Механика.
Кинематика.
Динамика.
Молекулярная физика

Тип работы:
Учебное пособие
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Механика

1. Введение. Кинематика

Механика изучает механическое движение, условия и причины, вызывающие данное движение, а также условия равновесия тел. Механическим движением называется изменение положения тела или его частей относительно других тел с течением времени. Всякое движение относительно. Характер движения зависит от того, относительно каких тел мы рассматриваем данное движение.

Тело, относительно которого мы рассматриваем положение других тел в пространстве, называется телом отсчета.

Системой отсчета называют систему координат, связанную с телом отсчета, и выбранный метод отсчета времени, т. е. часы.

Выбор системы отсчета зависит от условий данной задачи. Движение реальных тел, как правило, сложное. Поэтому для упрощения рассмотрения движений пользуются законом независимости движений: всякое сложное движение можно представить как сумму независимых простейших движений. К простейшим движениям относятся поступательное и вращательное.

В физике широко пользуются моделями, которые позволяют из всего многообразия физических свойств выбрать главное, определяющее данное физическое явление. Одними из первых моделей реальных тел являются материальная точка и абсолютно твердое тело.

Материальной точкой называется тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи. Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого остается постоянным при его движении.

Эти модели позволяют исключить деформацию тел при движении.

Поступательным называется движение, при котором отрезок, соединяющий любые две точки твердого тела, перемещается при движении параллельно самому себе. Из этого следует, что все точки тела при поступательном движении движутся одинаково, т. е. с одинаковыми скоростями и ускорениями. Примером поступательного движения может служить движение кабины «чертова колеса».

Вращательным называется движение, при котором все точки абсолютно твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения, причем эти окружности лежат в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Пользуясь законом независимости движений, сложное движение твердого тела можно рассматривать как сумму поступательного и вращательного движений.

Одним из первых разделов механики является кинематика, изучающая механическое движение тел без выяснения причин, вызывающих данное движение.

Можно воспользоваться понятием материальной точки для изучения поступательного движения абсолютно твердого тела, так как все точки движутся одинаково. Для определения положения материальной точки в пространстве и описания ее движения необходимы следующие понятия.

Перемещение ?s — вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории, по которой двигалась материальная точка некоторый промежуток времени.

Траектория — линия, описываемая при движении материальной точкой в пространстве.

Путь? — сумма длин отрезков траектории.

При прямолинейном движении (траектория — прямая линия) модуль перемещения равен длине пути ?, если движение происходит в одном направлении.

Быстрота изменения положения материальной точки в пространстве с течением времени характеризуется средней и мгновенной скоростями.

Средняя скорость — векторная величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло:

. (1. 1)

/

Пусть точка движется по траектории от, А до В. На рис. 1.1 показаны перемещение? s и вектор средней скорости vср.

Часто для характеристики движения вводится средняя скорость прохождения пути, равная отношению пути к промежутку времени, за который этот путь пройден:

(1. 2)

На рис. 1.1 ?? — это длина дуги АВ. Ясно, что, поскольку, то |vср|? хср (?). Скорость в данный момент времени определяется мгновенной скоростью.

Мгновенной скоростью называется предел отношения перемещения? s к промежутку времени? t, за который это перемещение произошло, при стремлении? t к нулю:

(1. 3)

Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории. Это вытекает из следующих соображений: vср направлено вдоль секущей АВ (рис. 1. 1). Если? t стремится к нулю, то в пределе точки, А и В сольются в одну точку, при этом секущая превращается в касательную.

Равномерное прямолинейное движение

/

Равномерным прямолинейным называется движение, при котором материальная точка за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. При этом движении мгновенная скорость совпадает со средней:

.

Если выбрать ось х вдоль направления движения, то проекция скорости на ось х равна величине скорости:

.

Из определения скорости следует

,

Откуда закон движения материальной точки, т. е., имеет вид

, (1. 4)

Где х0 — координата материальной точки в момент времени t = 0. Если скорость направлена в сторону, противоположную положительному направлению оси х, то

. (1. 5)

На рис. 1.2 показаны зависимости и от времени.

Относительность движения

Для описания движения необходимо выбрать систему отсчета. В ряде задач приходится рассматривать движение одного и того же тела относительно разных систем отсчета, причем эти системы могут двигаться относительно друг друга. Обозначим скорость движущейся системы отсчета относительно неподвижной v0, скорость тела относительно неподвижной системы отсчета v. Обычно в качестве неподвижной принимается система отсчета, связанная с Землей. Пусть в начальный момент времени начала координат, связанных с подвижной и неподвижной системами отсчета, совпадают (рис. 1. 3, а). Материальная точка находится в начале координат. За время? t материальная точка перемещается в неподвижной системе на? s, в подвижной на ?, начало же подвижной системы переместилось на? s0 (рис. 1. 3, б). Из рисунка видно, что

?s = ?s0 + ?

Разделив на? t левую и правую части равенства, получим

/

откуда

(1. 6)

Полученное уравнение выражает классический закон сложения скоростей.

Движение с переменной скоростью

Величина, характеризующая быстроту изменения скорости, называется ускорением.

Среднее ускорение — величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло:

(1. 7)

Если v1 и v2 — мгновенные скорости в моменты времени t1 и t2, то

, ?t = t2 — t1.

На рис. 1.4. изображены векторы мгновенных скоростей. Чтобы их сравнить, сделаем параллельный перенос вектора v2 в точку А. Тогда? v определит направление аср.

Мгновенное ускорение — ускорение тела в данный момент времени. Это физическая величина, равная пределу отношения изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, при стремлении промежутка времени к нулю:

Вектор амгн направлен так же, как и вектор? v при, и не совпадает в общем случае с направлением вектора скорости v.

(1. 8)

Пусть амгн направлен, как указано на рис. 1. 5, под углом к вектору скорости. Ускорение характеризует изменение скорости по величине и по направлению. Разложим ускорение на две составляющие: аф — тангенциальное ускорение и аn — нормальное (центростремительное) ускорение. Компонента аф направлена по касательной к траектории и характеризует изменение скорости по величине, аn направлено к центру кривизны траектории (по нормали к скорости) и характеризует изменение скорости по направлению. Компонента (покажем ниже), где v — мгновенная скорость, R — радиус кривизны траектории в данной точке,

(1. 9)

Модуль мгновенного ускорения равен

/

(1. 10)

Прямолинейное равноускоренное движение

Если аn = 0, т. е. скорость не изменяется по направлению, а аф остается постоянным, то материальная точка движется прямолинейно и равноускоренно. В этом случае среднее ускорение равно мгновенному:

Направим ось х вдоль направления движения (, ,). Тогда из определения ускорения следует

,

Откуда

(1. 11)

/

При равномерном движении перемещение равно и, как видно из рис. 1. 2, численно равно площади прямоугольника. Если скорость изменяется со временем, то, разделяя промежуток времени на малые промежутки, в пределах каждого из которых скорость можно считать постоянной, получим, что перемещение за некоторый промежуток времени? t численно равно сумме площадей малых прямоугольников или площади криволинейной трапеции (рис. 1. 6).

Зная закон изменения скорости при прямолинейном равноускоренном движении и изобразив его на графике (рис. 1. 5), мы имеем для перемещения следующую формулу:

. (1. 12)

Следовательно, положение (координата) материальной точки определяется выражением

.

Если ускорение или скорость направлены в сторону, противоположную направлению x, то проекция их на ось x будет отрицательной. Поэтому в общем виде формула для скорости и закон движения запишутся так:

,

, (1. 13)

,

или в проекции на ось x

. (1. 14)

Если начальная скорость и ускорение совпадают по направлению, движение тела будет ускоренным, если направления их различны, то движение замедленное. Изобразим на графиках зависимости

, и

(см. рис. 1. 7) в случае ускоренного и замедленного движений, при условии. Из рис. 1.7 видно, что если и совпадает с направлением начальной скорости, то скорость непрерывно возрастает, что следует из рис. 1. 7, б, а также 1. 7, в — увеличивается тангенс угла наклона графика, который определяет скорость материальной точки. График при — парабола с ветвями, направленными вверх (рис. 1. 7, в). Вершина параболы в общем случае не совпадает с началом координат. При скорость уменьшается до 0, а затем тело изменяет направление движения и величина скорости будет увеличиваться (рис. 1. 7, д). График при (рис. 1. 7, е) представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз.

Кинематика вращательного движения твердого тела и движения материальной точки по окружности

При движении материальной точки по окружности ее положение можно определить координатами x и y или углом поворота — углом между радиус-вектором r и осью х. Радиус-вектор r проведется от оси вращения к материальной точке.

/

/

Если рассматривать вращательное движение твердого тела, имеющего неподвижную ось вращения, то из рис. 1.8 следует, что угол поворота радиус-векторов, определяющих положение всех точек твердого тела, будет одним и тем же, линейные же перемещения точек твердого тела будут различными (). В связи с этим, если знать закон изменения угла для какой-то произвольной точки вращающегося твердого тела, то тем самым мы будем знать движение всех точек этого тела.

При равномерном движении материальной точки по окружности, , так как скорость изменяется только по направлению. Пусть за время? t радиус-вектор, определяющий положение точки, повернулся на (рис. 1.9 а).

Скорость изменения угла есть угловая скорость. При равномерном вращении

, (1. 15)

т.е. угловая скорость равна отношению угла поворота радиус-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел. Из формулы (1. 15) следует, что

. (1. 16)

Длина дуги (рис. 1.9 б) равна, где измеряется в радианах. Разделив левую и правую части равенства на? t, получим

, или (1. 17)

Выведем выражение для нормального (центростремительного) ускорения аn. Пусть в момент времени t1 точка находилась в, А (рис. 1.9 б), ее скорость v1; в момент времени t2 точка находится в В, скорость v2; так как она движется равномерно

|v1| = |v2| = х.

/

Перемещение точки равно хорде АВ.

Для определения изменения скорости параллельно перенесем v2 в точку А. Тогда? v = v2 — v1. Треугольник, составленный из скоростей, и треугольник АВО подобны, так как они равнобедренные и углы при вершинах равны, как углы между взаимно-перпендикулярными сторонами (v1 r1 и v2 r2). Следовательно,

.

Разделим на? t левую и правую части равенства и перейдем к пределу при:

/

Предел в левой части равенства определяет скорость, а в правой — ускорение:

, (1. 18)

отсюда

.

При, следовательно, вектор? v перпендикулярен v и, как показано на рис 1.9 б, направлен к центру окружности.

Если тело одновременно участвует во вращательном и поступательном движениях, например, катящееся без проскальзывания колесо, то для определения скоростей часто удобно вводить мгновенную ось вращения. На рис. 1. 10 Омгн — мгновенная ось вращения. Тело в некоторый данный момент поворачивается относительно оси Омгн как целое. Скорость точки Омгн относительно земли равна 0. Скорость точки О относительно земли равна. Тогда угловая скорость всех точек колеса относительно земли, согласно (1. 17), равна, где r — радиус колеса. Отсюда скорость точки, А относительно земли равна. Заметим, что относительно подвижной оси О скорости точек, А и Омгн одинаковы и равны. Подчеркнем, что мгновенной осью вращения становятся последовательно все точки обода колеса.

Криволинейное движение

В общем случае криволинейного движения и, т. е. скорость изменяется по величине и направлению. При этом считаем, что ускорение, а остается постоянным.

Рассмотрим особенности криволинейного движения при решении задачи о движении тела, брошенного со скоростью под углом к горизонту.

/

Итак, дано: и. Полностью исследуем движение. При этом определим 1) траекторию движения тела, 2) время полета, 3) дальность полета, или перемещение тела, 4) максимальную высоту подъема, 5) скорость тела на высоте 6) и в начальной точке траектории и в наивысшей точке подъема, 7) радиусы кривизны траектории в этих точках.

Движение происходит в плоскость ху (рис. 1. 11). В начальный момент времени тело находилось в начале координат, т. е. в точке О. Данное движение криволинейное. Воспользуемся законом независимости движений и разложим это движение на два прямолинейных: вдоль оси х и вдоль оси у. Движение вдоль оси х равномерное () с начальной скоростью, которая остается постоянной:

.

Уравнение движения вдоль оси х имеет вид

(1. 19)

Движение по оси у равнопеременное с постоянным ускорением и начальной скоростью. Согласно (1. 13) и (1. 14),

(1. 20)

. (1. 21а)

1) Найти траекторию движения — это значит найти аналитическое уравнение кривой, по которой движется тело в пространстве.

Из (1. 19) и (1. 21а) исключаем время t. Из (1. 19), подставим в (1. 21а):

. (1. 21б)

Уравнение (1. 21б) описывает параболу, ветви которой направлены вниз, центр параболы смещен относительно начала координат.

2) Воспользуемся формулой (1. 21а) для определения времени полета тела. (Рассмотрение движения вдоль оси не позволит определить время полета, так как вдоль оси х тело могло бы равномерно двигаться сколь угодно долго). Приравняв, получим

,

,. (1. 22)

Действительно, тело на земле оказывается дважды — в начале и в конце полета.

Искомое время полета.

3) Так как вдоль оси х движение равномерное и известно время движения (1. 22), то

. (1. 23)

4) Максимальную высоту подъема тела можно определить из формулы (1. 21а), подставив в нее время подъема, которое можно определить по формуле (1. 20), из условия, что в наивысшей точке подъема равно 0:

,

.

Таким образом,

,

. (1. 24)

Максимальную высоту подъема в этом случае можно также найти из следующих соображений. Парабола — симметричная кривая. Зная дальность полета, можно определить х-координату наивысшей точки подъема:

.

Тогда, подставив х в уравнение траектории, получим

,

.

5) Для определения скорости на высоте h необходимо знать время, когда тело находится на этой высоте,, и тогда компоненты скорости будут определены (см. рис. 1. 23).

,.

Время найдем из уравнения (1. 21а):

,.

Очевидно, что оба значения времени имеют физический смысл, так как на высоте тело будет находиться дважды (рис. 1. 11), в первый раз — двигаясь вверх, второй раз — двигаясь вниз. Поэтому скорость тела на высоте h определится формулами: в первой точке

,.

Модуль скорости равен, тангенс угла наклона скорость в оси х:

.

Во второй точке на высоте h

,

.

Модуль скорости равен, тангенс угла наклона скорости к оси х

.

6) Чтобы найти нормальную и тангенциальную компоненты ускорения, воспользуемся тем, что тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории движения, а нормальное по нормали к ней. Полное же ускорение, с которым движется тело во всех точках, одинаково и равняется ускорению свободного падения. Разложим на две составляющие в точках О и, А (рис. 1. 12). В точке О

, ,

В точке А

,.

работа энергия термодинамика молекулярный

7) Нормальное ускорение определяется по формуле (1. 17)

,

/

где R — радиус кривизны траектории в данной точке, т. е. радиус окружности, часть дуги которой совпадает с траекторией в данной точке. Отсюда. В точке О

, ,

.

В точке, А, скорость имеет только х-компоненту:

,

а нормальное ускорение в точке, А (). Отсюда

.

Большинство задач на криволинейное движение является частным случаем или вариацией этой общей задачи.

2. Динамика

Динамика — раздел механики, в котором изучается движение тел под действием приложенных к нему сил.

Основные понятия динамики. Законы Ньютона

В основе динамики лежат три закона Ньютона.

Первый закон Ньютона — закон инерции. Всякое тело стремится сохранить состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока на него не действует сила. Состояния покоя или равномерного прямолинейного движения с точки зрения динамики не различаются ().

Масса m является количественной мерой инертности тел. Сила F — мера взаимодействия тел. Любое изменение характера движения тела, любое ускорение есть результат действия на тело других тел. Воздействие одного тела на другое может происходить при непосредственном соприкосновении тел или посредством силовых полей. Различают поле тяготения, электрическое и магнитное поля.

Рассмотрим основные силы.

1. Сила, вызванная деформацией тел и препятствующая изменению объема тела, называется силой упругости. Деформация называется упругой, если после снятия внешнего воздействия тело возвращается в исходное состояние.

При небольших деформациях растяжения или сжатия х сила упругости прямо пропорциональна деформации и направлена в сторону, противоположную ей:

, (2. 1)

где — коэффициент упругости, зависящий от свойств материала и геометрии деформируемого тела. Сила упругости препятствует деформации. Так, на рис. 2.1 показано, что при растяжении тела () возникает сила упругости, стремящаяся вернуть телу первоначальные размеры и форму.

Для характеристики упругих свойств вещества вводится величина Е, называемая модулем Юнга.

Напряжение, возникающее в твердом теле, равно, где — площадь поперечного сечения твердого тела, на которое действует сила. Относительная деформация, где — длина деформации (рис. 2. 1), пропорциональна напряжению, возникающему в твердом теле (закон Гука):

. (2. 2)

Физический смысл модуля Юнга состоит в следующем: величина Е численно равна напряжению, возникающему в твердом теле при относительной деформации, равной единице. Из физического смысла модуля Юнга следует, что Е является большим по величине.

2. Сила трения. Трение, возникающее при относительном перемещении сухих поверхностей твердого тела, называется сухим трением. Различают три вида сухого трения: трение покоя, скольжения и качения.

Если на тело действует сила F, как показано на рис. 2. 2, то тело сохраняет состояние покоя (неподвижно относительно поверхности, на которой оно находится), то это означает, что на тело одновременно действует сила, равная по величине и противоположная по направлению, -- сила трения покоя. При увеличении силы F, если тело сохраняет состояние покоя, то увеличивается и сила трения покоя. Сила трения покоя всегда равна по величине и противоположна по направлению внешней действующей силе:

.

Сила трения скольжения определяется из соотношения:

, (2. 3)

где -- коэффициент трения, зависящий от шероховатости и от физических свойств соприкасающихся поверхностей, -- сила реакции опоры, эта сила определяет насколько тело прижато к поверхности, по которой оно движется. Сила трения покоя изменяется по величине от 0 до максимального значения Fтр. покоя max.

/

Сила трения скольжения всегда направлена в сторону, противоположную скорости движения тела относительно поверхности, по которой оно движется. На рис. 2.3 изображена зависимость проекции силы трения от проекции на ту же ось внешней силы. Сила трения скольжения равна максимальной силе трения покоя.

Сила трения качения мала по сравнению с силой трения скольжения. При больших скоростях сопротивление перекатывания резко увеличивается и тогда следует рассматривать силу трения скольжения.

3. Все тела притягиваются друг к другу. Для материальных точек (или шаров) закон всемирного тяготения имеет вид

, (2. 4)

где , — массы тел, — расстояние между материальными точками или центрами шаров, — гравитационная постоянная. Массы, входящие в этот закон, есть мера гравитационного взаимодействия тел. Опыт показывает, что гравитационная и инертная массы равны.

Физический смысл: гравитационная постоянная численно равна силе притяжения, действующей между двумя материальными точками или шарами массами 1 кг, расположенными на расстоянии 1 м друг от друга,. Если тело массы находится над поверхностью 3емли на высоте, то на него действует сила тяготения, равная

, (2. 5)

где — масса Земли, — радиус Земли. Вблизи земной поверхности на все тела действует сила, обусловленная притяжением, -- сила тяжести.

Сила тяжести определяется силой притяжения Земли и тем, что Земля вращается вокруг собственной оси.

В связи с малостью угловой скорости вращения Земли () сила тяжести мало отличается от силы тяготения. При ускорение, создаваемое силой тяжести, является ускорением свободного падения:

. (2. 6)

Очевидно, что ускорение свободного падения для всех тел одинаково.

4. Весом тела называется сила, с которой тело действует на горизонтальную опору или растягивает вертикальный подвес, и эта сила приложена либо к опоре, либо к подвесу.

Второй закон Ньютона. Ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально силе, действующей на тело, и обратно пропорционально его массе и совпадает по направлению с действующей силой:

. (2. 7)

Если на тело действует несколько сил, то под F понимают результирующую всех действующих сил. Уравнение (2. 7) выражает основной закон динамики материальной точки. Движение твердого тела зависит не только от приложенных сил, но и от точки их приложения. Можно показать, что ускорение центра тяжести (центр масс) не зависит от точки приложения сил и справедливо уравнение

,

где — масса тела, — ускорение его центра тяжести. Если тело движется поступательно, то это уравнение полностью описывает движение тела.

Импульсом тела называют произведение массы тела на его скорость:

.

Импульс является векторной величиной и зависит одновременно как от состояния движения (скорости), так и от его инертных свойств (массы).

Пусть в некоторый начальный момент времени импульс тела имел значение, а в последующий момент времени приобрел новое значение (при этом масса с течением времени не меняется). Тогда за интервал времени импульс изменился на величину. Тогда

.

Из кинематики известно, что равно ускорению тела, значит. С учетом (2. 7):

.

Третий закон Ньютона. Всякому действию всегда есть равное и противоположно направленное противодействие.

Так, если взаимодействуют два тела, А и В с силами F1 и F2, то эти силы равны по величине, противоположны по направлению, направлены вдоль одной прямой и приложены к разным телам (рис. 2. 4).

Природа этих сил всегда одинакова. Приведем следующий пример. Тело массой лежит на столе. Сила, с которой тело действует на стол, Р (вес тела), приложена к столу, сила, с которой стол действует на тело, N (сила реакции опоры), приложена к телу (рис. 2. 5). Согласно 3-му закону Ньютона, ,. Сила FТ, с которой Земля действует на тело массой, равна, приложена к телу и направлена к центру Земли; сила, с которой тело действует на Землю, F приложена к центру Земли и направлена к центру масс тела (рис. 2. 6).

/

Первый закон Ньютона необходим для того, чтобы определить те системы отсчета, в которых справедлив второй закон Ньютона. Системы отсчета, в которых выполняется 1-й закон Ньютона, называются инерциальными, те системы отсчета, в которых 1-ый закон Ньютона не выполняется, — неинерциальными.

/

Рассмотрим следующий пример. К потолку неподвижного нагона подвешен груз, который видят наблюдатель 1, сидящий в вагоне, и наблюдатель 2, находящийся на платформе (рис. 2. 7). Нить маятника вертикальна, что естественно с точки зрения наблюдателей 1 и 2, так как на груз действуют две вертикальные силы: сила натяжения нити Т и сила тяжести FТ, равные по величине и противоположные по направлению. Если же вагон движется с ускорением а, то с точки зрения наблюдателя 2 нить должна отклониться от вертикали, так как на груз продолжают действовать те же силы, но результирующая этих сил уже не будет равняться 0, чтобы обеспечить движение, маятника с ускорением а.

С точки зрения наблюдателя 1 маятник остается в покое относительно стенок вагона, и результирующая сил, действующая на маятник, должна равняться нулю. Но так как нить отклонена, то наблюдатель должен предположить наличие силы, которая в сумме с силой натяжения нити и силой тяжести дает 0. Это сила инерции. Но эта сила уже не является результатом взаимодействия тел, а является результатом того, что мы рассматриваем движение тела относительно системы отсчета, движущейся с ускорением.

Система, связанная с наблюдателем 1, — неинерциальная, система связанна с наблюдателем 2, — инерциальная. Мы будем рассматривать движение тел только относительно инерциальных систем отсчета. Подчеркнем, что сила есть результат взаимодействия реальных тел.

В связи с важностью изложенного еще раз сформулируем первый закон Ньютона: существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, в которых тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуют силы или действие сил скомпенсировано. 0чевидно, что если есть одна инерциальная система отсчета, то любая другая, движущаяся относительно нее равномерно и прямолинейно, является также инерциальной системой отсчета. В первом приближении система отсчета, связанная с Землей, является инерциальной, хотя строго говоря она неинерциальна, так как Земля вращается вокруг собственной оси и обращается вокруг Солнца. Однако ускорения этих движений малы.

В связи с трудностями, возникающими при решении задач динамики, особенно в тех случаях, когда рассматривается система тел, предложим схему, по которой следует решать задачи динамики.

1. Делаем рисунок и изображаем силы, действующие на тела со стороны других тел.

2. Выбираем тело отсчета, относительно которого будем рассматривать движение.

3. Связываем с телом отсчета систему координат.

4. Записываем основной закон динамики для каждого тела в отдельности.

5. Записываем уравнения в проекциях на оси координат.

6. Из полученных уравнений составляем систему алгебраических уравнений, при этом число уравнений должно быть равно числу неизвестных.

7. Решаем систему уравнений и находим неизвестные физические величины; проверяем наименование полученных величин.

Вращательное движение

/

Вращательным движением называется такое движение тела, при котором все его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения, а плоскости окружностей перпендикулярны оси вращения.

Сложные движения можно рассматривать как сочетания поступательного и вращательного движения.

В предыдущей главе было введено понятие угловой скорости при равномерном движении тела по окружности. Угловую скорость принято рассматривать как вектор, направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта: если винт вращать в том же направлении, как вращается тело, то направление движения винта совпадает с направлением угловой скорости.

Если тело за любые равные промежутки времени поворачивается на одинаковые углы, то такое движение называют равномерным вращательным движением.

Используя понятие угловой скорости, можно дать еще одно определение равномерному вращательному движению. Равномерным вращательным движением называют движение с постоянной угловой скоростью ().

Для описания неравномерного вращательного движения вводят величину, которая характеризует изменение угловой скорости. Такой величиной является отношение изменения угловой скорости к малому интервалу времени, за который произошло это изменение. Эта величина называется средним угловым ускорением:

. (2. 8)

При ускоренном вращении векторы и совпадают по направлению; при замедленном вращении вектор направлен противоположно вектору.

Единица углового ускорения в СИ 1.

Моментом силы называют вектор, направленный вдоль оси вращения и ориентированный по правилу правого винта относительно вектора силы. Модуль момента силы равен

, (2. 9)

где — плечо силы. Оно равно кратчайшему расстоянию между осью вращения и направлением силы.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Чтобы получить искомое уравнение, рассмотрим сначала простейший случай, когда материальная точка массой вращается на невесомом твердом стержне длиной вокруг оси (рис. 2. 9). Второй закон Ньютона для этой точки запишется в виде:

. (2. 10)

Но тангенциальное ускорение

.

Подставив в формулу (2. 10), получим:

.

Умножив обе части этого равенства на, чтобы свести действие силы к ее моменту, будем иметь:

(2. 11)

Произведение массы точки на квадрат ее расстояния до оси называется моментом инерции материальной точки относительно оси:

. (2. 12)

Единица момента инерции в СИ —.

Тогда выражение (2. 11) примет вид:

. (2. 13)

Поскольку векторы и направлены в одну и ту же сторону вдоль оси вращения, то выражение (2. 13) можно записать в векторном виде:

. (2. 14)

Это и есть основное уравнение динамики вращательного движения.

Моментом инерции тела называется сумма моментов инерции составляющих его частиц:

. (2. 15)

Для разных осей вращения момент инерции одного и того же тела различен.

Если известен момент инерции относительно любой оси, проходящей через центр масс тела, то для расчета момента инерции этого тела относительно другой оси, параллельной первой и отстоящей от нее на расстоянии, используется соотношение, известное как теорема Штейнера:

. (2. 16)

В таблице приведены формулы для вычисления моментов инерции некоторых тел относительно оси, проходящей через центр масс этих тел.

Тело

Ось вращения проходит

Момент инерции

Обруч

Через центр обруча перпендикулярно плоскости обруча

Диск (цилиндр)

Через центр диска перпендикулярно плоскости обруча

Диск

Через центр диска вдоль его диаметра

Шар

Через центр шара

Стержень длиной

Через середину стержня перпендикулярно ему

3. Импульс тела. Закон сохранения импульса

Импульс тела (количество движения) p -- физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость:

. (3. 1)

Импульс силы -- физическая величина, равная произведению силы на промежуток времени, в течение которого эта сила действует,. 2-й закон Ньютона может быть сформулирован следующим образом:

Изменение импульса тела равно импульсу подействовавшей на него силы, т. е.

(3. 2)

Очевидно, что закон (3. 2) переходит в (3. 1), если масса остается постоянной.

Если на тело действуют несколько сил, то в этом случае берется результирующий импульс всех сил, подействовавших на тело. В проекциях на оси координат, , уравнение (3. 2) может быть записано в виде

,, . (3. 3)

/

Из (3. 3) следует, что если, например, и, то происходит изменение проекции импульса только на одно направление, и обратно, если изменяется проекция импульса только на одну из осей, то, следовательно, импульс силы, действующей на тело, имеет только одну проекцию, отличную от нуля. Например, пусть шарик, летящий под углом к горизонту, упруго ударяется о гладкую стенку. Тогда при отражении изменяется только х-компонента импульса (рис. 3. 1). Проекции импульса на ось х:

,.

Изменение импульса:

.

При упругом ударе о стенку скорости до и после удара равны:, поэтому

.

Следовательно, на шарик подействовал импульс силы, проекция которого на ось х есть, проекция на ось у

,.

Изменение импульса:

.

Следовательно, проекция импульса силы на ось у равна.

Понятием импульса широко пользуются при решении задач о движении нескольких взаимодействующих тел. Совокупность взаимодействующих тел называется системой тел. Введем понятие внешних и внутренних сил. Внешними силами называются силы, действующие на тела системы со стороны тел, не входящих в нее. Внутренними силами называются силы, возникающие в результате взаимодействия тел, входящих в систему. Например, мальчик подбрасывает мячик. Рассмотрим систему тел мальчик -- мяч. Силы тяжести, действующие на мальчика и мяч, сила нормальной реакции, действующая на мальчика со стороны пола, -- внешние силы. Сила, с которой мяч давит на руку мальчика, сила, с которой мальчик действует на мяч, пока он не оторвется от руки, -- внутренние силы.

Рассмотрим систему из двух взаимодействующих тел 1 и 2. На тело 1 действуют внешняя сила и внутренняя сила (со стороны второго тела). На второе тело действуют силы и. Согласно (3. 2), изменение импульса первого тела за промежуток времени равно

, (3. 4а)

изменение импульса второго тела:

. (3. 4б)

Суммарный импульс системы равен

.

Сложив левые и правые части уравнений (3. 4а) и (3. 4б), получим изменение суммарного импульса системы:

.

По 3-му закону Ньютона

,

откуда

, (3. 5)

где — результирующий импульс внешних сил, действующих на тела системы. Итак, уравнение (3. 5) показывает, что импульс системы может измениться только под действием внешних сил. Закон сохранения импульса можно сформулировать следующим образом:

Импульс системы сохраняется, если результирующий импульс внешних сил, действующих на тела, входящие в систему, равен нулю.

Системы, в которых на тела действуют только внутренние (т.е. тела системы взаимодействуют только друг с другом), называются замкнутыми (изолированными). Очевидно, что в замкнутых системах импульс системы сохраняется. Однако и в незамкнутых системах в некоторых случаях можно использовать закон сохранения импульса. Перечислим эти случаи.

1. Внешние силы действуют, но их результирующая равна 0.

2. Проекция внешних сил на какое-то направление равно 0, следовательно, проекция импульса на это направление сохраняется, хотя сам вектор импульса не остается постоянным.

3. Внешние силы много меньше внутренних сил (). Изменение импульса каждого из тел практически равно.

4. Механическая работа и энергия. Закон сохранения энергии

Пусть на тело действует постоянная сила F, и тело перемещается на. Механическая работа равна произведению модулей силы и перемещения точки приложения силы на косинус угла между вектором силы и вектором перемещения (рис. 4. 1):

. (4. 1)

Проекция силы на вектор перемещения равна

,

следовательно,

. (4. 2)

Из формулы (4. 1) следует, что при работа силы положительна,, при, при.

На рис. 4.2 изображена зависимость, от s. Из формулы (4. 2) очевидно, что работа силы F численно равна площади заштрихованного прямоугольника.

Если зависит от s по произвольному закону (рис. 4. 3), то, разбивая полное перемещение на малые отрезки, в пределах каждого из которых значение можно считать постоянным, получим, что работа силы F на перемещении s равна площади криволинейной трапеции:

.

/

Работа силы упругости. Сила упругости равна. Зависимость силы упругости от х изображена на рис. 4.4. При растяжении пружины от х1 до х2 работа силы упругости с точностью до знака равна площади заштрихованной трапеции:

. (4. 3)

Работа силы упругости при растяжении отрицательна, так как сила упругости направлена в сторону, противоположную перемещению. При восстановлении размеров пружины работа силы упругости положительна, так как сила упругости по направлению совпадает с перемещением.

Работа силы тяготения. Сила тяготения зависит от расстояния от центра Земли r. Определим работу силы тяготения при перемещении тела массы точки, А в точку В (рис. 4. 5). На малом перемещении работа силы тяготения

, ,

/

где — масса Земли. Если мало, то и

.

Таким образом, работа при перемещении из точки, А в точку В определится как сумма работ на малых перемещениях:

,

,

. (4. 4)

Если, а, то

(4. 5)

/

есть работа силы тяготения при перемещении тела с поверхности Земли в бесконечно удаленную точку траектории.

Механическая энергия характеризует способность тела совершать механическую работу. Полная механическая энергия тела складывается из кинетической и потенциальной энергии.

Кинетическая энергия -- это энергия, которой обладает движущееся тело. Пусть на тело действует сила F, перемещение тела. Работа силы F равна (рис. 4. 6)

(). (4. 6)

Согласно 2-му закону Ньютона,

. (4. 7)

Если в точках 1 и 2 скорость тела и, то

. (4. 8)

Подставив в (4. 6) выражения (4. 7) и (4. 8), получим

. (4. 9а)

Итак, если на тело действует сила F, работа которой отлична от нуля,, то это приводит к изменению величины, называемой кинетической энергией:

. (4. 9б)

/

Из (4. 9а) следует, что изменение кинетической энергии равно работе силы, действующей на тело. Если на тело действует несколько сил, то изменение кинетической энергии равно алгебраической сумме работ, совершаемых при данном перемещении каждой из сил.

Потенциальной энергией обладает система тел, взаимодействующих между собой, если силы взаимодействия консервативны. Консервативной (потенциальной) силой называется сила, работа которой не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек траектории.

Рассмотрим перемещение массы m из точки 1 в точку 2 по различным траекториям (рис. 4. 7). Работа силы тяжести тела по прямой определяется выражением

.

Поскольку ,

.

Работа силы тяжести при движении тела по траектории:

.

Подсчитаем работу силы тяжести при движении тела по траектории III. Представим траекторию с какой угодно степенью точности в виде ломаной, состоящей из вертикальных и горизонтальных отрезков. Тогда работа силы тяжести при перемещении по горизонтали равна нулю, по вертикальным отрезкам ,. Суммарная работа есть

. (4. 10)

/

Как показано, работа силы тяжести не зависит от траектории. Сила тяжести — консервативная сила. Очевидно, что работа консервативной силы по замкнутому контуру равна нулю. Сила тяготения и сила упругости также являются консервативными силами. При падении тела потенциальная энергия уменьшается. Из (4. 9) следует

.

Изменение потенциальной энергии равно работе консервативной силы, взятой с обратным знаком:

,.

Потенциальная энергия рассчитывается с точностью до постоянной величины, поэтому всегда надо указывать нулевой уровень отсчета потенциальной энергии. Итак, потенциальная энергия тела, поднятого на высоту h () равна

. (4. 11)

Потенциальная энергия, обусловленная силой тяготения, есть

; при. (4. 12)

Потенциальная энергия сжатой или растянутой пружины равна

, при. (4. 13)

Как видно из примеров, потенциальная энергия зависит от взаимного расположения тел или частей тела. Неконсервативными силами в механике являются сила трения и сила сопротивления.

Рассмотрим систему двух тел. На тела могут действовать внешние и внутри силы, которые могут быть консервативными и неконсервативными. Изменение кинетической энергии каждого из тел равно сумме работ всех сил, действующих на это тело, а именно, для первого тела:

.

Подробно остановимся на этих силах. Сила трения может быть как внутренней, так и внешней силой; обозначим работу всех сил трения. На тело действуют консервативные внутренние силы, работа которых. Тело может находиться и в поле внешних консервативных сил, работа которых приведет к изменению потенциальной энергии. На тело может действовать также внешняя сила, которой мы не будем ставить в соответствие изменение потенциальной энергии. Ее работа есть.

Тогда изменение кинетической энергии тел определяется по формуле

.

Аналогично, для второго тела имеем

.

Поскольку

,

,

сложив левые и правые части уравнений и перенеся в левую часть, для изменения полной механической энергий системы, равной

,

получим

.

Согласно 3-му закону Ньютона, сумма работ внутренних сил равна 0, это означает, что

, (4. 14)

т.е. изменение механической энергии равно работе внешних сил и сил трения.

Закон сохранения механической энергии

Механическая энергия системы сохраняется, если работа внешних сил, действующих на тела, входящие в систему, равна нулю и отсутствуют силы трения, т. е. нет перехода механической энергии в другие виды энергии, например, в тепло:

.

Отметим, что законы сохранения позволяют по начальному состоянию системы (по начальным скоростям) определить конечное состояние, не выясняя все детали взаимодействия тел и не уточняя величины сил взаимодействия.

На практике часто бывает полезно знать, как быстро может быть совершена та или иная работа. Для характеристики скорости, с которой совершается работа, вводят величину, называемую мощностью.

Мощность, развиваемая постоянной силой тяги, равна отношению работы этой силы на некотором перемещении к промежутку времени, за которое это перемещение произошло. Мощность определяется по формуле

. (4. 15)

Поскольку, то, подставляя это выражение в формулу (4. 15), получим

, (4. 16)

где — скорость тела, — угол между векторами F и v. Если движение тела равномерное, то под в (4. 16) понимается скорость равномерного движения. Если движение не равномерное, но требуется определить среднюю мощность, развиваемую силой тяги на перемещении s, то под в (4. 16) понимается средняя скорость перемещения. Если же требуется найти мощность в некоторый заданный момент времени (мгновенную мощность), то, беря малые промежутки времени и переходя к пределу при, получим

(4. 17)

т.е. — мгновенная скорость тела. Понятие мощности вводится для оценки работы за единицу времени, которую может совершить какой-то механизм (насос, подъемный кран, мотор машины и т. д.). Поэтому в формулах (4. 14)-(4. 17) под F всегда понимается только сила тяги.

Единицей измерения мощности в системе СИ является Ватт (Вт)

.

5. Динамика материальной точки, движущейся по окружности

Если материальная точка движется по окружности, то ее нормальное ускорение отлично от нуля. Нормальное, или центростремительное, ускорение или характеризует изменение скорости по направлению (см. гл. 1):

. (5. 1)

Нормальное ускорение можно представить в виде

,(5. 2)

где r -- радиус окружности, -- угловая скорость, с которой движется материальная точка по окружности, Т -- период вращения, п -- число оборотов в единицу времени. С точки зрения динамики наличие нормального ускорения означает, что на тело действуют силы, алгебраическая сумма проекций которых на радиус, соединяющий материальную точку с центром окружности, не равна нулю. При рассмотрении такого движения основной закон динамики записывается, как правило, в проекциях на касательную к окружности в данной точке и на две нормали к ней, одна из которых совпадает с нормальным ускорением (рис. 5. 1). Таким образом, если на тело действует несколько сил, например, F1, F2 и F3, то 2-й закон Ньютона имеет вид

.

В проекциях на указанные направления имеем:

на касательное ,

на нормальное ,

.

/

Еще раз подчеркнем, что движение тела по окружность совершается не в результате действия на тело каких-то специальных сил, а в результате реального взаимодействия тела с другими телами (с нитью, с Землей и т. д.). Главное, чтобы их результирующая имела проекцию на радиус, соединяющий тело и центр окружности, отличную от нуля.

Как правило, в задачах достаточно спроектировать силы на радиус, соединяющий материальную точку с центром окружности, по которой она движется, и записать основной закон динамики в проекциях на это направление. Предварительно надо выяснить, по какой траектории будет двигаться материальная точка, и определить центр окружности.

Движение спутников вокруг Земли — типичный пример движения тел по круговой орбите со скоростью, постоянной по величине, т. е. полное ускорение тела равно нормальному ускорению. Спутники движутся под действием одной единственной силы — силы тяготения. Основной закон динамики в этом случае имеет вид

,

или в скалярном виде

, или ,

где r — расстояние спутника от центра Земли, Т — период обращения спутника вокруг Земли. Часто бывает удобно заменить произведение (см. формулу (2. 6)).

6. Статика

Статика излучает условия равновесия тела или системы тел. Состояние механической системы называется равновесным, если все точки системы покоятся по отношению к выбранной системе отсчета. Если система покоится относительно инерциальной системы отсчета, то такое равновесие называется абсолютным, если система покоится относительно неинерциальной системы отсчета, то равновесие считается относительным. В дальнейшем мы будем рассматривать только абсолютное равновесие.

Для равновесия материальной точки необходимо и достаточно, чтобы сумма действующих на нее сил равнялась нулю, т. е.

. (6. 1)

Для равновесия твердого тела условие (6. 1) является необходимым, но недостаточным. Например, пусть на тело действуют две равные, но противоположно направленные силы, приложенные в разных его точках (рис. 6. 1). Под действием этих сил тело придет во вращательное движение.

/

Пусть тело имеет неподвижную ось вращения О (рис. 6. 2). Движение, вызванное силой F, зависит не только от величины и направления этой силы, но также и от точки ее приложения.

Момент силы -- произведение силы на плечо. Плечо силы -- это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы (отрезок d на рис. 6. 2). Считаем моменты сил, стремящихся вызвать вращение тела по часовой стрелке, положительными, а моменты сил, стремящихся вызвать движение в обратном направлении, отрицательными. Следовательно, для равновесия тела, имеющего неподвижную ось вращения, необходимо, чтобы алгебраическая сумма моментов сил, действующих на тело, относительно этой оси была равна нулю:

. (6. 2)

Если у тела нет закрепленной оси вращения, для равновесия твердого тела необходимо и достаточно выполнение условий (6. 1) и (6. 2) относительно любой оси. Помимо изучения условий равновесия одним из вопросов статики является определение положения центра тяжести тела или системы тел. Центр тяжести — это точка приложения равнодействующей всех сил тяжести, действующих на тело при любом его положении в пространстве. Точка центра тяжести может быть вне самого тела, например, центр тяжести кольца. Сумма моментов всех элементарных сил тяжести относительно любой оси, проходящей через центр тяжести, равна нулю. Из определения центра тяжести следует, что его положение у однородного тела будет находиться на оси симметрии или на пересечении осей симметрии. Так, центр тяжести пластинки в форме прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей. Более общим понятием является центр масс. Центр масс — это точка твердого тела или системы тел, которая движется так же, как и материальная точка, на которую действует та же результирующая сила, что и на тело (систему тел):

,

где — масса всей системы, — скорость ее центра масс, — масса i — материальной точки, — ее скорость. Если линейные размеры тела малы по сравнению с радиусом Земли, то центр масс совпадает с центром тяжести. Если известно положение всех материальных точек, составляющих систему, то положение центра масс всей системы или всего тела можно определить по формулам:

,

,(6. 3)

,

где, , — координаты материальных точек, составляющих систему. Если ось вращения твердого тела проходит через центр тяжести (центр масс), то тело будет находиться в состоянии безразличного равновесия, если никакие силы, кроме силы тяжести, на тело не действуют. Это означает, что тело будет сохранять равновесие при любом повороте относительно этой оси.

/

Равновесие бывает безразличное, устойчивое и неустойчивое. Примером состояния безразличного равновесия является тело, лежащее на горизонтальной плоскости. Различают также устойчивое и неустойчивое положения равновесия. Устойчивым положением равновесия тела называется положение, при малом отклонении от которого на тело действуют силы, стремящиеся вернуть его к положению равновесия. Например, в устойчивом равновесии находится шарик на дне сферической чаши (рис. 6. 3, а). При устойчивом положении равновесия потенциальная энергия системы минимальна. (Неустойчивое положение равновесия показано на рис. 6. 3, б)

7. Гидромеханика

В гидромеханике изучаются равновесия и движения так называемой сплошной среды. Хотя любое вещество, тело, среда состоят из молекул, и следовательно, дискретны, а в гидромеханике, рассматриваются объекты таких размеров, при которых этой дискретностью можно пренебречь. До сих пор мы имели дело с сосредоточенными силами, т. е. силами, которые имеют определенную точку приложения. Мы предполагаем, что все силы, действующие на тело, приложены к центру тяжести, хотя, очевидно, что сама сила тяжести является результирующей всех действующих на элементарные массы сил тяжести.

В гидромеханике в основном мы будем иметь дело только с распределенными силами, т. е. силами, которые действуют на каждый элемент площади выделенного объема жидкости и твердого тела (поверхностные силы) или каждую элементарную массу тела (массовые силы).

Заметим, что под жидкостью мы понимаем капельные жидкости, а также газы. Одним из основных понятий гидромеханики является давление. Выделим в жидкости некоторую поверхность (рис. 7. 1). — ее площадь, нормаль к которой. В общем случае на нее может действовать сила F, направленная под углом к нормали. Разложим эту силу на две составляющие: и (касательную и нормальную к поверхности).

В случае покоящейся жидкости сколь угодно малая сила вызовет ее движение, т. е. в жидкостях отсутствует сила трения покоя. Поэтому при рассмотрении покоящейся жидкости (гидростатика) или идеальной жидкости (отсутствует трение, вязкость) касательная составляющая равна нулю. Следовательно, в этих случаях сила, действующая на выделенную поверхность, должна быть ей перпендикулярна. Это — сила давления.

Давление определяется отношением силы к площади поверхности, на которую эта сила действует:

.

В СИ единицей давления является паскаль (Па):

.

Через основные единицы СИ килограмм, метр и секунду паскаль выражается в виде

Давление может изменяться при переходе от одной точки жидкости к другой и, следовательно, давление является функцией координат x, y, z -. Для определения давления в заданной точке М берем элемент поверхности (- его площадь) и находим давление как предел отношения силы F к при стремлении к нулю:

,

причем М принадлежит.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой