Расчет вероятности наступления события

Тип работы:
Контрольная
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»

Факультет заочного обучения

Контрольная работа № 1

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Выполнил: студент 3 курса

гр. 900 101

Бобровский С.Р.

Минск 2011

Номер задания

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Номер варианта

35

28

34

37

23

22

30

15

2

Задача № 1. 35

В урне 3 белых и 7 черных шаров. Из урны вынимают сразу 6 шаров. Найти вероятность того, что все шесть шаров черные.

Решение

Событие, А — все шесть вынутых шаров черные.

Общее число шаров в урне равно 10. Число n всех равновероятных исходов опыта равно числу способов, которыми можно из 10 шаров вынуть 6:

Число благоприятствующих исходов, учитывая, что шары черные:

Вероятность того, что все шары черные:

Ответ: p=0,033

Задача № 2. 28

Дана схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом (рисунок 1). Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

Рисунок 1

Решение

Введем события: A1 — элемент 1 исправен, A2 — элемент 2 исправен, A3 — элемент 3 исправен, A4 — элемент 4 исправен, A5 — элемент 5 исправен, B- сигнал проходит от точки a к точке b, С- сигнал проходит от точки b к точке c, D- сигнал проходит от точки a к точке c (со входа на выход).

Событие B произойдёт, если будут работать или элемент 1, или элемент 2, или элемент 3:

Вероятность наступления события B:

Событие C произойдёт, если будут работать и элемент 4 и элемент 5:

Вероятность наступления события С:

Соответственно, вероятность наступления события D:

Ответ:

Задача № 3. 34

математический ожидание дисперсия величина

Группа студентов состоит из пяти отличников, десяти хорошо успевающих и семи занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что студент получит отличную оценку.

Решение

Обозначим через, А событие — студент получит отличную оценку

Общее количество студентов, равно 22. Обозначим через:

вероятность вызова отличника;

вероятность вызова хорошиста;

вероятность вызова слабого студента.

Сделаем ряд предположений:

— вызван отличник. Получена отличная оценка:

— вызван хорошист. Получена отличная оценка:

— вызван хорошист. Получена хорошая оценка:

— вызван слабый студент. Получена хорошая оценка:

— вызван слабый студент. Получена удовлетворительная оценка:

— вызван слабый студент. Получена неудовлетворительная оценка:

Событие, А однозначно произойдёт при гипотезах H1, H2 и не произойдет в остальных случаях. Следовательно условные вероятности события A:

По формуле полной вероятности найдём вероятность события A:

Ответ:

Задача № 4. 37

Вероятность того, что данный баскетболист забросит мяч в корзину, равна 0,5. Произведено десять бросков. Найти вероятность того, что будет 8 попаданий.

Решение

n = 10 -- количество произведённых бросков

p = 0,3 -- вероятность попадания при броске

Вероятность того, что из n=10 бросков в корзину k=8 окажутся удачными, определим по формуле Бернулли:

Ответ: P (10,8)=0,04

Задача № 5. 23

Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.

Таблица 1 — Исходные данные

-10

-4

0

4

10

0,2

0,2

0,2

0,2

0,2

Решение

1) Математическое ожидание и дисперсия величины Х:

2) Построим ряд распределения СВ X:

Таблица 2 -Ряд распределения СВ X

-10

-4

0

4

10

> 10

0,2

0,2

0,2

0,2

0,2

0

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

Построим график функции распределения (рисунок 2):

Рисунок 2 — график функции распределения F (x)

Задача № 6. 22

Случайная величина Х задана плотностью вероятности:

Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал.

Решение

1) Вычислим константу исходя из условия нормировки:

Отсюда константа:

2) Определим математическое ожидание СВ Х:

3) Определим дисперсию СВ Х:

4) Определим функцию распределения величины Х:

5) Определим вероятность попадания величины Х в заданный интервал:

Ответ:

Задача № 7. 30

Случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a, b]. Построить график случайной величины Y=(X) и определить плотность вероятности g (y).

Решение

1) Построим график случайной величины для в интервале значений и определим диапазон значений (Рисунок 3): [0; 2]

2) В зависимости от числа обратных функций выделим следующие интервалы для:

обратных функций не существует

обратных функций не существует

3) Вычислим модули производных обратных функций:

Рисунок 3 — график функции

Так как случайная величина Х распределена равномерно на интервале

[-1; 16], то её плотность вероятности равна:

Определим плотность вероятности величины:

Задача № 8. 15

Двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рисунок 4 области B. Двухмерная плотность вероятности f (x, y) одинакова для любой точки этой области B:

Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.

Рисунок 4

Таблица 3 — Исходные данные

Вариант

x1

x2

x3

x4

x5

x6

y1

y2

8. 15

4

0

8

10

10

12

1

2

Решение

1) Построим область B согласно координатам из таблицы 3 и рисунка 4.

Рисунок 5

Проанализируем рисунок 5: область B на промежутке ограничена сверху прямой, снизу, слева прямой справа прямой

Следовательно, совместная плотность вероятности примет вид:

2) Найдём константу из условия нормировки:

с=1/16

Таким образом:

Проверим полученный результат геометрически. Объём тела, ограниченного поверхностью распределения В и плоскостью xOy равен 1, т. е. :

Следовательно, константа с рассчитана верно.

3) Вычислим математические ожидания:

4) Вычислим дисперсии:

Вычислим корреляционный момент:

5) Вычислим коэффициент корреляции между величинами X и Y:

Ответ: с=1/16; Mx = 6; My = 1; Dx = 110/3; Dy = 1/3; Kxy = -2/3; Rxy = -0,191

Задание № 9. 2

Вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а так же определить их коэффициент корреляции Ruv:

U= a0+ a1X1+ a2X2

V= b0+ b1X2+ b2X3

Исходные данные:

a0 = -8

a1 = 4

a2 = 8

b0 = 3

b1 = -4

b2 = 4

m1 = 1

m2 = 0

m3 = 2

D1 = 1

D2 = 4

D3 = 16

K12 = 0

K23 = 4

K13 = 2

Решение:

Математическое ожидание величины U:

mu= a0+ a1 m1+ a2 m 2= -8+4Ч1+8Ч0= -4

Математическое ожидание величины V:

mv= b0+ b1 m2+ b2 m 3= 3−4Ч0+4Ч2=11

Дисперсия величины U:

Du = Ч D1 +Ч D2+2Ч a1Ч a2 Ч K12= 16Ч1+64Ч4+2Ч4Ч8Ч0= 16+256+0=272

Дисперсия величины V:

Dv = Ч D2 +Ч D3+2Ч b1Ч b2 Ч K23= 16Ч4+16Ч16+2Ч-4Ч4Ч4= 192

Математическое ожидание между величинами U и V:

muv = -4Ч11+ 4(-4Ч0+4Ч2)+8(-4Ч4+4Ч4)= -44+32=-12

Корреляционный момент между величинами U и V:

Kuv = -12-(-4) Ч11=-12+44=32

Коэффициент корреляции между величинами U и V:

Ruv =

Математическое ожидание величины x2 x2:

m x2x2= 0*0+4=4

Математическое ожидание величины x1x2:

m x1x2= 1*0+0=0

Математическое ожидание величины x1x3:

m x1x3= 1*2+2=4

Математическое ожидание величины x2x3:

m x2x3= 0*2+4=4

Литература

1) Волковец А. И., А. Б. Гуринович А.Б. Конспект лекций по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов всех специальностей и форм обучения БГУИР. — Мн.: БГУИР, 2003.- 82 с.

2) Жевняк Р. М., Карпук А. А., Унукович В. Т. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студентов. инж. -экон. спец. — Мн.: Харвест, 2000. -384 с.

3) Письменный Д. Т Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистики. — М.: Айрис-пресс, 2004.- 256с.

4) Волковец А. И., А. Б. Гуринович А.Б. Практикум по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов всех специальностей очной формы обучения БГУИР. — Мн.: БГУИР, 2003.- 68 с.

5) Аксенчик А. В., Волковец А. И., Гуревич А. В., Гуринович А. Б. Сборник задач по типовому расчету по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов всех специальностей и форм обучения БГУИР. — Мн.: БГУИР, 2007.- 76 с.

6) Волковец А. И., Гуринович А. Б. Аксенчик А.В. Методические указания по типовому расчету по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов всех специальностей заочной формы обучения БГУИР. — Мн.: БГУИР, 2009.- 65 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой