Разностные схемы для уравнений параболического типа

Тип работы:
Лекция
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Разностные схемы для уравнений параболического типа

1. Решение задачи Коши

Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности

,, , (3. 5)

с условием на прямой t=0

,. (3. 6)

Требуется найти функцию, которая при и удовлетворяла бы уравнению (3. 5), а при выполняла бы условие (3. 6).

Будем считать, что задача (3. 5), (3. 6) имеет в верхней полуплоскости единственное решение, непрерывное вместе со своими производными

, i=1, 2 и, k=1, 2, 3, 4.

Запишем задачу (3. 5), (3. 6) в виде. Для этого достаточно положить

Будем далее считать, что t изменяется в пределах. В рассматриваемом случае

,

Г? объединение прямых t=0 и t=T.

Выберем прямоугольную сетку и заменим область сеточной областью. К области отнесем совокупность узлов, где

,, ,

,, ,.

Заменим задачу разностной схемой вида. Обозначим через точное значение решения задачи в узле, а через - соответствующее приближенное решение. Имеем

Для замены выражений и воспользуемся формулами численного дифференцирования. Имеем:

, (3. 7)

, (3. 8)

, (3. 9)

(3. 10)

Назовем некоторую совокупность узлов, привлекаемых для замены задачи в узле, разностной схемой , шаблоном. Наиболее употребительные шаблоны изображены на рис. 3:

Рис. 3. Явный и неявный шаблоны

Рассмотрим явный двухслойный шаблон. Для него

(3. 11)

Здесь мы воспользовались формулами (3. 7) и (3. 10) и обозначили

.

Введем обозначение

(3. 12)

Теперь на основании формул (3. 11), (3. 12) можно записать разностную схему для задачи:

, (3. 13)

где разностный оператор определяется по правилу

Аналогично, если использовать неявный двухслойный шаблон, можно получить такую разностную схему:

, (3. 14)

где

На основании формул (3. 11) и (3. 13) можно записать

,

где

Аналогично, используя (3. 11), (3. 10), (3. 14), получим

,

.

Выясним порядок аппроксимации разностных схем (3. 13) и (3. 14). В качестве возьмем линейное множество всех пар ограниченных функций

.

Норму в определим правилом

Пусть, где r и s — некоторые положительные числа.

Предположим, что для и верны оценки

,.

Тогда легко получить

, (3. 15)

. (3. 16)

Для параболических уравнений, как мы увидим далее, в случае схемы (3. 13) можно взять S=2, а в случае схемы (3. 14) можно взять S=1.

Из формул (3. 15), (3. 16) следует, что разностные схемы (3. 13), (3. 14) аппроксимируют задачу с погрешностью порядка S относительно h.

Разностная схема (3. 13) позволяет по значениям решения на нулевом слое, то есть по значениям вычислить значения на первом слое. Для этого достаточно в (3. 13) положить n = 0 и произвести вычисления, носящие рекурсионный характер. Потом по значениям можно аналогично при n = 1 вычислить значения и т. д. В силу этого разностную схему (3. 13) называют явной.

Разностная схема (3. 14) такими свойствами не обладает. Действительно, если мы в (3. 14) положим n = 0, то в левой части полученной формулы будет линейная комбинация из значений, в правой части будут значения известной функции и. Для вычисления значений на первом слое в этом случае необходимо решать бесконечную систему линейных уравнений. По этой причине схему (3. 14) называют неявной.

2. Устойчивость двухслойных разностных схем

Определим норму в пространстве по правилу

.

Рассмотрим явную разностную схему (3. 13). Выясним, при каких значениях r, возможна устойчивость этой схемы.

Для доказательства устойчивости надо показать, что разностная схема однозначно разрешима и при любых

,

имеет место оценка ,

где М — постоянная, не зависящая от и и.

Разностная схема (3. 13) — явная, и поэтому ее однозначная разрешимость очевидна.

Перепишем формулу в виде

,, (3. 17)

.

Пусть выполнено условие

или. (3. 18)

Тогда из (3. 17) получим:

,

или

. (3. 19)

Неравенство (3. 19) означает, что при, не превосходит, то есть не возрастает с увеличением n.

Это свойство однородной разностной схемы принято называть принципом максимума. Положим в (3. 19). Это даст

,

,

.

Заметим, что есть число, независящее от m и n. Просуммировав последние неравенства и, учитывая, что, получим

(3. 20)

где обозначено

На основании (3. 20) можно записать

или.

Таким образом, разностная схема (3. 13) при выполнении условия (3. 18), налагаемого на и h, устойчива. Условие (3. 18) весьма жестко, ибо из него следует, что

. (3. 21)

Это приводит к тому, что если мы желаем сохранить устойчивость, то при вычислениях по схеме (3. 13) шаг по времени приходится выбирать очень малым.

Обратимся теперь к разностной схеме (3. 14), соответствующей шаблону, изображенному на рис. 4,

Рис. 4. Неявный двухслойный шаблон

и перепишем ее в виде

(3. 22)

Посмотрим, какие надо проделать вычисления, чтобы, используя формулы (3. 22), можно было вычислить, например, значения на первом временном слое со значениями на нулевом временном слое. Положив в формулах (3. 22) n=0, получим:

(3. 23)

Формулы (3. 23) представляют собой бесконечную систему линейных уравнений относительно неизвестных.

Решение таких систем является сложной и трудоемкой задачей, поэтому разностные схемы (3. 14) неудобны для задач Коши на бесконечных отрезках и применяется редко. Однако если отрезок оси x, на котором рассматривается задача Коши, конечен, то есть, а на прямых x=a и x=b дополнительно заданы некоторые ограничения на решение, то разностные схемы вида (3. 14) оказываются весьма эффективными. В частности, можно показать, что такие схемы являются абсолютно устойчивыми, то есть устойчивыми при любых значениях.

Если, например, на отрезках прямых x=a и x=b, заданы условия, , то вид системы (3. 23) существенно изменится:

(3. 24)

Формулы (3. 24) представляют собой систему M+1 алгебраических уравнений относительно. Матрица этой системы трехдиагональна и ее можно решить методом прогонки. Отсюда ясно, что реализация неявных разностных схем требует больших вычислительных затрат для вычисления решения на одном временном слое, но таких слоев может быть немного из-за того, что в этом случае отсутствуют ограничения на соотношение. Если пользоваться явной разностной схемой, то вычисление решения на следующем слое осуществляется по рекурсионному правилу и связано с минимальными вычислительными затратами, однако из-за ограничения

число временных слоев в случае явных схем может быть существенно большим по сравнению с числом временных слоев для неявных схем.

Рассмотрим теперь вопрос о сходимости схемы (3. 13). Эта схема аппроксимирует задачу (3. 5), (3. 6) с погрешностью порядка и устойчива при. Поэтому схема (3. 13), по теореме об аппроксимации и устойчивости, будет сходящейся. При этом погрешность для приближенного решения будет величиной порядка.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой