 | |
1,33 | 0,4082 | 1,66 | 0,4515 | 1,99 | 0,4767 | 2,64 | 0,4959 | |
1,34 | 0.4099 | 1,67 | 0.4525 | 2.00 | 0,4772 | 2,66 | 0,4961 | |
1.3S | 0.4115 | 1,68 | 0,4535 | 2,02 | 0,4783 | 2,68 | 0,4963 | |
1,36 | 0.4131 | 1,69 | 0,4545 | 2,04 | 0,4793 | 2,70 | 0,4965 | |
1,37 | 0.4147 | 1,70 | 0,4554 | 2,06 | 0,4803 | 2,72 | 0,4967 | |
1,38 | 0.4162 | 1.71 | 0,4564 | 2,08 | 0,4812 | 2,74 | 0,4969 | |
1,39 | 0.4177 | 1,72 | 0,4573 | 2,10 | 0,4821 | 2,76 | 0,4971 | |
1.40 | 0,4192 | 1,73 | 0,4582 | 2,12 | 0,4830 | 2,78 | 0,4973 | |
1.41 | 0,4207 | 1.74 | 0,4591 | 2,14 | 0,4838 | 2,80 | 0,4974 | |
1.42 | 0.4222 | 1,75 | 0.4599 | 2,16 | 0,4846 | 2,82 | 0,4976 | |
1.43 | 0.4236 | 1,76 | 0,4608 | 2,18 | 0,4854 | 2,84 | 0,4977 | |
1.44 | 0,4251 | 1.77 | 0,4616 | 2,20 | 0,4861 | 2,86 | 0,4979 | |
1,45 | 0.4265 | 1,78 | 0.4625 | 2,22 | 0,4868 | 2,88 | 0,4980 | |
1.46 | 0,4279 | 1,79 | 0,4633 | 2,24 | 0,4875 | 2,90 | 0,4981 | |
1.47 | 0,4292 | 1,80 | 0,4641 | 2,26 | 0,4881 | 2,92 | 0,4982 | |
1,48 | 0,4306 | 1.81 | 0,4649 | 2,28 | 0,4887 | 2,94 | 0,4984 | |
1,49 | 0.4319 | 1,82 | 0,4656 | 2,30 | 0,4893 | 2,96 | 0,4985 | |
1.50 | 0,4332 | 1,83 | 0,4664 | 2,32 | 0,4898 | 2.98 | 0,4986 | |
1,51 | 0,4345 | 1,84 | 0,4671 | 2,34 | 0,4904 | 3,00 | 0,49 865 | |
1.52 | 0,4357 | 1,85 | 0,4678 | 2,36 | 0,4909 | 3,20 | 0,49 931 | |
1.53 | 0,4370 | 1,86 | 0,4686 | 2,38 | 0,4913 | 3.40 | 0,49 966 | |
1.54 | 0,4382 | 1,87 | 0,4693 | 2,40 | 0,4918 | 3,60 | 0,49 984 | |
1,55 | 0,4394 | 1.88 | 0,4699 | 2,42 | 0,4922 | 3,80 | 0,49 992 | |
1.S6 | 0,4406 | 1.89 | 0,4706 | 2,44 | 0,4927 | 4,00 | 0,49 996 | |
1,57 | 0,4418 | 1,90 | 0,4713 | 2,46 | 0,4931 | 4,50 | 0,49 999 | |
1,58 | 0,4429 | 1,91 | 0,4719 | 2,48 | 0,4934 | 5,00 | 0,49 999 | |