Определение вероятностей различных событий

Тип работы:
Контрольная
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Уральский государственный экономический университет»

Центр дистанционного образования

Контрольная работа

по дисциплине: Теория вероятностей

по теме: вариант № 1

Екатеринбург 2013г

Контрольная работа № 1

1. Какова вероятность выиграть главный приз в спортлото, угадав 6 номеров из 49?

Решение

Так как угадано 6 номеров, то число элементарных событий, благоприятных событию А, равно 6, т. е. m = 6 и общее число номеров n = 49, то вероятность выиграть главный приз в спортлото равна

Р (А) = = = 0,122

2. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует к себе внимания рабочего для 1 станка равна 0. 9, для 2-го равна 0. 8, для 3-го — 0. 85. Найти вероятность того, что в течении часа 1) ни один станок не потребует внимания рабочего, 2) по крайней мере 1 станок не потребует внимания рабочего

Решение

Имеем Р (А) = 0,9; Р (В) = 0,8; Р© = 0,85

1) Р (АВС) = Р (А)• Р (В)• Р© = 0,9• 0,8•0,85 = 0,612.

2) Р = 1 — 0,9 = 0,1 (вероятность того, что первый станок потребует внимания рабочего в течение часа);

Р = 1 — 0,8 = 0,2 (вероятность того, что второй станок потребует внимания рабочего в течение часа);

Р = 1 — 0,85 = 0,15 (вероятность того, что третий станок потребует внимания рабочего в течение часа).

Тогда Р — вероятность того, что одновременно внимания рабочего в течение часа потребуют все 3 станка — определится следующим образом:

Р = Р• Р• Р = 0,1• 0,2•0,15 = 0,003.

Но событием, противоположным событию, является событие, что по крайней мере 1 станок не потребует внимания рабочего в течение часа. Следовательно, искомая вероятность найдется по формуле:

Р = 1 — Р = 1 — 0,003 = 0,997.

Ответ: 1) 0,612; 2) 0,997.

3. Достигшему 60-летнего возраста человеку вероятность умереть на 61 году жизни равна при определенных условиях 0. 09. Какова в этих условиях вероятность, что из 3-х человек в возрасте 60 лет 1) все трое будут живы через год, 2) по крайней мере, один из них будет жив

Решение

Имеем схему Бернулли с параметрами р = 0,009 (вероятность того, что человек умрет), n = 3 (количество человек), k (число «успехов», живых людей). Будем использовать формулу Бернулли:

Получаем:

1) = 0,729 — вероятность того, что из 3-х человек все трое будут живы через год.

2) = 1 — = 1 — = 1 — = 0,246 429 — вероятность того, что по крайней мере один человек будет жить (нашли через вероятность противоположного события).

Ответ: 1) 0,729; 2) 0,246 429.

4. Посев производится семенами пшеницы 4 сортов, перемешанных между собой. При этом зерна первого сорта составляют 12% от общего количества, зерна второго сорта — 9%, третьего сорта — 14%, четвертого сорта — 65%. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен для пшеницы первого сорта составляет 0,25, для пшеницы второго сорта — 0,08, для пшеницы третьего сорта — 0,04, для четвертого сорта — 0. Найти вероятность того, что из взятого наугад зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен

Решение

Пусть событие, А состоит в том, что из взятого наугад зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен. Возможны четыре гипотезы:

Н1 — колос вырастет из зерна первого сорта;

Н2 — колос вырастет из зерна второго сорта;

Н3 — колос вырастет из зерна третьего сорта;

Н4 — колос вырастет из зерна четвертого сорта;

Вероятности:

Р (Н1) = 12% = 0,12; Р (Н2) = 9% = 0,09; Р (Н3) = 14% = 0,14;

Р (Н4) = 65% = 0,65.

Условные вероятности:

Р (АН1) = 0,25; Р (АН2) = 0,08; Р (АН3) = 0,04; Р (АН1) = 0.

Тогда вероятность события, А найдем по формуле полной вероятности:

Р (А) = (АН1) • Р (Н1) + (АН2) • Р (Н2) + (АН3) • Р (Н3) + (АН4) • Р (Н4) =

= 0,25•0,12+ 0,08•0,09 + 0,04•0,14 + 0•0,65 = 0,0428

Ответ: 0,0428.

5. Успешно написали контрольную работу 30% студентов. Вероятность правильно решить задачу на экзамене для студента, успешно написавшего контрольную, равна 0. 8, для остальных — 0.4. Студент не решил задачу на экзамене. Какова вероятность, что он не написал контрольную работу?

Решение

Пусть событие, А состоит в том, что студент не решил задачу на экзамены.

Возможны две гипотезы:

Н1 — студент успешно написал контрольную работу;

Н2 — студент не написал контрольную работу.

Вероятности:

Р (Н1) = 30% = 0,3; Р (Н2) = 1 — Р (Н1) = 1−0,3 = 0,7.

Условные вероятности:

Р (АН1) = 0,8; Р (АН2) = 0,4.

Найдем сначала вероятность события, А по формуле полной вероятности:

Р (А) = (АН1) • Р (Н1) + (АН2) • Р (Н2) = 0,8•0,3 + 0,4•0,7 = 0,52.

Теперь найдем апостериорные вероятности того, что если студент не решил задачу на экзамене, то он не написал контрольную, по формуле Байеса:

Р (Н1А) = = = 0,4615;

Р (Н2А) = = = 0,5385.

Таким образом, вероятность того, что студент не написал контрольную работу, равна 0,5385.

Ответ: 0,5385

вероятность дискретный дисперсия случайный

Контрольная работа № 2

Задание 1. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равно 0,7. Проверено 20 изделий. Найти закон распределения случайной величины Х — числа стандартных изделий среди проверенных. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Решение

Пусть Х — число стандартных изделий среди 20 проверенных. Она распределена по биномиальному закону с параметрами n = 20, p = 0,7. Веорятности найдем по формуле Бернулли:

P (X=k) = Pn(k) = = =

= ,

где k = 0, 1, 2, …, 20.

Получим ряд распределения

xi

pi

0

0,0

1

0,0

2

0,0

3

0,0

4

0,1

5

0,4

6

0,22

7

0,102

8

0,386

9

0,1 201

10

0,3 082

11

0,6 537

12

0,11 440

13

0,16 426

14

0,19 164

15

0,17 886

16

0,13 042

17

0,7 160

18

0,2 785

19

0,684

20

0,80

Расчеты произведены правильно, так как сумма = 1

Математическое ожидание:

mx = n•p = 20•0,7 = 14.

Дисперсия:

Dx = n•p•(1-p) = 20•0,7•0,3 = 4,2

Среднеквадратическое отклонение:

=.

Задание 2. Случайная величина Х задана функцией распределения F (X). Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (. Построить графики функций F (X) и f (X).

F (x) =

Решение

1. Найдем плотность вероятности, как производную от функции распределения:

f (x) = F?(x) =

2. Найдем математическое ожидание:

М =

М = = = =

3. Находим дисперсию:

D = •

D=•= = = 2•- + = =

4. Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (:

(= (-1; 0,5)

р () = F (

р () = F (= - 0 = 0,25

5. Построим графики функций F (X) и f (X):

Список литературы

1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей, М., Наука, 1969

2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, 1975

3. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика, М., Высшая школа, 1972

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой