Основные понятия математического анализа

Тип работы:
Шпаргалка
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

1. Определение неопред. интеграла. Если ф-ия F (x) — первообр для ф-ии f (x) на промежутке [a, b], то мн-о ф-ий F (x)+C, где С =const, назыв неопред интегр от ф-и f (x) на этом промежутке: ?f (x)dx=F (x)+C При этом ф-я f (x) назыв подынтегр ф-ей, f (x)dx — подынтегр выр-ем, х — переменной интегр-я.

2. Опред-ие первообр от непрерыв ф-ии. Ф-ия F (x) назыв первообр для ф-ии f (x) на промежутке [a, b], если для всех значений х из этого промежутка вып- я F'(x)=f (x). Если ф-ия f (x), хЄ[a, b] - непрерыв, то для нее сущ-ет первообразная (неопред. Интеграл)

4. Выр-ие (?f(x)dx). Производная неопред интеграла = подынтегр ф-ии. (?f (x)dx)'=f (x). Док-во: (?f (x)dx)'= =(F (x)+C)'= F'(x)= f (x)dx

5. Выр. ?dF(x) Неопред интеграл от дифф-ла некоторой ф-ии = сумме этой ф-ии и произвольной постоянной? dF (x)=F (x)+C. Так как? dF (x)= F'(x)dx, то? F'(x)dx=F (x)+C. Теорема: Если ф-я F (x) является первообр ф-ии f (x) на отрезке [a, b], то мн-во всех первообр ф-ии f (x) задается формулой F (x)+C, С=const.

Док-во: F(x)+C — первообр, тогда (F(x)+C)'= F'(x)+C'= F'(x)=f(x) Ф (х) — -тоже первообразная: Ф'(х)=f (x), xЄ[a, b]. (Ф (х)-F (x))'= Ф'(х)-F'(x)=f (x) — f (x)=0 => Ф (х)-F (x)=C, С-const. Таким образом Ф (х)=F (x)+С. Ф-ия, производ которой на некотором промежутке Х равна 0, постоянна на этом промежут-ке. ?'(x)=0 => ?(x)=C, для каждого хЄ[a, b], тогда для каждого х1, х2 Є [a, b], х1< х2. По теореме Лангранжа: ?(x2) — ?(x1)=0, ?(x)=С

6. Если k-const, ненулевое число, то ?kf(x)dx=k?f(x)dx —k можно вынести из-под знака интеграла. Пусть F (x) — первообр для ф-ии f (x), т. е. F'(x)=f (x), тогда kF (x)-первообр для ф-ии kf (x): (kF (x))'=kF'(x)=kf (x). k? f (x)dx=k[C+(x)F]=kF (x)+C1=?kf (x)dx, где С1=kC 7. Если ?f(x)dx=F(x)+C, то и ?f(u)du= F(u)+C, u=?(x) — произвольная ф-ия, непрерывн, дифферен-я. f (x)-непрерыв. => ?f (x)dx=F (x)+C, u=?(x)-непрерыв. дифферен. ф-я. F (u)=F (?(x)) -согласно инвариантности первого дифф-ла. Инвариантность первого дифф-ла: y=f (x) dy=f'(x)dx y=f (u), u=?(x) — непрерыв, диф-я dy=f'(x)du dF (u)=F'(u)du= =f (u)du ?f (u)du=?d (F (u))=F (u)+C

8. Выражение d(?f(x)dx)=f(x)dx — Дифференциал от неопред интегр = подынтегр выр-ю. d (?f (x)dx)=d (F (x)+C) =dF (x)+dC=F'(x)dx+0=f (x)dx

9. Интеграл ?[f(xg(x)]dx= ?f(x)dx±?g(x)dx -неопред интеграл от алгебраической суммы двух ф-ий равен алгебраической суммe интегр от этих

ф-ий в отдельности: Пусть F (x) и G (x) — первообразные для ф-ий f (x) и g (x): ?[f (x)+g (x)]dx=?(F'(x)+G'(x))dx=?(F (x)+G (x))'dx=?d (F (x)+G (x))= F (x)+G (x)+C= F (x)+G (x)+C1+C2=F (x)+C1+G (x)+C2 =?f (x)dx+?g (x)dx.

10. Вывод формулы замены переменного в неопред интегр (подстановка). Пусть ф-я x=?(t) опред-на и диф-ма на некотором промежутке Т и Х-мн-во значений этой ф-ии, на кот. определена ф-я f (x). Тогда, если на мн-е Х ф-я f (x) имеет первообр, то на мн-ве Т справедлива фор-ла: ?f (x)dx= ?f[?(t)]?'(t)dt Док: Пусть F (x)-первообр для f (x) на мн-ве Х. Рассмотрим на мн-ве Т сложную ф-ю F[?(t)]: (F[?(t)])'= Fx'[?(t)]?'(t) =f[?(t)]?'(t), т. е. ф-я f[?(t)]?'(t) имеет на мн-ве Т первообр F[?(t)] > ?f[?(t)]?'(t)dt=F[?(t)]+C, Замечая что F[?(t)]+C=F (x)+C= ?f (x)dx, => получаем? f (x)dx= ?f[?(t)]?'(t)dt.

Дарбу: Mn=sup (f (x)); mn=inf (f (x)), x (xi-1; xi) S?= Mn?xi — верхний; S?= mn ?xi— нижний; СВ-ВА:

1, верхняя сумма > =нижней; 2, при изменеии разбиения верхняя не увел, нижняя не умень.; 3, измельчение разбиения-добовлене нескольких точек 0=< S?-I< -для верх и ниж — Лемма.

11. Вывод формулы интегрир по частям. Пусть ф-ии u (x) и v (x) определены и диф-мы нанекотором пром-ке Х и пусть ф-я u'(x)v (x) имеет первообр на этом пром-ке. Тогда на пром-ке Х ф-я u (x)v'(x) также имеет перво-ю и справедлива формула: ?u (x)v'(x)dx=u (x)v (x)-?v (x)u'(x)dx. Док-во: [u (x)v (x)]'= u'(x)v (x)+u (x)v'(x) u (x)v'(x)=[u (x)v (x)]'-u'(x)v (x)Первообр ф-ии [u (x)v (x)]' на пром-ке Х является ф-я u (x)v (x). Ф-я u'(x)v (x) имеет первообр на Х по условию теор., и ф-я u (x)v'(x) имеет пер-ю на Х. Интегр-уя последнее рав-во получаем: ?u (x)v'(x)dx=u (x)v (x)-?v (x)u'(x)dx. Так как v'(x)dx=dv, u'(x)dx=du, то ее можно записать в виде: ?udv=uv-?vdu По лекциям: d(uv)=udv+vdu; ?d(uv)= ?udv+vdu => ?udv=?d (uv)-?vdu=uv-?vdu Теорема о существовании конечного.

12. Определение дробно рациональной ф-ии. Понятие правильной и неправильной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1−4. Фун-ия вида Pn(x)=anxn+ an-1xn-1 +…+ a1x1+ a0, n — натуральное число. ai, i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени.

Определение: Дробно рацион фун-й (рациональной дробью) назыв фун-ия равная отношению 2-х мн-нов: f (x)= Pm(x)/ Qn(x), Pm(x)-мн-eн степени m, Qn(x)-многочлен степени n. Рацион дробь назыв правильной, если m<n. Иначе неправильной. P (x)/Q (x)= S (x)+R (x)/Q (x). Пример (деление дроби). Простейшие дроби 4 вида

1) A/(x-a)

2) A/(x-a)k k> =2 целое

3) (Mx+n)/(x2+px+q) x2+px+q=0, D< 0

4) (Mx+n)/(x2+px+q)k k> =2

предела интегральных сумм для непрерывных ф-ий: Пусть сущ f.

13. Если х=а — действит корень кратности k знамен-ля Qn(x) прав-ой рацион дроби, т. е. Qn(x)=(х-а)k On-k(x) Тогда дробь будет представляться в виде суммы 2 правильных дробей: Pm(x)/Qn(x)=A/(х-а)k+Rs (x)/(х-а)k-1On-k(x) A-некоторая постоянная, s< n-1 Док-во: Pm(x)/Qn(x)=[A On-k(x)+ Pm(x)-A Qn-k(x)]/[(х-а)k On-k(x)]=[ A On-k(x)]/ [(х-а)k On-k(x)]+[ Pm(x)-A Qn-k(x)]/ [(х-а)k On-k(x)]=A/(х-а)k +[Pm(x)-A Qn-k(x)]/ [(х-а)k On-k(x)], для каждого А. х=а — корень ура-я Pm(x) — A On-k(x)=0; Pm(а) — A On-k(а)=0; Pm(а)?0 и A On-k(а)?0; A= Pm(а)/A On-k(а); Pm(x) — A On-k(x)=(x-a) Rs (x); Pm(x)/Qn(x)= A/(х-а)k +[(x-a) Rs (x)]/[(x-a) On-k(x)]= A/(х-а)k + Rs (x)/[(х-а)k-1 On-k(x)]; A= Pm(а)/On-1(а).

14. Если Qn(x)= (x2+px+q)µ Тn(x), где p2-4q< 0, Тn(x) мн-ен не делится на x2+px+q, то правильную рацион дробь Pm(x)/Qn(x) можно представить в виде суммы 2 правильных: Pm(x)/Qn(x) =(Mx+N)/ (x2+px+q)µ +Фs (x)/[ (x2+px+q)µ-1. Тn(x)],µ, N-нек постоянные, s< n-1 Док-во: Pm(x)/Qn(x) =[(Mx+N) Тn(x)+ Pm(x)-(Mx+N) Тn(x)]//(x2+px+q)µ Тn(x)]= (Mx+N)/(x2+px+q)µ+ [Pm(x)-(Mx +N) Тn(x)]/[ (x2+px+q)µ Тn(x)] для люб µ и N. x2+px+q=0, D< 0, x12=?±i?, µ и N: Pm (?+i?)-[ µ (?+i?)+N]*T n(?+i?)=0. µ (?+i?)+N=[ Pm (?+i?)] /[ T n(?+i?)]=k+il. Система{ µ ?+N =k=> N=k- ?(L/b) µb=L=> m=L/b Pm(x)/Qn(x)=(Mx+N)/(x2+px+q)µ s(x)/[ (x2+px+q)µ-1Тn(x)] конечному пределу при ранге разбиения 0.

15. Разложение рацион дроби на простейшие. Если рацион ф-я R (x)/Q (x) имеет степень мн-на в числ-ле < степени мн-на в знамен-ле, а мн-н Q (x) представлен в виде Q (x)= A (x-a)r(x-b)s…(x2+2px+q)t(x2+2ux+v)z …, где a, b,., p, q, u, v,…-вещественные числа, то эту ф-ю можно единств образом представить в виде: R (x)/Q (x) =A1/(x-a)+A2/(x-a)2+… An/(x-a)n+… (M1x+N1) / (x2+2px+q)+ (M2x+N2)/ /(x2+2px+q)2+…+(Mkx+Nk)/(x2+2px+q)k +, где А1, А2,. М1. N1-вещест числа

16. Определение дробно рацион фун-ии. Понятие правильной и неправ-ной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1−4. Фун-ия вида Pn(x)=anxn+ an-1xn-1 ++ a1x1+ a0, n — натуральное число. ai, i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени.

Определение: Дробно рацион фун-uей (рациональной дробью) назыв фун-ия равная отн-ю 2-х мн-нов: f (x)= Pm(x)/ Qn(x), Pm(x)-мн-eн степени m, Qn(x)-многочлен степени n. Рацион дробь назыв правильной, если m<n. Иначе неправильной. P (x)/Q (x)= S (x)+R (x)/Q (x). Пример (деление дроби). Простейшие дроби 4 вида

1)A/(x-a) 2)A/(x-a)k k> =2 целое

3)(Mx+n)/(x2+px+q) x2+px+q=0, D< 0

4) (Mx+n)/(x2+px+q)k k> =2

17. Вычисление интегралов от тригонометрических ф-ий.

1) ?R (sinx, cosx) dx Замена перем-ных tg (x/2)=t (универ. тригонометр замена) sinx=2t/(1+t2) cosx=(1-t2)/ /(1+t2) dx=2/(1+t2)dt; ?R (2t/(1+t2), (1-t2)/ /(1+t2)) 2/(1+t2)dt=?R (t)dt

2)?R (sinx) cosxdx=|sinx=t, cosxdx=dt|=?R (t)dt

3)?R sinx (cosx)dx=|cosx=t, -sinxdx=dt|=-?R (t)dt

4) ?R (tgx)dx=|t=tgx, x=arctgt, dx=dt/(1+t2)|= ?R (t)dt/(1+t2) 5) R (sinx, cosx)= R (-sinx, -cosx)

?R (sinx, cosx) dx=|t=tgx, dx = dt/(1+ t2)| =?R (t)dt

6) ?sin m x cos n xdx

a)m=2k+1 ?sin 2k x cos n x sinxdx=?(1-cos 2 x)k cos n x sinxdx=|t=cosx, dt=-sinxdx|=-?(1-t 2)k t n dt

b)n=2k+1 ?sin m x cos 2k x cosxdx= ?sin m x (1-sin 2 x)k dsinx

7) ?sin 2p x cos 2a xdx sin2x=(1-cos2x)/2

cos2x=(1+cos2x)/2 sinxcosx=(½)sin2x

8) m=-µ n=-? замена t=tgx

1/ sin2x=1+ ctg2x 1/ cos2x=1+tg2x

9) ?tg m x dx; ?ctg m x dx, m-целое > 0ое tg2x=1/ cos2x-1

сtg2x=1/ sin2x-1

10) ?sinmxcosnxdx ?sinmxsinnxdx

?cosmxcosnxdx sinmxcosnx=(½)(sin (m+n)x+sin (m-n)x)

sinmxsinnx=(½)(cos (m-n)x-cos (m+n)x)

Теорема о существовании конечного предела интегральных сумм для непрерывных ф-ий

Пусть существует f определенная на замкнутом интервале [a, b] => ее интегр суммы стремяться к конечному пределу при ранге разбиения 0.

ax2+bx+c=a (x+b/2a)+(4ac-b2)/(4a2) x+b/2a=t; (ax+b)/(cx+d)=tk=>

ax+b= cx tk+ dtk=> x=…; dx=(…)dt

Замена переменной: ?f (x)dx=|x= ?(t); t=g (x); dx= ?'(t)dt |=?f (?(t)) ?'(t)dt

Поднесение по знак дифф-ла: Если? f (x)dx=F (x)+C, то? f (n)dx=F (n)+C

интегрир по частям: ?udv=uv-?vdu

?x sin x dx=|u=x; du=dx; dv=sin x dx; v= -cos x|=-xcos x-?-cos xdx= -xcos x+sin x.

Ф-цию вида R (x,m(ax+b)/(cx+d) -называют дробно линейной ирр-тью. С помощью замены t=m(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. tm= (ax+b)/(cx+d); x=(b-dtm)/(ctm-a) -рацион ф-ция от t; dx=(mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a) R (x,m(ax+b)/ (cx+d))dx=R ((b-dtm)/ (ctm-a), t) (mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)= R1(t)dt. R1(t)-рацион-ая. Вида R (x, ax+bx+c)dx, -квадр-ая ирр-ть где а, b, c=const. Если трёхчлен ax+bx+c имеет действит корни х1×2 то ax+bx+c=a (x-x1)(x-x2) и R (x, ax+bx+c)=R (x,(x-x1)(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,(x-x2)/(x-x1); пусть ax+bx+c не имеет действит корней и а>0. Тогда подстановка (Эйлера) t=(ax+bx+c) +xa ax+bx+c=t-2xta+ax; x=(t-c)/2t (a)+b -рацион функ-ция от t Ч.Т. Д; Если а<0 с>0 (ax+bx+c)> =0) то можно сделать замену ax+bx+c=xt+c {}{} Опред интеграл. Ограниченность интегрируемой ф-ии. {O}Разбиением [a, b] называется произвольное мн-во точек xi, I=0,1,…, i удовлетворяющее условию x0=a< x1<x2<…<xi-1<xi{} Каждый из отрезков [xi-1,xi] назыв отрезком разбиения {} Пусть ф-ция y=f (x) определена на [a, b] и произвольное разбиение этого отрезка, в каждом отрезке разбиения в произвольном образе выберем (.) i[xi-1,xi] I=1,., i и рассмотрим сумму (f, 1,…, i)= I=1if (I)x; -интегральная сумма {Определение} Число I -называется опред ф-ции y=f (x) на отр[a; b] и обозначается abf (x)dx Если E >0 E=(E)>0 | при любом разбиении мелкости ||< E и любом выборе (.) i[xi-1,xi], I=1,…, i | I=1if (i)x-I | < E При этом пишут I=lim ||0. {T}Если ф-ция интегрируема на отр. [a, b] то она ограничина на этом отрезке {Док-во} Пусть ф-ция y=f (x) интегрируема на [a, b] но не является ограниченным. на этом отрезке. На этом отрезке рассмотрим произвольное разбиение отрезка [a, b] то она ограничена хотя бы на одном на одном отр. разбиения. Пусть это будет отр. xj0−1, xj0] Тогда на этом отрезке существует последов-ть точек {njo}>0 | limnf (njo)= Рассмотрим сумму =I=1if (I)xi=f (io)xjo +I=1if ()xi=f (jo)xjo+B Зафиксируем произвольным образом i[xi-1,xi] ijo lim (f, 1,…,0n,., i) =lim (f (jo)xjo+B)= m>0 существует n0 | (f, 1,…,jo(n),…,i)>m Отсюда, что интегр сумма при мелкости разбеения ||0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что I=lim||0 E>0 E>0 |, ||< E и любой выбор точек i вып-ся нер-во |-I|< E||=|-I+I|<|-I|+|I| < E+|I|; M=E+|I| при любом разбиении в частности при при ||< E можно выбрать точки 1,. ,i такие, что ||>M ф-ция не может быть не ограничена на отр[a, b]. Ч.Т.Д. Ф-ла Ньтона-Лейбница abf (x)dx=Ф (b)-Ф (а)=Ф (х)|аb -(1) {T} (основная теорема интегрального исчисления) Пусть ф-ция y=f (x) непрерывна на [a, b] и Ф (х)-какая либо из её первообразных. (1) {Док-во} F (x)= axf (t)dt тогда ф-ции F (x) и Ф (x) первообразные для f (x) на [a, b] F (x)=Ф (х)+С; axf (t)dt=Ф (х)+С Если x=a то aаf (t)dt=0 0=Ф (а)+С С=-Ф (а) axf (t)dt=Ф (х)-Ф (а) Поллагая в равенстве x=b приходим к вормуле (1) Ч.Т.Д.

18. Равномерная сх-сть ф-ых послед-стей и рядов. Признак Вейерштрасса. Ф-циональную посл-сть {fn)x)} x E наз. равномерно сходящейся ф-цией f на м-ж Е, если для > 0, сущ номер N, такой, что для т х E и n >N вып-ся: |fn (x)-f (x)|<. Если м-ж {fn)x)} равномерно сх-ся на м-ж Е, то она и просто сх-ся в ф-ции f на м-ж. Е тогда пишут: fn f.

наз. равномерно сх-ся рядом, если на м-ж Е равномерно сх-ся посл-сть его частичной суммы., т. е. равномерная сх-сть ряда означает: Sn (x) f (x) Не всякий сходящийся ряд является равномерно сх-ся, но всякий равномерно сх-ся — есть сх-ся Т. (Признак Вейерштрасса равномерной сх-ти ряда): Если числовой ряд: (7), где > =0 сх-ся и для x E и n = 1,2… если выполняется нер-во un (x)|< =n (8), ряд (9) наз абс-но и равномерно сх-ся на м-ж Е.

Док-ва:

Абсолютная сх-сть в каждой т. х следует из неравенства (8) и сх-ти ряда (7). Пусть S (x) — сумма ряда (9), а Sn (x) — его частичная сумма.

Зафиксируем произвольное >0 В силу сх-ти ряда (7) сущ. номера N, n >N и вып. нерво. Следовательно: |S (x)-Sn (x)| =. Это означает, что Sn (x) S (x) что означает равномерную сх-сть ряда.

19. Степенные ряды. Теорема Абеля. Степенным рядом наз ф-ный ряд вида: a0+a1x+a2x2+… + anxn = (1) xR членами которого Степенным рядом наз также ряд: a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2… + an(x-x0)n = (2) Степенной ряд (1) сх-ся абс-но по крайней мере в т. х = 0, а ряд (2) в т х = х0, т. е в этих случаях все кроме 1 равны 0. являются степенные ф-ции. Числа an R, наз коэффициентами ряда (1). Ряд (2) сводится к ряду (1) по ф-ле у = х-х0.Т Абеля: 1Если степенной ряд (1) сх-ся в т. х0 0, то он сх-ся абсолютно при любом х, для которого |x|< |x0|, Если степеннгой ряд (1) расх-ся в т. х0, то он расх-ся в любой т. х, для которой |x|> |x0|

20. Радиус сх-ти и интервал сх-ти степенного ряда. Рассмотрим степенной ряд: (1) Число (конечное или бесконечное) R> =0 наз радиусом сх-ти ряда (1) если для любого х такого, что |x|<R ряд (1) сх-ся, а для х таких. что |x|>R ряд расх-ся интервалом сх-ти. Т1 Для всякого степенного ряда (1) сущ-ет радиус сх-ти R 0< =R<=+ при этом, если |x|< R, то в этой т. х ряд сх-ся абс-но. Если вместо х взять у = х-х0, то получится: интервал сх-ти: |x-x0< R| будет: (x0-R, x0+R)При этом если |x-x0|< R, то ряд сх-ся в т. x абс-но иначе расх-ся. На концах интервала, т. е. при x = -R, x=+R для ряда (1) или x = x0-R, x=x0+R для ряда (3) вопрос о сх-ти решается индивидуально. У некоторых рядов интервал сх-ти может охватывать всю числовую прямую при R = + или вырождаться в одну точку при R=0. Интервал на числовой оси состоящий из т. х для которых |x|< R, т. е. (-R, +R) наз. Т2 Если для степенного ряда (1) сущ-ет предел (конечный или бесконечный):, то радиус сх-ти будет равен этому пределу. Если сущ-ет предел степенного ряда, то радиус сх-ти равен 1/пределот ряда Если степенной ряд (1) имеет радиус сх-ти R> 0, то на любом отрезке действительной оси вида |[-r, r] целиком лежащем внутри интервала сх-ти ряд (1) сх-ся равномерно.

На любом отрезке |x-x0|< =r сумма степенного ряда является непрерывной ф-цией.

Если ф-ция f (x) на интервале (x0-R, x0+R) является суммой ряда, то она дифференцируема на этом интервале и её производная f'(x) находится дифференцированием ряда. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке целиком принадлежащем интервалу сходимости при этом полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости что и исходный ряд.

21. Разложение ф-ций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть (1) сх-ся при |x-x0|<R, а его сумма является ф-лой f (x)= (2) В этом случае говорят, что ф-ция f (x) разложена в степенной ряд. (1). Т1 Если ф-ция f распространяется в некоторой окрестности т. х0 f (x)=, то и справедлива формула: (15) Если в некоторой окрестности заданной точки ф-ция распадается в степенной ряд, то это разложение единственно.

Пусть дествит. ф-ция f определена в некоторой окрестности т. х0 и имеет в этой точке производные всех порядков, тогда ряд: (6) наз рядом Тейлора ф-ции f в т, х0 При х0=0 ряд Тейлора принимает вид:

(6') и называется ряд Маклорена.

Ряд Тейлора может:

1 Расх-ся всюду, кроме х=х0

2 Сх-ся, но не к исходной ф-ции f (x), а к какой-нибудь другой.

3 Сх-ся к исходной ф-ции f (x)

Бесконечная дифференцируемость ф-ции f (x) в какой-то т. х0 является необходимым условием разложимости ф-ции в ряд Тейлора, но не является достаточным. Для введения доп-ных условий треб. ф-ла Тейлора.

Т2 Если ф-ция f (x) (n+1) дифф-ма на интервале (x0-h, x0+h) h> 0, то для всех x (x0-h, x0+h) имеет место ф-ла Тейлора:

где остаток rn(x) можно записать:

(8)

(9)

Формула (8) наз остаточным членом ф-лы Тейлора в интегральной форме. Ф-ла (9) — формулой Лагранжа.

Преобразуя ф-лу Тейлора при х0 = 0 получаем ф-лу Маклорена.

Т3 Если ф-ция f (x) имеет в окрестности т х0 производные любого порядка и все они ограниченны одним и тем же числом С, т е x U (x0) |f(n)(x)|< =C, то ряд Тейлора этой ф-ции сх-ся в ф-ции f (x) для всех х из этой окрестности.

22. Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена). 1 Разложение ф-ции ех ряд Маклорена. радиус сх-ти: R= следовательно ряд абсолютно сх-ся на всей числовой прямой. Разложение sinx и cosx В степенной ряд Маклорена сх-ся на всей числовой оси, сх-ся на всей числовой оси, f (x) = (1+x) наз. биномиальный ряд с показ-ем.

Разложение ф-ции ln (1+x)

сх-ся при -1< x<=1

5 Разложение arctgx в степенной ряд Маклорена

сх-ся при -1< =x<=1.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой