Численный анализ напряженно-деформированного состояния тонких оболочек при использовании треугольного конечного элемента с множителями Лагранжа

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

АГРОПРОМЫШЛЕННАЯ ИНЖЕНЕРИЯ
УДК 539. 3:624. 074. 4
ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА С МНОЖИТЕЛЯМИ ЛАГРАНЖА
Ю. В. Клочков, доктор технических наук, профессор А. П. Николаев, доктор технических наук, профессор О. В. Вахнина, кандидат технических наук, доцент
ФГБОУ ВПО Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия
В настоящей работе изложены результаты вариативного исследования множителей Лагранжа в алгоритмах формирования матриц жесткостей треугольных элементов дискретизации.
Ключевые слова: оболочка вращения, метод конечных
элементов, треугольный конечный элемент, множители Лагранжа, матрица жесткости, элемент дискретизации.
Современные мелиоративные системы, а также системы сельскохозяйственного водоснабжения широко используют трубопроводы высокого давления, надежная работа которых во многом зависит от точности анализа их напряженно-деформированного состояния. Учитывая сложную геометрию трубопроводов (стыки, разветвления и прочее), аналитический расчет такого рода конструкций весьма затруднителен, а подчас и невозможен. Поэтому эффективное решение возможно лишь при использовании современных численных методов, таких как метод конечных элементов (МКЭ). Применение МКЭ к расчету трубопроводов как оболочечных конструкций имеет ряд особенностей, которые требуют дальнейшего совершенствования алгоритмов. Исследования [1] показывают, что точность конечно-элементных решений, полученных при использовании треугольных элементов дискретизации, во многом зависит от вида внешней нагрузки, приложенной к исследуемому объекту.
В настоящей работе излагается алгоритм расчета оболочек на основе треугольных конечных элементов (КЭ), матрицы жесткости которых формировались с использованием множителей Лагранжа.
Конечный элемент выбирается в виде криволинейного треугольного фрагмента срединной поверхности оболочки вращения с узлами ], к (рис. 1).
Столбец узловых варьируемых параметров рассматриваемого треугольного элемента дискретизации в глобальной системе координат содержит компоненты вектора перемещения и их первые производные по криволинейным координатам Б (длина дуги меридиана) и 0 (угол, отсчитываемый от образующей против хода часовой стрелки) [2]
{и-Г={КГ№ГКГ|. О)
1×27 I 1×9 1×9 1×9 J
где 11 и V — тангенциальные, а? — нормальная компонента вектора перемещения.
Входящие в правую часть (1) подматрицы-строки имеют следующий вид
(2)
Ч Ч Ч-- 4,8 Ч-- ч- ч- ч
Л
где под ц понимается компонента вектора перемещения и, у или ду •
Рассматриваемый треугольный КЭ является совместным по компонентам вектора перемещения, но несовместным по их производным, в силу чего возникает погрешность конечно-элементных решений при использовании данного типа элементов дискретизации.
На границах между смежными элементами должно выполняться равенство между производными нормальной компоненты вектора перемещения в направлении внешней нормали к стороне элемента (рис. 2),
которое в силу противонаправленности ортов г^-к и п г I- может быть записано в виде
& lt-Э?
С1)
ду/'-
С11)
= 0,
где верхние индексы I, II указывают на номера смежных элементов дискретизации.
(3)
Рисунок 1
Однако, равенство (3) в силу несовместности по производным компонент вектора перемещения не выполняется, поэтому для его корректного соблюдения предлагается рассмотреть интегральное равенство
с!/^к = 0. (4)
где Р к — длина дуги стороны дискретного элемента- к — значение множителя Лагранжа
в произвольной точке дуги- дифференциал дуги j_.
Для отдельного треугольного конечного элемента равенство (4) может быть трансформировано к виду
I л г& quot- с1/ • I Г-к^-с1Гк+ I -^(1/^=0″ (5)
/н ?и ?1,
где и 1 — значения множителей Лагранжа в произвольных точках
соответствующих сторон дискретного элемента.
Рассмотрим треугольный элемент дискретизации в локальной системе координат о& lt-^, г|<-Ь Связь между глобальными 8,0 и локальными г| координатами осуществляется с помощью
соотношений
Б = (1 — г1 + ^ + г)8к- 0 = (1-^-т1)0Ч^0Чт10к. (6)
Множители Лагранжа на границах треугольного КЭ с учетом (6) могут быть выражены через их узловые значения ^(т1 = 0) = (1-^Ч^-
(Д = 1 — г|) = (1 — г|))^ + г|Хк- (7)
1 (^ = 0) = (1 — л)^1 + П^к.
Соотношения (7) могут быть представлены в матричном виде
(8)
3×1 3×3 3x1
где =1^-^-^-. }- {?ц}т = {*,№}
1×3 3x1
Производные нормальной компоненты вектора перемещения в направлении нормалей к сторонам треугольного КЭ могут быть выражены через стандартный набор узловых варьируемых параметров в локальной системе координат
^ = Ш{иП |?Г = Г, (. ,)№!- & lt-9>-
гДе ^ (^), f2 (т|), (т|) — функции, зависящие от координат на соответствующих сторонах
локального треугольника.
Входящий в (9) столбец узловых неизвестных в локальной системе координат имеет следующую структуру
{и--}1 = |и-!1И}т!"--}т). а")
1×27 4 1×9 1×9 1×9 7
В результате ряда преобразований соотношение (5) записывается
в виде
Мт №"]{у-}= Мт И{и-,}=о, (і і)
1×3 3×27 27×27 27×1 1×3 3×27 27x1
[Ря] - матрица преобразования, формируемая на основе соотношений, получаемых
где
(12)
дифференцированием (6) по локальным координатам ^ и ^
58/5^ = & lt-Э8/<-Эг| = 8к- в1-
50/б? = 0]-0'- Э0/Эг| = 0к-01.
Функционал, выражающий равенство работ внешних и внутренних сил на возможном перемещении для треугольного КЭ [2], с учетом (11) может быть записан в следующем виде
ф — {и- }т[к]{и--}- {и^. }т{к}+ {^у }ти{и- }=о, оз& gt-
гДе [к], {я} _ матрица жесткости и столбец узловой нагрузки треугольного КЭ [2].
Минимизируя функционал (13) по узловым неизвестным {иу}т и
узловым значениям корректирующих множителей Лагранжа |Л, У }т,
получим систему уравнений
ЭФ
^=М{и-}-{к}+ИтЫ=0-
(14)
ЭФ
= №}=о.
Систему уравнений (14) можно представить в расширенной конечно-элементной формулировке
[к1{и-}=К}, (15)
-р л. -'-Ур,
30×30 30x1
р & gt- 30x1
где
К]
[к] [г]т
27×27 27x3
[2] [0]
расширенная матрица жесткости треугольного КЭ-
'-УpJ
1×30
— вектор искомых узловых неизвестных- |т _- расширенный
1×27 1×3 J 1×30Р 1×27 1x3
вектор узловых усилий.
В результате выполнения ряда расчетов был сделан вывод о неэффективности использования этого алгоритма.
В качестве альтернативы рассмотренному выше алгоритму можно рассмотреть вариант, в котором уравнение (5) записывается не по длинам сторон треугольного КЭ, а для узлов, расположенных в серединах сторон треугольного элемента дискретизации:
! Эху1
д
?
¦А/
д
?
= 0.
(16)
Входящие в (16) производные нормальной компоненты вектора перемещения во вновь введенных узлах 1, 2, 3 в направлении нормалей п п2, п3 могут быть выражены через столбец узловых неизвестных (10)
д?
соэ а
(17)
К}1
д? ае
(иу1
гДе аш и — углы между вектором пт и касательными векторами локального базиса а° и а& quot- узла ш (ш=1,2,3), расположенного в середине стороны треугольного элемента на срединной поверхности оболочки соответственно.
В отличие от функций 1^}, входящих в (9), полиномиальные выражения (17) определяются путем подстановки в интерполяционные полиномы третьего порядка {^}[2] координат узлов 1, 2, 3,
расположенных в серединах сторон треугольного КЭ.
Таким образом, процедура интегрирования по сторонам треугольного элемента дискретизации исключается.
Выражение (16) с учетом (17) может быть записано в виде
{г }т [ф][ря ]{и^ }= {г }т [у]{и^}= 0, (18)
1×3 3×27 27×27 27×1 1×3 3×27 27x1
где{г}Т={^2А, 3}.
Дальнейшая процедура получения расширенной матрицы жесткости и столбца узловых нагрузок треугольного КЭ совпадает с описанным выше алгоритмом.
К
/гс- Н"т
?
Рисунок 3
Пример расчета. Жестко защемленный по торцам цилиндр, нагруженный внутренним давлением интенсивности q (рис. 3). Исходные данные: Ь = 1. 0м- Я = 1. 0м- Е = 2−105МПа- 1/ = 0. 3-
1 = 0. 02м- q = 5MПa. Расчеты были выполнены в двух вариантах. В первом варианте была реализована стандартная для треугольного КЭ процедура [2]- во втором варианте в середины сторон вводились корректирующие множители Лагранжа (соотношения (16).. (18)).
Анализ контролируемых параметров напряженно-деформированного состояния оболочки показывает, что во втором варианте
наблюдается устойчивая сходимость вычислительного процесса уже при достаточно редкой сетке дискретизации.
Таблица 1 — Значения напряжений в точках жесткой заделки
Численные Вариант расчета
значения I II
напряжении, число узлов сетки дискретизации
Мпа 4×9 4×17 4×33 4×49 4×9 4×17 4×33 4×49
ов м 222. 59 149. 91 108. 06 93. 14 459. 99 475. 49 479. 62 480. 40
Он м -98. 43 -24. 94 17. 22 31. 99 -339.0 -356.1 -360.3 -361. 1
оср м 62. 08 62. 48 62. 64 62. 56 60. 01 59. 72 59. 68 59. 68
ов к 67. 78 44. 97 32. 42 27. 94 138. 00 142. 65 143. 89 144. 12
Он к -29. 53 -7. 48 5. 17 9. 60 -101.0 -106.8 -108.1 -108. 3
оср к 18. 62 18. 75 18. 79 18. 77 18. 00 17. 91 17. 90 17. 90
При реализации стандартной конечно-элементной процедуры для треугольных КЭ (I вариант) численные значения напряжений имеют разноименные знаки лишь при редкой сетке дискретизации, а со сгущением сетки напряжения на внутренней и наружной поверхностях оболочки становятся только растягивающими, что противоречит физическому смыслу решаемой задачи.
Таким образом, можно сделать вывод о высокой эффективности алгоритма (16)… (18), основанного на применении корректирующих множителей Лагранжа в дополнительных узлах, расположенных в серединах сторон треугольного элемента дискретизации.
Библиографический список
1. Клочков, Ю. В. Сравнительный анализ эффективности использования конечных элементов треугольной и четырехугольной форм в расчетах оболочек вращения [Текст] / Ю. В. Клочков А.П. Николаев, H.A. Гуреева // Изв. вузов. Сер. Строительство. — 2004. — № 3. -С. 103−109.
2. Клочков, Ю.В. О функциях формы в алгоритмах формирования матриц жесткости треугольных конечных элементов [Текст] / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев, А. П. Киселев // Изв. вузов. Сер. Строительство. — 1999. -№ 10. — С. 23−27.
E-mail: Ovahnina@bk. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой