Решение жестких краевых задач строительной механики (Расчет оболочек составных и со шпангоутами) методом виноградовых (без ортонормирования)

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 615. 035. 4
РЕШЕНИЕ ЖЕСТКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ (РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК СОСТАВНЫХ И СО ШПАНГОУТАМИ) МЕТОДОМ ВИНОГРАДОВЫХ (БЕЗ ОРТОНОРМИРОВАНИЯ)
Виноградов Ю. И., Виноградов А. Ю.
ФГБОУ ВПО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», 105 005, Москва, 2-
я Бауманская ул., д. 0, стр. 1, e-mail: avtor@disper. ru_
Предлагается простейший метод решения жёстких краевых задач строительной механики для расчета тонкостенных составных оболочек и оболочек со шпангоутами. Не требуются процедуры ортонормирования, что достигается за счёт разделения интервала интегрирования на сопрягаемые участки. Идея преодоления трудностей неустойчивого счета путем разделения интервала интегрирования на сопрягаемые участки принадлежит д.ф. -м.н. Юрию Ивановичу Виноградову. А выражение идеи разделения и сопряжения через формулы теории матриц, то есть через матричные экспоненты (матрицы Коши) принадлежит к.ф. -м.н. Алексею Юрьевичу Виноградову. Постановка проблемы дается на примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты — системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных методом Фурье). В частном случае показывается, что можно производить вычисления и с заранее известной точностью. Для этого следует вычислять матрицы Коши не как матричные экспоненты от осредненных аргументов, а можно использовать для вычисления векторов, входящих в матрицы Коши, методы типа методов Рунге-Кутты. Для вычисления матриц Коши методами типа Рунге-Кутты используется стартовая (начальная) единичная матрица. А для вычисления вектора частного решения неоднородной системы ОДУ берется начальный нулевой вектор. В случае применения методов типа Рунге-Кутты оценки погрешностей хорошо известны. Ключевые слова: жесткие краевые задачи, оболочки, шпангоуты, ортонормирование.
SOLUTION HARD EDGES PROBLEMS OF STRUCTURAL MECHANICS (CALCULATION OF SHELLS INTEGRAL AND SB FRAMES) OF VINOGRADOV'-S METHOD (WITHOUT ORTHONORMALITY)
Vinogradov J.I., Vinogradov A.J.
0Bauman Moscow State Technical University, Russia (105 000, Moscow, 2nd Bauman Str., D. 0, p. 1), e-
mail: avtor@disper. ru_
Offers a simple method for solving stiff boundary value problems of structural mechanics to calculate the composite thin-walled shells and shells with frames. Not required orthonormality procedure, which is achieved due to the separation of the interval of integration on the mating areas. The idea of coping unstable account by dividing the interval of integration into the mating portions belongs D. Sc. Yuri Ivanovich Vinogradov. And the expression of the idea of separation and coupling through the formula of the theory of matrices, that is, the matrix exponential (Cauchy matrix) belongs to the Ph.D. Alexey Yu Vinogradov. Statement of the problem is given by the example of a system of differential equations of the cylindrical shell missiles — a system of ordinary differential equations of order 8 (after the separation of partial Fourier method). In the particular case shown, it is possible to calculate, and with known accuracy. To do this, calculate the Cauchy matrix is not the matrix exponential of the averaged arguments, and can be used to calculate the vectors in the matrix Cauchy methods such as Runge-Kutta methods. To calculate the matrix Cauchy Runge-Kutta methods used starting (initial) identity matrix. And to calculate the vector of a particular solution of the inhomogeneous ODE system is taken initial zero vector. In the case of Runge-Kutta error estimates are well known. Keywords: rigid boundary value problems, shell frames, orthonormality.
Введение дается на примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты — системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных методом Фурье) [3−5].
Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:
У'-(х) = ЛУ (х) + F (х),
где У (х) — искомая вектор-функция задачи размерности 8×1, У'-(х) — производная искомой вектор-функции размерности 8×1, Л — квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности 8×8, F (х) — вектор-функция внешнего воздействия на систему размерности 8×1.
Краевые условия имеют вид: иУ (0) = н,?У (1) = V,
где У (0) — значение искомой вектор-функции на левом крае х=0 размерности 8×1, и — прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края размерности 4×8, и — вектор внешних воздействий на левый край размерности 4×1,
У (1) — значение искомой вектор-функции на правом крае х=1 размерности 8×1, V -прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности 4×8, V — вектор внешних воздействий на правый край размерности 4×1.
В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами Л =сопб1-, решение задачи Коши имеет вид [2]:
л
У (х) = еА (х-х0)У (х0) + еЛх |е& quot-АхF (X)ёХ,
где еЛ (х х0) = Е + Л (х- х0) + Л2(х- х0)2/2!+Л3(х- х0)3 /3!+…, где Е — единичная матрица.
Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши или матрициантом и может обозначаться в виде К (х — х0) = К (х — х0) = еЛ (х-х0). Тогда решение задачи Коши
может быть записано в виде У (х) = К (х — х0) У (х0) + У * (х — х0),
х
где У * (х — х0) = еАх | е ~А'- F (X)ёХ это вектор частного решения неоднородной системы
х0
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Вместо формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной системы
х
дифференциального уравнений в виде [1] У * (х — х0) = еАх | е ~А'- F (Х)ёХ предлагается
х0
использовать следующую формулу для каждого отдельного участка интервала
х]
интегрирования У (х. — х{) = У (х. — х{) = К (х. — х{) К (х — X^ (X)сИ.
х
Вычисление этого вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений производиться при помощи представления матрицы Коши
под знаком интеграла в виде ряда и интегрирования этого ряда поэлементно. Это справедливо для случая системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов A =const. Для случая дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами в приведенной выше формуле для каждого участка может использоваться осредненная матрица Ai = A (xi) коэффициентов системы дифференциальных уравнений.
Вектор F (t) может рассматриваться на участке (xj — xi) приближенно в виде постоянной величины F (xi) = constant, что позволяет вынести его из-под знака интеграла,
что приводит к совсем простому ряду для вычислений на рассматриваемом участке. Рассмотрим вариант, когда шаги интервала интегрирования выбираются достаточно малыми, что позволяет рассматривать вектор F (t) на участке (xj — xi) приближенно в виде
постоянной величины F (xi) = constant, что позволяет вынести этот вектор из-под знаков интегралов. Тогда получаем ряд для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений на малом участке (xj — xi):
Y*(x- - x,.) = K (x- - x,.)• (E + A (x,. — x-)/2!+A2(x, — x-)2/3!+…)• (x- - x,)• F (x,). Если участок (xj — x.) не мал, то его можно поделить на подучастки и тогда можно предложить следующие рекуррентные (итерационные) формулы для вычисления частного вектора: имеем Y (x) = K (x — x0) Y (x0) + Y*(x — x0), также имеем формулу для отдельного
x-
подучастка Y * (xj — x.) = Y * (xj — x.) = K (xj — x.) J K (x, — t) F (t)dt.
Тогда: У (х1) = К (х1 — х0) У (х0) + У * (х1 — х0), У (х2) = К (х2 — х-)У (х^ + У * (х2 — х-).
Подставим У (х1) в У (х2) и получим:
У (х2) = К (х2 — х1) К (х1 — х0) У (х0) + К (х2 — х1) У * (х1 — х0) + У * (х2 — х1).
Сравним это выражение с формулой У (х2) = К (х2 — х0) У (х0) + У * (х2 — х0) и получим, очевидно, что К (х2 — х0) = К (х2 — х1) К (х1 — х0) и для частного вектора получаем формулу У * (х2 — х0) = К (х2 — х1) У * (х1 — х0) + У * (х2 — х1). То есть вектора подучастков У * (х1 — х0), У * (х2 — х1) не просто складываются друг с другом, а с участием матрицы Коши подучастка.
Аналогично можем записать У (х3) = К (х3 — х2) У (х2) + У * (х3 — х2) и подставить сюда формулу для У (х2) и т. д.
Из теории матриц [2] известно свойство перемножаемости матричных экспонент (матриц Коши): К (х{ - х0) = К (х{ - хг-1) •… • К (х2 — х1) • К (х1 — х0).
В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами, А = А (х), решение задачи Коши можно искать (как это известно из теории матриц) при помощи свойства перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования разбивается на малые участки и на малых участках матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются: К (хг — хо) = К (хг — х,. _1) •… • К (х2 — х1) • К (х — хо), где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле: К (х. +1 — х.) = еА (х) ^ = ехр (А (х.) •Ах.), где Ах. = х.^ _ х.
В этом случае использования перемножения матричных экспонент, то есть в случае кусочно-константной аппроксимации матрицы А (х) системы обыкновенного дифференциального уравнений (ОДУ), оценка точности в литературных источниках не встречается. На практике можно удостоверяться в точности расчетов путем сравнительного расчета при разных шагах, на которые делится интервал интегрирования, или можно сразу разделять интервал интегрирования на очевидно малые шаги интегрирования.
В тоже время можно производить вычисления и с заранее известной точностью. Для этого следует вычислять матрицы Коши не как матричные экспоненты от осредненных аргументов, а можно использовать для вычисления векторов, входящих в матрицы Коши, методы типа методов Рунге-Кутты. Для вычисления матриц Коши методами типа Рунге-Кутты используется стартовая (начальная) единичная матрица. А для вычисления вектора частного решения неоднородной системы ОДУ берется начальный нулевой вектор. В случае применения методов типа Рунге-Кутты оценки погрешностей хорошо известны.
Метод решения жестких краевых задач без ортонормирования — метод сопряжения участков, выражаемых матричными экспонентами (матрицами Коши).
Идея преодоления трудностей неустойчивого счета путем разделения интервала интегрирования на сопрягаемые участки принадлежит д.ф. -м.н. Юрию Ивановичу Виноградову [2]. А выражение идеи разделения и сопряжения через формулы теории матриц, то есть через матричные экспоненты (матрицы Коши) принадлежит к.ф. -м.н. Алексею Юрьевичу Виноградову.
Разделим интервал интегрирования краевой задачи, например, на 3 участка. Будем иметь точки (узлы), включая края х0, х1, х2, х3.
Имеем краевые условия в виде иУ (х0) = а, УУ (х3) = V.
Можем записать матричные уравнения сопряжения участков (при переходах от левых точек к правым точкам участков интервала интегрирования, то есть при переходах типа от хо к х1, хотя вполне можно было бы записать и уравнения при переходах в обратном
направлении, то есть при переходах типа от х1 к х0): У (Х1) = К (Х1 — Хо) У (Хо) + У * (Х1 — Хо^ У (х2) = К (Х2 — Х1) У (Х1) + У * (Х2 — Х1), У (Х3) = К (х3 — Х2) У (Х2) + У (Х3 — Х2).
Это мы можем переписать в виде, более удобном для нас далее: ЕУ (Х1) — К (Х1 — Хо) У (Хо) = У * (Х1 — Хо), ЕУ (Х2) — К (Х2 — Х1) У (Х1) = У * (Х2 — Х1), (1) ЕУ (Х3) — К (Х3 — Х2) У (Х2) = У * (Х3 — Х2). где Е — единичная матрица.
В итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений:
и ! о ! о о
-К (х1 — хо) ! Е о о
о ! — К (Х2 — Х1) 1 Е о
о | 1 о | 1 — К (х3 — х2) Е
о ! о о V
У (Хо)
УХ)
У (Х2)
У (Х3)
и
У_*(- _х_о)
У_*(Х2 -_Х1)
У_ (Х3_ - _Х2) V
(2)
Эта система решается методом Гаусса с выделением главного элемента.
Оказывается, что применять ортонормирование в рамках предлагаемого метода не
нужно.
Это объясняется тем, что на каждом отдельном участке интервала интегрирования вычисления матриц Коши (матричных экспонент) ведется каждый раз отдельно (независимо от других участков) со стартом численного интегрирования (либо в виде матричной экспоненты либо методами типа Рунге-Кутты) от начальной единичной матрицы, то есть от ортонормированной (единичной) матрицы, что происходит естественно без каких-либо дополнительных операций типа операций ортонормирования векторов, которые применяются в методе С. К. Годунова, что существенно упрощает программирование предлагаемого метода по сравнению с методом С. К. Годунова.
В точках вблизи узлов решение находится путем решения соответствующих задач Коши с началом в 1-ом узле У (х) = К (х — xi) У (xi) + У * (х — xi).
Расчет составных оболочек вращения.
Пусть имеем, например, 3 участка интервала интегрирования составной оболочки вращения, где каждый участок может выражаться своими дифференциальными уравнениями и физические параметры могут выражаться по-разному — разными формулами на разных участках:

Рис. 1
В общем случае (на примере участка 12) физические параметры участка (вектор Р12(х)) выражаются через искомые параметры системы обыкновенных дифференциальных уравнений этого участка (через вектор У12(х)) следующим образом Р12(х) = М 12У12(х), где матрица М12 — квадратная невырожденная.
При переходе точки сопряжения можем записать в общем виде (но на примере точки сопряжения х1: Р01(х1) + АР0112 = Ь0112 Р12(х1), где АР0112 — дискретное приращение физических параметров (сил, моментов) при переходе с участка «01» на участок «12», а матрица Цл12 квадратная невырожденная диагональная и состоит из единиц и минус единиц на главной диагонали для установления правильного соответствия принятых положительных направлений сил, моментов, перемещений и углов при переходе с участка «01» на участок «12», которые могут быть разными (в разных дифференциальных уравнениях разных сопрягаемых участков) — в уравнениях слева от точки сопряжения и в уравнениях справа от точки сопряжения.
Два последних уравнения образуют М01У01(х1) + АР0112 = Ь01_12М12У12(х1).
В точке х2 аналогично получим М12У12(х2) + АР223 = Ь12_23М23У23(х2).
Если бы оболочка состояла бы из одинаковых участков, то мы могли бы записать в объединенном матричном виде систему линейных алгебраических уравнений в форме (2). Но в нашем случае оболочка состоит из 3 участков, где средний участок можно считать, например, шпангоутом, выражаемым через свои дифференциальные уравнения. Тогда вместо векторов У (х0), У (х1), У (х2), У (х3) мы должны рассмотреть вектора:
У01 (х0 X У01 (х1 X У12 (х1 X У12 (Х2 X У23 (Х2), У23 (Х3) (смотри рис. 1).
Тогда матричные уравнения иУ (х0) = и, УУ (х3) = V и (1) примут вид:
иУ01(х0) = н, УУ23(Х3) = V,
ЕУ01 (х1) _ К01 (х1 — х0) У01 (х0) = У01 (х1 — х0),
М01 Ут (X!) + АРо112 = ?01−12М 1212 (Х1) ,
12 (Х2) — К12 (Х2 — Х1)^12 (Х1) =12 (Х2 — Х1), М1212(Х2) + АР12−23 = ?12−23М 2323 (Х2) ,
2Ъ (Х3) — К23 (Х3 — Х2)^23 (Х2) =23 (Х3 — Х2) •
Тогда получаем итоговую систему линейных алгебраических уравнений:
Y01 (Х0)
Y~Jx~i) Х2)
Y23 (Х2) Y23 (Х3)
U ! 0 ! 0 0 0? 0
— K 01(Х1 — Х0) '- E 1? м0Л& quot- 0 0 0? 0
0 — ?01−12M12 0 0? 0
0 1 0 1 1 & quot-^12(Х2 — Х1) E 0 10& quot- 1
0 1 л 1 i 0 i 1 1 0 M12 — ?12−23M23 0
0 о& quot- ! 0 ! 0 0 0 __0 — - K23 (Х3 — Х2^ E 0? V
и
Y01 (Х1 — Х0)
'- & quot- Л1_П
Yl2(Х2 — Х1)
-AP,
Y23 (Х3 — Х2)
v
Расчет оболочек со шпангоутами, когда шпангоуты выражаются алгебраическими уравнениями.
Рассмотрим случай, когда шпангоут (в точке Х1) выражается не через дифференциальные уравнения, а через алгебраические уравнения.
Рис. 2
Выше мы записывали, что Р01 (Х1) + АР01 -12 = Ь 01 -12 Р12 (Х1). Можем представить вектор Р01(Х1) силовых факторов и перемещений в виде:
Pn (Х1):
R01(Х1) ^01(Х1)
где Я01(Х1) — вектор перемещений, У01(Х1) — вектор сил и моментов.
Алгебраическое уравнение для шпангоута имеет вид ОЯ = ЛУ, где О — матрица жесткости шпангоута, Я — вектор перемещений шпангоута, ЛУ — вектор силовых факторов, которые действуют на шпангоут.
В точке шпангоута имеем АЯ = 0, АУ = ОЯ, то есть нет разрыва в перемещениях АЯ = 0, (где 0 — нулевой вектор), но есть результирующий вектор силовых факторов ЛУ = ОЯ, который складывается из сил и моментов слева плюс сил и моментов справа от точки шпангоута. Тогда получаем:
Рл (Х) +
АЛ
АА
?01−12 Р12 (Х1), Р01 (Х1) +
0
ОЛ
?01−12 Р12(Х1).
Запишем Р01 (Х1) =
Л01(Х1) А 01 (Х1)
= М 0101(Х1) = МрГш (Х1) =
мр, мрг
м 21 м 22
Г01 (х1), где для
удобства было введено переобозначение М01 = Мр. Тогда можем записать:
Л01(х1)
МЦ мр
Г01(х1) и введем в рассмотрение вектор g *:
g =
0
ОЛ01(Х1)
О
0
Мр мр
ЛД Х1)
О
0. 0
Мр мр2
ЛД Х1) =
О
Мр мр2
ЛЛ Х1)
Запишем матричные уравнения для этого случая (рис. 2): и? т (Хс) = «, У? и (х2) = V,
Е У01 (Х1) — К 01 (Х1 — Х0) ГШ (Х0) = Гш (Х1 — Х0),
М 01у01(Х1) + g * = ?01−12М 12У12(Х1),
ЕУи (Х2) — К12 (Х2 — Х1) ГИ (Х1) = Г1*2 (Х2 — Х1).
0
Распишем вектор g, тогда: (М01 +
О
мр мр
) '- У01 (Х1) = ?01−12М12 У12 (Х1). 0
Для обеспечения негромоздкости введем обозначение (М01 +
О
мр мр2
) = М * и
полУчим М *ГШ (Х1) = ?01−12М 12У12(Х1).
Таким образом, получаем итоговую систему линейных алгебраических
уравнений:
_____и______| _о_
— К 01(Х1 — ! Е
0 0 0
! М
I 0
I 0
0
0

0
0
¦?01−12М12 ! 0
— К12(Х2 — Х1) ! Е
V
У01 (Х0) Х1)
У12 (Х2)
и
(Х1 — Х0)
____0____
У12 (Х2 — Х1) V
Если к шпангоуту приложено внешнее силовое-моментное воздействие gp, то
* 0 * 0
g = ОЛ следует переписать в виде g = ОЛ + gp =

0
ОЛт (Х1) + g1
тогда:
g
О
0 0… 0 0
М р2 '- Уп (Хх) + gp — О мр, мр2 '- Хх) + gp
0
*
0

Тогда получаем М у01(х1)-L0l_uMuYu (xl) = -
Итоговая система линейных алгебраических уравнений примет вид:
и
0
& quot-о"- о
! о -г---- ! E -1--- 1 М Го& quot-"- 1 о ! о 0 ] 0 ?01−12М12__ - К, 2(х2 — х0] E01 (хо)
Yоl (х,)
Yl2(х,)
12 (х2)
! о о ! V
и
^01(х — хо)
0
gp
х2 — х,)
V
. (3)
Расчет оболочек составных и со шпангоутами, когда их уравнения выражаются не через абстрактные вектора, а через вектора, состоящие из конкретных физических параметров.
Рассмотрим случай, когда части оболочечной конструкции и шпангоут выражаются через вектора состояния (типа Y12(х)), которые (в частном случае) совпадают с векторами физических параметров (типа Р12(х) — перемещения, угол, силы, момент). Тогда матрицы типа М12 будут единичными: М12 = Е. И пусть положительные направления физических параметров одинаковы для всех частей оболочки и шпангоута (?01−12 = Е).
= ?о
М оМ х,) + АРо! -12 = ?01−12М12У12(Х1) в виде Р12(х) = Е2(х), Р01(Х1) + АР01−12 = ЕР12(, х,), EY01 (х1) + АР01−12 = EY12 (х1), где Е — единичная матрица.
0
Тогда будем иметь уравнения Р12(х) = М12У12(х), Р01(х1) + АР01−12 = ?01−12Р12(х1).
Тогда: EYоl (х,) + g = EYl2(х,), EYоl (х1) +
Р"(х1) =
Л01(х1) ^ 01 (х1)
= EYоl (х1) = М ^01(х1) =
EY12(х1),
слоА)+gp
E 0 …
о E • Yоl (Xl), ^(х,) = И 0|| • Yоl (Xl),
0 0 0 0 0 0
g * = ОЯо1(х1) + gp — вЩ 0 • Yоl (х,) + gp — Ф о|| • Yоl (х,) + gp
М %(х,) — EY12(х,) = -
gl
, где (E +
0
оЫ о|
) = М *
Итоговая система линейных алгебраических уравнений (3) примет вид:
о
0
U ^ 0 — K 01(xi — x0^ E h 0 ! 0& quot- j r -E ! 0
0
0 I M * 0
0 i 0 1 — Ki2(x2 — xi) E
0 0 0 V
Y01 (x0)
Yn (x~i) Y7(~x~2)
u
Y01 (x — x0)
0
g P
Y12 (x2 — xi)
v
где M * = (E +
G
4 x 4
0 0
4×8) = (E + 8×8 4x8
G 0
E 0
4×4 4×4 4×4 4x4
E 0
4×4 4 x4
G E
4×4 4x4
. Это означает, что уравнение
M %(xi) — EF12(x,) =

принимает вид
E0
4×4 4x4
GE
4×4 4x4
R0i (xi) S 01 (xi)
E0
4×4 4 x4
0 E
4×4 4x4
R12(xi) S12 (xi)
E 0
4×4 4 x4
G E
4×4 4x4
0
g P
Y0i (xi) — EYi2(xi)
g'-
или
Это означает, что Я01(х1) — Я12(х1) = 0, (нет скачка в перемещениях и угле) и GЯ01 (х1) + У 01 (х1) — У12 (х1) = - g р (равновесие шпангоута), то есть Я01 (х1) = Я12 (х1) (перемещения и угол: нет разрыва) и У01(х1) + АУ + gр = У12(х1), где Л? = ОЯ01(х1)(силы и момент: равновесие), что и означает наличие шпангоута.
Список литературы
)
0
0
1. Виноградов Ю. И. Методы вычислений и построение алгоритмов решения краевых задач строительной механики // Докл. АН СССР. — 1988. — Т. 298. — № 2. — С. 308−313.
2. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 548с.
3. Виноградов Ю. И., Афлитонов Д. В. Алгоритм количественного анализа математических моделей механики деформирования цилиндрической оболочки // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. — 2014. — № 8 (653). — С. 3−12.
4. Виноградов Ю. И., Беляев А. В. Модификация метода Годунова решения краевых задач теории оболочек // Инженерный вестник. МГТУ им. Н. Э. Баумана. Электрон. журн. — 2013. -№ 7. — Режим доступа: http: //engbul. bmstu. ru/doc/597 785. html.
5. Vinogradov A.Y., Vinogradov Y.I. Cauchy-Krylov functions and algorithms for solving boundary value problems in mechanics of shells. Doklady Physics, 2000, vol. 45, issue 11, pp. 620 622.
Рецензенты:
Капустян С. Г., д.т.н., профессор, заведующий отделом НИИ многопроцессорных вычислительных систем имени академика А. В. Каляева ФГФОУ ВПО & quot-Южный федеральный университет& quot-, г. Ростов-на-Дону-
Калинин В. В., д.ф. -м.н., профессор, заместитель директора & quot-Волгоград НИПИ нефти& quot-, г. Волгоград.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой