Коэффициент Пуассона и параметр Грюнайзена твердых тел

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 539. 3:539. 89
КОЭФФИЦИЕНТ ПУАССОНА И ПАРАМЕТР ГРЮНАЙЗЕНА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
В.Н. Беломестных*, Е.П. Теслева**
¦Томский политехнический университет. E-mail: belka150@yandex. ru & quot-филиал Томского политехнического университета, г. Юрга. E-mail: adm@ud. tpu. edu. ru
Получены соотношения, связывающие скорости звука или коэффициент Пуассона с параметром Грюнайзена твердых тел. Дан анализ применения этих формул для определения параметра Грюнайзена ряда металлов, ионных и ионно-молекулярных соединений.
Введение
В изучении поведения твердого тела при изменении его линейных и/или объемных размеров важная роль принадлежит двум характеристикам материалов — коэффициенту Пуассона, а и параметру Грюнайзена у. Первый из них (о) характеризует стремление материала сохранять в процессе упругой деформации свой первоначальный объем и по определению равен [1,2]
е'- Ш1& lt-1)
где б'- = (До/йО — относительное поперечное сужение образца с поперечным размером? = (Д//7) -относительное продольное удлинение образца длиной / при нагрузке. Для реальных упругих тел, увеличивающих свой объем при растяжении и уменьшающих при сжатии, величина, а может лежать только в пределах от 0 до 0,5 [3]. Практически для большинства материалов коэффициент Пуассона находится еще в более узком интервале: от 0,2 до 0,4 [4]. Однако по современным представлениям диапазон возможных значений коэффициента Пуассона существенно расширен за оба предела: о может быть и отрицательным (ст & lt- 0), и больше 0,5 [5−11]. При этом установлено, что отрицательные значения коэффициента Пуассона характерны для кристаллов, обладающих большим фактором анизотропии, а также сформулировано необходимое для ст & lt- 0 условие — тангенциальная жесткость в точке контакта взаимодействующих частиц должна быть больше нормальной жесткости. Модель твердого тела с 0& gt- о & gt- 0,5 предполагает микроэлемент среды с вращательной степенью свободы. Отрицательные значения, а соответствуют материалам, расширяющимся при растяжении (сужающимися при сжатии) и наблюдаются у некоторых интерметаллидов с промежуточной валентностью, для которых константа УПРУГОСТИ С|2 & lt- 0 [12].
Непосредственные измерения и материалов по (1) в последние годы уступили место косвенным методам его определения по величинам скоростей распространения звука или модулям упругости. Однако следует при этом проводить предварительные исследования на предмет полной справедливости расчетных соотношений для коэффициента Пуассона данной группы веществ [3]. В отношении металлов это было сделано в работе [3], а для ионных и ионно-молекулярных кристаллов в [13−15]. Среди известных расчетных соотношений для ст в слу-
чае его косвенного определения были рекомендованы два:
л
х-2
о,
х — -
2(х2−1)Ч Ч
(2)
t /
где иь — скорость распространения продольных упругих волн в & quot-неограниченной"- среде, о, — скорость распространения поперечных упругих волн, и
o-JL-u
2 G
(3)
где Е — модуль Юнга, (7 — модуль сдвига. Формула
(2) не требует знания плотности вещества р, а упругие модули Ей (/являются сравнительно легко определяемыми величинами. Тем не менее, ни (2), ни
(3) заранее не гарантируют получения истинного значения коэффициента Пуассона для конкретного вещества. Следовательно, как справедливо призывают авторы работы [3], к имеющимся в литературе справочным величинам с следует относиться осторожно, по крайней мере, критически.
Одним из путей решения проблемы адекватного определения коэффициента Пуассона косвенными методами является установление новых зависимостей между с и некоторыми другими характеристиками твердого тела, отражающими свойства реального материала и особенности его деформации. Среди набора подобных характеристик вещества обращает внимание так называемый параметр Грюнайзена у, который, подобно ст, широко используется для описания свойств кристалла, зависящих от его объема [15]:
У = -
i/lnv, d nV
j v
tL dV
(4)
где V] - собственные частоты твердого тела. Параметр Грюнайзена является мерой ангармоничности сил, действующих между атомами (молекулами) твердого тела. Его среднее значение для большинства металлов и простых соединений находится в пределах от 1,0 до 3,0 (в гармоническом приближении у = 0), а основным соотношением для экспериментального определения является уравнение (закон, формула) Грюнайзена [16]:
(5)
а _ усу V '-
где, а — коэффициент теплового расширения, % -объемная сжимаемость, су- теплоемкость при постоянном объеме.
В литературе уже известны попытки сопоставить коэффициент Пуассона с параметром Грюнайзена, например, в [6] получена формула
1−2о =
ЕаУ
ЧСу
(6)
зависимость по которой хорошо согласуется с экспериментальными данными (коэффициент корреляции 0,97). Однако (6) требует знания пяти параметров и этим мало отличается от уравнения Грюнайзена (5).
Цель настоящей работы состояла в том, чтобы получить более упрощенную, чем в (6) связь между о и у, желательно без использования других параметров вещества. Ниже приводится вариант достижения указанной цели с кратким анализом результатов применения полученного соотношения.
Теория
Уравнению Грюнайзена (5) придадим более удобный для преобразования вид
У = -
РСу
(7)
где р — температурный коэффициент объемного расширения, а Вт- изотермический объемный модуль всестороннего сжатия (Вт= /%). В физической акустике кристаллов экспериментально наиболее надежно определяются адиабатический модуль всестороннего сжатия модуль сдвига С, а в теплофизике — удельная (молярная) теплоемкость при постоянном давлении ср (Ср). Поэтому в (7) перейдем от Вт, Су к ср, используя известную связь
Вт-ср=& amp--су. (8)
Кроме этого, по формулам теории упругости для изотропной пространственно неограниченной упругой среды, связывающим акустические и упругие характеристики твердого тела [2, 4]
ро2,=В5+4/3-С, ри^б, (9) можно получить соотношение между параметром Грюнайзена и скоростями распространения упругих волн
(10)
Воспользуемся понятием среднеквадратичной скорости по примеру работы [17]
/, , N ½
и +2и Л
и тем, что
ИЧ* =
2? г. 2 Р '-
(П)
(12)
ц — молярная масса, как показано там же. Тогда выражение для у становится функцией одного параметра х
1 =
9 х -4/3 2×2+2 '-
(13)
В свою очередь коэффициент Пуассона с также является функцией этого же параметра, см. (2). Объединяя (13) и (2), получаем новые соотношения, позволяющие определять у при известном ст, и наоборот:
3 (1 + ст)
,_. V 7 (14)
сг
2(2-Зо)'- 4/ Зу — 1
(15)
2у +1
Итак, степень ангармонизма колебаний атома у положения равновесия (у) определяет механизм поперечной деформации (а) (другое название коэффициента Пуассона — коэффициент поперечной деформации [3]). Оценим выводы нашей теории в контексте практических значений, а и у. При значениях 0,2 & lt- а & lt-0,4 по формуле (14) имеем интервал 1,29 & lt- у & lt- 2,63, что соответствует наиболее часто встречающимся экспериментальным величинам параметра Грюнайзена. Для кристаллов, в которых выполняется соотношение Коши (между однородно деформированными областями решетки действуют центральные силы, сп = с44, о = 0,25), у = 1,5. При, а = 0 (продольное удлинение не сопровождается поперечным сжатием) у = 0,75. Значение о = -1 соответствует & quot-гармоническому"- кристаллу (у = 0). Наконец, максимально возможное положительное значение о = 0,67 достигалось бы в условиях & quot-беспредельного"- ангармонизма (у -«оо). Таковы первые выводы по полученным соотношениям (14) и (15).
Акустический, упругий и термодинамический
параметры Грюнайзена твердых материалов
Рассмотрим практический аспект проблемы. За основу анализа возьмем рабочие возможности формулы (14) (для формулы (15) все оценки будут тождественны). Заключение о практической способности (неспособности) формулы (14) будем строить на основе сравнения значения параметра Грюнайзена, вычисленного по этой формуле (назовем его упругим параметром Грюнайзена и обозначим Уу,) с термодинамическим параметром Грюнайзена формула (7), считающимся в литературе экспериментальным. Кроме этого, получим по формуле (13) значения параметра Грюнайзена из скоростей звука (назовем его акустическим и обозначим уак). Формула (13) в нашем выводе оказалась промежуточной, однако она имеет вполне самостоятельное значение (выше мы указывали, что значения коэффициента Пуассона могут быть получены разными методами, в том числе отнюдь не акустическими). Все необходимые сведения для проведенных расчетов и последующего анализа по трем классам веществ (элементы, ионные и ионно-молекулярные соединения) представлены в таблице.
Из акустических свойств веществ, приведенных в таблице (иь, и (), в литературе отсутствуют сведения только для СвЕ Эти данные мы получили методом Фохт-Ройс-Хилла [2, 4] из констант упругости
Таблица. Скорости звука, коэффициенты Пуассона и параметры Грюнайзена неорганических веществ при стандартных условиях
Элементы и соединения Скорость звука, м/с Отношение квадратов 2 скоростей, X Коэффициент Пуассона ст Параметр Грюнайзена
«L Так '- ур. (13) Yyn '- УР-(14) Ytg& gt- УР- (7)
1 2 3 4 5 6 7 8
Ag 3686 1677 4,831 0,379 2,30 2,40 2,4 [16] 2,4- 2,5 [181
Al 6422 3235 3,941 0,340 1,98 2,01 2,34 [16] 2,43 [19] 2,11 [20]
Au 3361 1239 7,359 0,42 2,90 2,88 2,80
Cu 4726 2298 4,229 0,35 2,09 2,13 2,00 [16] 1,96 [18] 2,06 [20]
Ni 5894 3219 3,353 0,277 1,70 1,64 1,88 [18] 1,73 [20]
Pd 4954 1977 5,400 0,374 2,47 2,35 2,4 [18]
Pt 3960 1670 5,623 0,39 2,53 2,51 2,54
W 5233 2860 3,348 0,283 1,70 1,35 1,62 [18]
Be 13 003 8967 2,103 0,034 0,84 0,82 0,83 [20]
Со 5827 3049 3,652 0,357 1,85 2,16 1,87- 2,1 [18]
Mg 5898 3276 3,241 0,270 1,64 1,60 1,41 [19]
Fe 6064 3325 3,326 0,292 1,68 1,72 1,68 [18] 1,66 [19]
U 3422 2105 2,674 0,23 1,29 1,60 1,62
Th 2900 1583 3,356 0,254 1,70 1,52 1,40
Y 4106 2383 2,969 0,245 1,48 1,48 1,25
Pb 2158 860 6,30 0,372 2,69 2,33 2,92
LiF 7323 4518 2,627 0,200 1,26 1,29 1,34 [21]
LiCl 5260 3058 2,959 0,245 1,48 1,48 1,52 [211
LiBr 3621 2072 3,054 0,256 1,53 1,53 1,70 [21]
LU 2846 1608 3,132 0,265 1,58 1,81 2,22 [21]
NaF 5666 3330 2,895 0,24 1,44 1,45 1,72 [21]
NaCl 4666 2755 2,869 0,243 1,42 1,47 1,46 [21]
NaBr 3284 1885 3,035 0,27 1,52 1,60 1,56 [21]
Nal 2889 1639 3,107 0,274 1,56 1,62 1,90 [21]
KF 4641 2587 3,218 0,274 1,63 1,62 1,73 [21]
KC1 4090 2312 3,130 0,259 1,58 1,54 1,60 [21]
KBr 3075 1695 3,291 0,283 1,67 1,67 1,68 [21]
KI 2623 1469 3,188 0,265 1,61 1,57 1,63 [21]
RbF 3948 2132 3,429 0,276 1,74 1,63 1,41 [21]
RbCl 3077 1658 3,444 0,268 1,75 1,59 1,53 [21]
RbBr 2591 1403 3,411 0,267 1,73 1,70 1,50 [2Ц
Rbl 2245 1198 3,512 0,309 1,78 1,83 1,73 [21]
CsF 2803 1520 3,395 0,251 1,72 1,72
CsCl 2840 1680 2,858 0,264 1,41 1,43
CsBr 2695 1546 3,039 0,253 0,270 1,52 1,49 1,41
Csl 2214 1299 2,674 0,251 0,265 1,29 1,50 1,57
1 2 3 4 5 6 7 8
AgCl 3145 1207 8,789 0,409 2,79 2,73 2,02
AgBr 2845 1159 8,827 0,396 2,63 2,56 2,33
Т1С1 2265 1153 3,869 0,326 1,94 1,16 2,60
TIBr 1 2133 1085 3,700 0,321 1,94 1,18 2,47
CuCl 3795 1540 6,077 0,402 2,64 2,65
CuBr 3310 1435 5,311 0,384 2,45 2,45
NH4C1 4457 2497 3,186 0,271 0,252 2,18 1,41 1,49
NH4Br 3116 1745 3,189 0,278 0,259 1,64 1,54
NaCN 3600 960 14,083 3,57
KCN 3340 1170 8,241 0,42 3,04 2,88
CsCN 2290 970 5,567 2,52
LiN3 5610 3000 3,497 1,77
NaN3 3460 1350 6,567 2,75 4,25
KN3 4500 2430 3,429 1,74
RbN3 3610 1890 3,650 1,84
CsN3 3010 1650 3,327 1,68
NaClOj 4240 2380 3,174 0,279 0,311 1,65 1,65 1,23 1,36
NaBr03 3880 2190 3,139 0,266 0,278 1,58 1,57 1,64
NaN02 3880 2400 2,614 1,25
NaN03 4510 2580 3,056 1,53
Pb (N03)2 3361 1530 4,825 0,359 2,30 2,21
NH4C104 3800 2130 3,183 1,61 1,81
Примечание: Скорости звука, коэффициенты Пуассона и средние значения термодинамического параметра Грюнзйзена у (д взяты из работ [2, 4,1316, 18~23]. Значения у, д без ссылки на источник определены авторами по формуле (7). Для некоторых веществ приведены два крайних значения коэффициента Пуассона по литературным источникам
с,-, монокристалла фторида цезия, измеренных Ха-уссюлем методом дифракции света на ультразвуке [23]. Необходимые для расчета у, г некоторых веществ значения (3, Ср, & amp- и р взяты нами из справочников [4, 24−26]. Как показывают результаты таблицы, между уаК) ууп, с одной стороны, и у (г, с другой стороны, наблюдается хорошее согласие (для отдельных веществ отклонения между акустическими (упругими) и термодинамическими параметрами Грюнайзена составляют 10… 15%, что находится в пределах разброса данных по иь и» а, (3, В1, и р для одного и того же материала, полученных разными авторами). Проверка предложенных в настоящей работе соотношений на веществах, не включенных в таблицу, требует дополнительных экспериментальных сведений либо по их акустическим, либо по упругим свойствам, а также знания комплекса теп-
лофизических характеристик для них и плотности (молярного объема). В дальнейшем авторы предполагают расширить список веществ для проверки взаимосвязи между коэффициентом Пуассона и параметром Грюнайзена.
Заключение
На основе закона Грюнайзена развита теория, позволяющая определять средние значения параметра Грюнайзена твердых тел как через скорости распространения упругих волн, так и через коэффициент Пуассона. Новые расчетные соотношения проверены для ряда металлов, простых и сложных неорганических соединений. Получено хорошее согласие с термодинамическими значениями параметра Грюнайзена.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Физический энциклопедический словарь. Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Научное изд-во & quot-Большая Росс. Энциклопедия& quot-, 1995. — 928 с.
2. Беломестных В. Н., Похолков Ю. П., Ульянов В. Л., Хасанов OJI. Упругие и акустические свойства ион-
ных, керамических диэлектриков и высокотемпературных сверхпроводников. — Томск: Изд-во & quot-STT"-, 2001. -226 с.
3. Иванов Г. П., Лебедев Т. А. О физическом смысле коэффициента Пуассона // Труды Ленингр. политехи, ин-та им. М. И. Калинина. — 1964. — № 236. -С. 38−46.
4. Францевич И. Н., Воронов Ф. Ф., Бакута С. А. Упругие постоянные и модули упругости металлов и неметаллов. Справочник. Под ред. академика АН УССР И. Н. Францевича. — Киев: Наукова думка, 1982. -288 с.
5. Кузьменко В. А. Новые схемы деформирования твердых тел. — Киев: Наукова думка, 1973. — 199 с.
6. Микитишин С. Я. К вопросу взаимосвязи коэффициента Пуассона с другими характеристиками чистых металлов // Физ. -хим. механика материалов. -1982. -Т. 18. — № 3. — С. 84−88.
7. Wojciechowski K.W., Branka А.С. Negative Poisson ratio in a two-dimensional & quot-isotropic"- solid // Phys. Rev. A. -1989. — V. 40. — № 12. — P. 7222−7225.
8. Светлов И. Л., Кривко А. И., Епишин А. И., Самойлов А. И., Одинцев И. Н. Ориентационная зависимость коэффициента Пуассона никелевого сплава с монокристаллической структурой // Метал. монокристаллы/АН СССР. Ин-т металлургии. — М., 1990. — С. 196−200.
9. Берлин Ал. Ал., Ротенбург Л., Басэрст Р. Структура изотропных материалов с отрицательным коэффициентом Пуассона // Высокомолек. соедин. Б. -1991. — Т. 33. -№ 8. -С. 619−621.
10. Dmitriev S.V., Shigenari Т., Abe К. Poisson ratio beyond the limits of the elasticity theory // J. Phys. Soc. Jap. -2001. — V. 70. — № 5. — P. 1431−1432.
11. Vasiliev A.A., Dmitriev S.V., Ishibashi Y., Shigenari T. Elastic properties of a two — dimensional model of crystals containing particles with rotational degrees of freedom // Phys. Rev. B. — 2002. — V. 65. — № 9. -P. 94 101/1−94 101/7.
12. Баланкин A.C. Упругие свойства сверхпроводников со структурой А15 // Физика низких температур. -1988. — Т. 14. — № 4. — С. 339−347.
13. Беломестных В. Н., Беломестных Л. А. Коэффициент Пуассона неорганических материалов с комплексными ионами // Всесибирские чтения по математике и механике: Тез. докл. Междунар. конф. — Т. 2. Механика. Под ред. В. И. Зинченко и др. — Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1997. — С. 189−190.
14. Беломестных В. Н., Карпова Е. М., Хроленко Е. П., Ульянов В. В. Физико-механические и физико-химические свойства сложных кристаллов из результатов акустических экспериментов и известных соотношений — взаимосвязей // Кристаллы: рост, свойства, реальная структура, применение: Тез. докл. V Междунар. конф. — Александров: ВНИИСИМС, 2001. -С. 145−147.
15. Беломестных В. Н., Ефимова Е. М., Теслева Е. П. Динамический коэффициент Пуассона неорганических материалов // Динамика систем, механизмов и машин: Матер. IV Междунар. научно-техн. конф. -Омск: Изд-во ОмГТУ, 2002. — Кн. 1. — С. 350−353.
16. Жирифалько Л. Статистическая физика твердого тела. — М.: Мир, 1975.- 382 с.
17. Леонтьев К. Л. О связи упругостных и тепловых свойств веществ // Акуст. ж. — 1981. — Т. 27. — N° 4. -С. 554−561.
18. Китгель Ч. Введение в физику твердого тела. — М. ГИТТЛ, 1957. — 523 с.
19. Родионов К. П. Зависимость параметра Грюнайзена твердого тела от давления // Физика металлов и металловедение. — 1969. — Т. 26. — № 6. — С. 1120−1123.
20. Urzendowski S.R., Guenther А.Н. The combination of thermal and ultrasonic data to calculate Grueneisen ratios and various thermodynamic functions // Int. Symp. Therm. Expans. Solids. — 1974. — P. 256−277.
21. Bansigir K.G. Evaluation of the Grueneisen constant // J. Appl. Phys. — 1968. — V. 39. — № 8. — P. 4024−4026.
22. Беломестных В.H. Физико-химическая акустика кристаллов. — Томск: Изд-во ТРОЦа, 1998. — 183 с.
23. Haussuehl S. Elastischeundthermoelastische Konstanten von Caesiumfluorid und Ammoniumjodid // Z. Kristallogr. — 1973. — B. 138. — S. 177−183.
24. Таблицы физических величин. Справочник. Под ред. акад. И. К. Кикоина. — М.: Атомиздат, 1976. — 1008 с.
25. Справочник химика. Изд. 3-е, испр. Т. 1, 2. — Л.: Химия, 1971.
26. Рябин В. А., Остроумов М. А., Свит Т. Ф. Термодинамические свойства веществ. Справочник. — Л.: Химия, 1977.- 339 с.
УДК 535. 36
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ РАЗМЕРОВ И ФОРМЫ РАССЕИВАЮЩЕГО ОБЪЕМА НА РАДИАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ
Б. В. Горячев, С.Б. Могильницкий
Томский политехнический университет E-mail: msb@tpu. ru
В работе исследуется перенос излучения в рассеивающих объемах различной формы. Изменение тела яркости рассеивающего объема анализируется с помощью коэффициента асимметрии. Данный коэффициент является информативной и чувствитель -ной характеристикой, позволяющей достаточно точно оценить распределение рассеянной радиации.
Расчет углового распределения яркости излуче- трудностями как в теоретическом, так и в экспери-
ния (поля яркости), рассеянного пространственно ментальном плане. В связи с этим, имеет смысл вве-
ограниченным объектом, является составной час- сти некий интегральный параметр, позволяющий
тью исследований переноса излучения в дисперс- оценить конфигурацию поля рассеянной радиации,
ных средах [1,2]. Получение подробной информа- В теории рассеяния конфигурацию поля излучения
ции о таких полях сопряжено с определенными обычно определяют с помощью тела яркости в слу-

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой