Многомерные статистические методы и эконометрика

Тип работы:
Курсовая
Предмет:
Экономические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАРНАУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет математики и информатики

УЧЕБНАЯ ПРАКТИКА

«МНОГОМЕРНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ и ЭКОНОМЕТРИКА»

Выполнил:

Руководитель:

Работа защищена:

«__» _________________2008 г.

__________________________

(оценка)

__________________________

(подпись)

Барнаул — 2008 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Раздел 1. Регрессионный анализ

Раздел 2. Компонентный и факторный анализ

2.1 Компонентный анализ

2.2 Факторный анализ

Раздел 3. Кластерный анализ

Раздел 4. Дискриминантный анализ

Заключение

Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Постоянно усложняющиеся экономические процессы потребовали создания и совершенствования особых методов изучения и анализа. Широкое распространение получило использование моделирования и количественного анализа. На этом этапе выделилось и сформировалось одно из направлений экономических исследований — эконометрика — наука, в которой на базе реальных статистических данных строятся, анализируются и совершенствуются математические модели реальных экономических явлений.

Цель данной работы заключается в изучении совокупности данных с помощью статистических и эконометрических методов. Числовые данные собраны на 84 объектах (регионы РФ) по пяти различным признакам:

X1 — ввод в действие жилых домов, тысяча квадратных метров общей площади, значение показателя за год;

X2 — выбросы в атмосферу загрязняющих веществ, отходящих от стационарных источников, по субъектам Российской Федерации, тысяча тонн, значение показателя за год;

X3 — обеспеченность амбулаторно-поликлиническими учреждениями на 10 000 населения, посещений в смену, значение показателя за год;

X4- — стоимость минимального набора продуктов питания по субъектам Российской Федерации, рубль;

X5 — объем инвестиций в основной капитал, миллион рублей, значение показателя за год.

При проведении регрессионного анализа рассматривается еще один признак X6 (среднемесячная номинальная начисленная заработная плата, рубль, значение показателя за год), как зависимая переменная от совокупности пяти остальных признаков.

Таким образом, объектом исследования работы является изучение зависимостей данных выборки путем решения поставленных задач.

Предметом исследования является совокупность результатов наблюдений — выборка размером 84×5.

Для реализации цели исследования были поставлены следующие задачи:

1. Определить математическую зависимость результативного признака Х6 от совокупности объясняющих переменных Х15 и определить качество полученной регрессионной модели.

2. Снизить размерность выборки путем выделения главных компонент и общих факторов.

3. По обучающей выборке, включающей 20 объектов, разбить эти регионы на 2 группы-кластера, сравнить их и дать название каждой группе.

4. Разделить все 84 региона на 2 группы, используя априорные данные, полученные в результате кластерного анализа, и построить функцию, с помощью которой любой объект может быть отнесен к той или иной группе. Сравнить эти группы и дать им названия.

Структура и логика курсовой работы строится в соответствии с задачами исследования и отражена в содержании работы.

РАЗДЕЛ 1. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Изучается линейная (в среднем) зависимость результативного признака Y (признак Х6) от пяти факторных признаков -- регрессоров Х1, Х2, Х3, Х4, Х5 — по числовым данным, собранным на 84 объектах.

1. Запишем модель множественного линейного регрессионного анализа признака Y, предъявляемые к ней требования и соответствующую функцию регрессии.

Общее назначение множественной регрессии состоит в анализе связи между несколькими независимыми переменными (называемыми также регрессорами или предикторами) и зависимой переменной. Общая вычислительная задача, которую требуется решать при анализе методом множественной регрессии, состоит в подгонке прямой линии к некоторому набору точек [6, множественная регрессия].

Модель множественного линейного регрессионного анализа имеет вид:

Y = a + b1*X1 + b2*X2 + … + bn*Xn + е,

где Y — зависимая переменная;

X1, X2, …, Xn — объясняющие (независимые) переменные или регрессоры;

a, b1, b2, …, bn — параметры регрессии или коэффициенты регрессии;

е — ошибка вычислений.

К уравнению регрессии предъявляются следующие требования:

а) Переменные X1, X2, …, Xn должны быть некоррелированы между собой.

б) Модель должна быть гомоскедастичной, т. е. дисперсия не должна зависеть от номера наблюдения.

в) Ошибки для разных наблюдений должны быть независимы и иметь нормальное распределение.

2. Рассчитаем матрицу оценок коэффициентов парной корреляции между признаками.

Матрица корреляции

Y

X1

X2

X3

X4

X5

Y

1

0,20 748

0,14 198

0,23 580

0,40 638

0,54 958

X1

0,20 748

1

0,1 035

0,4 841

-0,0807

0,40 883

X2

0,14 198

0,1 035

1

0,8 806

0,3 135

0,8 177

X3

0,23 580

0,4 841

0,8 806

1

0,51 443

-0,1

X4

0,40 638

-0,0807

0,3 135

0,51 443

1

0,43 223

X5

0,54 958

0,40 883

0,8 177

-0,1

0,43 223

1

Из таблицы видно, что наиболее сильно зависимая переменная коррелирует с четвертым и пятым признаком (стоимость минимального набора продуктов питания и объем инвестиций в основной капитал) и меньше всего со вторым признаком (выбросы в атмосферу загрязняющих веществ). Корреляция зависимой переменной с первым и третьим признаками (ввод в действие жилых домов и обеспеченность амбулаторно-поликлиническими учреждениями) также очень слабая.

Что касается самих регрессоров, то достаточно сильно коррелируют между собой признаки X1 и X5, X3 и X4 и X4, X5. Т. е. Ввод в действие жилых домов зависит от объема инвестиций в основной капитал, обеспеченность амбулаторно-поликлиническими учреждениями зависит от стоимости минимального набора продуктов питания, который в свою очередь зависит от объема инвестиций в основной капитал.

Коллинеарных регрессоров, т. е. таких, корреляция между которыми больше 0,7, в данном случае нет.

3. Вычислим оценки коэффициентов регрессии и ошибки вычислений.

Таким образом, функция регрессии имеет следующий вид:

Y = 3434,973 + 0,633 517*X1 + 14,26 504*X2 + 14,51 312* X3 + 1,182 762*X4 + 2,172 856*X5.

Коэфф-ты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-пересечение

3434,973

2417,445

1,420 911

0,159 328

-1377,79

8247,736

X1

0,633 517

340,7987

0,1 859

0,998 522

-677,845

679,1117

X2

14,26 504

15,81 807

0,901 819

0,369 929

-17,2263

45,75 639

X3

14,51 312

9,312 562

1,558 446

0,123 176

-4,2 676

33,5 301

X4

1,182 762

1,688 542

0,700 463

0,485 722

-2,17 887

4,544 391

X5

2,172 856

0,543 989

3,994 299

0,146

1,89 856

3,255 855

Рассчитаем среднюю относительную ошибку аппроксимации д по формуле:

Рассмотрим таблицу «Регрессионная статистика»:

Регрессионная статистика

Множественный R

0,606 954

R-квадрат

0,368 393

Нормированный R-квадрат

0,327 905

Стандартная ошибка

4451,301

Наблюдения

84

Опишем значения, рассчитанные в этой таблице, и приведем формулы их расчета.

В первой строке таблицы рассчитан коэффициент множественной линейной корреляции R. Он показывает степень линейной зависимости Y от переменных X1, X2, X3, X4 и X5 [3, 48] и рассчитывается по формуле:

,

где — общая дисперсия результатов признака;

— остаточная дисперсия для уравнения регрессии.

Значение коэффициента множественной линейной корреляции изменяется в интервале от 0 до 1. Чем ближе его значение к 1, тем теснее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов [5, 113]. В нашем случае R=0,607, что указывает на среднюю тесноту связи Y с регрессорами.

Квадрат множественной линейной корреляции (или коэффициент детерминации) показывает, сколько процентов вариации зависимого признака объясняется независимыми переменными. Так, всего 36,8% среднемесячной номинальной заработной платы объясняется вводом в действие жилых домов, выбросами в атмосферу загрязняющих веществ, обеспеченностью амбулаторно-поликлиническими учреждениями, стоимостью минимального набора продуктов питания и объемом инвестиций в основной капитал.

Нормированный R2 (или скорректированный коэффициент детерминации) используется для оценки адекватности уравнения регрессии. В отличие от коэффициента детерминации, который при включении в имеющуюся линейную регрессионную модель дополнительного регрессора всегда увеличивается, нормированный коэффициент детерминации может и увеличиваться, и уменьшаться. Это свойство следует из формулы расчета:

.

Чем больше скорректированный коэффициент детерминации, тем более адекватно уравнение регрессии [7,48]. Соответствующий показатель данного уравнения регрессии составляет 0,328.

Стандартная ошибка уравнения регрессии рассчитывается по формуле:

и выражает оценку погрешности вычислений. Стандартная ошибка для данной регрессионной модели составляет 4451,301.

4. Предположим, что условия линейного регрессионного анализа выполняются.

а) Оценим значимость всего уравнения регрессии в целом на 5-% уровне значимости с помощью F-статистики Фишера. Для этого воспользуемся таблицей «Дисперсионный анализ».

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

5

9,01*108

1,8*108

9,98 895

7,5508*107

Остаток

78

1,55*109

19 814 082

Итого

83

2,45*109

В столбце df содержатся степени свободы для компонентов дисперсии, значения которых приведены в столбце SS:

RSS (901 000 000): k-1=6−1=5;

ESS (1 550 000 000): n-k=84−6=78;

TSS (2 450 000 000): n-1=84−1=83.

Значения средних квадратов компонентов дисперсии приведены в столбце MS.

Наблюдаемое значение F-статистики рассчитывается по формуле:

.

Наблюдаемое значение F-статистики, равное 9,98 895 больше критического значения (), следовательно, гипотеза о том, что все коэффициенты регрессии равны 0, отвергается на 5-% уровне значимости, т. е. уравнение значимо в целом.

б) Оценим значимость каждого коэффициента регрессии на 5-% уровне с помощью t-статистики. Для этого воспользуемся таблицей, содержащей коэффициенты регрессии и t-статистику:

t-статистика

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-пересечение

1,420 911

-1377,79

8247,736

X1

0,1 859

-677,845

679,1117

X2

0,901 819

-17,2263

45,75 639

X3

1,558 446

-4,2 676

33,5 301

X4

0,700 463

-2,17 887

4,544 391

X5

3,994 299

1,89 856

3,255 855

Формулы для расчета наблюдаемого и критического значения t-статистики следующие:

Из таблицы видно, что гипотеза о равенстве коэффициента регрессии нулю отвергается только для пятого признака (т.к. наблюдаемое значение больше критического), следовательно, остальные признаки равны 0. Т. е. номинальная заработная плата зависит только от объема инвестиций в основной капитал и не зависит от остальных факторов.

Интервальные оценки каждого коэффициента регрессии приведены в столбцах «Нижние 95%» и «Верхние 95%».

5. Исключим из рассмотрения незначимые факторы и проведем регрессионный анализ с оставшимися факторами. Т.к. значимым является только один фактор (объем инвестиций в основной капитал), то получим уравнение парной регрессии.

Из следующей таблицы видно, что коэффициент корреляции между Y и X5 равен 0,549 583, из чего можно заключить, что связь прямая умеренная, т. е. при увеличении X увеличивается Y.

Y

X5

Y

1

X5

0,549 583

1

По таблице «Регрессионная статистика» определим основные показатели уравнения регрессии.

Множественный R

0,549 583

R-квадрат

0,302 041

Нормированный R-квадрат

0,293 529

Стандартная ошибка

4563,718

Наблюдения

84

Коэффициент множественной корреляции в данном случае — то же самое, что коэффициент корреляции и равен 0,549 583, что меньше аналогичного показателя для предыдущего случая, как и все остальные коэффициенты. Коэффициент детерминации равен 0,302 041, скорректированный коэффициент детерминации составляет 0,293 529; стандартная ошибка наблюдения равна 4563,718; ошибка аппроксимации д=0,269 118.

Таким образом, по перечисленным показателям множественная регрессионная модель эффективней парной.

Найдем коэффициенты уравнения регрессии, t-статистику и доверительные интервалы из следующей таблицы:

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

t крит.

Y-пересечение

8853,537

533,1628

16,60 569

5,87*10-28

7792,906

9914,167

1,9893

X5

2,378 119

0,399 217

5,956 963

6,16*10-8

1,58 395

3,172 288

Т.к. критическое значение меньше наблюдаемых, то гипотеза о равенстве коэффициентов регрессии нулю отвергается, следовательно, коэффициенты значимы.

Запишем уравнение регрессии:

Y=8853. 537 + 2. 378 119*X5.

Определим значимость уравнения регрессии в целом по таблице:

df

SS

MS

F

Значимость F

F крит.

Регрессия

1

7,39*108

7,39*108

35,48 541

6,16*10-8

3,957 388

Остаток

82

1,71*109

20 827 520

Итого

83

2,45*109

Т.к. наблюдаемое значение больше критического, то гипотеза о незначимости уравнения регрессии в целом отвергается, следовательно, уравнение значимо.

Так как удаление сразу всех четырех незначимых регрессоров одновременно привело к снижению качества показателя функции регрессии — скорректированного коэффициента детерминации — то будем исключать независимые факторы пошагово, руководствуясь критерием минимума наблюдаемого значения t-статистики.

6. Исключим из уравнения регрессор X1, поскольку значение t-статистики является минимальным и составляет 0,1 859.

Получим следующие результаты.

Регрессионная статистика

Множественный R

0,606 954

R-квадрат

0,368 393

Нормированный R-квадрат

0,336 413

Стандартная ошибка

4423,039

Наблюдения

84

Ошибка аппроксимации

0,239 041

Нормированный коэффициент детерминации в этом случае больше, чем в двух предыдущих, поэтому уравнение является более адекватным.

Коэффициенты уравнения регрессии, их значимость и доверительные интервалы:

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

t крит.

Y-пересечение

3437,202

2085,966

1,647 775

0,103 371

-714,809

7589,213

1,99 045

X2

14,26 315

15,68 511

0,909 343

0,365 935

-16,9573

45,48 358

X3

14,51 835

8,821 611

1,645 771

0,103 784

-3,4 063

32,7 732

X4

1,181 439

1,521 505

0,776 494

0,439 776

-1,84 704

4,209 918

X5

2,173 415

0,450 469

4,824 779

6,7*10-6

1,276 778

3,70 051

Уравнение регрессии:

Y = 3437. 202 + 14. 26*X2 + 14. 52*X3 + 1. 18*X4 + 2. 17*X5.

Отвергается только гипотеза о том, что в5=0, остальные принимаются.

На следующем шаге исключим из рассмотрения признак X4, оставив остальные 3 регрессора, т.к. его t-статистика минимальна и равна 0,776.

Значимость уравнения регрессии в целом:

df

SS

MS

F

Значимость F

F крит.

Регрессия

4

9,01*108

2,25*109

11,51 943

2,04*107

2,487 366

Остаток

79

1,55*109

19 563 271

Итого

83

2,45*109

Результаты регрессионного анализа по трем переменным представлены в таблицах:

Регрессионная статистика

Множественный R

0,60 297

R-квадрат

0,363 572

Нормированный R-квадрат

0,339 706

Стандартная ошибка

4412,049

Наблюдения

84

Ошибка аппроксимации

0,248 288

Оценка скорректированного коэффициента детерминации в этом случае больше, чем в остальных случаях.

df

SS

MS

F

Значимость F

F крит.

Регрессия

3

8,9*109

2,97*108

15,23 387

6,26*10-8

2,718 785

Остаток

80

1,56*109

19 466 175

Итого

83

2,45*109

Уравнение регрессии значимо в целом.

Гипотезы о нулевом значении коэффициентов отвергаются для в0, в3 и в5, а для в2 принимается, т. е. в2=0. Поэтому на следующем шаге исключим соответствующий регрессор.

Y= 4124. 27+13. 45*X2+18. 44*X3+2. 35*X5.

Проведем регрессионный анализ для регрессоров X3 и X5, исключив X2. Получим следующие результаты.

Регрессионная статистика

Множественный R

0,598 055

R-квадрат

0,35 767

Нормированный R-квадрат

0,34 181

Стандартная ошибка

4405,014

Наблюдения

84

Ошибка аппроксимации

0,249 885

Показатель скорректированной детерминации является наибольшим из всех аналогичных показателей, полученных в предыдущих анализах.

Дисперсионный анализ

df

SS

MS

F

Значимость F

F крит.

Регрессия

2

8,75*108

4,38*108

22,5517

1,64*10-8

3,109 311

Остаток

81

1,57*109

19 404 152

Итого

83

2,45*109

Гипотеза о равенстве всех коэффициентов нулю отвергается, следовательно, уравнение значимо.

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

t крит.

Y-пересечение

4064,329

1880,019

2,161 855

0,33 581

323,681

7804,977

1,989 686

X3

18,99 339

7,171 142

2,648 586

0,9 714

4,725 063

33,26 171

X5

2,37 822

0,385 334

6,171 842

2,53*10-8

1,611 526

3,144 913

Уравнение регрессии имеет вид:

Y=4064. 329+18. 99*X3+2. 38*X5.

Гипотезы о равенстве коэффициентов регрессии в0, в3 и в5 нулю отвергаются на 5-% уровне значимости.

Для обобщения результатов занесем необходимые данные пошаговой регрессии в сводную таблицу.

Шаг

Уравнение регрессии

R2

S

1

Y=3434,97+0,63*X1+14,27*X2+14,51* X3+1,18*X4+2,17*X5

tкрит= 1,99

Fкрит=2. 33

0,368 393

0,327 905

4451,301

2

Y = 3437. 202 + 14. 26*X2 + 14. 52*X3 + 1. 18*X4 + 2. 17*X5.

tкрит= 1,99

Fкрит=2,49

0,368 393

0,336 413

4423,039

3

Y = 4124. 27+13. 45*X2+18. 44*X3+2. 35*X5.

tкрит= 1,99

Fкрит=2,72

0,363 572

0,339 706

4412,48 799

4

Y=4064. 329+18. 99*X3+2. 38*X5.

tкрит=1,99

Fкрит=3,11

0,35 767

0,34 181

4405,014

Шаг

Интервальные оценки коэффициентов

tнабл

Fнабл

д

1

[-1377,79; 8247,736]

[-677,845; 679,1117]

[-17,2263; 45,75 639]

[-4,2 676; 33,5 301]

[-2,17 887; 4,544 391]

[1,89 856; 3,255 855]

1,420 911

0,1 859

0,901 819

1,558 446

0,700 463

3,994 299

9,099

23,9%

2

[-714,809; 7589,213]

[-16,9573; 45,48 358]

[-3,4 063; 32,7 732]

[-1,84 704; 4,209 918]

[1,276 778; 3,70 051]

1,647 775

0,909 343

1,645 771

0,776 494

4,824 779

11,51 943

23,9%

3

[374,3805; 7874,159]

[-17,6203; 44,51 317]

[4,94 536; 32,79 446]

[1,580 169; 3,121 499]

2,188 747

0,861 349

2,557 897

6,70 484

15,23 387

24,8%

4

[323,681; 7804,977]

[4,725 063; 33,26 171]

[1,611 526; 3,144 913]

2,161 855

2,648 586

6,171 842

22,5517

24,99%

7. Таким образом, было получено статистически значимое уравнение регрессии, у которого все коэффициенты также значимы, и с удовлетворительными показателями коэффициента корреляции, детерминации и нормированного коэффициента детерминации. Т. е. получили, что средняя заработная плата зависит от обеспеченности амбулаторно-поликлиническими учреждениями и от объема инвестиций в основной капитал. Корреляция между третьим и пятым признаками наименьшая из всех корреляций и равна -0,1.

Дадим содержательную интерпретацию полученного уравнения регрессии:

Y=4064. 329+18. 99*X3+2. 38*X5.

а) Около 36% вариации заработной платы объясняется линейным влиянием обеспеченности амбулаторно-поликлиническими учреждениями и вложений в основной капитал (определяется коэффициентом детерминации R2=0. 358).

б) Точечными оценками генерального среднего значения признака Y являются рассчитанные значения. Каждому конкретному значению регрессоров соответствует единственная точечная оценка. Так, точечная оценка средней заработной платы для Белгородской области равна 9084,460 814.

Рассчитаем для этой же области интервальную оценку признака Y по формуле:

или.

;

.

в) Если увеличить обеспеченность амбулаторно-поликлиническими учреждениями на 1 единицу измерения, то средняя заработная плата увеличится на 18,99 (выбираем наибольший из коэффициентов регрессии). Увеличение этого же фактора на единицу сопровождается и наибольшим максимально возможным с 95-% вероятностью изменением результативного признака (увеличение заработной платы на 33,26 единиц), т.к. доверительные интервалы коэффициентов регрессии равны соответственно [4,725 063; 33,26 171] и [1,611 526; 3,144 913].

г) Для того, чтобы определить, изменение какого регрессора ведет к наибольшему изменению результативного признака на 1%, рассчитаем коэффициенты эластичности для каждого регрессора по следующей формуле:.

Получим:

— эластичность по третьему признаку;

— эластичность по пятому признаку.

Т.к. эластичность по третьему признаку больше по своему значению, чем эластичность по пятому признаку, то увеличение среднего значения X5 на 1% ведет к наибольшему изменению среднего значения Y. Таким образом, при увеличении амбулаторно-поликлинических учреждений на 1% среднемесячная номинальная заработная плата увеличивается на 0,479%.

Для того чтобы определить, изменение какого признака повлечет за собой наибольшее изменение результативного признака с 95-% вероятностью, подставим вместо оценок коэффициентов уравнения регрессии их точечные оценки. Получим:

— максимально возможное с 95-% вероятностью изменение результативного признака при изменении X3;

— максимально возможное с 95-% вероятностью изменение результативного признака при изменении X5.

Таким образом, при увеличении амбулаторно-поликлинических учреждений на 1% номинальная заработная плата максимально может увеличиться с вероятностью 95% на 0,84%.

8. Исследуем уравнение регрессии на гетероскедастичность с помощью различных методов.

· Проведем тест Голдфельда-Квандта. Этот метод применяется в том случае, если ошибки регрессии можно считать нормально распределенными случайными величинами, а объем выборки небольшой.

Тест включает в себя следующие шаги:

1) Упорядочение n наблюдений по мере возрастания той переменной X, относительно которой имеются предположения о гетероскедастичности.

2) Построение регрессии для m первых и m последних наблюдений, причем.

3) Проверка гипотезы о равенстве дисперсий в первой и второй выборках

Если дисперсии равны, то модель гомоскедастична, если нет — гетероскедастична.

Упорядочим выборку относительно X2 и выберем m=35. Проведем регрессию для первых и последних 35 наблюдений.

Рассчитаем наблюдаемое значение F-статистики по формуле:

Оно оказалось равно 2,296, что больше критического значения равного 1,804, следовательно, гипотеза о гомоскедастичности отвергается, присутствует гетероскедастичность.

· Проведем тест Уайта. Это наиболее простой и часто употребляемый тест на гетероскедастичность. Предполагается, что дисперсия ошибок регрессии представляют собой одну и ту же функцию от наблюдаемых значений регрессоров, т. е. Идея теста Уайта заключается в оценке этой функции с помощью соответствующего уравнения регрессии для квадратов остатков:

.

Гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается при незначимости уравнения регрессии в целом.

Построим уравнение регрессии, взяв в качестве зависимой переменной квадраты остатков, и определим его значимость. Было получено следующее уравнение регрессии:

.

Наблюдаемое значение F-статистики равно 0,742 211, критическое — 2,331 739. Так как критическое значение больше наблюдаемого, то гипотеза о незначимости всего уравнения регрессии принимается, т. е. гетероскедастичность отсутствует согласно этому методу.

· Проведем тест Глейзера, в котором в качестве зависимой переменной выбирается абсолютная величина остатков, т. е. осуществляется регрессия:. Регрессия выбирается при разных значениях г, затем выбирается то значение, при котором коэффициент в оказывается более значим, т. е. имеет наибольшее значение t-статистики. Возьмем в качестве г значения -1, -0. 5, 0. 5, 1 и проведем регрессионный анализ по остаткам. В следующей таблице приведены полученные результаты.

Значение г

Уравнение регрессии

Значение t-статистики

Критическое значение

-0. 5

t3=-1. 19 727;

t5=-1. 34 777

tк=1,989 686

-1

t3=-1. 22 327;

t5=-1. 75 702

0. 5

t3=0,777 937;

t5=2,80 195

1

t3=1,570 119;

t5=1,741 952.

Заметим, что большинство t-статистик меньше критического значения, а уравнение, для которого t5=2,80 195, незначимо в целом (его F-значение равно 0,73 883 409 > 0,05). Поэтому гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается, т. е. присутствует гомоскедастичность.

Таким образом, гетероскедастичность присутствует по результатам теста Голдфельда-Квандта и отсутствует согласно тестам Уайта и Глейзера. Однако, недостатком тестов Уайта и Глейзера является то, что факт невыявления ими гетероскедастичности не означает ее отсутствия, так как принимая гипотезу H0, мы принимаем лишь тот факт, что отсутствует определенного вида зависимость дисперсий ошибок регрессии от значений регрессоров [5, 166]. С другой стороны, недостатком теста Голдфельда-Квандта является то, что с помощью него можно установить лишь наличие гетероскедастичности, но он не предоставляет методов для ее устранения. Устранить гетероскедастичность, используя уравнения Уайта и Глейзера, тоже невозможно, т.к. согласно этим тестам присутствует гомоскедастичность. Поэтому выполнение этой процедуры не представляется возможным.

9. Составим нелинейное уравнение множественной регрессии в логарифмической форме:

Это уравнение можно привести к линейному виду, заменив () на. Получим:.

Проведем регрессионный анализ для прологарифмированных данных. Результаты содержатся в следующих таблицах:

Корреляция

Ln Y

Ln X1

Ln X2

Ln X3

Ln X4

Ln X5

Ln Y

1

Ln X1

0,154 743

1

Ln X2

0,83 349

0,85 809

1

Ln X3

0,666 594

0,200 103

0,99 096

1

Ln X4

0,14 944

-0,23 045

0,276 736

0,9 512

1

Ln X5

0,261 116

0,361 554

0,408 353

0,165 932

0,578 613

1

Регрессионная статистика

Логарифмическая модель (5 признаков)

Линейная модель

(5 признаков)

Множественный R

0,686 855

Множественный R

0,606 954

R-квадрат

0,471 769

R-квадрат

0,368 393

Нормированный R-квадрат

0,437 908

Нормированный R-квадрат

0,327 905

Стандартная ошибка

1,92 471

Стандартная ошибка

4451,301

Наблюдения

84

Наблюдения

84

Сравним показатели логарифмической регрессионной модели с линейной. Множественный R, коэффициент детерминации и скорректированный коэффициент детерминации (которые являются основными показателями качества функции) логарифмической модели больше аналогичных показателей линейной, а стандартная ошибка гораздо меньше.

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-пересечение

0,769 554

5,560 577

0,138 395

0,890 285

-10,3007

11,83 981

Ln X1

-0,12 983

0,24 729

-0,52 501

0,601 065

-0,62 215

0,362 486

Ln X2

-0,043

0,7 083

-0,60 714

0,545 521

-0,18 402

0,98 008

Ln X3

1,478 319

0,193 067

7,657 033

4,33E-11

1,93 953

1,862 685

Ln X4

-0,25 299

0,86 152

-0,29 365

0,769 805

-1,96 814

1,462 169

Ln X5

0,370 186

0,228 844

1,617 634

0,109 779

-0,8 541

0,825 779

Наблюдаемое значение F-статистики составляет 13,93 254, критическое — 2,331 739. Так как наблюдаемое значение больше критического, то гипотеза о незначимости уравнения отвергается, т. е. уравнение значимо в целом.

Значимым коэффициентом является только один — b3.

Исключим из рассмотрения признак, имеющий наименьшее значение t-статистики (X4) и проведем регрессионный анализ по оставшимся признакам. Получим следующие результаты.

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-пересечение

-0,81 865

1,284 199

-0,63 748

0,525 659

-3,37 478

1,73 749

Ln X1

-0,8 748

0,199 714

-0,43 802

0,662 566

-0,485

0,310 042

Ln X2

-0,4 322

0,70 416

-0,61 373

0,541 157

-0,18 337

0,96 943

Ln X3

1,472 235

0,190 839

7,714 555

3,13E-11

1,9 238

1,85 209

Ln X5

0,323 557

0,163 832

1,974 925

0,5 177

-0,254

0,649 657

Для данной регрессии значимым остается третий признак, а незначимые — все остальные. Поэтому исключим еще один признак (X1) и снова проведем регрессионный анализ.

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-пересечение

-0,68 911

1,243 358

-0,55 423

0,580 964

-3,16 347

1,78 525

Ln X2

-0,4 078

0,6 984

-0,58 393

0,560 912

-0,17 977

0,98 205

Ln X3

1,459 243

0,187 565

7,779 934

2,18E-11

1,85 977

1,832 509

Ln X5

0,299 015

0,153 174

1,95 212

0,54 423

-0,581

0,603 842

Получили такой же результат, как и в предыдущих двух случаях, следовательно исключаем очередной регрессор (X2).

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-пересечение

-0,46 241

1,176 379

-0,39 308

0,695 291

-2,80 304

1,87 821

Ln X3

1,45 543

0,186 687

7,796 092

1,89E-11

1,83 982

1,826 879

Ln X5

0,263 293

0,139 855

1,882 608

0,63 344

-0,1 498

0,541 561

Получили уравнение регрессии:.

Регрессионная статистика

Множественный R

0,683 843

R-квадрат

0,467 641

Нормированный R-квадрат

0,454 497

Стандартная ошибка

1,7 623

Наблюдения

84

Наблюдаемое значение F-статистики (35,57 655) для этого уравнения больше критического значения (3,109 311), т. е. гипотеза о незначимости уравнения отвергается, уравнение значимо. Коэффициенты этого уравнения также значимы. Показатели качества функции больше, чем для линейной модели, поэтому можно сказать, что данная логарифмическая модель лучше аппроксимирует данные.

Для нелинейной регрессии составим сводную таблицу:

Шаг

Уравнение регрессии

R2

S

1

lnY=0. 77−0. 13*lnX1-0. 04*lnX2+1. 48* lnX3-0. 25*lnX4+0. 037*lnX5

tкрит= 1. 99

Fкрит=2,331 739

0,471 769

0,437 908

1,92 471

2

lnY = -0. 82 — 0. 09*lnX1 — 0. 04*lnX2 + 1. 47*lnX3 + 0. 32*lnX5.

tкрит= 1,99

Fкрит=2,487 366

0,471 185

0,44 441

1,86 135

3

lnY = -0. 69−0. 04*lnX2+1. 46*lnX3+0. 3*lnX5.

tкрит= 1,99

Fкрит=2,718 785

0,469 901

0,450 022

1,80 635

4

lnY=-0. 46+1. 46*lnX3+0. 26*lnX5.

tкрит=1,99

Fкрит=3,109 311

0,467 641

0,454 497

1,7 623

Шаг

Интервальные оценки коэффициентов

tнабл

Fнабл

д

1

[-10,3007; 11,83 981]

[-0,62 215; 0,362 486]

[-0,18 402; 0,98 008]

[1,93 953; 1,862 685]

[-1,96 814; 1,462 169]

[-0,8 541; 0,825 779]

0,138 395

-0,52 501

-0,60 714

7,657 033

-0,29 365

1,617 634

13,93 254

3,3%

2

[-3,37 478; 1,73 749]

[-0,485; 0,310 042]

[-0,18 337; 0,96 943]

[1,9 238; 1,85 209]

[-0,254; 0,649 657]

-0,63 748

-0,43 802

-0,61 373

7,714 555

1,974 925

17,59 766

3,3%

3

[-3,16 347; 1,78 525]

[-0,17 977; 0,98 205]

[1,85 977; 1,832 509]

[-0,581; 0,603 842]

-0,55 423

-0,58 393

7,779 934

1,95 212

23,63 839

3,3%

4

[-2,80 304; 1,87 821]

[1,83 982; 1,826 879]

[-0,1 498; 0,541 561]

-0,39 308

7,796 092

1,882 608

35,57 655

3,2%

В итоге получили, что номинальная заработная плата в большей степени зависит от обеспеченности амбулаторно-поликлиническими учреждениями и в меньшей — от объема вложений в основной капитал. Связь между этими величинами прямая, т. е. при увеличении амбулаторно-поликлинических учреждений и (или) объема вложений в основной капитал, номинальная заработная плата также увеличивается.

РАЗДЕЛ 2. КОМПОНЕНТНЫЙ И ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

2. 1 Компонентный анализ

Изучается система из пяти признаков X1, X, X3, X4, X5 по числовым данным, собранным на 84 объектах. Цель -- выявить общие для этих признаков латентные факторы (главные компоненты), влиянием которых обусловлены вариации признаков и их ковариации.

1. Запишем модель компонентного анализа и предъявляемые к ней требования.

Модель компонентного анализа предполагает, что каждый признак X (j) формируется как линейная комбинация такого же числа факторов -- компонент F (i), влиянием которых объясняется суммарная дисперсия признаков X (j).

К компонентам F (i) предъявляются следующие требования:

* они должны быть некоррелированы между собой;

* они должны выделяться таким образом, чтобы влиянием первой компоненты объяснялось максимальная доля суммарной дисперсии всех признаков, влиянием второй компоненты -- максимальная доля оставшейся суммарной дисперсии и т. д.

Поскольку исходные признаки разнородны по содержательному смыслу и имеют разные единицы измерения, компонентный анализ будем проводить с использованием корреляционной матрицы.

В качестве исходных данных используется матрица размера 84×5 признаков x1, x2, x3, x4, x5.

По данной выборке с помощью пакета SPSS реализуем метод главных компонент.

2. Определим доли общей дисперсии признаков (в процентах), приходящиеся на каждую компоненту, и накопленные доли этой дисперсии (в процентах) по следующей таблице:

Объясненная совокупная дисперсия

Компоненты

Собственные значения

Сумма

% вариации

Совокупный %

1

1,732

34,635

34,635

2

1,288

25,770

60,405

3

, 989

19,775

80,179

4

, 777

15,535

95,715

5

, 214

4,285

100,000

Следующая таблица иллюстрирует матрицу нагрузок (5 Ч 5) признаков на компоненты:

Матрица компонент

Признаки

Компоненты

1

2

3

4

5

1

, 346

, 767

-, 019

, 512

, 171

2

, 195

-, 023

, 979

-, 051

, 035

3

, 628

-, 531

-, 012

, 532

-, 201

4

, 827

-, 366

-, 165

-, 270

, 285

5

, 704

, 533

-, 055

-, 395

-, 249

Для записи исходных признаков через компоненты воспользуемся формулой линейной модели компонентного анализа:

Каждый признак x (i) может быть представлен в виде линейной комбинации такого же числа факторов F (j). Каждый фактор разделив каждую компоненту на соответствующее собственное число:

.

Запишем выражения исходных признаков через компоненты:

,

,

,

,

.

Аналогично можно записать выражения компонент через признаки:

,

,

,

,

.

3. Снизим размерность системы исходных признаков. Для этого проанализируем таблицу «Объясненная совокупная дисперсия». Как видно из таблицы первые 3 компоненты имеют собственные значения, превосходящие по значению единицу или близкие к 1, и объясняют 80,2% вариации признаков, что достаточно для выделения факторов. Поэтому можно снизить размерность исходной системы до 3-х признаков.

Распределение вариации признаков по компонентам можно представить в виде следующей факторной диаграммы:

28

После снижения размерности получим таблицу:

Матрица компонент

Признаки

Факторы

1

2

3

1

, 346

, 767

-, 019

2

, 195

-, 023

, 979

3

, 628

-, 531

-, 012

4

, 827

-, 366

-, 165

5

, 704

, 533

-, 055

Определим принадлежность признаков факторам. Для этого оценим абсолютное значение каждого признака по факторам. Получили следующее распределение:

Первый фактор включает 3-й, 4-й и 5-й признаки (обеспеченность амбулаторно-поликлиническими учреждениями, стоимость минимального набора продуктов питания по субъектам Российской Федерации и объем инвестиций в основной капитал).

Второй фактор включает 1-й признак (ввод в действие жилых домов).

Третий фактор включает 2-й признак (выбросы в атмосферу загрязняющих веществ, отходящих от стационарных источников).

Проанализируем признаки, входящие в первый фактор. Как видно, последний признак (объем инвестиций в основной капитал) логически не соответствует структуре фактора. Кроме того, он принимает близкие значения 0,704 и 0,533 в матрице компонент для 1-го и 2-го фактора. Поэтому целесообразно отнести 5-й признак именно ко второму фактору.

В соответствии с включенными признаками можно дать следующие названия факторам:

1 фактор — условия для поддержания здоровья населения, которое зависит, как известно, не только от числа поликлиник в регионе, но также во многом и от качества питания, на которое в свою очередь оказывает влияние уровень цен на продукты;

2 фактор — обеспеченность жильем. Очевидно, что чем выше количество введенных в действие жилых домов, тем выше уровень обеспеченности населения жильем в целом;

3 фактор — экологическая ситуация, на которую очень сильное воздействие оказывают выбросы промышленных отходов в наземную, водную и воздушную среду.

4. Проведем регрессионный анализ признака Y (номинальная заработная плата) на отобранные главные компоненты.

Матрица корреляции имеет следующий вид:

Y

K1

K2

K3

Y

1

K1

0,582 522

1

K2

0,263 598

0,569 492

1

K3

0,60 301

0,134 633

-0,14 845

1

Наибольшую корреляцию с результативным признаком имеет первый фактор (который, как уже указывалось выше, включает в себя обеспеченность амбулаторно-поликлиническими учреждениями, стоимость минимального набора продуктов питания по субъектам Российской Федерации и объем инвестиций в основной капитал) и наименьшую связь — третий фактор (включающий выбросы в атмосферу загрязняющих веществ).

Коэффициенты уравнения регрессии и их значимость содержатся в следующей таблице:

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-пересечение

10 777,09

535,9039

20,11 012

5,04*10-33

9710,611

11 843,58

K1

4407,925

768,0113

5,739 401

1,64*10-7

2879,534

5936,316

K2

-752,831

742,5739

-1,1 381

0,313 728

-2230,6

724,9378

K3

-248,633

523,5045

-0,47 494

0,636 124

-1290,44

793,174

Таким образом, получили уравнение регрессии вида:

.

Незначимыми в этом уравнении являются коэффициенты при K2 и K3, значимыми — свободный коэффициент и коэффициент при K1.

Само уравнение регрессии в целом является значимым, т.к. наблюдаемое значение F-статистики (14,23 581) больше критического значения (2,718 785).

Рассмотрим показатели качества функции регрессии.

Регрессионная статистика

Множественный R

0,589 952

R-квадрат

0,348 043

Нормированный R-квадрат

0,323 594

Стандартная ошибка

4465,554

Наблюдения

84

Как видно, эта модель имеет средние показатели множественного коэффициента корреляции, детерминации и скорректированного коэффициента детерминации и большое значение стандартной ошибки.

Попытаемся улучшить модель, исключив из нее регрессор K3, как имеющего наименьшее значение t-статистики.

Получим уравнение:

.

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-пересечение

10 738,33

527,1149

20,3719

1,29*10-33

9689,539

11 787,13

K1

4309,576

736,0243

5,855 209

9,78*10--9

2845,119

5774,034

K2

-655,354

710,2272

-0,92 274

0,358 884

-2068,48

757,7752

В этом уравнении коэффициент K2 остается незначимым, а все уравнение в целом значимо (). Поэтому построим уравнение регрессии для одного фактора (K1) и получим следующие результаты:

.

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-пересечение

10 566,22

492,5618

21,45 155

2,21E-35

9586,353

11 546,08

K1

3922,801

604,4614

6,489 746

6,14E-09

2720,335

5125,268

Значимыми являются все коэффициенты уравнения и само уравнение в целом, для которого Fн=42,117, Fк=3,958.

Таким образом, было получено уравнение парной регрессии зависимости результативного признака Y (среднемесячная номинальная заработная плата) от фактора K1 (обеспеченность амбулаторно-поликлиническими учреждениями, стоимость минимального набора продуктов питания и объем инвестиций в основной капитал). Причем связь между этими признаками прямая, т. е. при увеличении значений факторных компонент, увеличивается и заработная плата. Можно сказать, что похожие результаты были получены в регрессионном анализе по исходным признакам, за исключением такого регрессора, как стоимость минимального набора продуктов питания, входящего в фактор.

2.2 Факторный анализ

1. Запишем модель факторного анализа и предъявляемые к ней требования.

Математическая модель факторного анализа в матричной форме имеет следующий вид:

X Ю=AF+е,

где F=(F1,…, F2) — вектор общих факторов. Центрированный и нормированный вектор-столбец некоррелированных общих факторов. 0< k<m;

A(mЧk) — неслучайная матрица нагрузок компонентов xi — на факторы fj;

е=(е1,…, еm) — вектор распределений по m-мерному нормальному закону; центрированный вектор специфических факторов, некоррелированных как между собой, так и с общими факторами.

К общим и специфическим факторам предъявляются следующие требования:

* общие факторы должны быть некоррелированы между собой;

* специфические факторы должны быть некоррелированы как между собой, так и с общими факторами.

2. Для выделения факторов реализуем метод максимального правдоподобия.

Зададим максимальное число факторов равным одному, чтобы вначале выявить один общий фактор.

В результате работы программы максимум функции правдоподобия не найден, следовательно, невозможно рассчитать матрицу факторных нагрузок.

Установим максимальное число факторов равным двум.

Сразу обратим внимание на тест «Хи-квадрат», проверяющий гипотезу о равенстве числа общих факторов двум.

Тест «Хи-квадрат»

Наблюдаемое значение

Уровень значимости

Р-значение

8,629

1

, 003

Гипотеза H0 о том, что число общих факторов равно двум, принимается на 1%-ном уровне значимости, так как наблюдаемое значение статистики ч2, равное 8,629 меньше критического значения.

Следовательно, можно выделить всего 2 фактора, влияющие на распределение признаков, несмотря на то, что они в совокупности объясняют лишь 60,405% всей вариации:

Объясненная суммарная дисперсия

Факторы

Собственные значения

Суммы квадратов нагрузок после вращения

Сумма

% вариации

Суммарный %

Сумма

% вариации

Суммарный %

1

1,732

34,635

34,635

1,323

26,464

26,464

2

1,288

25,770

60,405

1,256

25,121

51,586

3

, 989

19,775

80,179

4

, 777

15,535

95,715

5

, 214

4,285

100,000

Определим нагрузку исходных признаков на общие факторы.

Можно изобразить факторные нагрузки в виде диаграммы рассеяния:

28

На этой диаграмме каждая переменная представлена точкой. Можно повернуть оси в любом направлении без изменения относительного положения точек; однако действительные координаты точек, то есть факторные нагрузки, должны, без сомнения, меняться. Можно увидеть, что если повернуть оси относительно начала координат на 45 градусов, то можно достичь ясного представления о нагрузках, определяющих переменные.

Существуют различные методы вращения факторов. Целью этих методов является получение понятной (интерпретируемой) матрицы нагрузок, то есть факторов, которые ясно отмечены высокими нагрузками для некоторых переменных и низкими — для других. Эту общую модель иногда называют простой структурой. Типичными методами вращения являются стратегии варимакс, квартимакс, и эквимакс.

Идея вращения по методу варимакс заключается в максимизации дисперсии исходного пространства переменных. Например, на диаграмме рассеяния можно рассматривать линию регрессии как ось X, повернув ее так, что она совпадала с прямой регрессии. Этот тип вращения называется вращением, максимизирующим дисперсию, так как критерий (цель) вращения заключается в максимизации дисперсии (изменчивости) «новой» переменной (фактора) и минимизации разброса вокруг нее. Другими словами, вращение позволяет получить матрицу нагрузок на каждый фактор таким образом, чтобы они отличались максимально возможным образом, и имелась возможность их простой интерпретации [7, факторный анализ]. Ниже приведена вращенная диаграмма рассеивания и таблица нагрузок на повернутые факторы.

28

Вращенная матрица факторных нагрузок

Признаки

Факторы

1

2

1

-, 205

, 455

2

, 011

, 081

3

, 561

-, 105

4

, 966

, 258

5

, 185

, 982

Дадим содержательную интерпретацию этим факторам. Как видно из таблицы первый фактор имеет сильную прямую связь с 4-м признаком (стоимость минимального набора продуктов питания) и умеренную прямую связь с 3-м признаком (обеспеченность амбулаторно-поликлиническими учреждениями), поэтому его можно назвать «условия для поддержания здоровья населения». Второй фактор тесно связан с 5-м признаком (объем инвестиций в основной капитал) и слабее с 1-м признаком (ввод в действие жилых домов). Назовем его «обеспеченность жильем». Как видно второй признак имеет очень маленькую нагрузку на оба фактора, поэтому его можно не учитывать.

Вероятнее всего, оставшиеся 39,5% вариации признаков объясняются специфическими факторами.

Матрица специфических факторов

Факторы

1

2

1

, 680

, 733

2

-, 733

, 680

3. Проведем регрессионный анализ признака Y (номинальная заработная плата) на общие факторы F1 (который включает стоимость минимального набора продуктов питания и обеспеченность амбулаторно-поликлиническими учреждениями) и F2 (включающий объем инвестиций в основной капитал).

Была получена матрица корреляции, по которой видно, что первый фактор больше коррелирует с результативным признаком, чем второй:

Y

F1

F2

Y

1

F1

0,560 433

1

F2

0,135 599

5,21E-07

1

Регрессия имеет средние показатели качества и большое значение стандартной ошибки:

Регрессионная статистика

Множественный R

0,576 604

R-квадрат

0,332 472

Нормированный R-квадрат

0,31 599

Стандартная ошибка

4490,584

Наблюдения

84

Уравнение регрессии имеет вид:

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-пересечение

9988,742

489,9629

20,38 673

1,23E-33

9013,869

10 963,61

F1

3042,956

492,906

6,173 502

2,52E-08

2062,228

4023,685

F2

736,2536

492,9057

1,493 701

0,139 139

-244,474

1716,981

Наблюдаемое и критическое значения F- статистики равны соответственно 20,17 164 и 3,109 311, что отвергает гипотезу о незначимости всего уравнения регрессии в целом.

Из таблицы видно, что коэффициент регрессии при F2 незначим, поэтому исключим его и проведем регрессионный анализ по одному фактору.

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Y-пересечение

9988,742

493,6274

20,23 539

1,25E-33

9006,76

10 970,72

F1

3042,957

496,5924

6,127 674

2,96E-08

2055,076

4030,837

Получили уравнение:

Уравнение является значимым (Fн=37,54 839, Fк=3,957 388), как и все его коэффициенты.

Таким образом, можно сделать вывод, что номинальная заработная плата находится в прямой зависимости от стоимости минимального набора продуктов питания и обеспеченности амбулаторно-поликлиническими учреждениями. Эта зависимость имеет общие черты с предыдущим регрессионным анализом по исходным признакам и по главным компонентам, где получили зависимость заработной платы от обеспеченности амбулаторно-поликлиническими учреждениями и вложений в основной капитал (по исходным признакам) и стоимость минимального набора продуктов питания, обеспеченности амбулаторно-поликлиническими учреждениями и вложений в основной капитал (по главным компонентам).

РАЗДЕЛ 3. КЛАСТЕРНЫЙ АНАЛИЗ

Требуется по исходным данным провести классификацию 20 объектов (20 регионов РФ) (9−28). Проведем на SPSS иерархический кластерный анализ, реализовав метод ближайшего соседа с выбором евклидовой метрики расстояний (данные предварительно стандартизированы).

1. По матрице расстояний найдем значение расстояния между первым и 20-м объектами.

Матрица расстояний

Объекты

Евклидово расстояние

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

0

2,4

2,21

2,06

1,78

1,74

2,79

2,42

2,01

2,09

2,4

2,17

1,91

7,82

1,38

2,43

1,65

2,77

1,45

2,3

2

2,4

0

3,07

2,98

2,94

2,73

3,42

3,59

3,38

3,11

3,57

4,19

3,93

7,55

3,18

2,25

2,49

4,23

3,19

3,48

3

2,21

3,07

0

, 33

, 8

, 5

, 74

, 75

, 86

3,34

1,07

3,32

2,8

8,12

1,62

1,36

1,16

2,16

1,56

, 73

4

2,06

2,98

, 33

0

, 69

, 52

, 75

, 69

, 8

3,2

, 89

3,09

2,66

7,86

1,38

1,24

, 92

1,96

1,46

, 72

5

1,78

2,94

, 8

, 69

0

, 67

1,21

, 81

, 46

2,59

, 85

2,66

2,08

7,92

1,09

1,44

, 72

1,68

, 86

, 61

6

1,74

2,73

, 5

, 52

, 67

0

1,2

1,05

, 88

2,98

1,27

3,07

2,54

8,1

1,4

1,39

, 98

2,25

1,28

, 94

7

2,79

3,42

, 74

, 75

1,21

1,2

0

, 77

1,21

3,72

, 96

3,59

3,17

7,89

1,95

1,33

1,41

2,04

2,03

, 92

8

2,42

3,59

, 75

, 69

, 81

1,05

, 77

0

, 56

3,29

, 44

2,97

2,5

8,

1,41

1,72

1,26

1,49

1,43

, 3

9

2,01

3,38

, 86

, 8

, 46

, 88

1,21

, 56

0

2,82

, 69

2,64

2,03

8,07

1,12

1,8

1,09

1,5

, 89

, 35

10

2,09

3,11

3,34

3,2

2,59

2,98

3,72

3,29

2,82

0

3,11

2,26

1,7

7,84

2,42

3,2

2,47

2,98

2,06

3,08

11

2,4

3,57

1,07

, 89

, 85

1,27

, 96

, 44

, 69

3,11

0

2,71

2,34

7,68

1,24

1,69

1,13

1,12

1,4

, 57

12

2,17

4,19

3,32

3,09

2,66

3,07

3,59

2,97

2,64

2,26

2,71

0

1,17

7,37

1,72

3,6

2,61

2,14

2,06

2,92

13

1,91

3,93

2,8

2,66

2,08

2,54

3,17

2,5

2,03

1,7

2,34

1,17

0

8,02

1,53

3,26

2,24

1,96

1,29

2,35

14

7,82

7,55

8,12

7,86

7,92

8,1

7,89

8

8,07

7,84

7,68

7,37

8,02

0

7,47

7,32

7,3

7,47

8,1

8,11

15

1,38

3,18

1,62

1,38

1,09

1,4

1,95

1,41

1,12

2,42

1,24

1,72

1,53

7,47

0

2,08

1,09

1,46

, 92

1,38

16

2,43

2,25

1,36

1,24

1,44

1,39

1,33

1,72

1,8

3,2

1,69

3,6

3,26

7,32

2,08

0

1,05

2,56

2,19

1,7

17

1,65

2,49

1,16

, 92

, 72

, 98

1,41

1,26

1,09

2,4

1,13

2,61

2,24

7,3

1,09

1,05

0

1,83

1,24

1,19

18

2,77

4,23

2,16

1,96

1,68

2,25

2,04

1,49

1,5

2,98

1,12

2,14

1,96

7,47

1,46

2,56

1,83

0

1,71

1,54

19

1,45

3,19

1,56

1,46

, 86

1,28

2,03

1,43

, 89

2,06

1,4

2,06

1,29

8,1

, 92

2,19

1,24

1,71

0

1,22

20

2,3

3,48

, 73

, 72

, 61

, 94

, 92

, 3

, 35

3,08

, 57

2,92

2,35

8,11

1,38

1,7

1,19

1,54

1,22

0

Расстояние между первым и двадцатым объектами, рассчитанное по формуле евклидова расстояния:

— равно 2,3.

2. Рассмотрим первые пять строк протокола объединения:

Порядок агломерации

Шаг

Объединение в кластеры

Коэффициенты

Шаг, на котором кластер появляется впервые

Следующий шаг

Кластер 1

Кластер 2

Кластер 1

Кластер 2

1

8

20

, 303

0

0

3

2

3

4

, 326

0

0

6

3

8

9

, 346

1

0

4

4

8

11

, 443

3

0

5

5

5

8

, 455

0

4

7

6

3

6

, 498

2

0

7

7

3

5

, 669

6

5

8

8

3

17

, 715

7

0

9

9

3

7

, 743

8

0

10

10

3

19

, 863

9

0

11

11

3

15

, 919

10

0

12

12

3

16

1,050

11

0

13

13

3

18

1,122

12

0

15

14

12

13

1,171

0

0

15

15

3

12

1,286

13

14

16

16

1

3

1,377

0

15

17

17

1

10

1,698

16

0

18

18

1

2

2,252

17

0

19

19

1

14

7,295

18

0

0

На первом шаге объединяются наблюдения под номерами 8 и 20 на уровне 0,303. Эти 2 региона максимально похожи друг на друга и отдалены на очень малое расстояние. Далее этот кластер встречается на 3-м шаге под номером 8. На втором шаге, на уровне 0,326 объединяются кластеры 3 и 4. На третьем — 8-й и 9-й на уровне 0,346. На четвертом — 8 и 11 на 0,443. На 5-м — 5 и 8 кластеры на уровне 0,455.

Приведем алгоритм пересчета матрицы расстояний между объектами на каждом шаге объединения:

· На нулевом шаге за разбиение принимается исходная совокупность 20 элементарных кластеров. Т. е. каждое наблюдение — это отдельный кластер.

· На каждом следующем шаге происходит объединение 2-х кластеров ks и kt, сформированных на предыдущем шаге в один кластер, при этом размерность матрицы расстояний уменьшается по сравнению с размером исходной матрицы на предыдущем шаге на единицу. За расстояние между кластерами принимается минимальное из расстояний (метод ближнего соседа).

Ниже приведем дендрограмму разбиения по методу ближнего соседа.

Порядок агломерации

Шаг

Объединение в кластеры

Коэффициенты

Шаг, на котором кластер появляется впервые

Следующий шаг

Кластер 1

Кластер 2

Кластер 1

Кластер 2

1

8

20

, 303

0

0

5

2

3

4

, 326

0

0

4

3

5

9

, 455

0

0

6

4

3

6

, 520

2

0

10

5

8

11

, 572

1

0

6

Здесь первые два шага кластеризации соответствуют первым двум шагам агломерации по методу ближнего соседа. На третьем шаге на уровне 0,455 объединяются кластеры 5 и 9; на четвертом на уровне 0,52 — кластеры 3 (включающий 3 и 4 регионы) и 6; на пятом — 8 и 11 на уровне 0,572.

Здесь, как и в методе ближнего соседа, 14-й кластер выделяется в отдельный, а во второй кластер попадают все остальные регионы.

Рассмотрим первые пять шагов протокола объединения по методу средней связи:

Порядок агломерации

Шаг

Объединение в кластеры

Коэффициенты

Шаг, на котором кластер появляется впервые

Следующий шаг

Кластер 1

Кластер 2

Кластер 1

Кластер 2

1

8

20

, 303

0

0

3

2

3

4

, 326

0

0

4

3

8

9

, 452

1

0

5

4

3

6

, 509

2

0

7

5

8

11

, 570

3

0

6

От предыдущего случая этот порядок агломерации отличается только третьим шагом, на котором объединяются кластеры 8 и 9 на уровне 0,452.

В этом случае, как и в двух предыдущих, второму кластеру принадлежит только 1 регион — Ненецкий А О, а первому — все остальные 19 регионов.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой