Основы линейной алгебры

Тип работы:
Контрольная
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

1. Найти произведение заданных матриц, А и В

Решение:

Матрицы: А — размерность, В-размерность.

Так как количество столбцов матрицы: А равно количеству строк матрицы В, то произведение, А на В существует.

Итоговая матрица имеет размерность:

Ответ:

2. Решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса

Решение:

а) Решим систему по формулам Крамера

Для системы 3-х линейных алгебраических уравнений

если 0, можно найти единственное решение по формулам Крамера:

,, .

? =; 1=; 2=; 3=;

Найдем значение определителя? по формуле:

Аналогично вычислим значения определителей 1, 2, 3

? =2·1·3 +4·2·(-2)+4·(-5)·(-1) — (-2)·1·(-1) — 4•4·3−2·2·(-5)= -20 0

1=-8·1·3 +4·2·18+14·(-5)·(-1) — 18·1·(-1) — 14•4·3 — (-8)·2·(-5)=-40

2 =2·14·3 +(-8)·2·(-2)+4·18·(-1) — (-2)·14·(-1) — 4•(-8)·3−2·2·18=40

3=2·1·18 +4·14·(-2)+4·(-5)·(-8) — (-2)·1·(-8) — 4•4·18−2·14·(-5)=-80

Сделаем проверку:

Получили равенства.

Ответ:

б) Решим систему матричным методом

Систему линейных алгебраических уравнений можно представить в матричном виде: А • X = В, где, А — матрица системы из коэффициентов при неизвестных,

Х и В-матрицы — столбцы из неизвестных, , и свободных членов соответственно:

.;.

Для нахождения неизвестных используется формула Х = А-1 • В, где А-1 — обратная матрица к квадратной матрице А

Обратная матрица вычисляется по формуле:

А-1=•АТ, где АТ = - транспонированная матрица к

— главный определитель матрицы А,

Аij — это алгебраическое дополнение равное Aij = (-1)i+jМ

Минор — это определитель, полученный из главного определителя вычеркиванием i-ой строки и j-гo столбца

Для исходной системы:

Найдем обратную матрицу. Значение главного определителя известно:

? =-20 0

Найдем алгебраические дополнения Аij:

;

Умножая обратную матрицу А-1 на, получаем матрицу.

Ответ:

в) Решим систему методом Гаусса

Это метод последовательного исключения неизвестных из уравнений системы.

В первом уравнении выбираем коэффициент, отличный от нуля. Затем 1-ое уравнение делим на этот коэффициент, и далее с помощью первого уравнения исключаем первое неизвестное из всех уравнений, кроме первого (вычитанием).

Применим метод Гаусса, составив таблицу:

Комментарий

2

4

-2

4

1

-5

-1

2

3

-8

14

18

1

4

-2

2

1

-5

2

3

-4

14

18

1-ю строку разделили на 2

1 шаг

1

0

0

2

-7

-1

4

2

-4

30

10

1-ю строку умнож. на (-4) и склад. со 2-й

1-ю строку умнож. на 2 и складыв. с 3-й

2 шаг

1

0

0

2

1

-1

-4/7

2

-4

-30/7

10

2-ю строку разделили на (-7)

3 шаг

1

0

0

2

1

0

-4/7

10/7

-4

-30/7

40/7

2-ю строку слож. с 3-й

4 шаг

1

0

0

2

1

0

-4/7

1

-4

-30/7

4

3-ю строку делим на 10/7

После проделанных операций система привелась к треугольному виду

Начинаем обратный ход метода Гаусса.

Ответ:

3. Показать, что векторы а1, а2, а3 образуют базис в пространстве R3, и найти координаты вектора а в этом базисе.

Решение

Вычислим определитель, столбцами которого служат координаты векторов а1, а2, а3:

Так как Д? 0, то система векторов а1, а2, а3 образует базис в R3. Вектор а4 разлагается по векторам этого базиса, т. е. справедливо равенство вида

Последнее равенство в координатной форме имеет следующий вид:

Согласно определению равенства векторов и действиям над векторами получим систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными:

Решим эту систему методом Крамера:

Ответ:

4. Определить ранг заданной матрицы

Решение

Методом окаймляющих миноров найдем ранг матрицы.

Высший порядок миноров матрицы, А — третий. Вычислим эти миноры.

Вычислим сначала угловой минор второго порядка:

Он отличен от нуля.

Составим и вычислим два минора третьего порядка, которые окаймляют этот минор. Один из таких миноров — угловой минор:

,

Следующий минор:

Все миноры третьего порядка равны нулю.

Следовательно, ранг матрицы, А равен двум.

Ответ:

5. Привести систему к системе с базисом методом ЖорданаГаусса и найти одно базисное решение

Решение

Матрица, А и расширенная матрица В данной системы имеют одним из миноров высшего порядка минор второго порядка:, который отличен от нуля. Следовательно, r (А) = r (В) = 2. Система совместна, и так как r < n (n = 5), то она имеет бесчисленное множество решений. Число ее базисных решений не превосходит числа.

Так как ранг системы равен двум, то и число базисных переменных равно двум. Так как n — r = 5 — 2 = 3, то свободными будут три переменные.

Представим коэффициенты при неизвестных в виде таблицы и решим систему методом Жордана-Гаусса:

b

3

1

-2

-3

3

2

-5

5

-1

2

9

4

1

3

-3

-2

2

3

5

-5

2

-1

4

9

1

0

-3

7

2

-3

5

-20

2

-7

4

-3

1

0

0

1

5/7

-3/7

25/7

-20/7

-1

-1

19/7

-3/7

В результате трех итераций система преобразовалась к виду:

Следовательно, исходная система имеет бесчисленное множество решений.

Последняя система уравнений есть система с базисом и разрешается относительно базисных неизвестных х1, х2, (х3, х4, х5 — свободные неизвестные):

Методом Жордана-Гаусса получено общее решение исходной системы.

Найдем одно базисное решение:

Сделаем проверку:

Ответ: - общее решение исходной системы

- базисное решение системы

матрица уравнение крамер гаусс

Библиографический список

1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1998

2. Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А, Линейная алгебра в вопросах и задачах: Учеб. пособие / Под ред. В. Ф. Бутузова. — ФИЗМАТЛИТ, 2002. -248 с.

3. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман; Под ред. проф. Н. Ш. Кремера — М.: ЮНИТИ, 2003. — 471 с.

4. Карасев А. И., Аксютина З. М., Савельева Т. И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1, ч. 2. -М.: Высшая школа, 1982. — 320 с.

5. Тиунчик М. Ф. Математика, часть 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие. Хабаровск: ХГАЭП, 2002, — 104 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой