Обучение методу математической индукции на адаптационном курсе математики в техническом вузе

Тип работы:
Статья
Предмет:
Педагогика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Обучение методу математической индукции на адаптационном курсе математики в техническом вузе

Н.В. Прокофьева

Доказательство теорем занимает в математическом образовании огромное место. Школьная практика показывает, что при обучении доказательству теорем учебно-познавательная деятельность учащихся направляется учителем главным образом на понимание и запоминание, в ущерб ознакомлению школьников с методами и способами рассуждений, лежащих в основе поиска доказательств. В этом и кроется основная причина несформированности у первокурсников общих умений по доказательству теорем. В результате этого студенты зачастую автоматически записывают за лектором математические доказательства, не принимая активного участия в их поиске.

Самыми распространёнными методами дедуктивных рассуждений в высшей математике являются синтетический, аналитический, аналитико-синтетический методы, метод от противного и метод математической индукции.

Методом доказательства называют способ связи аргументов от условия к заключению суждения. То есть, метод доказательства — это некая общая схема логических связей, пользуясь которой можно найти способ доказательства математического утверждения.

Метод доказательства можно рассматривать с разных позиций. Нами были выделены четыре основных аспекта рассмотрения метода доказательства: идейный, процессуальный, формально-логический и функционально-оценочный [2].

Идейный аспект рассмотрения метода доказательства мы связываем, прежде всего, с определением характеристики общего замысла метода; процессуальный аспект — с наличием в методе доказательства определённой последовательности логических действий или алгоритмических предписаний, которые, в конечном счёте, определяют его структуру; формально-логический аспект — с определением правил и законов логики, лежащих в основе данного метода; функционально-оценочный аспект связан с определением условий и области применения метода, его достоинств и недостатков.

Рассмотрим содержание каждого из названных аспектов на примере метода математической индукции.

Метод математической индукции является одним из высокоэффективных методов доказательства истинности выдвинутых предположений и доказательств теорем высшей математики. Хотя этот метод в математике не нов (он был предложен Б. Паскалем в 1654 году для доказательства простого способа вычисления числа сочетаний), интерес исследователей к нему возрос в связи с развитием дискретной математики.

В педагогических вузах методу математической индукции и его обоснованию посвящена целая лекция по алгебре и теории чисел (первый курс, тема «Числовые системы»). В технических вузах программа по высшей математике иная. Она предусматривает изучение метода математической индукции на первых лекциях математического анализа для доказательства тождеств, неравенств и бинома Ньютона, используемых в основном для вычисления пределов. Так, лекционный материал, посвящённый данному методу, играет зачастую подчинённую роль и преподносится студентам в тезисной форме. В связи с этим метод математической индукции воспринимается первокурсниками как искусственная схема рассуждения, не понятная ими по сути, но доступная в рамках каждого отдельного шага. Особенно это проявляется в тех случаях, когда студенты встречаются с ним впервые.

Пропедевтическое изучение метода математической индукции целесообразно осуществлять в соответствии с выделенными выше аспектами на занятиях адаптационного или вводного курсов математики.

Основные характеристики аспектов метода математической индукции представлены в ниже следующей таблице.

Аспекты

рассмотрения метода

Характеристика аспекта метода

1

Идейный

аспект

Идея математической индукции была, фактически, известна уже в древности. Действительно, налицо связь этого метода с античным парадоксом «кучи»: одно зерно не образует кучи; если n зёрен не могут образовать кучи, то n+1 зерно не может образовать кучи, а потому куч не существует, что противоречит опыту.

Современное название метода было введено де Морганом в 1838 году.

В настоящее время в теории и практике обучения используется в качестве иллюстрирующей идеи этого метода идея «бегущей волны доказательств», модельным примером которой является волна падений бесконечного ряда костяшек домино.

Пусть какое угодно число костяшек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая костяшка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней костяшку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую костяшку (это база индукции), то все костяшки в ряду упадут.

2

Процессуальный аспект

Метод математической индукции (ММИ) можно рассматривать как алгоритмическое предписание, состоящее из трёх этапов: базы индукции (БИ), шага индукции (ШИ) и индукционного вывода (ИВ).

БИ. Проверяется истинность утверждения А (n) для

n = 1.

ШИ. Доказывают, что если утверждение А (n) справедливо при n = k, то оно справедливо и при

n = k+1.

ИВ. Делают вывод, что А (n) истинно при всех натуральных значениях n.

3

Формально-логический

аспект

ММИ базируется на принципе математической индукции, справедливость которого доказывается на основании аксиомы индукции (аксиомы Пеано, которая определяет натуральные числа). То есть, метод является дедуктивным по сути и индуктивным по форме.

Известны различные формулировки принципа математической индукции. Одна из них следующая: пусть дано некоторое утверждение A (n), зависящее от натурального числа n, и выполняются следующие условия:

1) A (n) истинно при n=1;

2) если A (n) истинно при всех n=k (где k - любое натуральное число), то оно истинно и для следующего значения n=k+1. Тогда А (п) истинно для всех натуральных значений п.

4

Функционально-оценочный

аспект

Понятие «математическая индукция» прошло стадии развития от идеи, аксиомы индукции, принципа индукции и, наконец, до понятия метода математической индукции. ММИ используется при доказательстве предложений, зависящих от переменного натурального числа n или при доказательстве утверждения для бесконечного количества математических объектов. Для ММИ безразлична природа этих объектов. Они могут быть геометрическими, теоретико-числовыми и т. д.

ММИ широко применяется при доказательстве теорем, тождеств, неравенств, при решении задач на делимость, при решении некоторых геометрических задач; является основным инструментом доказательства правильности рекурсивных алгоритмов; используется для доказательства истинности выдвинутых предположений.

Исходя из теории поэтапного формирования умственных действий и психологических исследований, изучение метода математической индукции можно проводить по следующей схеме:

1. Актуализация знаний студентов. Ознакомление студентов с понятием метода математической индукции полезно начинать с введения сопутствующих понятий, таких как индукция и дедукция, полная и неполная индукция, гипотеза исследования. При этом необходимо привести яркие примеры из истории математики «обманчивых» гипотез, прошедших лишь «конечную» проверку [4]. В результате чего можно сделать вывод, что неполная индукция часто приводит к ошибочным результатам, поэтому не считается в математике законным методом строгого доказательства. Однако неоспорима эвристическая роль неполной индукции, как мощного метода открытия новых истин.

Тогда возникает вопрос. Имеется утверждение, справедливое в нескольких частных случаев. Все частные случаи рассмотреть невозможно. Как же узнать справедливо ли это утверждение вообще? Во многих случаях этот вопрос удаётся решить посредством применения особого метода рассуждений — метода математической индукции.

Рассмотрим особый пример на применение метода математической индукции, который имеет свою замечательную историю. Выдающийся математик А. Н. Колмогоров вспоминал: «Радость математического «открытия» я познал рано, подметив в возрасте пяти-шести лет закономерность

1 =12,1 + 3 = 22,1 + 3 + 5 = З2,1 + 3 + 5 + 7 = 42 и так далее.

В нашем доме под Ярославлем мои тётушки устроили маленькую школу, в которой занимались с десятком детей разного возраста по новейшим рецептам педагогики того времени. В школе издавался журнал «Весенние ласточки». В нем мое открытие было опубликовано." [1].

Какое именно доказательство было приведено в этом журнале, не известно… Сама гипотеза, которая, наверняка, возникла после обнаружения этих частных случаев, состоит в том, что формула 1+3+5+…+ (2n — 1) = n2 верна при любом натуральном числе п. Теперь мы обязаны либо строго доказать справедливость этой формулы, либо её опровергнуть. Для доказательства следует воспользоваться методом математической индукции.

2. Ознакомление с идеей метода (см. табл. п. № 1). Заметим, что идею (смысловую суть) метода математической индукции можно рассматривать, используя также (кроме аналогии с волной падений костяшек домино) аналогией с ходьбой по лестнице, застёжкой-молнией и т. п.

3. Запись алгоритмического предписания для решения задач и доказательства математических утверждений методом математической индукции (см. табл. п. № 2).

4. Проведение логического обоснования метода. Метод математической индукции основан на принципе математической индукции, который доказывается с помощью аксиомы Пеано (аксиомы арифметики натуральных чисел). Метод математической индукции — дедуктивный метод доказательства. Название «математическая индукция» обусловлено тем, что этот метод просто ассоциируется в нашем сознании с традиционными «индуктивными» умозаключениями (ведь базис действительно доказывается для частного случая); индуктивный шаг доказывается по строгим канонам дедуктивных рассуждений [3].

Академик А. Н. Колмогоров считал, что «понимание и умение правильно применять принцип математической индукции, является хорошим критерием логической зрелости, которая совершенно необходима математику» [5].

Разделяя мнение известного методиста И. С. Рубанова, отметим, что знакомить обучаемых со строгой формулировкой принципа математической индукции в самом начале изучения данного метода нецелесообразно. «Формализация интуитивно ясного утверждения может вызвать у добросовестного ученика чувство непонимания и породить неуверенность. Напротив, надо всеми средствами делать схему метода математической индукции живее и нагляднее» [2]. Поэтому принцип математической индукции образно можно сформулировать так: если в очереди первой стоит женщина, и за каждой женщиной стоит женщина, то все в очереди — женщины.

Определение сферы применения метода, его достоинств и недостатков (функционально-оценочный аспект) (см. табл. п. № 4).

5. Решение типовых задач на отработку метода математической индукции.

В рамках этой статьи приведём лишь доказательство одной формулы. Докажем предположение, что 1+3+ 5+ …+ (2n - 1) = n2, где

Непосредственная проверка этого утверждения для каждого значения n невозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно. Чтобы доказать это утверждение, воспользуемся методом математической индукции.

БИ: Имеем n=1=12. Следовательно, утверждение верно при n=1, т. е. А (1) истинно.

ШИ: Докажем, что А (k) A (k+1).

Пусть k — любое натуральное число и пусть утверждение справедливо для n=k, т.е. 1+3+5+…+ (2k-1) =k2. Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа n=k+1, т. е. что 1+3+5+…+ (2k+1) = (k+1) 2.

В самом деле, 1+3+5+…+ (2k-1) + (2k+1) =k2+2k+1= (k+1) 2.

ИВ: Итак, А (k) А (k+1). На основании принципа математической индукции заключаем, что предположение А (n) истинно для любого nN.

Представленная методика изучения метода математической индукции базируется на четырёх аспектах рассмотрения метода доказательства. Эта идея может быть успешно реализована на адаптационных занятиях по математике в техническом вузе и при изучении синтетического, аналитического методов, а также метода от противного.

метод математическая индукция теорема

Литература

1. Колмогоров А. Н. Математика — наука и профессия / Сост. Г. А. Гальперин. — М.: Наука. Гл. ред. физ. — мат. лит., 1988. — 288 с. — (Б-чка «Квант». Вып. 64.)

2. Лушникова Н. В., Зайкин М. И. К вопросу о структуре метода математического доказательства // Современное образование: научные подходы, опыт, проблемы, перспективы: Мат-лы всерос. науч. -практ. конф. — Пенза, 2006. — С. 102 — 105.

3. Рубанов И. С. Как обучать методу математической индукции // Математика в школе. — 1996. — № 1. — С. 14 — 20.

4. Соминский И. С. Метод математической индукции. — М.: Наука. Гл. ред. физ. — мат. лит., 1965. — 56 с.

5. Успенский В. А. Простейшие примеры математических доказательств. — 2-е изд., стереотипное, — М.: Изд-во МЦНМО, 2012, — 56 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой