О пифагорейской математике

Тип работы:
Дипломная
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Белгородский государственный университет

Физико-математический факультета

Кафедра геометрии

Дипломная работа

О пифагорейской математике

Студентки 151 группы д/о

Глумовой Татьяны Анатольевны.

Научный руководитель:

к.ф. -м.н., доцент Проселкова Т. В.

Белгород, 2003

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Пифагорейские анналы (раннее пифагорейство)

1.1 Первый из семи мудрецов и его школа

1.1.1 Жизнь Пифагора

1.1.2 Пифагорейское братство

1.2 Классика греческой науки (пифагорейская школа)

2.2.1 Математика

2.2.2 Музыка

2.2.3 Астрономия

Глава 2. Великие эллины (среднее пифагорейство)

2.1 Евдокс

2.2 Платон

2.3 Александрийская школа

2.3.1 Евклид

2.3.2 Архимед

2.3.3 Эратосфен

2.3.4 Аполлоний

Глава 3. Эллинизм (позднее пифагорейство)

3.1 Никомах

3.2 Птолемей

3.3 Герон

3.4 Диофант

3.5 Порфирий, Ямвлих

3.6 Прокл

Заключение

ВВЕДЕНИЕ

Велико значение математики в повседневной жизни человека. Без счета, без умения правильно складывать, вычитать, умножать и делить числа немыслимо развитие человеческого общества. Четыре арифметических действия, правила устных и письменных вычислений не были выдуманы или открыты каким-то одним человеком. Арифметика возникла из повседневной практики, из жизненных нужд людей и стала такой, какой ее изучают теперь. Но недостаточно изучать только математические понятия, правила и теоремы, общепризнанно, что использование элементов историзма в обучении математике является весьма действенным и эффективным средством формирования познавательного опыта учащихся. Естественным образом оно способствует не только лучшему усвоению материала учениками, но и учит их математическому мышлению, да и мышлению вообще, так как, зачастую только показав, как человечество пришло к данному открытию, можно показать, какими путями возможно движение человеческой мысли вообще. Кроме того, изучение исторических форм математических открытий и математической методологии, их взаимосвязей и их исторического развития способствует современной тенденции гуманизации образования, тем самым, имея огромное значение для математиков и специалистов в области методики математики. Однако, учителя и методисты, отмечая эту важную роль историко-математического материала, справедливо указывают на недостаточность методических пособий, разработок, указаний, да и просто литературы по вопросам подобного рода. Поэтому одной из целей данной работы является восполнение этого пробела. Выбор темы также диктуется еще одним немаловажным обстоятельством. А именно тем, что как наука математика сложилась в религиозно-политическом союзе пифагорейцев в VI в. до н.э. и идейно господствовала на огромной территории античного мира более тысячелетия (VI в. до н.э.- V в. н.э.), передалось в непосредственной традиции и будучи (особенно в начале) строго тайным учением. Между тем фактически в России нет и не было историко-математической или философской школы, чей задачей было бы изучение начала начал нашей науки — математики. Во многом это объясняется объективными причинами. Источников, особенно по раннему пифагорейству, сохранилось очень мало, а в русском переводе их еще меньше. Без преувеличения можно сказать, что наша наука только приступает к изучению этой великой философской и научной школы древности.

Таким образом, выбор данной темы представляется и естественным, и актуальным.

Пифагорейство разделено на три периода: раннее, среднее, позднее. Более подробные характеристики каждого из этих периодов, а также персоналии, можно найти в тексте работы.

ГЛАВА 1. ПИФАГОРЕЙСКИЕ АННАЛЫ (РАННЕЕ ПИФАГОРЕЙСТВО)

1.1 Первый из семи мудрецов и его школа

1.1.1 Жизнь Пифагора

Пифагор — не только самый популярный ученый, но и самая загадочная личность, человек-символ, человек-фантом, философ и пророк. Основоположник дедуктивного научного знания математики и родоначальник многих мистических учений, учредитель научно-философской школы, ставшей воистину союзом Истины, Добра и Красоты. Это я только вкратце описала достоинства Пифагора, чтобы вы представили, какой великой личностью был этот ученый. Если сотни миллионов учащихся умножить на сотни исписываемых ими тетрадей в клеточку, с каждой из которой на нас смотрит таблица Пифагора, то получится астрономическая цифра. Ни одно имя ученого не повторяется так часто. Он был властителем дум, проповедником собственной «пифагорейской» этики, философом, которого по силе духа и силе воздействия можно сравнить разве что с его великими современниками: Конфуцием, Буддой и, возможно, Заратуштрой. Но в отличие от остальных Пифагор создал самую яркую и самую современную «религию». Пифагор воспитал в человечестве веру в могущество разума, убежденность в познаваемости природы, уверенность в том, что ключом к тайнам мироздания является математика.

Этот великий ученый родился на острове Самос в Эгейском море примерно в 570 г. до н. э. Отцом Пифагора был Мнесарх — резчик по драгоценным камням, когда Мнесарх был в Дельфах по своим торговым делам, он и его жена решили спросить у Дельфийского оракула, будет ли Судьба благоприятствовать им во время обратного путешествия в Сирию. Пифия (прорицательница Аполлона), сидя на золотом триподе над зияющим отверстием оракула, не ответила на их вопрос, но сказала Мнесарху, что его жена носит в себе дитя и что у них родится сын, который превзойдет всех людей в красоте и мудрости и который много потрудится в жизни на благо человечества. Мнесарх столь впечатлен был пророчеством, что изменил имя собственной жены на Пифазис в честь Пифийской жрицы. Когда родилось дитя в городе Сидоне, Финикия, оно оказалось, как и говорил оракул, мальчиком. Мнесарх и Пифазис назвали его Пифагором, потому что они верили в то, что ему предсказано оракулом.

По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Таким образом, если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя. Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым — Фалесом. Эта встреча озарила всю дальнейшую творческую биографию Пифагора. Но он не копировал учителя, избрал путь, который из античности вел в современность. Вобрав в себя все знания и умения жителей Милета, Пифагор отправляется в неблизкий путь до Египта. Во время путешествия Пифагор с равным усердием постигал секреты морского искусства и таинства церемониалов различных народов.

Прибыв в Египет, Пифагор сначала знакомился с чужой жизни, но вскоре на смену уличным впечатлениям пришел интерес к внутренней жизни египтян, их религии, обрядом. Все эти религиозные обряды и ритуалы представляли собой целую науку. Пифагор понимал, что путь к знаниям, охраняемым кастой жрецов, лежит через религию. Только изучив в совершенстве сложную иерархию египетских богов, мифов, обрядов и таинств, можно было надеяться проникнуть в плотный круг египетского жречества, а значит, получит доступ к научному знанию. Другого пути не было, и Пифагору на это потребовались годы.

Всякое образование начинается с обучения чтению и письму. Вместе с египетскими мальчишками сел за известняковые пластинки и возмужалый эллин с черной курчавой бородой. Очень скоро Пифагор далеко обогнал своих однокашников и почувствовал себя готовым к осуществлению главной цели своего путешествия — поездке в святая святых жреческой мудрости город Мемфис.

Блуждая по подземному лабиринту, Пифагор потерял точку отсчета на земле, счет времени — он слился с ночным небом, он влетел в первозданную стихию и плыл по ее безграничным просторам. Потоки мыслей о смысле короткой земной жизни и смысле вечного мироздания несли его по эфирному морю, усыпанному звездами. Его мысли собирались в тугие пучки, освещая самые сокровенные тайники сознания. Это путешествие многое изменило в его сознании. Перед жаждущим истины эллином открылись сияющая красота и разумность устройства мироздания. Какая сила удерживает эту неизмеримую громаду в вечном движении? Отчего она не распадается на части и не собирается воедино? Где начало и где конец ее? От этих вопросов разум приходил в немое оцепенение, которое сменялось оживленной работой мысли. Видимо, в эти минуты и решился Пифагор назвать звездный мир словом «космос», что на языке его далекой родины означало порядок, совершенство, прекрасную обустроенность.

И все-таки чувство неудовлетворенности не покидало Пифагора. В глубине души он понимал, что не только под сводом звездного неба, но и над чистым листом папируса открывается истина. Истина сокрыта в числе! В этом для Пифагора не оставалось сомнений, но холодной мудрости чисел предстояло еще долго учиться.

Что же приобрел Пифагор за годы учений в Египте как ученый и, прежде всего как математик? С высоты сегодняшнего знания, оценивая вклад самого Пифагора в математику, пожалуй, следует сказать: немногое. Египетская математика была чисто прикладной наукой: она удовлетворяла потребность в счете (арифметика) и в измерении земельных участков (геометрия).

Но ни в одном папирусе, ни в одной задаче мы не найдем и намека на объяснение, почему следовало действовать так, а не иначе. В египетских папирусах полностью отсутствует главное содержание сегодняшней математики — доказательство. Этим содержанием наполнил математику Пифагор.

Как бы то ни было, но пора ученичества подходила к концу. Возможно, неудовлетворенность бездоказательностью египетской математики ускорило окончательное решение Пифагора возвращаться на родину. Нужно было ехать домой, и создавать свою школу, в которой ясность логики и твердость доказательства стали бы главными строительными материалами. Поэтому, научившись всему, что дали ему жрецы, он, убежав от них, двинулся на родину в Элладу. Однако, проделав часть пути, Пифагор решается на сухопутное путешествие, во время которого его захватил в плен Камбиз, царь Вавилона, направлявшийся домой. Не стоит драматизировать жизнь Пифагора в Вавилоне, т.к. великий властитель Кир был, терпим ко всем пленникам. Вавилонская математика была, бесспорно, более развитой (примером этому может служить позиционная система исчисления), чем египетская, и Пифагору было чему поучится. Но в 530 г. до н.э. Кир двинулся в поход против племен в Средней Азии. И, пользуясь переполохом в городе, Пифагор сбежал на родину.

Много трудностей пришлось преодолеть Пифагору, прежде чем вернуться к берегам родной Эллады. И вот радостное видение, долгие двадцать лет грезившиеся во снах Пифагору, становились явью: на крутом мысе засверкал знакомый силуэт храма Геры Самосской. К власти на Самосе пришел тиран Поликрат. Поначалу он разделил город на три части и правил вместе с братьями Пантагнатом и Силосонтом. Однако вскоре Поликрат стал безграничным властелином острова. Самым грандиозным и искусным сооружением его времен был самосский туннель. Пифагор принимал участие в обсуждении проекта этого сооружения. Вполне возможно, что в этом проекте нашли воплощение геометрические построения.

Самосский тиран поспешил всячески обласкать знаменитого путешественника, слава которого уже бежала впереди него. Но Пифагор не спешил принимать милости Поликрата. Роль придворного полкраба, пусть и украшенного лаврами, никак не устраивала его. Толстые стены дворца тирана и роскошь придворной жизни не могли заглушить острую боль, которую причиняла ему царившая в этих стенах несправедливость. Пифагор не мог жить рядом с источником несчастий своих сограждан. Он удалился за город и для своих занятий облюбовал пещеру в окрестностях Самоса.

Непрерывная череда единомышленников, становившихся учениками, старых друзей и знакомых и просто любопытных потянулись к этой пещере. Дни и ночи проводил Пифагор в беседах, в которых обсуждалось все — от тайников души самосского тирана до тайн мироздания. Возможно, в одной из таких бесед обсуждались геометрические принципы строительства тоннеля.

Жизнь Пифагора в пещере становилась все более уединенной. Но чем дальше отходил Пифагор от жизни общества, тем теснее сближался он с тайной общиной орфиков. Орфики исповедовали религиозное учение, основанное, по их верованиям, самим поэтом Орфеем. Древние мифы утверждали, что Орфей изобрел музыку и искусство стихосложения. Учение орфиков тесно переплеталось с культом Бога растительности Диониса — покровителя виноградства и виноделия. Орфей преобразовал первобытно-разнузданное поклонение Дионису в религиозно-философское учение. Ради освобождения божественной души, заточенной в темнице тела, орфики совершали особые очистительные обряды. Свою жизнь они подчиняли системе особых жизненных правил — «орфическая жизнь». Орфики верили в то, что душа человека бессмертна и подвержена непрерывной цепи перевоплощений. После смерти человека его душа переходит в тело одного животного, потом другого и т. д. Вот почему столь бурно и безудержно исполнялись орфические обряды — мистерии (таинство). Пифагору нравились мистерии орфиков. Нравилась чистота их жизни, призванной развивать в человеке лучшие начала, нравилось стремление орфиков стать частицей единой гармонии природы. Именно внутренняя философия единения с природой, всеобщей гармонии и непрерывного творчества природы занимала мудреца. Оставалось только найти единое первоначала единой природы, отыскать единый источник ее неиссякаемых творческих сил, увидеть первопричину ее гармонии и прекраснейшего устройства. И такую первопричину Пифагор отыскал в числе. Теория числа как единого организующего принципа мироздания стала стержнем всей философской системы Пифагора.

Заметим, что само слово «теория», без которого немыслима современная наука, имеет орфико-пифагорейское происхождение. Первоначально теория означало наблюдение, созерцание Однокоренным словом с теорией является и теорема — зрелище, представление, которое трудами Пифагора стало означать и умозрение, умозаключение, т. е. математическую теорему.

Но орфики составляли лишь ничтожную часть самосского общества. Пифагора угнетала сама атмосфера тирании и произвола. Мысль о том, что не пристало философу, свободному духом, жить в атмосфере насилия, все чаще посещала его. Как ни горька была эта правда, но она оставалась таковой: родина не дала Пифагору духовной свободы, столь необходимой мудрецу. То, чего долгие двадцать лет скитаний он мечтал обрести на родине — душевного равновесия, на родине не было. Судьба вечного странника вновь выбирала дорогу, и он переселился в Кротон.

Итак, с приездом Пифагора в Кротон начинается самый славный период его биографии. Возраст акме (40 лет) — вершина творческих сил человека — стал и временем рассвета философии Пифагора.

1.1.2 Пифагорейское братство

Говорят, что Пифагор был первым человеком, который назвал себя философом; в самом деле, мир обязан как раз ему этим термином. До него умные люди звали себя мудрецами, что означало человек, который знает. Пифагор был гораздо скромнее. Он ввел в обращение термин философ, который определил как тот, кто пытается найти, выяснить.

В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Сначала в Кротоне на него смотрели искоса, но через некоторое время власть имущие в этом городе уже искали его совета в делах огромной важности. Он собрал вокруг себя небольшую группу преданных учеников, которых посвятил в глубокую мудрость, ему открытую, а также в основы оккультной математики, музыки, астрономии, которые рассматривались им как треугольное основание для всех искусств и наук. Это был одновременно религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Основу пифагорейского союза, скорее всего, составляли многочисленные братства орфиков. Орфики были близки Пифагору по духу, и он сумел объединить их единый религиозно-политический союз. Таким образом, семена учения Пифагора упали на подготовленную орфиками почву, и именно поэтому союз быстро завоевал в Кротоне широкую известность и стал ведущим центром духовной и общественной жизни полиса.

Чем же объясняется феноменальная популярность Пифагора в Кротоне? По-видимому, прежде всего незаурядными личными качествами философа, его умение увлечь за собой людей. Но не только сила личности и мудрость Пифагора, но и высокая нравственность проповедуемых им идей и жизненных принципов притягивало к нему единомышленников. Поначалу именно талант политического оратора и религиозного проповедника, а не мудрость философа и тем более естествоиспытателя принесли Пифагору успех. Нравственные принципы и правила, проповедуемые Пифагором, и сегодня достойны подражания.

Изучение геометрии, музыки и астрономии считалось существенным для понимания Бога, человека или Природы, и никто не мог полагать себя учеником Пифагора до тех пор, пока не овладевал в достаточной степени этими науками. Каждый претендент проверялся по этим трем предметам, и, если обнаруживалось его невежество, он быстро изгонялся. Ритуал посвящения в члены пифагорейского братства был окружен множеством таинств, разглашение которых сурово каралось. Когда к нему приходили младшие и желающие жить совместно, то он не сразу давал согласие, а ждал, пока их не проверит и не вынесет о них свое суждение. Философская школа Пифагора была в известной мере также серией инициаций, поскольку он заставлял учеников проходить через различные ступени и никогда не вступал с ними в личный контакт, пока они не достигали определенной ступени совершенства. Согласно его биографам, степеней было три. Во-первых, это касалось «Математики» — его ученикам вменялось в обязанность знание математики и геометрии, которое было тогда и могло бы быть сейчас, если бы масонство было должным образом внедрено, основанием, на котором воздвигалось все знание. Во-вторых, это касалось «Теории», которая имело дело с искусными приложениями точных наук. Наконец, речь шла о степени «Избранности», которая присваивалась кандидату тогда, когда он постигал свет полного просвещения, какого только можно было достичь. Ученики пифагорейской школы разделялись на «экзотериков», или учеников внешних степеней, и «эндотериков», тех, кто проходил третью степень инициации и был допускаем к секретной мудрости. Молчание, секретность и безусловное повиновение были кардинальными принципами этого великого ордена" Но и попав в орден после строгого отбора и испытательного периода, новички могли только из-за занавеса слушать голос учителя, видеть же его самого разрешалось только после нескольких лет очищения музыкой и аскетической жизни. Пифагорейский аскетизм сводился, прежде всего, к обету молчания. Пифагорейцы с равным усердием заботились и о физическом, и о духовном развитии. Именно в пифагорейской среде родился термин калокагатия, обозначавший греческий идеал человека, сочетающего в себе эстетическое (прекрасное) и этическое (добро) начала, гармонию физических и духовных качеств. Атмосфера высокой нравственности и самосовершенствования окружала пифагорейский союз, а ее благотворное дыхание ощущалось и далеко вне его.

В пифагорейское братство принимали не только мужчин, но и женщин. Ямвлих в жизнеописании Пифагора называет имена 17 женщин — пифагореянок. Но точное число учеников Пифагора неизвестно.

Пифагор был первым, кто вывел человечество из лабиринтов мифотворчества и богоискательства к берегам океана точного знания. Он показал, что именно разум, а не органы чувств приносит человеку истинное знание. Вот почему он советовал своим ученикам переходить от изучения «телесного», т. е. физических объектов, которые никогда не бывают в одном и том же состоянии, к изучению «бестелесного», т. е. к изучению абстрактных математических объектов, дающие человеку вечные непреходящие истины. Так математика становится у Пифагора орудием познания мира. А за математикой следует и философия, ибо философия есть не что иное, как распространение накопленного специального знания на область мировоззрения. Так рождается знаменитый пифагорейский тезис: «Все есть число» — кредо философии Пифагора.

1 и 2 не считались числами у пифагорейцев, потому что они представляют две надмирские сферы. Пифагорейские числа начинаются с 3, треугольника, и 4, квадрата. Сложенные между собой и плюс 1 и 2, они дают число 10, великое число всех вещей, архетип Вселенной. Три мира были названы вместилищами. Первый был вместилищем принципов, второй — разума, а третий — низший — вместилищем количеств.

Пифагор учил, что точка символизирует число 1, линия — число 2, плоскость — число 3, и многогранники — число 4.

/

1 2 3 4

Число у пифагорейцев трактуется одновременно как оформленное, материалистически организованное тело, и как душа, которая является организующим принципом тела. Однако в законченной форме учение о числовой гармонии можно видеть у Платона в его диалоге «Тимей». Платон использовал все пифагорейские учения, в частности он пользовался книгами Филолая, который исходит из антитезы предела и беспредельного. «Все существующее должно быть пределом или беспредельным или тем и другим вместе, так как оно состоит ни исключительно из одного предела, ни исключительно из одного беспредельного.

«Число-это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными, условие всего определенного, всего познаваемого», — говорили пифагорейцы.

Основным содержанием пифагорейской математики является учение о числе. Легенда рассказывает, что на пифагорейцев очень сильное впечатление произвел тот факт, что звуки, издаваемые тремя струнами, образуют наиболее благозвучное сочетание, если числа, выражающие их длину, относятся между собой как 3: 4:6, т. е. выражаются отношениями небольших целых чисел. Отсюда якобы и сложилось их учение о числе, как основе мира и человеческого миропонимания. Однако все обстояло гораздо сложнее.

Пифагорейское число имеет мало общего с современным понятием числа. Оно, прежде всего, неотделимо от вещи.

Каждая вещь обладает определенной совокупностью свойств, которые вместе взятые образуют целое. Но каждое свойство, взятое отдельно теряет свою связь с вещью, как с целостностью, то есть вещь распадается. Напротив, каждая часть вещи с ее свойствами, взятые как целое — являются ее элементами. Согласно античным представлениям, каждая вещь есть целость, состоящая из элементов. Элементы всегда находятся в определенном структурном взаимоотношении. Отношения элементов целости могут быть не только разнообразными, но и бесконечными.

Целость можно называть множеством. С современной точки зрения: «Упорядоченное множество-то, в котором каждые два элемента находятся в определенном отношении; а вполне упорядоченное множество-то, в котором каждая его часть обладает первым элементом. Каждая вещь есть не что иное, как бесконечное и вполне упорядоченное множество.

Между двумя элементами, как бы они не были близки друг к другу, мыслим всегда и третий элемент; а в каждой из двух образовавшихся половин после разделения цельного расстояния между двумя элементами тоже мыслимо помещение еще нового элемента и т. д. То есть расстояние между 2 элементами может быть бесконечно уменьшаемо до той предельной точки, которая уже не допускает помещения новой точки; т. е. дробление доводится до полной неразличимости элементов, до полной их взаимопронизанности.

Число не есть просто результат счета, но всегда содержит в себе идею порядка и поэтому является структурной целостью. Число способно создавать или, по крайней мере, расчленять вещи, делая их познаваемыми. Числа обуславливают свойства вещей и явлений. Чувственным вещам окружающего мира пифагорейцы приписывали отношения целых чисел.

«Симметричные геометрические тела имели для пифагорейцев и последующих греческих мыслителей величайшее значение. Для того чтобы быть совершенно симметричным, геометрическое тело должно иметь равное число граней, встречающихся в углах, и эти грани должны быть правильными многоугольниками, то есть фигурами с равными сторонами и углами. Пифагор, вероятно, был первым, кто сделал величайшее открытие, что есть только пять таких тел.

Пифагорейцы провозглашали борьбу против падения нравов, и ратовали за суровый образ жизни, прославляя самообладание, смелость и коллективную дисциплину. Они были связаны строгими обязательствами, в частности, члены этого общества должны были хранить в тайне учение своего учителя. Живя сообществом, приверженцы Пифагора совершали тайные обряды и занимались изучением философии и наук. У них было общее имущество, и свои научные открытия они делали общим (внутри своего общества) достоянием. Труды, обычно приписываемые Пифагору, таким образом, относятся не только к легендарному Пифагору, но вообще к трудам этой школы между 585 и 400 гг. до н.э. (раннее пифагорейство)

Таков был пифагорейский союз — любимое детище великого эллинского мудреца. Воистину, то был союз истины, добра и красоты. В умножении знания, постижении гармонии физического и духовного совершенства годы летели как мгновения. Казалось, так было всегда и так будет вечно. Ничто не предвещало близкой беды.

В первоначальном виде союз просуществовал недолго, он распался в результате народного восстания (510 г. до н.э.). Пифагор со своими учениками переместился в Тарент. Но вскоре и в этом городе народ поднимается против аристократии. Пифагору пришлось срочно оставить и Тарент, он поспешил в город Мерапонт.

Когда ему было около 60 лет, Пифагор женился на одной из своих учениц, и у них родилось семь детей. Его жена была замечательно способной женщиной, которая не только вдохновляла его всю оставшуюся жизнь, но и после его убийства продолжала распространять его учение. Как это часто случается с гениями, своей искренностью Пифагор вызвал и политическую, и личную враждебность со стороны граждан Кротона. Среди желавших принять посвящение был Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство, которому Пифагор отказал в этом, и тогда тот решил уничтожить как человека, так и его учение. Через ложные слухи этот человек возбудил в простых людях недовольство философом. Без всякого предупреждения банда убийц ворвалась в небольшую группу строений, где обитали великий учитель и его ученики, подожгли здания и убили Пифагора.

Относительно того, как умер Пифагор, общего мнения нет. Некоторые говорят, что он был убит собственными учениками; другие говорят, что он бежал из Кротона с небольшой группой последователей и, попав в засаду, сгорел в подожженном доме. Еще одна версия говорит о том, что в горящем доме ученики образовали мост из тел, живыми войдя в огонь, для того, чтобы их учитель прошел по нему и спасся, и только впоследствии Пифагор умер от разрыва сердца, скорбя по поводу кажущейся тщетности своих усилий по просвещению и служению человечеству.

Выжившие его ученика пытались продолжать его учение, но они всякий раз подвергались гонениям, и к сегодняшнему дню мало что осталось от свидетельств величия этого философа. Говорят, что его ученики никогда не произносили его имени, а использовали слова Мастер или Этот Человек. Это происходило, возможно, потому, что по преданию имя Пифагора состояло из специальным образом упорядоченных букв и имело огромное священное значение. Журнал «Word» опубликовал статью Т. Пратера, в которой показывается, что Пифагор посвящал своих учеников-кандидатов посредством определенной формулы, скрытой в буквах его имени. Это может быть объяснением того, почему имя Пифагор столь высоко почиталось.

После смерти Пифагора его школа постепенно распалась, но те, кто был облагодетельствован его учением, хранили память о великом философе так же, как они во время жизни почитали человека. Прошло время, и Пифагор стал считаться уже не человеком, а богом, и его рассеянные по свету ученики были объединены общим восхищением все превосходящим гением своего учителя.

1.2 Классика греческой науки (пифагорейская школа)

1.2.1 Математика

Пифагорейцы создали науку о числе, положили начало арифметике, очистив ее от практических приложений, что впоследствии стало уделом «Логистики», которую греки не признавали настоящей наукой.

Числа пифагорейцы мыслили зримо, и иллюстрировали свое виденье в виде камешков, разложенных на песке или счетной доске-абаке. По этой причине греки не знали нуля, так как его невозможно было «увидеть». Но и единица не была полноправным числом, а представлялась как некий «числовой атом», из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу «границей между числом и частями», т. е. между целыми числами и дробями. Число-множество, составленное из единиц. Первым числом, которое можно рассматривать как совокупность других чисел, является число четыре. В самом деле, два нельзя рассматривать как составленное из двух, так как оно состоит из двух единиц. Аналогично, и число три составляется из одной единицы и еще одного только числа два.

Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур. Так возникло понятие фигурных чисел, в котором нашла свое отражение тесная связь, существующая между понятиями числа и пространственной протяженностью.

НАПРИМЕР:

1. Линейные числа (простые) — числа, которые делятся только на единицу и самих себя:

*---*---*---*---* линейное число 5.

2. Плоские числа-числа, представимые в виде произведения двух сомножителей:

*-------*-------*

¦ ¦ ¦ плоское число 6

*-------*-------*

2. Телесные числа, выражаемые произведением трех сомножителей:

*--------*

*-±-----* ¦

¦ *------±* телесное число 8

*--------*

4. Треугольные числа: 3,9

* *

* * * *

* * *

5. Квадратные числа: 9,16

*------*--------* *------ * ------ * -------- *

¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦

*------* * *------ * * *

¦ ¦ ¦ ¦ ¦

*------*--------* *------ * ------ * *

¦ ¦

*------ * ------* -------- *

6. Пятиугольные числа: 5,12

Именно от фигурных чисел пошло выражение «Возвести число в квадрат или в куб».

Если единица была «числовым атомом», то точка считалась «геометрическим атомом». Аристотель писал: «Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения». Для того чтобы быть отличными друг от друга единицы-точки должны были отделяться пространством, каждая точка должна была иметь вокруг себя «поле». Благодаря этому каждое число можно было изображать не только при помощи точек, но и квадратных полей, или тех и других, как, например, число 3 в виде: * * *

Таким образом, в основе здесь лежит понятие числа, которое изображается фигурой; арифметика, подчинена геометрии. Их арифметика была геометрична и наглядна.

Представление чисел в виде правильных геометрических фигур помогало пифагорейцам находить различные числовые закономерности. Например, чтобы получить общее выражение для n-го треугольного числа, которое есть не что иное, как сумма n натуральных чисел 1+2+3+… +n, достаточно дополнить это число до прямоугольного числа n (n+1) и увидеть (именно увидеть глазами) равенство

* * * *

o * * *

о * * * 1+2+3+… +n=n (n+1). (1)

o o o *

o o o o

Написав последовательность квадратных чисел, опять-таки легко увидеть глазами выражение для суммы n нечетных чисел:

* o * * o * * * o

o o * * o * * * o

о о о * * * о 1 + 3 + 5 + … + (2n-1)=n. (2)

o o o o

Для получения квадратных чисел пифагорейцы использовали гномон. Это часть фигуры, соответствующая нечетному числу, от прибавления которого к квадратному числу получается следующее квадратное число. Вообще гномоном называется такое прибавление к геометрической фигуре, которое увеличивает, но не меняет ее например, гномоном треугольника является трапеция.

Наконец, разбивая n-е пятиугольное число на три (n-1) треугольных (после чего остается еще n «камешков»), легко найти его общее выражение:

1 + 4 + 7 + … + 3n — 2 = n+3 = (3)

Разбиением на треугольные числа получается и общая формула для n-го k-угольного числа:

= n + (k-2n) (4)

откуда при k=2,3,4 следуют формулы 1−3.

Сегодняшний школьник легко заметит, что суммы 1−3 есть не что иное, как арифметические прогрессии, разность которых d соответственно равны 1,2,3 (для k-угольного числа d=k-2), и по соответствующей формуле найдет эти суммы и общую формулу (4).

Но в том-то и прелесть пифагорейских доказательств, что они не требуют никаких предварительных знаний и в буквальном смысле очевидны.

Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций, а также легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов-измерения площадей и объемов. Так, представим число 10 в двух формах:

* *

* *

* * * * * * * 5 * 2 = 2 * 5 = 10,

* * * * * * *

* *

легко «увидеть» переместительный закон умножения:

ab = ba.

В том же числе 10 можно «разглядеть» и распределительный закон сложения относительно умножения:

(2+3)М2 = 2 М² + 3 М² =10

Важнейшей частью пифагорейской арифметики было учение о четных и нечетных числах. Не случайно Платон в своих диалогах неоднократно определял арифметику как «учение о четном и нечетном». Четное и нечетное были для пифагорейцев не только основными понятиями теории чисел, но и важнейшими философскими категориями. Пара четное-нечетное наряду с такими, как предел-беспредельное, доброе-злое, включалась в 10 пар противоположностей, которые пифагорейцы считали началами всего сущего. Приведем в качестве примера первые пять положений учения о четном и нечетном:

1) сумма четных чисел является четной;

2) сумма четного количества нечетных чисел четна;

3) сумма нечетного количества нечетных чисел нечетна;

4) четное минус четное есть четное;

5) четное минус нечетное есть нечетное;

Числа четные делятся на равные части, тем самым они выражают, по мнению пифагорейцев, некоторую неопределенность. В отличие от них нечетные делятся на неравные части, и они имеют середину. Числам нечетным приписывается определенность. Например, семь делится на части три и четыре, число четыре есть середина семи, так как до четырех содержится три единицы и после четырех надо прибавить еще три единицы, чтобы получить семь.

Основной результат учения о четном и нечетном можно сформулировать так: произведение двух чисел четно тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из сомножителей четен. Именно на эту теорему опирается доказательство знаменитой теоремы о несоизмеримости. (Сторона и диагональ квадрата несоизмеримы.)

Пифагорейцы изучали некоторые особенные целые числа, как, например, дружественные числа. Это такие числа, одно из которых равно сумме множителей другого. Неоплатоник Ямвлих (около 250−325 гг. н.э.), принадлежащий поздней школе пифагорейцев — неоплатоников, приписывает Пифагору открытие дружественных чисел 220 и 284.

Вершиной пифагорейского учения о четном и нечетном является учения о совершенных числах. Совершенным называется натуральное число, равное сумме всех своих правильных (т.е. меньших этого числа) делителей.

Например:

6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14;

Если сумма делителей оказывалась больше самого числа, то его называли «сверхсовершенным», если она была равна числу — «совершенным», а если меньше — «недостаточным».

Огромную роль сыграло учение о четном и нечетном в доказательстве утверждения: если сумма 1 + 2 + 2 + … + 2 = p является простым числом, то число 2p будет совершенным.

Доказательство этого утверждения сводится к доказательству двух утверждений:

1) других делителей, кроме

1, 2, 2,…, 2, 2;

p, 2р, p, …, 2 p, (5)

у числа 2p нет:

2) сумма делителей равна самому числу, то есть

1 + 2 + 2 + … + 2 + p (1 + 2 + 2 + … + 2)=2p. (6)

Первое утверждение доказывается с помощью учения о четном и нечетном

(Книга II предложение 21−34). Доказательство второго утверждения легко провести на «камешках».

В самом деле, так как по условию 1+2+2+ … +2=p, то, сокращая в (6) обе части равенства на p, имеем:

1+(1+2+2+…+2)=2. (7)

Теперь изобразим данную сумму фигурными числами:

--T- 1+1=2; L-±-

--T-

±±+ 1+1+2=4;

L----

--T-T---

±±+ ¦ 1+1+2+4=8;

L---±---

--T-T---

±±+ ¦

±--±--+ 1+1+2+4+8=16;

¦ ¦

L--------

откуда легко «усмотреть» равенство (7).

Учитывая (7), получим компактную форму записи совершенного числа 2p:

2p=2(1+2+2+…+2…+2)=2(2−1+2)=2(2)

Итак, число

q=2(2−1) (8)

является совершенным при тех значениях n, при которых число p=2−1 является простым. Легко найти первые подходящие значения n:

n=1 p=3 q=2p=6;

n=2 p=7 q=2 p=28;

n=4 p=31 q=2 p=496;

n=6 p=127 q=2 p=8128.

Первые четыре совершенных числа были известны пифагорейцам.

Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к еще одной задаче, задаче о нахождении тройки чисел (положительных) x, y, z которые были решением уравнения x+y=z. Решение этой задачи приписывается Пифагору и поэтому тройки называются пифагорейскими тройками. Ясно, что если x, y, z какая-то тройка пифагоровых чисел, то nx, ny, nz, тоже пифагоровы тройки. Поэтому будем искать простые тройки, т. е. не имеющих общих сомножителей. Начало покажем, что в каждой из таких троек x, y, z один из «катетов"(x или y) должен быть четным, а другой-нечетным.

1. Если предположим, что оба «катета» четные, то четным будет и число, а значит z-четное. Но это противоречит условию о том, что числа не имеют общих множителей.

2. X, y — нечетные, следовательно z четное, но и этого не может быть, так как если x=2p+1, y=2q+1, то. Получим, что z представляет число, которое при делении на 4 дает остаток 2. Между тем, если считать z=2r, то z=4r и значит z: 4. Опять противоречие. Остается, что один из катетов четный, другой нечетный. Поэтому x+y — нечетное, а значит z — нечетное.

Числа (z+y) и (z-y) взаимно просты. Если бы они не были взаимно просты, то имели бы общий делитель, предположим d. Тогда

z+y=dk, а z-y=dm.

Выражая из этих равенств z и y получаем:

z= y=

а это означает, что d является общим делителем z и y, а это противоречит условию задачи. Но если произведение взаимно простых чисел есть точный квадрат, то каждое число есть квадрат целого числа, то есть: z+y=m, z-y=n. Решив систему:

получаем z=, y=, тогда x=mn

m

n

x

y

z

3

5

5

7

• •

1

1

3

1

• •

3

5

15

7

• •

4

12

8

24

• •

5

13

17

25

• •

Пифагор представил следующие правило для нахождения сторон прямоугольного треугольника:

1-й катет 2n + 1

2-й катет

3-й катет

3

5

7

9

• •

4

12

24

40

• •

5

13

25

41

• •

Пропорции

Характерной особенностью пифагорейского мышления было не просто стремление все измерить, но и соизмерить, то есть сравнивать измеренные величины и тем самым раскрывать внутренние связи между ними. Вот почему пропорции, то есть равенства отношений, стали изучаться раньше, чем сами отношения. Пифагорейцы разрабатывали: 1) арифметическое учение о пропорциях с 3-мя типами этого рода пропорций: арифметической, геометрической и гармонической; 2) пропорции 5-ти правильных геометрических тел; 3) музыкальные пропорции внутри октавы; 4) пропорции основных физических элементов, то есть земли, воды, воздуха и эфира.

Для того чтобы составить представление о существе этих пропорций и об их теснейшей взаимосвязи, нужно базироваться на платоновских материалах. Филолай о пяти правильных телах и присущих им пропорциях, о непрерывной и прерывной пропорции. Диадическое начало, понимаемое у пифагорейцев и у Платона как отношение 1: 2, повторяется везде совершенно одинаково. Как от точки мы переходим к прямой, пользуясь этим отношением, так от прямой к плоскости и от плоскости к телу.

Если считать за точку 1, а 2 за прямую, то 2·2=4 будет плоскостью, а 4·2=8 будет телом. От обычной пропорции диада отличается только тем, что обладает зрительным характером, в данном случае геометрическим. С помощью диады греки объединяли переход от одного измерения пространства к другому, то есть диада есть принцип становления, в отличие от нестановящегося и устойчивого бытия, которое они называли «монадой».

Итак, дробь как число для пифагорейцев не существовала, поскольку единица была неделимой. Поэтому дробь (а/b) понималась не как доля единицы, а как отношение двух целых чисел.

Отношение a: b и c: d называли равными, если у a и b существовал такой общий делитель p, а у c и d-делитель q, что

a=mp; c=mq

b=np; d=nq (то есть)

(в частности, при n=1 a=mb, c=md). Тогда пары целых чисел разбивались на пресекающиеся классы пар, имеющих одинаковые отношения:

Наименьшая пара — полностью определяет свой класс. Сегодня эту пару (несократимую дробь) мы бы назвали рациональным числом, определяющим данный класс. В основе большей части доказательств теории отношений лежал универсальный способ нахождения наибольшего общего делителя двух чисел. Этот способ и сегодня с успехом применяется в теории чисел и называется алгоритмом Евклида. Суть алгоритма Евклида состоит в том, что, а делят на b с остатком, затем b делят на этот остаток и т. д. В современном виде это можно записать вот так, где r остаток при делении.

(9)

Евклид доказал, что:

1) если r=1, то НОД (а, b)=1, т. е. числа, а и b взаимно простые;

2) если r =0, то НОД (а, b)=r.

Запишем систему в виде:

(10)

подставляя последующие равенства в предыдущие, получим

(11)

где m целая часть от деления. Дробь (11) называется непрерывной. Из самого принципа построения непрерывной дроби видно, что если она конечна, то, значит, числа a и b имеют общую меру, то есть число является рациональным. Бесконечная непрерывная дробь будет получатся в случае, если a и b несоизмеримы, то есть когда число иррациональное. Таким образом, непрерывная дробь является прекрасным критерием рациональности или иррациональности числа. Однако переход от алгоритма Евклида к непрерывным дробям был осуществлен только через 2000 лет, в эпоху Возрождения.

Понятие величины (отрезка прямой, опр-е см. V кн. «Начал» Евклида) определялось с помощью аксиом равенства и неравенства, и в частности двумя знаменитыми аксиомами.

1. «Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга» («Начала», книга V, определение 4). Иначе, для любых a и b существуют такие числа m и n, что ma>b и nb>a.

2. «Говорят, что величины находятся в том же отношении первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке» («Начала», книга V, определение 5). Иначе, a: b=c:d, если для любых m и n справедливо одно из утверждений:

ma> nb => mc> nd;

ma=nb => mc=nd;

ma< nb => mc< nd.

Эта аксиома, ставшая через 23 века отправным пунктом современной теории действительных чисел, позволяла сравнивать отношения несоизмеримых величин. Оставалось только назвать отношение a: b числом (рациональным, если a и b имели общую меру, и иррациональным в противном случае). Однако это сделал только Ньютон в своей «Всеобщей арифметике» в 1707 г.: «Под числами мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Но вернемся к пропорциям. И так, пифагорейцы знали три вида пропорций:

арифметическая: a-b=c-d;

геометрическая: a: b=c:d; (12)

гармоническая:

Помимо пропорций пифагорейцы особое внимание уделяли непрерывным пропорциям, или средним величинам, то есть таким пропорциям, у которых средние члены совпадали (b=c). Пифагорейцы не только изучали математические свойства средних, но и наполняли их глубоким эстетическим содержанием. Об этом красноречиво свидетельствует следующий отрывок из платоновского «Тимея»: «Невозможно, чтобы две вещи совершенным образом соединились без третьей, так как между ними должна появиться связь, которая скрепляла бы их. Это наилучшим образом может выполнить пропорция… «

Полагая в (12) b=c и переобозначая d через c, получим следующие выражения для средних:

арифметическое среднее: a-b=d-c => b=

геометрическое среднее: a: b=b:c => b= (13)

гармоническое среднее:

Арифметическое среднее понималось пифагорейцами арифметически: как отрезок b, меньший большего отрезка a и больший меньшего c на одну и туже величину a-b=b-c. Геометрическое среднее (b=ac) — геометрически: как площадь квадрата со стороной b, равновеликого прямоугольнику со сторонами a и c. Наконец, гармоническое среднее — как арифметическое среднее для обратных величин. Гармоническое среднее играло большую роль в пифагорейской теории музыки гармонии, откуда и происходит его название.

Среди множества геометрических средних уникальным свойством обладает одно, делящее данный отрезок a на две части x и a-x в геометрической пропорции, то есть так, что отношение целого отрезка a к его большей части x равняется отношению большей части x к меньшей a-x:

a: x=x:(a-x) (14)

Эта геометрическая пропорция приводит к уравнению:

x+ax-a=0,

которое имеет один положительный корень:

x=aц; ц =

Заметим, что = Ф =, то есть ц·Ф=1.

Найдем разложение ц в непрерывную дробь. Рассмотрим бесконечную непрерывную дробь:

(15)

в знаменателе которой нетрудно обнаружить выражение 1+х, т. е.

Отсюда находим уравнение

и его положительный корень х=ц. Следовательно, дробь (15) и есть искомое разложение для ц.

Эта удивительная пропорция, в эпоху Возрождения, была названа Леонардо да Винчи (1452−1519) золотым сечением.

Отметим одно любопытное свойство всех трех средних величин, которое, как утверждает Ямвлих во «Введении в никомахову арифметику», Пифагор привез из Вавилона. Пусть даны две величины a>d. Составим их среднее арифметическое b= и среднее гармоническое c=.

Легко показать, что b> c:

b>c <= > ,

то есть a> b>c>d. Кроме того, легко видеть, что

то есть выполняется основное свойство пропорции (bc=ad), и, следовательно, среднее арифметическое и среднее гармоническое двух величин a и d образуют с ними геометрическую пропорцию:

a: (16)

Эта пропорция играла значительную роль в пифагорейской теории музыки, отчего ее часто называют музыкальной.

Построение средних геометрических было средством извлечения квадратных и кубических корней у древних греков. Фактически извлечение квадратного корня сводилось к построению одной средней геометрической к двум данным величинам: a: x=x:b, x=. Извлечение кубического корня сводилось к построению двух средних геометрических к двум данным величинам: a: x=x:y=y:b. Отсюда x= и y=.

Гармоническое среднее (a-b): (b-c)=a:c определялось Архимедом и Платоном. Гармоническое среднее связывалось с законами музыкальных созвучий, а также и тем, что куб имеет 12 ребер, 8 вершин и 6 граней, где 8-среднее гармоническое чисел 12 и 6. Если 12 и 6 крайние члены пропорции находятся в отношении 2:1 длин струн актавы, то среднее арифметическое 9-образует кварту (отношение 4: 3), а среднее гармоническое 8-квинту (отношение 3: 2); вся пропорция имеет вид 12,9,8,6. (Э. Кольман) Пропорции помогали пифагорейцам «извлекать числа из вещей» и щедро раскрывали перед ними свои сокровища. Возможно, что именно изучение геометрической пропорции и геометрической средней привело пифагорейцев к их главному и трагическому открытию — открытию несоизмеримости.

Открытие несоизмеримости, то есть обнаружение таких величин, отношение которых не может быть выражено с помощью отношения целых чисел, является наивысшим достижением пифагорейской школы и поворотным этапом в развитии всей математики.

В последствии эта ситуация была названа первым кризисом в математике.

Точно не известно, решение какой конкретной задачи привело пифагорейцев к открытию несоизмеримости. Это могло быть сделано в любом из пифагорейских учений: т.к. в арифметике при нахождении средней геометрической чисел 1 и 2, и в геометрии при отыскании общей меры диагонали и стороны квадрата, и в музыке при попытках разделить октаву пополам, что также приводит к нахождению средней геометрической между числами 1 и 2.

ТЕОРЕМА. Сторона AB и диагональ AC квадрата несоизмеримы, т. е. отношение AC: AB не выражается отношением целых чисел.

/

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Допустим противное. Пусть AC и AB соизмеримы,

то есть их отношение равно отношению целых

чисел: AB=m: n, (17)

причем числа m и n одновременно не являются

четными, так как иначе дробь можно было бы

сократить на 2. Возводя (12) в квадрат, имеем

По теореме Пифагора, т. е., и, значит,

m: n=2 => m=2n,

то есть m четно. Согласно учению о четном и нечетном (произведение двух чисел четно тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из сомножителей четен) m также четно, то есть m=2k, откуда m=4k. Тогда

4k=2n, или 2k=n,

то есть n четно, и, следовательно (учение о четном и нечетном), n также четно. Итак, m и n одновременно являются четными, что противоречит предположению о не сократимости. Это противоречие доказывает теорему.

Как видим, доказательство несоизмеримости носит чисто пифагорейский характер, так как целиком основано на учении о четном и нечетном. Но и в этом открытии была трагедия пифагорейцев, родившись в недрах пифагорейского учения, это доказательство наносило смертельный удар породившему его учению. Это открытие опрокидывало всю философскую систему пифагорейцев, которые были убеждены, что элементы чисел являются элементами всех вещей, и весь мир в целом является гармонией и числом". Но никаких чисел, кроме целых и их отношений, пифагорейцы не знали.

Согласно преданию, несоизмеримость открыл сам Пифагор и это открытие долго держалось в тайне. Лишь ученик Пифагора Гиппас, как утверждает Ямвлих, «открыл недостойным участия в учениях природу пропорции и несоизмеримости». За это, продолжает Ямвлих, пифагорейцы «его столь возненавидели, что не только изгнали его из общего товарищества, но даже соорудили ему могилу, как будто некогда бывший их товарищ, в самом деле, ушел из земной жизни».

Но, будучи истинными рыцарями науки, пифагорейцы пытались преодолеть кризис, вызванный открытием несоизмеримости. Они стали изучать эти «неразумные» величины, которые мы сегодня называем иррациональными (от лат. irrationalis — неразумный). Так, иррациональность отношения диагонали и стороны квадрата пифагорейцы объясняли тем, что оба этих отрезка состоят из бесчисленного множества точек и поэтому их отношение сводится к отношению двух бесконечно больших целых чисел. Хотя эта мысль не выдержала критики для геометрических объектов, находящихся в рациональных отношениях, по отношению к иррациональным числам она является справедливой. Действительно, всякое иррациональное число можно с любой степенью точности представить в виде отношения двух целых, причем, чем больше будут эти числа, тем точнее их отношение будет выражать иррациональное число.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой