Методы решения задач Древней Греции

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Отдел образования Калинковичского райисполкома

Государственное учреждение образования

«Средняя общеобразовательная школа № 1 г. Калинковичи»

Методы решения задач Древней Греции

Научно-исследовательская работа по математике

Автор:

Окуленко Антон Русланович, 7 «В» класс

Руководитель

Самсонова Ольга Григорьевна

учитель математики

г. Калинковичи

2010

Введение

Истоки большинства наук, изучаемых в школе, затерялись в далёком прошлом. Своим развитием, накоплением положительных знаний науки обязаны созерцательному и пытливому уму человека, который стремился познать великие тайны науки. Наш век — это век техники, компьютеров, мобильных телефонов, новейших технологий. Мы настолько привыкли к окружающему нас миру предметов, что воспринимаем их как нечто само собой разумеющееся. Всё это дело ума и рук человека. Все науки развивались постепенно и зарождались в далеком прошлом. Без знания прошлого невозможно понять настоящее.

Шло время — века, тысячелетия. Жизнь не стояла на месте. С развитием человечества появляется потребность передавать известия друг другу, писать, считать. Так в далёком прошлом постепенно зарождалась математика.

Греция интересна не только своей природой, но и историческим прошлым. Культ античной Греции — культ совершенного человека. Истории известно, что древние греки были хорошими скульпторами, поэтами, философами и математиками. В древней Греции возникло разделение на математику и математику прикладную. Меня очень заинтересовали задачи древней Греции, и я решил некоторые из них решить. В книге Чистякова В. Д. «Старинные задачи по элементарной математике» я нашёл задачи древней Греции, и они оказались в решении от простых до очень сложных. Некоторые задачи я не смог решить, потому что они были очень трудными. Я пришел к выводу, что ученые-математики древней Греции были крупнейшими математиками в далеком прошлом и задачи, составленные ими интересны и в наши дни.

Теоретическая часть

Первыми учителями древних греков были египтяне. В VІІ в. до н.э. иностранным путешественникам был открыт доступ в Египет. Этим широко пользовались ученые древней Греции. Примерно с ІV в. До н. э. древние греки стали на путь самостоятельных изысканий по математике и достигли в этом направлении значительных успехов, особенно по геометрии. Древние греки интересовались не только вопросами элементарной геометрии, но и заложили основы высшей геометрии.

Пифагор родился на острове Самосе около 570 г. до н.э. и умер в 500 г. до н.э.

В 18-летнем возрасте покинул родной остров и, объехав мудрецов в разных краях света, добрался до Египта, где пробыл 22 года. Затем оказывается в Вавилоне, где пробыл ещё 12 лет. В 56-летнем возрасте возвращается на родину, где соотечественники признали его мудрым человеком. На родине Пифагор создает свою школу. Система обучения была сложной, многолетней. Желающие приобщиться к знанию должны пройти испытательный срок от трех до пяти лет. Все это время ученики обязаны хранить молчание и только слушать Учителя, не задавая никаких вопросов. В этот период проверялись их терпение, скромность. Пифагор учил медицине, принципам политической деятельности, астрономии, математике, музыке, этике и многому другому. Пифагор развил теорию музыки и акустики, создав знаменитую «пифагорейскую гамму» и проведя основополагающие эксперименты по изучению музыкальных тонов: найденные соотношения он выразил на языке математики. В Школе Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том, что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям, идеи «гармонии мира» и «музыки сфер», впоследствии приведшие к революции в астрономии. Пифагор и его последователи своими работами заложили основу очень важной области математики — теории чисел. Все числа пифагорейцы разделяли на две категории — четные и нечетные. Пифагорейцы знали также совершенные и дружественные числа. Совершенным называлось число, равное сумме своих делителей. Дружественные — числа, каждое из которых — сумма собственных делителей другого числа.

Многое сделал ученый и в геометрии. Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математику, и, прежде всего, в геометрию. Строго говоря, только с этого момента математика и начинает существовать как наука, а не как собрание древнеегипетских и древневавилонских практических рецептов. Значительных успехов в теории чисел достиг Пифагор и его ученики. После распада пифагорейского союза ученики Пифагора рассеялись по различным городам Греции. Теорема Пифагора входит во все курсы элементарной геометрии как одна из основных теорем. Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Даже те, кто в своей жизни далек от математики, продолжают сохранять воспоминания о «пифагоровых штанах» — квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора ясна: это простота — красота — значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Противоречие двух начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой.

В области алгебры, в частности в решении неопределённых уравнений, много сделал Диофант, живший на рубеже ІІ-ІІІ вв. н.э. в Александрии. Он улучшил алгебраические методы путем введения первых буквенных алгебраических обозначений и символического изображения уравнений. Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неизвестных в уравнениях должно быть не менее двух (если не ограничиваться только целыми числами). Диофантовы уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями. Это, например, уравнения:

3х+5у=7;

х22 =z2;

4x3+ 3y3=5z3.

Решения диофантовых уравнений более высоких степеней, а также систем уравнений давались с большим трудом. Долгое время надеялись отыскать общий способ решения любого диофантова уравнения. Однако в 1970 г. ленинградский математик Ю. В. Матиясевич доказал, что такого общего способа нет.

Книга Диофанта «Арифметика» содержала большое количество интересных задач, её изучали математики всех поколений. Книга сохранилась до наших дней. В честь Диофанта назван кратер на Луне.

О жизни Метродора, составителя задачи о жизни Диофанта, ничего неизвестно, нет сведений о времени его жизни и смерти. В историю математики древней Греции он вошел как автор задач, составленных в стихах. Задачи Метродора входили в рукописные сборники и имели в своё время большое распространение.

Герон Александрийский; Heron, I в. н. э., греческий механик и математик. Время его жизни неопределенно. Занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой. В оптике сформулировал законы отражения света, в математике -- способы измерения важнейших геометрических фигур. Математические работы Герона являются энциклопедией античной прикладной математики. Работы его дошли до нас не полностью. Из его работ известны «Механика», «Книга о подъемных механизмах», «Пневматика», «Книга о военных машинах», «Театр автоматов», «Метрика».

В лучшей из них «Метрике» даны определение шарового сегмента, тора, правила и формулы для точного и приближенного вычисления площадей правильных многоугольников, объемов усеченных конуса и пирамиды, приводится так называемая формула Герона для определения площади треугольника по трем сторонам, встречающаяся у Архимеда, даются правила численного решения квадратных уравнений и приближенного извлечения квадратных и кубических корней. Содержание математических трудов Герона догматично, правила чаще всего не выводятся, а поясняются на примерах. Это сближает труды Герона с работами математиков Древнего Египта и Вавилона. Влияние работ Герона можно проследить в Европе вплоть до эпохи Возрождения.

Практическая часть

Задачи Диофанта.

№ 1 Решить систему:

х+у =10,

х22 =68.

Решение.

х=10-у,

(10-у)22=68,

х=10-у,

100−20у+ у22 =68.

Решаем отдельно квадратное уравнение.

2-20у+32=0;

D=25−16=9, у1=2,у2=8.

Подставляя значения у1 и у2 в уравнение х==10-у, получим х1=8, х2=2.

Ответ: 8 и 2.

№ 2. Найти два числа, сумма которых 20, а произведение 96.

Решение:

1способ.

Пусть х -первое число, у — второе число.

Составим систему уравнений:

х+у=20,

х·у=96;

х= 20-у,

(20-у)·у=96;

х= 20-у,

20у-у2-96=0;

Решаем отдельно квадратное уравнение.

20у-у2-96=0;

У2-20у+96=0;

D=100−96=4;

у1=12, у2=8.

Подставляя значения у1 и у2 в уравнение х = 20-у, получим, х1=8, х2=12.

Ответ: 8 и 12.

2способ.

Пусть х -первое число, тогда 20-х -второе число.

По условию задачи составляем уравнение:

(20-х)·х=96;

20х-х2-96=0;

х2-20х+96=0;

D=100−96=4;

х1=12,х2=8.

Подставляя значения х1 и х2 в 20-х, получим, у1=8, у2=12.

Ответ: 8 и 12.

№ 3. Найти два числа, отношение которых 3, а отношение суммы квадратов этих чисел к их сумме равно 5.

Решение: Пусть х -первое число, у — второе число.

Составим систему уравнений:

х/у=3,

22) / (х+у)=5;

х=3у,

(3у)22= 5(3у+у);

10у2— 20у=0,

х=3у.

у (у-2)=0, у?0,

х=3у;

у=2,

х=6.

Ответ: 2 и 6.

№ 4. Найти три числа, если дано, что произведение суммы первых двух на третье есть 35, суммы первого с третьим на второе — 27, суммы второго с третьим на первое — 32.

Решение. Пусть х -первое число, у — второе число, z -третье число.

Составим систему уравнений:

(х+у)•z=35,

(х+z)•у=27;

(у+z)•х=32;

хz+уz =35,

ху+zу=27;

ух+zх=32;

хz=35-уz,

ху=27-zу;

27-zу+ 35-уz=32;

хz=35-уz,

ху=27-zу;

30−2zу=0;

хz=20,

ху =12;

zу=15;

х= 20/z,

х=12/у;

у=15;

20/z=12/у,

х=12/у;

у=15;

у= 3/5z,

х=12/у;

z•3/5z=15;

у= 3/5z,

х=12/у,

z2= 15: 3/5;

х= 4,

у=3;

z =5.

Ответ: 4, 3 и 5.

Задачи из «Греческой антологии»

№ 1.

Ослица и мул шли бок обок с тяжелой поклажей на спине. Ослица жаловалась на свою непомерно тяжёлую ношу. «Чего ты жалуешься?» — ответил ей мул.- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет в двое тяжелее твоей. А вот если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей.

Решение.

1 способ

Пусть х — количество мешков ослицы, у — количество мешков мула.

Составим систему уравнений:

у+1=2(х-1),

у-1=х+1;

у+1=2х-2,

у-х=2;

у-2х=-3,

у=2+х;

2+х-2х=-3,

у=2+х;

х=5,

у=2+х;

х=5,

у=7.

Ответ: 5 мешков у ослицы, 7 мешков у мула.

2 способ.

Пусть х — количество мешков ослицы, у — количество мешков мула.

Составим систему уравнений:

у+1=2(х-1),

у-1=х+1;

у+1=2х-2,

у-х=2;

у=2х-3,

у=2+х.

Решаем графическим способом.

Ответ: 5 мешков у ослицы, 7 мешков у мула.

3 способ.

Пусть х — количество мешков ослицы, у — количество мешков мула.

Составим систему уравнений:

у+1=2(х-1),

у-1=х+1;

у+1=2х-2,

у-х=2;

у-2х=-3,

у-х=2.

Используем метод Крамера.

х=?х: ?, у=?у: ?.

?==-1+2= 1

?х==2+3=5

?у==3+4=7

х=5: 1=5; у=7: 1=7.

Ответ: 5 мешков у ослицы, 7 мешков у мула.

№ 2.

-Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещает твою школу и слушают твои беседы?

-Вот сколько, — ответил философ, половина изучает математику, четверть — музыку, седьмая часть пребывает в молчании и, кроме того есть еще три женщины.

Решение.

1 способ.

1) ½+1/4+1/7=25/28 (часть посещает школу)

2) 1−15/28= 3/28 (ч)

3) 3: 3/28=28 (учеников)

Ответ: 28 учеников.

2 способ.

Пусть х -число человек, которые посещают школу.

По условию задачи составляем уравнение:

½х +¼х+ 1/7 х +3=х;

24/28х+3=х;

х-24/28х=3;

3/28х=3;

х=28(учеников).

Ответ: 28 учеников

№ 3. Найти два числа, отношение которых 3, отношение суммы квадратов этих чисел к их сумме равно5.

Решение.

Пусть х -первое число, у — второе число.

Составим систему уравнений:

х: у=3,

22): (х+у) =5;

х=3у,

((3у)22): (у+3у)=5,

х=3у,

10у2: 4у=5,

х=3у,

у2— 2у=0,

Решаем отдельно квадратное уравнение у2— 2у=0, у (у-2)=0, у1=0 (не удовлетворяет условию задачи), у=2.

Тогда х = 3·2=6.

Ответ:6 и 2.

№ 4.

Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает:

«Что так тебя огорчило, ответствуй немедля!»

«Яблок я нёс с Геликона немало, — Эрот отвечает, —

Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу.

Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио

Пятую долю взяла. Талия — долю восьмую.

С частью двадцатой ушла Мельпомена.

Четверть взяла Терпсихора,

С частью седьмою Эрато от меня убежала.

Тридцать плодов утащила Полимния. Сотня и двадцать

Взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа.

Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками.

Только полсотни плодов мне оставили музы на долю.

Решение.

1 способ.

Пусть х -количество всех плодов.

По условию задачи составляем уравнение:

1/12х+1/5+1/8х+1/20х+¼х+1/7х+30+120+300+50=х;

х — 715/840 х=500;

125/840 х=500;

х =500: (25/168);

х = 3360(яблок)

Ответ: 3360яблок.

2 способ.

1) 1/12+1/5+1/8+1/20+¼+1/7=715/840(ч)

2) 1- 715/840=125/840=25/168(ч)

3) 30+120+300+50=500(я)

4) 500: (25/168)=3360(яблок).

Ответ: 3360яблок.

Задача Метродора

На памятнике древнегреческому математику Диофанту есть следующая запись, известная под названием задача Метродора.

Здесь погребен Диофант, и камень могильный

При счете искусном расскажет нам,

Сколь долог был его век.

Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни;

В двенадцатой части затем прошла его светлая юность.

Седьмую часть жизни прибавим -перед нами очаг Гименея.

Пять лет протекли, и прислал Гименей ему сына.

Но горе ребенку! Едва половину он прожил

Тех лет, что отец, как скончался несчастный.

Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжелой

И умер, прожив для науки. Скажи мне,

Скольких лет достигнув, смерть восприял Диофант?

Решение.

1способ.

1) 1/6+1/12+1/7+½=75/84 (ч)

2) 1- 75/84=9/84 (ч)

3) 5+4=9 (л)

4) 9: 9/84 = 84(г)

Ответ: 84 года.

2 способ.

Пусть х — лет Диофанту.

По условию задачи составляем уравнение:

1/6х+1/12х+1/7х+5+½х+4=х;

75/84х+9=х;

х -75/84х =9;

9/84х=9;

х=84(г).

Ответ: 84 года.

Заключительная часть

В написании этой работы я познакомился с новыми математическими терминами, такими как квадратное уравнение, дискриминант, нахождение корней квадратного уравнения, метод Крамера. Я научился решать квадратные уравнения, составлять системы уравнений. Познакомился с задачами древней Греции и самостоятельно изучил научно-популярную литературу по математике и истории возникновения математики. В тоже время мне пришлось ознакомиться с жизнью и творчеством Пифагора, Диофанта, Фалеса. Работа для меня была интересной, увлекательной и немного сложной. Думаю, что в дальнейшем я расширю свои знания в области математики, продолжу изучение этой темы. Считаю, что мои знания позволят, мне решать более сложные задачи древней Греции. Полагаю, что когда-нибудь я смогу решить диофантовы уравнения более высоких степеней.

Я сейчас изучаю интересную и важную науку — математику. Математика проникла во все отрасли знаний. Не зная которой, нельзя надеяться, что можно достигнуть какого-то успеха в химии, биологии, физике и других науках. Уходит в глубину веков история развития математики, но невозможно забыть её творцов и их труды. Хотелось бы закончить свою работу словами А. П. Баратянского: «Я желал более успеть в математиках и вообще в точных науках».

Литература

1. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. -М.: Педагогика. 1985. -352 с., ил.

2. Чистяков В. Д. Старинные задачи по элементарной математике. Изд. 3-е, испр. Мн., «Вышэйш. Школа», 1978. 272 с. с ил.

3. Болгарский Б. В. Очерки по истории математики. -2-е иэд., испр. и доп. -Мн.: Выш. школа, 1979. -368 с., ил.

4. Коренькова А. С. Путешествие и мир графических изображений /А.С. Коренькова, И. Е. Августинович. -Минск: Нац. ин-т образования, 2009. -72с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой