Некоторые приложения неполных дифференциальных уравнений второго порядка

Тип работы:
Курсовая
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФГАОУ ВПО «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Педагогический институт

Кафедра математики, алгебры и математического анализа

Курсовая работа

Некоторые приложения неполных дифференциальных уравнений второго порядка

Исполнитель:

студентка 53 гр. ОЗО «Математика»

ф-та МИиФ Лобынцева Г. Н.

Научный руководитель:

к. п. н., ст. преп. Белик Е. В.

Ростов-на-Дону 2011

Содержание

  • Введение
  • 1. Основные понятия и определения
  • 2. Неполные дифференциальные уравнения и их приложения
  • 2.1 Уравнения типа
  • 2.1.1 Переходная кривая железнодорожного пути
  • 2.1.2 Прямолинейное движение материальной точки в горизонтальной плоскости
  • 2.2 Уравнения вида
  • 2.2.1 Геометрические приложения
  • 2.2.2 Движение материальной точки под действием силы притяжения
  • 2.3 Уравнения типа
  • 2.3.1 Определение кривой по радиусу кривизны
  • 2.3.2 Движение пули внутри вещества
  • 2.3.3 Погружение тел в воду
  • 2.4 Уравнения типа
  • 2.4.1 Кривая и радиус кривизны
  • 2.5 Уравнения типа
  • 2.5.1 Нахождение уравнения кривой по нормали и радиусу кривизны
  • Заключение
  • Литература

Введение

В приложениях математики к различным отраслям науки дифференциальные уравнения занимают важное место. Использование их — наиболее эффективное и распространенное средство решения прикладных задач естествознания и техники. Многие реальные процессы с помощью дифференциальных уравнений описываются просто и полно. Поэтому вполне понятно то внимание, которое уделяется вопросу составления дифференциальных уравнений.

Однако многочисленные и разнообразные приложения теории обыкновенных дифференциальных уравнений требуют в первую очередь знания соответствующих теоретических положений и законов естествознания, техники и других отраслей, которые изучаются обычно после дифференциальных уравнений.

Цель курсовой работы — показать необходимость применения неполных дифференциальных уравнений второго порядка в различных областях науки.

Задачи курсовой работы:

рассмотреть основные понятия и определения, касающиеся теории неполных дифференциальных уравнений второго порядка, а также их типы и методы решений;

рассмотреть применение неполных дифференциальных уравнений второго порядка в различных областях науки.

1. Основные понятия и определения

Дифференциальное уравнение 2-го порядка в общем случае записывается в виде

(1)

или, если это возможно, в виде, разрешённом относительно второй производной,

. (2)

Общим решением уравнения 2-го порядка (2) называется функция, где и — произвольные постоянные, удовлетворяющая следующим условиям:

1) эта функция является решением данного уравнения при любых допустимых значениях постоянных;

2) каковы бы ни были начальные условия

, (- заданные числа), (3)

существуют единственные значения постоянных и, такие, что функция является решением уравнения (2) и удовлетворяет начальным условиям (3).

Как и в случае дифференциального уравнения первого порядка, задача нахождения частного решения дифференциального уравнения второго порядка (2), удовлетворяющего системе начальных условий (3), называется задачей Коши.

В приложениях часто встречаются следующие пять специальных типов уравнений, называемые неполными дифференциальным уравнениями второго порядка

(4)

Уравнения (4) решаются методом понижения порядка, т. е. введением новой искомой функции

. (5). Тогда (6)

или (во втором и пятом случаях при наличии)

. (6а)

Подстановка значений (5) и (6) или (6а) в уравнения (4) сводит их к уравнениям первого порядка

(7)

Общее решение уравнений (7) имеет вид

или.

Используя зависимость (5), получаем уравнение

или.

2. Неполные дифференциальные уравнения и их приложения

2.1 Уравнения типа

Пусть дано уравнение

, (8)

не содержащее искомой функции и её производной первого порядка. Здесь порядок понижается непосредственно путём последовательного интегрирования. Действительно, учитывая, что, уравнение (8) можно записать в виде, откуда получаем

,

т.е. приходим к уравнению такого же вида, что и исходное, но уже первого порядка. Далее аналогично находим

общее решение данного уравнения.

Пример. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям. Решение. Интегрируя, получим. Отсюда

.

Определим постоянные и, полагая:

.

Итак, искомое частное решение имеет вид.

2.1.1 Переходная кривая железнодорожного пути

Найти уравнение кривой железнодорожного пути, переходящей плавно от прямого направления к круговому, если длина переходной кривой, а радиус кругового пути.

Решение. Кривизна переходной кривой равномерно изменяется от нуля до (рис. 1).

Рис. 1.

неполное дифференциальное уравнение

Следовательно,, где — коэффициент пропорциональности, — длина дуги от начала переходной кривой до текущей точки.

Коэффициент определяется из условия: при откуда

и.

Итак, имеем:

.

Переходная кривая по всей длине незначительно отклоняется от оси абсцисс, и величину можно заменить абсциссой точки.

Следовательно, угловой коэффициент касательной в точке будет очень мал, и поэтому в дифференциальной формуле кривизны

величиной можно пренебречь. Таким образом, полагаем и

.

Упрощенное дифференциальное уравнение переходной кривой

.

Общее решение этого уравнения

.

Начальные условия: при и, откуда

.

Подставляя эти значения в общее решение, находим искомое уравнение переходной кривой

.

2.1.2 Прямолинейное движение материальной точки в горизонтальной плоскости

Найти закон движения материальной точки массой по прямой (рис. 2) под действием отталкивающей силы, обратно пропорциональной третьей степени расстояния точки от неподвижного центра.

Рис. 2.

Решение.

Дифференциальное уравнение движения точки, согласно второму закону динамики,

, (9)

где — коэффициент пропорциональности.

Уравнение (9) можно представить в виде

или.

Умножим обе части уравнения на:

.

Левая часть последнего равенства есть дифференциал от:

; отсюда

и или.

Разделяя переменные, получим

. (10)

Решая уравнение (10), придем к равенству

. Окончательно

или.

2.2 Уравнения вида

Рассмотрим уравнение вида

. (11)

Полагая и принимая за новую независимую переменную, получаем. Поэтому уравнение (11) примет вид:

или.

Интегрируем это уравнение:

.

Заменим на:

.

Дальнейшее интегрирование дает

.

Пример. Проинтегрировать уравнение.

Решение. Положив и приняв за новую независимую переменную, получим. Тогда исходное уравнение можно записать в виде

.

Полагаем:

или.

Интегрируем это уравнение:.

Следовательно,, , откуда

.

Интегрируя, получаем

Функция будет решением. Это решение частное.

2.2.1 Геометрические приложения

Радиус кривизны в произвольной точке кривой равен кубу длины нормали в этой точке. Найти уравнение кривой, проходящей через точку и в этой точке параллельной оси абсцисс.

Решение. Длина нормали. По условию задачи получаем дифференциальное уравнение искомого семейства

или

Решая это дифференциальное уравнение, находим

. (12)

Дополнительные условия: кривая проходит через точку и при. Отсюда

или. (13)

Так как, дифференцируя уравнение (12), находим

, то. (14)

Для определения постоянных интегрирования имеем систему уравнений (13) и (14). Из равенства (14) находим, т. е. или. Если, то уравнение (13) дает, следовательно, и. Тогда из уравнения (13). Подставляем значения и в общее решение (12) и получаем уравнение искомой кривой

.

2.2.2 Движение материальной точки под действием силы притяжения

Материальная точка массой движется по прямой линии к центру (рис. 3), притягивающему ее с силой, где — расстояние точки от центра. Движение начинается с состояния покоя при. Найти время, по истечении которого точка достигнет центра.

Рис. 3.

Решение. По условию задачи в любой момент на точку действует сила. Отсюда получаем дифференциальное уравнение движения

или.

Решая его как уравнение типа, находим общее решение

. (15)

Начальные условия: при и. Из первого условия имеем:

.

Второе условие

или.

Для определения постоянных интегрирования и имеем систему

откуда

. (16)

Подставляя значения (16) в общее решение (15), получим

.

Когда точка достигает центра, расстояние и искомое время

.

2.3 Уравнения типа

2.3.1 Определение кривой по радиусу кривизны

Кривая, проходящая через точки и, имеет радиус кривизны. Найти уравнение этой кривой.

Решение. Радиус кривизны

.

По условию задачи и получаем дифференциальное уравнение искомого семейства

. (17)

Общее решение дифференциального уравнения (17) типа будет

.

Дополнительное условие: кривая проходит через точки и, откуда

(18)

Из системы (18) определяем.

Подставляя эти значения в общее решение, получим

.

2.3.2 Движение пули внутри вещества

Пуля входит в брус толщиной 12 см со скоростью 200 м/сек, а вылетает, пробив его, со скоростью 60 м/сек.

Брус сопротивляется движению пули с силой, пропорциональной квадрату скорости движения (рис. 4).

Найти время движения пули через брус.

Рис. 4.

Решение. Внутри бруса в любой момент на пулю действует сила сопротивления бруса.

Она направлена против движения, а по величине пропорциональна квадрату скорости движения пули в данный момент.

Таким образом,

.

На основании второго закона динамики сила равна произведению массы точки на ускорение, которое сообщается точке, т. е.

.

Сопоставляя уравнения, получим

. (19)

Как известно, скорость точки

, (20)

а ускорение

. (21)

Здесь — путь, — время.

Подставляя значения и в дифференциальной форме из равенств (20) и (21) в уравнение (19), получим дифференциальное уравнение движения

. (22)

Уравнение (22) представляет собой неполное линейное уравнение второго порядка типа

и решается методом понижения порядка путем введения новой искомой функции:

(23)

Применение этого метода для рассматриваемого уравнения (22) приводит к следующему:

.

Уравнение (22) примет вид

.

Разделяя переменные и ,

.

и почленно интегрируя, получаем

.

Подставляем значение и интегрируем еще раз:

;

;

. (24)

Для перехода от общего решения (24) к частному решению определим значения произвольных постоянных и по условию задачи.

Начальные условия: при и м/сек.

Кроме того, продифференцировав уравнение (24), получим

. (25)

Из уравнения (25) определим:

,

а из уравнения (24) —:

или.

Подставляя найденные значения и в общее решение (24), получим частное решение, изображающее уравнение движения в условиях задачи:

;

. (26)

Разрешая уравнение (26) относительно, получим

или. (27)

Как видно из уравнений (26) и (27), для определения искомого времени необходимо найти величины и.

Коэффициент пропорциональности определим из дополнительного условия: при

см = 0,12 м м/сек.

Для применения этого дополнительного условия необходимо продифференцировать уравнение (26):

. (28)

Найденную величину из уравнения (27) подставляем в уравнение (28), которое примет вид

. (29)

Подстановка дополнительных условий приводит к равенству

, (30) откуда.

Анализируя полученную формулу, замечаем, что является линейной функцией и нет надобности в определении, а достаточно найти величину. Это упрощает выкладки.

Из уравнения (30)

Подставляя числовые значения величин и в уравнение (27), получим

сек.

Итак, время прохождения пули через брус равно 0,114 сек (немногим более одной тысячной доли секунды).

2.3.3 Погружение тел в воду

Подводная лодка, не имевшая хода, получив небольшую отрицательную плавучесть, погружается на глубину, двигаясь поступательно (рис. 5). Сопротивление воды при небольшой отрицательной плавучести можно принять пропорциональным первой степени скорости погружения и равным, где — коэффициент пропорциональности, — площадь горизонтальной проекции лодки, — скорость погружения. Масса лодки равна.

Найти:

1) скорость погружения, если при начальная скорость;

2) путь, пройденный погружающейся лодкой за время.

Рис. 5.

Решение. Проектируя действующие при погружении лодки силы на вертикальную ось, получаем дифференциальное уравнение движения

. (31)

Здесь — произведение массы на ускорение (сила тяжести погружающейся лодки), — сопротивление воды.

Вводя подстановку и деля уравнение (31) на, получим

. (32)

В уравнении (32) отделяем переменные и приходим к равенству

. (33)

Интегрируя уравнение (33), получаем зависимость

. (34)

Постоянную определяем из начального условия: при:

.

Таким образом, уравнение (34) принимает вид

.

После простых алгебраических преобразований найдем искомую скорость погружения:

, ,. (35)

Для определения пути, пройденного погружающейся лодкой за время, уравнение (35) переписываем в виде

или.

Интегрируя это уравнение первого порядка с разделенными переменными, находим путь в зависимости от времени:

. (36)

Определим постоянную, используя для этого начальное условие задачи: при.

Из уравнения (36) получим

или. (37)

Тогда искомое частное решение

. (38)

При пройденный путь выразится соотношением

. (40)

2.4 Уравнения типа

Пусть дано уравнение

, (41)

не содержащее явно искомой функции.

Здесь порядок уравнения понижается при помощи замены

,

где — новая неизвестная функция.

Действительно,, поэтому уравнение (41) принимает вид — уравнение уже первого порядка. Пусть — общее решение полученного уравнения. Заменяя функцию на, получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Решая это уравнение, можно получить — общее решение уравнения (41).

При решении задачи Коши для уравнений второго порядка бывает целесообразно определять значения постоянных в процессе решения, а не после нахождения общего решения уравнения. Это связано с тем, что интегрирование порой значительно упрощается, когда постоянные принимают конкретные числовые значения, в то время как при их произвольных значениях интегрирование затруднительно, а то и вообще невозможно в элементарных функциях.

Пример. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

Решение. Так как уравнение не содержит явно искомую функцию, то сделаем замену, откуда. Получили уравнение первого порядка для новой функции:. Это уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные и интегрируем:

.

Таким образом,. Используя начальные условия, получаем. Следовательно,, а после интегрирования. Начальные условия дают. Итак, частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид.

2.4.1 Кривая и радиус кривизны

В точке кривая параллельна оси абсцисс. В любой точке радиус кривизны равен квадрату абсциссы этой точки. Найти уравнение кривой.

Решение. По условию задачи и, приравнивая это значение дифференциальной формуле радиуса кривизны, получаем дифференциальное уравнение искомого семейства кривых

.

Решение этого дифференциального уравнения типа приводит к первому интегралу

, где.

Постоянную интегрирования определяем из дополнительного условия: в точке кривая параллельна оси абсцисс, т. е. при, откуда

или.

Первый интеграл принимает вид

или.

Интегрируя далее, получим второй интеграл

. (42)

Так как кривая проходит через точку, то

или.

Подставляя найденные значения в интеграл (42), получим уравнение искомой кривой

.

2.5 Уравнения типа

Пусть дано уравнение

, (43)

не содержащее явно независимой переменной.

Здесь порядок уравнения можно понизить за счёт введения новой независимой переменной (вместо) по формуле

,

где — новая неизвестная функция.

Действительно, используя правило дифференцирования сложной функции, имеем, Епоэтому уравнение (43) принимает вид — уравнение первого порядка.

Пусть — общее решение полученного уравнения. Заменяя функцию на, получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Интегрируя его, находим общий интеграл уравнения (43):

.

Пример. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.

Решение.

Так как в уравнении явно отсутствует переменная, то сделаем замену

.

Исходное уравнение преобразуется к виду:

.

Рассмотрим два случая:

а);

б).

Заменив на, получим

.

Общее решение в случае а) входит в общее решение в случае б) при.

Найдём постоянные и:

Таким образом, частное решение:.

2.5.1 Нахождение уравнения кривой по нормали и радиусу кривизны

Длина нормали в любой точке кривой равна радиусу кривизны кривой в этой точке. Найти уравнение кривой, параллельной оси абсцисс в точке.

Решение. Длина нормали·. По условию задачи она равна радиусу кривизны. Поэтому дифференциальное уравнение искомого семейства кривых

или. (44)

Общий интеграл дифференциального уравнения (44) типа будет

.

Дополнительное условие: кривая проходит через точку и в этой точке. Тогда

(45) и так как

, то при, получим

. (46)

Постоянные интегрирования найдем из системы уравнений (45) и (46)

Решая ее, находим.

Подставляем найденные значения постоянных интегрирования в общий интеграл и получаем уравнение искомой кривой

или.

Заключение

В курсовой работе были рассмотрены неполные дифференциальные уравнения второго порядка, их типы и методы решения, а так же рассматривались неполные дифференциальные уравнения второго порядка в приложениях.

На примерах была показана возможность использовать неполные дифференциальные уравнения второго порядка в процессе познания окружающей нас действительности. Конечно, рассмотренные примеры далеко не охватывают тот круг вопросов, которые могут быть решены с помощью неполных дифференциальных уравнений второго порядка. Но, во-первых, мы ограничены рамками курсовой работы, а во-вторых, уже и приведённые примеры дают представление о той роли, которую играют неполные дифференциальные уравнения второго порядка при решении практических задач.

В результате выполнения работы сделан вывод о том, что неполные дифференциальные уравнения второго порядка широко используются практически во всех областях науки, особенно в физике, и играют большую роль в познании окружающего нас мира.

Литература

1. Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях. — М: Наука, 1987.

2. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Ижевск 2000.

3. Боярчук А. К., Головач Г. П. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. — М.: Эдиториал, 2001.

4. Зайцев В. П. Математика: Учебное пособие для студентов — заочников 2-го курса /Алт. гос. техн. ун-т им. И. И. Ползунова. — Баpнаул: АлтГТУ, 2009.

5. Ибрагимов Н. Х. Практический курс дифференциальных уравнений и математического оборудования. — Нижний Новгород. — изд-во Нижегородского госуниверсистета имени Н. И. Лобаческого, 2007.

6. Калинин В. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Нефть и газ, 2005.

7. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1967.

8. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. — М. 1967.

9. Пономарев В. В. Составление дифференциальных уравнений. — Минск: Вышэйшая школа, 1973.

10. Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. — М.: Высшая школа, 1989.

11. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — М. 1950.

12. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. — М. 1962.

13. Федорук М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1985.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой