Прямая.
Плоскость.
Кривые и поверхности второго порядка

Тип работы:
Контрольная
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Задание 1:

Даны вершины треугольника АВС с координатами, А (-4; -1), В (8; 8), С (6; -6).

Найти:

1) длину стороны АВ;

2) уравнение стороны АВ;

3) уравнение высоты СD и ее длину;

4) уравнение медианы АМ и координаты т. К пересечения медианы с высотой;

5) уравнение прямой проходящей ч/з т. К

Решение:

1. Расстояние d между точками М11; у1) и М22; у2) определяется по формуле:

Найдем длину стороны АВ:

2. Уравнение прямой проходящей через точки М11; у1) и М22; у2) имеет вид:

Найдем уравнение прямой АВ:

— уравнение прямой АВ.

3. уравнение высоты СD и ее длину;

Уравнение высоты, опущенной из точки М00; у0) на прямую Ах + Ву + С=0. представляется уравнением:

Уравнение высоты, опущенной из точки С (6; -6) на прямую АВ:

представляется уравнением:

— уравнение искомой высоты СD

Расстояние d от точки М11; у1) до прямой Ах+Ву+С=0 определяется по формуле:

Найдем длину высоты СD; С (6; -6);

4. Уравнение медианы АМ т.к. АМ медиана, то М середина ВС. Найдем координаты т. М по формуле: В (8; 8), С (6; -6).

;

Следовательно

Найдем уравнение прямой АМ:

— уравнение медианы АМ.

Так как К — точка пересечения прямых АМ и СD найдем ее координаты решив систему.

К (1,5; 0)

6) уравнение прямой, проходящей через точку К, параллельно АВ

Уравнение прямой проходящей через точки М11; у1) и параллельная прямой Ах+Ву+С=0, представляется уравнением А (х-х1)+В (у-у1)=0.

— уравнение прямой АВ.

Поэтому:

3(х-1,5) — 4(у-0) = 0; 3х — 4,5 — 4у =0

3х — 4у — 4,5 =0

уравнение прямой параллельной АВ и проходящей через точку К.

Задание 2

При каких значениях, А и С прямые

а) перпендикулярны; б) параллельны; в) совпадают.

Решение:

а) перпендикулярны

При любом С и, А = 9 прямые перпендикулярны

б) параллельны

При любом С и, А = -4 прямые параллельны

в) совпадают

При С = -8 и, А = -4 прямые совпадают

Задание 3:

Уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно прямой ВС

Решение:

Плоскость, проходящая через точку М00; у0; z0) и перпендикулярная прямой

Имеет нормальный вектор представляется уравнением

Уравнение прямой проходящей через точки М11; у1; z1) и М22; у2; z2), имеет вид:

Найдем уравнение прямой ВС:

— уравнение прямой ВС.

— уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно вектору ВС;

Задание 4:

Найти расстояние от т., до плоскости, проходящей через точки:

Решение:

1) Расстояние d между точками М11; у1; z1) до плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0 по формуле:

Составим уравнение плоскости

Уравнение плоскости проходящей через три точки М00; у0; z0), М11; у1; z1) и М22; у2; z2), имеет вид:

— уравнение плоскости проходящей через точки:

.

Найдем длину высоты пирамиды, опущенной из вершины S на грань АВС

Задание 5

Найти угол между плоскостями

Решение:

А1х + В1у + С1z + D1=0; А2х + В2у + С2z + D2=0

Находится по формуле:

Задание 6

При каких значениях l прямая параллельна плоскости

Решение:

При l = 6 прямая параллельна плоскости

Задание 7

Перейти к каноническим уравнениям прямой:

треугольник прямая плоскость канонический уравнение

Решение:

Найдем координаты любой точки М на данной прямой. Пусть х = 1, тогда можем найти у и z.

Вычислим направляющие коэффициенты:

— каноническое уравнение прямой.

Задание 8

Найти точку пересечения прямой и плоскости

Решение:

Запишем параметрические уравнения прямой:

Подставим их в уравнение плоскости

Подставляем значение в параметрическое уравнение прямой.

Точка пересечения прямой и плоскости (2; -1; 4).

Задание 9

Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить его

Решение:

— уравнение окружности с центром в т. (2; -3) и радиусом 3.

Задание 10

Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Определите вид кривой. Изобразите кривую. Найдите фокусы и директрисы. Отметьте на рисунке

Решение:

— парабола

Расстояние между фокусами FF/ равно 2c

Следовательно, координаты фокусов:

Вершины эллипса имеют координаты:

А/ А большая ось

В/В и ОВ/ малая ось

Эксцентриситет найдем по формуле:

Найдем директрисы:

Вершины точки D и D/ имеют координаты:

Прямые проходящие через точки D и D/ параллельно малой оси эллипса являются директрисами эллипса.

Сделаем чертеж:

Расстояние между фокусами FF/ равно 2c

Следовательно координаты фокусов:

Вершины гиперболы имеют координаты:

ОА и ОА/ действительные полуоси

ОВ и ОВ/ мнимые полуоси

Асимптоты гиперболы:

Эксцентриситет найдем по формуле:

Найдем директрисы:

Вершины точки D и D/ имеют координаты:

Прямые проходящие через точки D и D/ параллельно оси ОУ являются директрисами гиперболы.

Сделаем чертеж:

Задание 11

Привести к каноническому виду уравнение поверхности и построить его

Решение:

— двуполостный гиперболоид

— эллипсоид.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой