Основные виды экономико-математический моделей и особенности их составления

Тип работы:
Контрольная
Предмет:
Экономические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Контрольная работа

по дисциплине

«Экономико-математические методы и модели»

Преподаватель

Новикова Наталья Владимировна

Содержание

  • Задания
  • Задание 1. Оптимизационные модели
  • Задание 2. Теория массового обслуживания
  • Задачи 3. Модели управления запасами
  • 3.1 Бездефицитная простейшая модель
  • 3.2 Статические детерминированные модели с дефицитом
  • Задание 4. Корреляционно-регрессионный анализ

Задания

Задание 1. Оптимизационные модели

Составить экономико-математическую модель задачи.

Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используют три вида ресурсов S1, S2, S3. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, прибыль, получаемая от единицы продукции, приведены в таблице:

Вид ресурса

Число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции

Запас ресурса

Р1

Р1

Р2

S1

2

3

180

S2

4

1

240

S3

6

7

426

Прибыль, получаемая от единицы продукции

16

12

Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

Решение:

Задача состоит в определении такого плана производства продуктов Р1 и Р2, при котором прибыль от их реализации будет максимальной.

Обозначим:

Запас ресурсов:

Обозначим х1 - количество продукта Р1, х2 — количество продукта Р2, f — запасы.

Значения х1 и х2 должны удовлетворять ограничениям по использованию трёх видов ресурсов S1, S2, S3.

Так, использование ресурса S1 будет описываться формулой (2х1+3х2), где

1 - условное количество ресурса S1 в х1 единицах продукта Р1;

2 — условное количество ресурса S1 в х2 единицах продукта Р2.

По условию, данная сумма не должна превышать 180 ед.

Т. е:

1+3х2?180

Использование ресурса S2 будет описываться формулой (4х12), где

1 - условное количество ресурса S2 в х1 единицах продукта Р1;

2 — условное количество ресурса S2 в х2 единицах продукта Р2.

По условию, данная сумма не должна превышать 240 ед.

Т. е:

12?240

Использование ресурса S3 будет описываться формулой (6х1+7х2), где

1 - условное количество ресурса S3 в х1 единицах продукта Р1;

2 — условное количество ресурса S3 в х2 единицах продукта Р2.

По условию, данная сумма не должна превышать 426 ед.

Т.е. :

1+7х2?426

По смыслу задачи, х1 и х2 должны быть неотрицательными — х1?0 и х2?0

Составим целевую функцию. Прибыль х1 единиц продукта Р1 составит 16 ден. единиц, а прибыль х2 единиц продукта Р2 составит 12 ден. единиц.

Т.о., целевая функция, которую необходимо максимизировать записывается в виде:

f = 16х1+12х2

Математически, задача сводится к определению таких значений х1 и х2, удовлетворяющих линейным ограничениям задачи, при которых функция достигнет максимального значения.

Получаем экономико-математическую модель задачи:

minf = 16х1+12х2

1+3х2?180

12?240

1+7х2?426

х1?0 и х2?0

экономический математический модель

Задание 2. Теория массового обслуживания

Мастерская имеет п рабочих мест для обслуживания клиентов. Поток заявок (клиентов) является простейшим потоком с плотностью Я [заявки в час]. Среднее время обслуживания одного клиента Тоб [час]. Клиент, заставший все рабочие места занятыми, становится в очередь и может ждать неограниченное время, пока его не обслужат.

Параметры п, X, Тоб даны для каждой задачи в табл.1. Предварительно определив тип системы массового обслуживания и существование установившегося режима, требуется найти вероятность наличия очереди роч и среднюю длину очереди Lm.

Таблица

№ варианта

п

л

Тоб (час)

6

4

2

1,6

Решение:

1. Определим величины

µ =

1

и

с =

л

Тср. об.

µ

2. Находим м = 1/1,6 = 0,625 и с = 2/0,625 = 3,2

3. Если установившийся режим существует, определяем величину с0 — вероятность того, что все каналы являются свободными, по формуле:

с0 = 1/ (1+с/1i +с2/2i + … + сn/n! + сn+1/ (n! * (n-с))) =0,012

4. Зная с0, находим остальные характеристики системы по формулам:

соч = сn+1/ (n! * (n-с)), Lоб=с, Lочn+1/ (n*n! (1-с/n) 2) *с0, Lсист=Lоч+с,

Тсист=1/л*Lсист, Точ=1/л*Lоч.

с0=3,25/ (8* (4−3,2)) *0,012=0,63

Lоб=3,2, Lоч=3,25/ (4*8* (1−3,2/4) 2) *0,012=3

Lсист=3+3,2?6 заявок

Тсист=½*6=3

Точ=½*3=1,5

Задачи 3. Модели управления запасами

3.1 Бездефицитная простейшая модель

Выбрать исходные данные в соответствии с полученным вариантом.

Найти: оптимальный размер партии поставки, оптимальный интервал между поставками, число поставок, годовые затраты, связанные с работой складской системы.

Годовая потребность комбината в пиломатериалах составляет v мі, затраты на хранение 1 м в год — s ден. ед. Затраты подготовительно-заключительных операции, не зависящие от величины поставляемой партии, связанные с каждой поставкой, равны К ден. ед.

В6

V

3000

S

3

К

90

Решение:

Определим оптимальный размер партии поставки (g*)

g*=2v (2Кv) /S=2v (2*90*3000) /3=424 М3

Определим оптимальный интервал между поставками (ф*)

ф*= g*/V=2v (2К) / (Sv) = 2v2*90/3*3000=0,14 (года)

Определим число поставок (n*) в год

n*= [v*Т/ g*] = [3000*1/424] = [7,075] =7

Определим среднегодовые затраты, связанные с заказом, доставкой и хранение продукта (L*)

L*= (2v2КSv) *Т=*= (2v2*90*3*3000) *1=1273 ден. ед.

Вывод: Оптимальный размер партии поставки составит 424 м3, в год необходимо осуществлять 7 поставок. При этом среднегодовые расходы составят 1273 ден. ед.

3.2 Статические детерминированные модели с дефицитом

Выбрать исходные данные в соответствии с полученным вариантом.

Найти: оптимальную партию поставки, максимальную величину задолженности спроса, интервал возобновления поставки, годовые издержки функционирования системы.

Спрос на продукцию инструментального цеха составляет v единиц в год. Стоимость хранения составляет s ден. ед. за единицу в год. Издержки размещения заказа равны К ден. ед.

Неудовлетворенные требования берутся на учет. Удельные издержки дефицита составляют d ден. ед. за нехватку единицы продукции в течении года.

В6

V

4200

S

512

К

4512

d

3400

Решение:

Определим оптимальный размер партии поставки (g*)

g*=2v (2Кv) /S*2v (1+s/d) =2v (2*4512*4200) /512*2v (1+4512/3400) =272*1,5=408

Максимальная величина задолженности спроса:

г*=s/d*2v (2Кv) /S*2v (1+s/d) =512/3400* (2v (2*4512*4200) /512) *1/ (2v1+512/3400) =40,7

Определим оптимальный интервал между поставками (ф*)

ф*= g*/V=2v (2К) /Sv*2v (1+s/d) = 2v (2*4512/512*4200) * (2v1+512/3400) =0,068 (года) =18 дней

Определим среднегодовые затраты, связанные с заказом, доставкой и хранение продукта (L*).

L*=2v (2КvS) *2v (1+s/d) = 2v (2*4512*512*4200) *1/ (2v1+512/3400) =359 028 ден. ед.

Вывод: Оптимальны размер партии поставки составит 408 ед., поставку необходимо осуществлять каждые 18 дней. При этом среднегодовые расходы составят 359 028 ден. ед.

Задание 4. Корреляционно-регрессионный анализ

Выбрать исходные данные в соответствии с полученным вариантом.

По выборочным данным исследовать зависимость между показателями X, Y и построить парную линейную регрессионную модель, для чего:

установить наличие связи между исследуемыми показателями графическим методом (построить корреляционное поле);

для измерения интенсивности связи между показателями вычислить коэффициент корреляции, коэффициент детерминации;

вычислить ошибки коэффициента корреляции и параметров модели с заданной доверительной вероятностью;

оценить значимость коэффициента регрессии модели по критерию Стьюдента;

оценить адекватность модели по критерию F - отношения;

осуществить прогноз по полученной регрессионной модели.

Провести анализ данных с помощью пакета Excel, проанализировать полученные результаты.

Х

1,1

2,3

3,5

4,1

5,7

6,6

7,3

8,5

9,8

10,1

12,0

Y

21

26

30

31

39

54

51

63

65

72

78

Решение:

Для определения вида зависимости построим корреляционное поле по имеющимся данным.

Расположение точек на корреляционном поле позволяет предположить линейную связь между величиной располагаемого дохода и объёмом частного потребления. Поэтому имеет смысл искать зависимость в виде линейной функции: y=в01х.

При использовании МНК минимизируется следующая функция i-в01х1), т. е. сумма квадратов отклонений эмпирических значений yi от расчётных значений должно быть минимальным.

80

.

70

.

.

60

.

.

50

.

40

.

30

.

.

.

20

.

х

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Рис. 1. Корреляционное поле.

Согласно МНК для нашего примера воспользуемся следующими формулами расчёта:

в0= () / (11

в1=11 () /11 (

Для нахождения оценок параметров в0 и в1 составим рабочую таблицу, которая содержит исходные данные и промежуточные результаты.

I

хi

уi

хi уi

хi 2

yi 2

(хi-< х>) 2

(уi - < у>) 2

1

1,1

21

23,1

1,21

441

28,62

738,75

2

2,3

26

59,8

5,29

676

17,22

491,95

3

3,5

30

105

12,25

900

8,7

330,51

4

4,1

31

127,1

16,81

961

5,52

295,15

5

5,7

39

222,3

32,49

1521

0,56

84,27

6

6,6

54

356,4

43,56

2916

0,02

5,82

7

7,3

51

372,3

53,29

2601

0,72

7,95

8

8,5

63

535,5

72,25

3969

4,2

219,63

9

9,8

65

637

96,04

4225

11,22

282,91

10

10,1

72

727,2

102,01

5184

13,32

567,39

11

12,0

78

936

144

6084

30,8

889,23

Сумма

71

530

4101,7

579,2

29 478

120,9

3913,56

Среднее

6,45

48,18

372,88

52,65

2679,82

Согласно формулам имеем:

в0= () / (11 = (530*579,2−71*4101,7) / (11*579,2−71*71) =11,844

в1=11 () /11 ((11*4101,7−71*530) / (11*579,2−71*71) =5,630

Таким образом, регрессионная модель имеет вид: у=11,844+5,630х. По регрессионному уравнению определим расчётные значения уi=11,844+5,630хi, а также остатки еi = уi - уi.

Значение запишем в рабочую таблицу:

i

хi

уi

уi

еi

еi2

1

1,1

21

18,04

-2,96

8,76

2

2,3

26

24,79

-1,21

1,46

3

3,5

30

31,55

-1,55

2,40

4

4,1

31

34,93

3,93

15,44

5

5,7

39

43,94

4,94

24,4

6

6,6

54

49,0

-5

25

7

7,3

51

52,94

1,94

3,76

8

8,5

63

59,7

-3,3

10,89

9

9,8

65

67,02

2,02

4,08

10

10,1

72

68,71

-3,29

10,82

11

12,0

78

79,4

1,4

1,96

Сумма

71

530

108,97

Среднее

6,45

48,18

Для анализа силы линейной зависимости прибыли от объема производства найдем коэффициент корреляции по формуле:

Rxy==

= 0,9861

Данное значение коэффициента корреляции позволяет сделать выводы о сильной линейной зависимости между величиной располагаемого дохода и объемом частного потребления.

Коэффициент детерминации в нашем случае рассчитывается по формуле:

R2=1-=0,97

Проверим гипотезу о статистической значимости коэффициента корреляции на основе критерия Стьюдента.

Тнабл = =0,9861*v (11−2) /v (1−0,9861) =25,07

Определим критическое значение tкр при числе степеней свободы n-2=9 и уровень значимости б=0,05, tкр=tб,n-2=t0,05, 9=2,26

Так как Т=25,07> tкр=2,26, то гипотеза о равенстве нулю коэффициента детерминации должна быть отвергнута.

Проверим адекватность модели на основе критерия Фишера.

F=

Определим критическое значение FКР при числе степеней свободы n-2=9 и уровень значимости б=0,05. FКР= Fб, n-2= F0,05, 9=5,12. Так как F=312,3> FКР=5,12, то модель адекватна.

Стандартная ошибка регрессии характеризует уровень необъяснённой дисперсии для однофакторной линейной регрессии (m=1) рассчитывается по формуле:

S=3,480

Стандартная ошибка параметра в1 уравнения регрессии находится по формуле:

Sв1=====0,3164

Стандартная ошибка параметра в0 определяется:

Sв0=====2,2957

На основе стандартных ошибок параметров регрессии проверим значимость каждого коэффициента регрессии путем расчета t-статистик и их сравнении с критическим значением при уровне значимости б=0. 05 и числом степеней свободы (11-m-1) =9, tкр=tб/2, 10−1-1=t0,025, 9=2,31

tв1= ==17,79

tв0===5,2

Поскольку | tв1|=17,79> 2,31, подтверждается статистическая значимость коэффициента регрессии в1.

Поскольку | tв0|=5,2> 2,31, подтверждается статистическая значимость коэффициента регрессии в0.

Так как все характеристики модели удовлетворительные, то для прогноза может быть использовано следующее уравнение:

у=11,844+5,630х

Например, если х=17

у=11,844+5,630*17=107,554

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой