Разработка методики обучения учащихся по теме "Векторы на плоскости"

Тип работы:
Курсовая
Предмет:
Педагогика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Содержание

  • Введение
  • Глава 1. Теоретические основы темы «Векторы на плоскости»
  • § 1. Понятие вектора
  • п. 1.1 Понятие вектора
  • п. 1.2 Равенство векторов
  • п. 1.3 Откладывание вектора от данной точки
  • § 2. Сложение и вычитание векторов
  • п. 2.1 Сумма двух векторов
  • п. 2.2 Законы сложения векторов. Правило параллелограмма
  • п. 2.3 Сумма нескольких векторов
  • п. 2.4 Вычитание векторов
  • § 3. Метод координат
  • п. 3.1 Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
  • Глава II. Методические рекомендации
  • § 1. Поурочное планирование
  • § 2. Методические рекомендации к проведению уроков по теме «Векторы на плоскости»
  • п. 2.1 Понятие вектора
  • п. 2.2 Равенство векторов
  • п. 2.3 Лемма о коллинеарных векторах
  • п. 2.4 Сумма векторов
  • п. 2.5 Законы сложения векторов
  • п. 2.6 Вычитание векторов
  • п. 2.7 Произведение вектора на число
  • п. 2.8 Скалярное произведение векторов
  • п. 2.9 Свойства скалярного произведения векторов
  • п. 2. 10 Понятие координат вектора
  • п. 2. 11 Использование векторов при знакомстве с тригонометрическими функциями
  • Заключение
  • Литература

Введение

Теории обучения — дидактике — известны два подхода к обучению: информационно-иллюстративный и деятельностный.

Деятельностный подход применим практически ко всем учебным предметам и предполагает своей целью включение учащихся в учебную деятельность, обучение ее приемам.

Исследования психологов и педагогов, учительский опыт показывают, чтобы научить учащихся самостоятельно и творчески учиться, нужно включать их в специально организованную деятельность, сделать хозяевами этой деятельности. Для этого нужно выработать у школьников мотивы и цели учебной деятельности («зачем учиться математике?»), обучить способам ее осуществления и регулирования («как учиться?»).

Уроки геометрии позволяют в наиболее полной форме научить общим приемам учебной деятельности по усвоению математических понятий.

Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение — тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике.

Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.

В соответствии с требованиями новой программы по математике понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики.

Что же такое вектор? Как ни странно, ответ на этот вопрос представляет известные затруднения. Существуют различные подходы к определению понятия вектора; при этом даже если ограничиться лишь наиболее интересным здесь для нас элементарно-геометрическим подходом к понятию вектора, то и тогда будут иметься различные взгляды на это понятие. Разумеется, какое бы определение мы ни взяли, вектор — с элементарно-геометрической точки зрения — есть геометрический объект, характеризуемый направлением (т.е. заданной с точностью до параллельности прямой и направлением на ней) и длиной. Однако такое определение является слишком общим, не вызывающим конкретных геометрических представлений. Согласно этому общему определению параллельный перенос можно считать вектором. И действительно, можно было бы принять такое определение: «Вектором называется всякий параллельный перенос». Это определение логически безупречно, и на его основе может быть построена вся теория действий над векторами и развиты приложения этой теории. Однако это определение, несмотря на его полную конкретность, нас здесь также не может удовлетворить, так как представление о векторе как о геометрическом преобразовании кажется нам недостаточно наглядным и далеким от физических представлений о векторных величинах.

Таким образом, можно сделать вывод, что изучение векторов в курсе основной школы по геометрии носит характер получения умений и навыков при работе с векторами на базе основного курса геометрии и подготовку учащихся к рассмотрению и восприятию в старших классах темы «Векторы в пространстве»

Цель курсовой работы — разработать методические рекомендации по преподаванию темы «Векторы на плоскости» в школьном курсе геометрии;

Объект — процесс изучения раздела геометрии «Векторы на плоскости»

Предмет — методика изучения темы «Векторы на плоскости» в курсе основной школы.

Задачи:

1. На основе изучения и анализа литературы выделить теоретические основы.

2. Отобрать материал, отражающий теорию введения понятия векторов в школе.

3. Рассмотреть основные разделы изучения векторов на плоскости в курсе геометрии основной школы.

4. Написать методические рекомендации по изучению темы «Векторы на плоскости» в курсе основной школы.

Глава 1. Теоретические основы темы «Векторы на плоскости»

§ 1. Понятие вектора

п. 1.1 Понятие вектора

Многие физические величины, например сила, перемещение материальной точки, скорость, характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением на плоскости или в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами (или коротко векторами).

Рассмотрим пример. Пусть на тело действует сила в 8Н. На рисунке такую силу изображают отрезком со стрелкой (рис. 1). Стрелка указывает направление приложенной силы, а длина отрезка соответствует в выбранном масштабе числовому значению силы.

Отвлекаясь от конкретных свойств физических векторных величин, мы приходим к геометрическому понятию вектора.

Рассмотрим произвольный отрезок. На нём можно указать два направления: от одного конца к другому и наоборот (рис. 1).

Чтобы выбрать одно из направлений, один конец отрезка назовём началом, а другой — концом и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу.

Определение. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой — концом, называется направленным отрезком или вектором.

На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой, показывающей направление вектора. Векторы обозначают двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например. Первая буква обозначает начало вектора, вторая — конец (рис. 2).

На рисунке 3, а изображены векторы

; точки — начала данных векторов, а — их концы. Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: (рис. 3, б).

Для дальнейшего целесообразно условиться, что любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с его концом, на рисунке такой вектор изображается одной точкой. Если, например, точка, изображающая нулевой вектор, обозначена буквой М, то данный вектор можно обозначить (рис. 3, а). Нулевой вектор обозначается также символом. На рисунке 3, а ненулевые, а вектор нулевой.

Длинной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. Длина вектора (вектора) обозначается так:. Длина нулевого вектора считается равной нулю:.

п. 1.2 Равенство векторов

Прежде чем дать определение равных векторов, обратимся к примеру. Рассмотрим движение тела, при котором все его точки движутся с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении. Скорость каждой точки М тела является векторной величиной, поэтому её можно изобразить направленным отрезком, начало которого совпадает с точкой М (рис. 4). Так как все точки тела движутся с одной и той же скоростью, то все направленные отрезки, изображающие скорости этих точек, имеют одно и то же направление и длины их равны.

Этот пример подсказывает нам, как определить равенство векторов. Предварительно вводится понятие коллинеарных векторов.

Определение. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Если два ненулевых вектора коллинеарны, то они могут быть направлены либо одинаково, либо противоположно. Эти вектора называют соответственно сонаправленными и противоположно направленными, при этом используется следующее обозначение:

Начало нулевого вектора совпадает с его концом, поэтому нулевой вектор не имеет какого-либо определённого направления. Иначе говоря, любое направление можно считать направлением нулевого вектора. Условились считать, что нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

Теперь, опираясь на вышесказанное, легко дать определение равных векторов.

Определение. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

п. 1.3 Откладывание вектора от данной точки

Если точка А — начало вектора, то говорят, что вектор отложен от точки, А (рис. 5). Доказывается следующее утверждение:

От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору , и при том только один.

В самом деле, если — нулевой вектор, то искомым вектором является вектор. Допустим, что вектор ненулевой, а точки А и В — его начало и конец. Проведём через точку М прямую р, параллельную АВ (рис. 6) (если М — точка прямой АВ, то в качестве прямой р возьмём саму прямую АВ). На прямой р отложим отрезки MN и, равные отрезку АВ, и выберем из векторов тот, который сонаправлен с вектором (на рис. 6 вектор). Этот вектор и является искомым вектором, равным вектору. Стоит обратить внимание на вывод о единственности такого вектора: такое заключение делается на основе рисунка.

Замечание. Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой. Так обозначены, например, равные векторы скорости различных точек на рисунке 4. Иногда про такие векторы говорят, что это один и тот же вектор, но отложенный от разных точек.

§ 2. Сложение и вычитание векторов

п. 2.1 Сумма двух векторов

Все сказанное пока еще не дает понятие вектора достаточно содержательным и полезным. Большую содержательность и богатую возможность приложений понятие вектора получает тогда, когда мы вводим своеобразную «геометрическую арифметику» — арифметику векторов, позволяющую складывать векторы, вычитать их и производить над ними целый ряд других операций. Отметим в связи с этим, что ведь и понятие числа становится интересным лишь при введении арифметических действий, а не само по себе.

Рассмотрим пример. Пусть материальная точка переместилась из точки, А в точку В, а затем из точки В в точку C (рис. 7). В результате этих двух перемещений, которые можно представить векторами и, материальная точка переместилась из точки, А в точку С. Поэтому результирующее перемещение можно представить вектором. Поскольку перемещение из точки, А в точку С складывается из перемещения из, А в В и перемещения из В в С, то вектор естественно назвать суммой векторов и:.

Рассмотренный пример выводит нас к понятию суммы двух векторов. Пусть и — два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки вектор, равный (рис. 8). Затем от точки B отложим вектор, равный. Вектор называется суммой векторов и.

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Рисунок 8 поясняет это название.

Докажем, что если при сложении векторов и точку А, от которой откладывается вектор =, заменить другой точкой А1, то вектор заменится равным ему вектором. Иными словами, докажем, что если = и =, то = (рис. 9)

Допустим, что точки А, В, А1, точки В, С, B1 и точки А, С, А1 не лежат на одной прямой. Из равенства = следует, что стороны АВ и А1В1 четырёхугольника АВВ1А1 равны и параллельны, поэтому этот четырёхугольник — параллелограмм. Следовательно, =. Аналогично из равенства = следует, что четырёхугольникВСС1В1 — параллелограмм. Поэтому =. На основе полученных равенств заключаем, что =. Поэтому АА1С1С — параллелограмм, и, значит =, что и требовалось доказать.

Сумма векторов и обозначается так: +.

Складывая по правилу треугольника произвольный вектор с нулевым вектором, приходим к выводу, что для любого вектора справедливо равенство + =

Правило треугольника можно сформулировать также следующим образом: если А, В, С — произвольные точки, то + = . Подчеркнём, что это равенство справедливо для произвольных точек, в частности, в том случае, когда две из них или даже все три совпадают.

п. 2.2 Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

Теорема. Для любых векторов, и справедливы равенства:

1. +=+ (переместительный закон)

2. (+) + =+ (+) (сочетательный закон)

Докажем это.

1. Рассмотрим случай, когда векторы и неколлинеарны. От произвольной точки А отложим векторы = и = и на этих векторах построим параллелограмм ABCD, как показано на рисунке 10.

По правилу треугольника =+=+. Аналогично =+=+. Отсюда следует, что +=+.

2. От произвольной точки А отложим вектор =, от точки В — вектор =, а от точки С — вектор = (рис. 11). Применяя правило треугольника, получим:

(+) += (+) +=+=

+ (+) =+ (+) =+=.

Отсюда следует, что (+) + =+ (+). Теорема доказана.

При доказательстве первой части теоремы вводится так называемое правило параллелограмма сложения неколлинеарных векторов: чтобы сложить неколлинеарные векторы и, нужно отложить от какой-нибудь точки А векторы = и = и построить параллелограмм АВСD (рис. 11). Тогда вектор равен +. Это правило часто используется в физике, например при сложении двух сил.

п. 2.3 Сумма нескольких векторов

Сложение нескольких векторов производится следующим образом: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма складывается с третьим вектором и т. д. Из закона сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. Примером может служить построение суммы трёх векторов, , (рис. 11): от произвольной точки А отложен вектор =, затем от точки В отложен вектор = и, наконец, от точки С отложен вектор =. В результате получается вектор = ++. На основе этого ученики должны сделать вывод, что аналогично можно построить сумму четырёх, пяти и вообще любого количества векторов. Сделанный вывод целесообразно закрепить примером, рассмотрев рисунок, приведённый в учебнике (рис. 12)

п. 2.4 Вычитание векторов

Определение. Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору .

Разность векторов и с обозначается так: -.

Пусть — произвольный ненулевой вектор. Вектор называется противоположным вектору, если векторы и имеют равные длины и противоположно направлены.

Вектор, противоположный вектору, обозначается: -. Очевидно, что + (-) = 0.

Теорема. Для любых векторов и справедливо равенство

- = + (-)

§ 3. Метод координат

п. 3.1 Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Лемма. Если векторы и коллинеарны и 0, то существует такое число k, что =k.

Пусть и - два данных вектора. Если вектор представлен в виде =x+y, где x и y — некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по вектора и.

Теорема. Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Глава II. Методические рекомендации

§ 1. Поурочное планирование

№ урока

Название темы

Кол-во

часов

Дата провед.

Прим.

8 класс

I

Векторы

1

Понятие вектора.

1

2

Равенство векторов. Откладывание вектора от данной точки. Обучающая самостоятельная работа (12−15 мин.)

1

3

Сумма двух векторов. Правило треугольника

1

4

Законы сложения векторов. Правило параллелограмма. Обучающая самостоятельная работа. (10 мин.)

1

5−6

Вычитание векторов. Проверочная работа (20 мин.)

2

7

Произведение вектора на число. Применение векторов к решению задач

1

8

Скалярное произведение векторов.

1

9−10

Средняя линия трапеции. Сам. проверочная работа (20−25 мин.)

2

9 класс

II

Метод координат

11−12

Координаты вектора. Простейшие задачи в координатах

2

13

Простейшие задачи в координатах. Сам. работа

1

14

Контрольная работа

1

Данное тематическое планирование не является основным показателем построения уроков по данной теме, но оно может послужить опорным планом при составлении поурочных планов по каждому из предлагаемых уроков.

§ 2. Методические рекомендации к проведению уроков по теме «Векторы на плоскости»

п. 2.1 Понятие вектора

Во многих учебниках вектор определяется как направленный отрезок. Это определение легко запомнить, чтобы потом, повторив, получить хорошую оценку. Но пониманию сути всего огромного материала, который связан с векторами, оно вряд ли может помочь.

Этот материал является совершенно новым для учеников, поэтому понятие вектора даётся явным путём (конкретно-индуктивный) и рассчитано на восприятие учеников. Все обозначения, рисунки — всё это новое, ученик воспримет это так как преподнесёт учитель. Важным является момент наглядности на уроке: заготовленные рисунки с изображением различных видов векторов, аналогия вектора с отрезком, только теперь направленным отрезком.

Прежде всего, что такое направленный отрезок? Вопрос, вероятно, звучит наивно: всё и так понятно. Да и в учебниках даются вполне понятные объяснения. Например, в учебнике Л. С. Атанасяна читаем: «Отрезок, для которого указано, какой из его концов является началом, а какой — концом, называется направленным отрезком». Это определение «устроено» совершенно также, как и многие другие определения, например, определение ромба: указано родовое понятие (отрезок) и видовые отличия. Как пользоваться такими определениями, ученикам должно быть хорошо известно. Например, поскольку ромб это параллелограмм, у которого …, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Однако с направленными отрезками дело обстоит совсем не так. Например, отрезок мыслится составленным из бесконечного числа точек и поэтому два отрезка, изображённые на рисунке 1, имеют общую точку М.

Направленному отрезку принадлежат лишь две точки — его начало и конец. Поэтому ни о каком пересечении направленных отрезков не может быть и речи. К сожалению, этого в школьных учебниках никак не оговаривается.

Так что же такое направленный отрезок? Прежде всего, это не отрезок (так же как анатомический театр совсем не театр). Это — пара точек, т. е. такие две точки, из которых одна является первой. На рисунке 2 отмечены две точки A и B. Можно рассматривать две пары точек: (А, В) и (В, А) и соответственно два направленных отрезка.

Каждая задающая направленный отрезок пара различных точек задаёт луч, который начинается в первой из точек пары и проходит через вторую точку, и расстояние между точками. Луч называется направлением направленного отрезка, расстояние между точками — его модулем или длиной.

Теперь можно ввести привычное изображение направленного отрезка, заданного парой точек (А, В).

п. 2.2 Равенство векторов

Договорившись, что такое направленный отрезок, можно дать определение равных направленных отрезков.

Направленные отрезки называют равными, если:

1) они лежат на одной прямой или на параллельных прямых;

2) их направления одинаковы;

3) их длины одинаковы.

Равенство направленных отрезков должно пониматься учениками в том же смысле, что и равенство таких чисел, как: и т. п. Равные направленные отрезки неразличимы, являются изображениями одного и того же, так же как — различные записи одного и того же числа.

Все равные между собой направленные отрезки целесообразно назвать вектором. Каждый направленный отрезок тоже называется вектором, так как позволяет построить любой из равных ему направленных отрезков, составляющих вектор, т. е. является представителем вектора. Точно также, как говорят о числах и т. д., каждое из которых является «представителем» всех равных ему чисел. (Например, можно найти дробь с любым знаменателем, равную числу 2)

Запись означает, что конкретный направленный отрезок, заданный парой точек (А, В), является «представителем» всех равных между собой направленных отрезков, которые обозначены а.

Запись, а = b означает, что любой «представитель» вектора, а является в то же время «представителем» вектора b и наоборот.

В конце уроке полезным будет провести обучающую самостоятельную работу (15−20 минут) направленную на проверку уровня усвоения материала (это не контроль знаний!). Задачи можно взять прямо из учебника (№ 742, № 743; Л. С. Атанасян, Геометрия 7−9). Очень важно сделать проверку работы сразу же, вместе с учениками, дав понять им где замечены минусы, что нужно подучить, повторить.

вектор урок плоскость

п. 2.3 Лемма о коллинеарных векторах

Рассмотрим поиск доказательства леммы о коллинеарных векторах. В учебнике «как джин из бутылки» появляется указание о необходимости рассмотреть два случая (когда векторы, а и b сонаправлены и когда они противонаправлены) и все остальные рассуждения. Покажем, как весь ход доказательства может быть получен в результате извлечения информации из условия и из заключения.

Дано: векторы и коллинеарные и 0. Доказать: существует такое число, что =.

Из того, что и — коллинеарные, следует, что они лежат па одной прямой или на параллельных прямых.

Число +> 0 в каждом из следующих случаев:

Требуется доказать возможность найти такое число, что:

1)

2)

Поскольку — числа, причем, существует единственное число ||, удовлетворяющее сформулированному требованию:

Сонаправленность и зависит от того, сонаправленны или противонаправленны и, а также от знака. Если направление векторов и одинаково, можно сохранить его, выбрав, равное. Если же направление противоположное, можно изменить его, выбрав, равное.

Поиск доказательства завершен.

п. 2.4 Сумма векторов

Остановимся на трудностях, которые возникают при знакомстве со свойствами суммы векторов. Если ученики, работая по учебнику Погорелова, научились пользоваться приведенным здесь формальным и поэтому весьма трудным определением суммы векторов, то знакомство со свойствами сложения трудностей не вызовет.

Иная ситуация при, работе по учебнику Л. С. Атанасяна. Попробуйте спросить учеников, почему при доказательстве переместительного свойства сложения предлагается самостоятельно, рассмотреть случаи, когда слагаемыми являются коллинеарные векторы, а при доказательстве сочетательного свойства ограничиваются рассмотрением неколлинеарных векторов. Обычно такие вопросы ставят в тупик, и поэтому нуждаются в разъяснении.

Все дело в том, что доказательство переместительного свойства, если рассматриваются неколлинеарные векторы, нельзя повторить для коллинеарных векторов. А при доказательстве сочетательного свойства безразлично, какие именно векторы рассматриваются. Правда, увидеть это в тексте, который дан в учебнике, практически невозможно. Чтобы стало очевидным, что никакие различные случаи здесь рассматривать не следует, предлагаю вообще отказаться при доказательстве от рисунка, построить доказательство исключительно на использовании правила трех точек. Доказательство может быть таким:

Дано: векторы

Доказать:

Дополнение традиционной записи сочетательного свойства первым равенством представляется весьма Полезным, так как подчеркивает: выполняя сложение, можно вообще не ставить скобки, а можно ставить их как угодно. К тому же это подсказывает способ доказательства.

В соответствии с принятым в этом учебнике определением, для отыскания суммы, надо отложить: от произвольной точки, А вектор от точки В вектор; от точки С вектор. Суммой является вектор.

Сумма в этом случае равна

Сумма

Все три рассматриваемые суммы равны одному и тому же вектору. Теорема доказана.

п. 2.5 Законы сложения векторов

Самым главным в этом параграфе является правило треугольника, на котором будут основываться все основные действия с векторами, поэтому этому правилу необходимо уделить основное время.

В конце урока можно провести ещё одну обучающую самостоятельную работу на предмет усвоения сложения двух векторов и законов сложения векторов. Данную работу не обязательно оценивать, тем не менее положительные оценки можно занести в классный журнал, а с учениками, у которых что-то не получилось провести анализ работы, разобрав каждую ошибку.

п. 2.6 Вычитание векторов

Урок следует начать с повторения прошлых тем: сложение векторов, откладывание вектора от данной точки (5−7 минут), а затем перейти к основной теме урока — вычитание векторов. Основываясь на материале школьного учебника, необходимо дать понять ученикам, что вычитание — это тоже сложение векторов, только с использованием противоположного вектора. Естественно, понятие противоположного вектора также даётся явным путём.

В начале второго урока по данной теме разумно будет провести подробный анализ домашней работы, с анализом и исправлением всех ошибок трудностей, возникших при выполнении работы. Тем самым подготовив учеников к проверочной работе, которую следует провести в конце урока (15−20 минут). Естественно, данная работа служит промежуточной проверкой получаемых знаний и умений и не является основным моментом оценки знаний учащихся.

п. 2.7 Произведение вектора на число

Остановимся на трудностях, которые возникают при знакомстве с определением умножения вектора на число и со свойствами произведения.

Из формального и поэтому весьма трудного определения произведения вектора на число в учебнике Погорелова действительно непосредственно следует справедливость обоих распределительных законов. Однако справедливость этих законов совсем не очевидна: доказательство их на. основании определения необходимо осуществить под руководством учителя.

В учебнике Погорелова доказывается теорема о том, что векторы и являются сонаправленными или противонаправленными в зависимости от знака. Думаю, что оно слишком искусственно и непонятно, поэтому предлагаю знакомить с этой теоремой без доказательства.

Определение произведения вектора на число, принятое в учебнике Л. С. Атанасяна, представляется более удачным однако, чтобы успешно им пользоваться, его целесообразно представить в более удобной для работы форме.

Произведением числа на вектор является вектор.

Если = 0 или = 0, то этот вектор равен 0.

Если, а 0 и 0, то: ,

1)

2) и коллинеарны и: если > 0, то; если < 0, то

Как известно, действия с векторами во многом напоминают действия с числами. Полезно вспомнить свойства произведения и предложить ученикам установить, какими из аналогичных свойств может обладать произведение вектора на число.

Свойства нуля и единицы при умножении вектора на число вытекают из определения. Для переместительного свойства аналогичных быть не может. Поэтому надо доказать, что для векторов выполняется сочетательное свойство и два распределительных свойства.

В учебнике Л. С. Атанасяна вместо доказательства отмечается, что такой-то рисунок «иллюстрирует» такой-то закон. Думаю, что по крайней мере некоторые из доказательств посильны ученикам. Приведем их.

Поиск доказательства того, что произведение вектора на число обладает сочетательным свойством:

() = ().

1. Определение произведения ma а числа на вектор пред полагает рассмотрение двух случаев:

1) m = 0 или a = 0;

2)

Если = 0 или = 0, или = 0, то () = () = 0. следовательно, нужен поиск доказательства только для случая, когда.

Надо доказать, что:

1) у векторов () и () равные модули и, поскольку они коллинеарны;

2) эти векторы оба сонаправлены или оба противонаправлены.

2. Докажем, что | () | = | () |. Имеем:

| () | = ||=

Длины рассматриваемых векторов одинаковые.

3. Сонаправленность или противонаправленность каждого из рассматриваемых векторов вектору зависит от знака числового множителя. Следует рассмотреть все возможные случаи знаков чисел и.

Поскольку коллинеарные векторы () и (), имеют одинаковую длину и одинаковое направление, они равны. Поиск доказательства завершен.

Поиск доказательства первого распределительного свойства:

1. Определение произведения вектора на число предполагает рассмотрение двух случаев:

1) m = 0 или а = 0;

2).

Если = 0 или = 0, или а = 0, то равенство очевидно. Следовательно, нужен поиск доказательства только для случая, когда.

Надо доказать, что у векторов и равные модули и эти векторы оба сонаправлены а или оба противонаправлены а.

2. Направление вектора такое же, как у вектора, если > 0 и противоположно направлению вектора а, если < 0.

Чтобы не пропустить чего-либо, можно рассмотреть все случаи, когда > 0 и все случаи, когда < 0.

Поиск доказательства второго распределительного свойства:.

1. Определение произведения вектора на число предполагает рассмотрение двух случаев:

1) m = 0 или а = 0;

2)

Если = 0 или = 0, или = 0, то равенство очевидно.

Следовательно, нужен поиск доказательства только для случая, когда.

Надо доказать, что:

1) у векторов и равны модули;

2) векторы и одинаково направлены.

Смысл произведения понятен, если — натуральное число:

= (а + b) + (а + b) +. + (а + b). Получить сумму можно, если сгруппировать все слагаемые а и все слагаемые b. Число слагаемых а равно, число слагаемых b равно, поэтому

= (а + а +. + а) + (b + b+. + b) =.

Если — натуральное число, поиск доказательства завершен.

Рассматриваемое распределительное свойство верно для любого действительного числового множителя. Но чтобы доказать это, надо знать некоторые сведения из теории действительных чисел, которая в школе не изучается. Полезно сообщить ученикам, что следовало бы рассмотреть также случаи, когда Н — число рациональное не натуральное, когда Н — число иррациональное, объяснить, почему эти случаи в учебнике не рассматриваются.

п. 2.8 Скалярное произведение векторов

В учебнике Л. С. Атанасяна скалярное произведение векторов определяется как произведение модулей векторов па косинус угла между ними, а затем доказывается теорема о том, как можно выразить скалярное произведение через координаты векторов. В учебнике Погорелова определением является утверждение о выражении скалярного произведения через координаты векторов, а справедливость формулы

= | | || соs,

где — угол между векторами и доказывается.

Целесообразно обратить внимание учеников на то, что в качестве определения можно рассматривать и то утверждение, которое в этом учебнике сформулировано в виде теоремы. В этом случае утверждение, являющееся здесь теоремой, надо доказать. Это поможет сформировать понимание того, что одно и то же утверждение в одном курсе может быть определением, в другом — теоремой, что утверждение, которое является аксиомой в одном курсе, может быть теоремой в другом.

В обоих рассматриваемых учебниках доказательство теоремы, эквивалентной определению скалярного произведения, весьма искусственны. Но в учебнике Погорелова, кроме того, в его основе лежат идеи, которые прежде в этом курсе не встречались. Обеспечить понимание и, тем более, усвоение этих идей, как мне кажется, потребовало бы слишком много времени. Поэтому никаких методических рекомендаций в данном случае дать не удается. При работе по учебнику Л. С. Атанасяна соответствующее доказательство может быть получено в результате извлечения информации из условия и из заключения.

Проверяя готовность учеников к знакомству с теоремой о выражении скалярного произведения двух векторов через их координаты, полезно предложить записать теорему, рассматривающую выражение, очень похожее на значение скалярного произведения. Естественно, это теорема косинусов. Например, равенство включает выражение АСВСсоsС, похожее на скалярное произведение векторов АС и ВС (АС =| АС |, ВС =| ВС|, соsС это — косинус угла между векторами СА и СВ).

АВ2 = АС2 + ВС2 — 2АС ВС соsС

При доказательстве соответствующей векторной теоремы рассмотренная задача может подсказать идею поиска доказательства, если векторы неколлинеарные: отложить рассматриваемые векторы от одной точки (рис. 4) и применить к модулям векторов теорему косинусов.

СА =, СВ =, АВ = АС + СВ.

АВ = - С, А + СВ; АВ = -.

РС = ,

где — угол между векторами и. Равенство АВ2 = АС2 + ВС2 — 2АС ВС соsС теперь можно записать так:

(-) 2 = 2+ 2 + 2 соs.

К этому времени ученики уже должны уметь выражать разность векторов и. скалярные квадраты векторов через их координаты. Это позволяет выразить через координаты векторов их скалярное произведение.

Выполнив вычисления, получим нужное равенство.

п. 2.9 Свойства скалярного произведения векторов

Полезно предложить записать, какими свойствами обладает произведение чисел и указать, какими из этих свойств может обладать скалярное произведение векторов.

Для наиболее эффективного запоминания этих свойств полезно будет провести закрепление одним из следующих способов:

1) выборочно попросить учеников воспроизвести по одному из пунктов таблицы (отвечает один ученик по одному из пунктов, учёт ошибок и их исправление — весь класс);

2) предложить по памяти записать (после изучения) таблицу в тетрадь, а затем показав снова таблицу на доске сделать проверку — верно ли была записана таблица.

п. 2. 10 Понятие координат вектора

Большие трудности у учеников при обучении по действующим учебникам вызывает понятие координат вектора. Особенно это относится к учебнику Погорелова, где оно введено предельно формально. Основной причиной затруднений является несоответствие сложившегося в сознании учеников понятия координат точки, которые «привязывают» ее к координатной плоскости, и тем, что бесконечно много направленных отрезков (векторов), расположенных в различных местах координатной плоскости, имеют одни и те же координаты. Эта трудность в большой мере снимается, если реализовать подход к введению понятия вектор который изложен в начале статьи: также как совершенно различные по написанию равные числа т.д. имеют одинаковые координаты на числовой прямой, различные «представители» одного и того же вектора имеют одни и те же координаты. Пара чисел, которая является координатами вектора, «привязывают» к координатной плоскости тот его «представитель», начало которого совпадает с началом координат.

п. 2. 11 Использование векторов при знакомстве с тригонометрическими функциями

Учитывая, что тригонометрические функции к моменту изучения векторов рассмотрены на примере прямоугольных треугольников, данный материал можно использовать как в качестве дополнительного изучения более сильными учениками, так и в качестве разнообразия уроков (но обращать внимание на планирование, дабы не нарушать общее поурочное расписание занятий).

Покажем, как, используя векторы, можно доказать, что, если углы откладываются от положительного направления оси абсцисс и являются центральными углами окружности с центром в начале координат, то значения тригонометрических функций не зависит от радиуса окружности. Дело в том, что в учебнике Л. С. Атанасяна тригонометрические функции вводятся для единичной окружности, но при этом не поясняется, почему это возможно. В учебнике Погорелова понятие единичной окружности вообще не вводится, а оно широко используется, например, при изучении курса «алгебра и начала анализа».

Рассмотрим поиск доказательства того, что величина соs зависит только от угла, а и не зависит от радиуса окружности (рис. 5).

Дано: две окружности с общим центром в начале одной системы координат; радиус-вектор ОА повернут на угол.

В одной окружности:

В другой окружности:

Доказать:

1. Чтобы соответствующие отношения были равны, у них должны быть одинаковые модули и одинаковые знаки.

Модули отношений, например, и равны,

если существует такое число, что СМ = С1М1; ОС =ОС1 На векторном языке это означает: надо доказать, что

2. Точки М и М1, лежат на оси абсцисс. Векторы коллинеарны, поэтому существует такое число, что ОМ = ОМ1.

Точки С и С, лежат на одной прямой, векторы ОС и ОС1, поэтому существует такое число р, что ОС = р ОС1.

По условию М 1С1? Ох и МС? Ох и потому М1С1?? МС.

Векторы М1С1 и МС коллинеарны и потому существует такое число d, что МС= dM1C1

3. Чтобы доказать равенство соответствующих отношений, надо доказать, что равны числа, р и d. Для этого можно, например, доказать, что, если задать отношением, а затем отложить от точки М вектор М1С1, от точки О — вектор ОС1, то отложатся векторы МС и ОС.

4. Если отложить от точки М вектор M1C1, то его концом будет какая-то точка, которую обозначим С2. Надо доказать, что С2 совпадает с С.

О точке С2 известно, что она лежит на прямой СМ, которая проходит через точку М и параллельна прямой С1М1, (вектор МС2 = М1С1 и поэтому коллинеарен вектору М1С1). Если удастся доказать, что точка С2 лежит на прямой ОС1, то тем самым будет доказано, что точки С и С2 совпадают: у прямых ОС1 и СМ только одна точка пересечения. Принадлежность точки прямой ОС, можно доказать, установив, что векторы ОС2 и ОС1 коллинеарны.

Действительно,

ОС2 = ОМ + МС2 = ОМ1 + M1С1,ОС2 = (ОМ1 + М1С1) = ОС,.

Следовательно, числа, р, d одинаковые. Тем самым доказано, что одинаковы модули всех отношений.

5. Каков бы ни был угол, и знаки абсцисс точек С и С1, и знаки их ординат одинаковые. Соответствующие отношения равны.

Поиск доказательства завершен.

В нескольких статьях невозможно остановиться на всех вопросах, вызывающих трудности у учеников. Вместе с тем, очень хочется надеяться: вы не только воспользуетесь имеющимися в статьях конкретными рекомендациями, но и будете стремиться при преподавании всех остальных тем перенести усилия с «запомните» на «примите активное участие в знакомстве с новыми знаниями. Это поможет ученикам не только лучше понять новый материал, но и запомнить его.

Заключение

В ходе выполнения исследования темы изучены основные этапы преподавания темы «Векторы на плоскости» в курсе основной школы.

Задачи, поставленные при выполнении курсовой работы, были выполнены:

проведён анализ математической литературы

Отобран материал, отражающий теорию введения понятия «векторов» в школе.

выявлена практическая значимость темы;

разработаны методические рекомендации;

В исследовании использовались различные методы

подобраны и анализированы научно — математическая литература;

обобщен и систематизирован теоретический материал;

систематизирован теоретический и практический материал;

Изложение материала в работе отвечает основным принципам дидактики: научность, последовательность, доступность, наглядность, умение применять полученные знания на практике.

Для облегчения восприятия излагаемого материала используются формулы, глядя на которые можно с легкостью понять то, о чем говорится в работе.

Выполнение работы потребовало проанализировать учебную и научную литературу, обобщить и систематизировать материал по данной теме.

Курсовая работа отразила все необходимые аспекты для изучения данного вопроса.

Курсовая работа содержит теоретический материал, который может быть использован начинающими учителями общеобразовательных школ для разработки уроков и студентами-практикантами при подготовке уроков.

Литература

1. Геометрия: учебник для 7 — 9 классов средних школ. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов и др. — Москва: Просвещение 1990.

2. Геометрия в 7 — 9 классах. Методические рекомендации к проведению курса геометрии по учебному пособию А. В. Погорелова. Пособие для учителя. Москва. «Просвещение» 1990 г.

3. Геометрия 7 — 9 Учебник для общеобразовательных учреждений. Москва. «Просвещение» 2001 г.

4. Научно-теоретический и методический журнал Математика № 15 2001г.

5. Научно-теоретический и методический журнал Математика № 14 2001г.

6. Я иду на урок. Геометрия 7 класс. Книга для учителей. «Первое сентября» Москва. 2002 г.

7. «Новый справочник школьника» 5−11 класс II том. ИД «Весь». Санкт-Петербург 2003 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой