Напряженное состояние колец, подкрепляющих конечное число некруговых отверстий в весомой полуплоскости

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Строительство. Архитектура


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.1. С. 326−336
= Науки о земле =
УДК 624. 19. 034. 5
Напряженное состояние колец, подкрепляющих конечное число некруговых отверстий в весомой полуплоскости
И. Ю. Воронина
Аннотация. Приводится аналитическое решение плоской контактной задачи теории упругости для весомой полуплоскости, ослабленной произвольно расположенными некруговыми отверстиями, подкрепленными кольцами. Решение получено с использованием методов теории функций комплексного переменного.
Ключевые слова: контактная задача, аналитическое решение, комплексные потенциалы, напряженное состояние.
В Тульском государственном университете в течение ряда лет выполняются исследования, связанные с разработкой методов расчета подземных сооружений мелкого заложения. Методы основаны на современных представлениях геомеханики [1] о взаимодействии подземных конструкций и окружающего массива пород как элементов единой деформируемой системы и аналитических решениях соответствующих контактных задач для упругой полуплоскости, ослабленной одним или несколькими подкрепленными отверстиями.
Решения получены на базе развития метода И. Г. Арамановича [2] с использованием итерационного процесса, предложенного Н. Н. Фотиевой [3].
В настоящей работе аналогичный подход развит применительно к случаю, когда полуплоскость ослаблена несколькими подкрепленными некруговыми отверстиями и ее граница подвержена действию равномерно распределенной нагрузки. Расчетная схема представлена на рис. 1.
Здесь полубесконечная весомая среда ?0 с деформационными характеристиками — модулем деформации Ео и коэффициентом Пуассона щ, ослаблена конечным числом N любым образом расположенных отверстий произвольной формы с центрами в точках хт = хт + гут (т = 1,).
Кольца Бт (т = 1,… ^) выполнены из материалов с деформационными характеристиками Ет, ит (т = 1,…, N).
Среда ?0 и кольца Бт (т = 1,… ^) деформируются совместно, т. е. на линиях контакта Ьо, т (т = 1,… ^) выполняются условия непрерывности
Рис. 1. Расчетная схема
векторов смещений и полных напряжений. Внутренние контуры Ь, т (т = 1,…, N) колец свободны от действия внешних сил.
Граница полуплоскости Ь° подвержена действию равномерно распределенной нормальной нагрузки интенсивности Р, что приводит к появлению в среде 5° напряжений [4]
(1)
Начальные напряжения в среде 5°, обусловленные действием гравитационных сил и равномерно распределенной по границе Ь/0 нагрузки Р, определяются по формулам:
4°)(0) = - [Ат (Н — у) + Р], 4°)(°) = - [7 (н — у)+ Р], т (у)(°) =0, (2)
где, А = ^/N1 — отношение главных начальных напряжений от
гравитационных сил- 7 — удельный вес материала полуплоскости 5°- Н
— расстояние от границы полуплоскости до начала декартовой системы координат.
-Г-Г (0)* (0)* (0)* г,
Полные напряжения а?, Су, тХу в среде 6° представляются в виде
сумм:
Т°)* = _(°)(°) + _(°). _(°)* = _(°)(°) + _(°). т (°)* = т (°)(°) + т (°) (3)
их их | их, иу иу | иу, I Ху I Ху | I Ху, уи-
где стХ°), ^(°), тХ°) — дополнительные напряжения в области 5°,
обусловленные наличием некруговых отверстий. Смещения рассматриваются только дополнительные.
Начальные напряжения в кольцах Бт (т = 1, N) полагаются равными нулю.
Граничные условия задачи определения дополнительных напряжений и смещений имеют вид:
— дополнительные горизонтальные и вертикальные смещения точек
напряжения в кольцах Бт (т = 1, N) в криволинейной системе координат, связанной с конформным отображением внешности единичной окружности
начальные напряжения, полученные после перехода к криволинейной системе координат в выражениях
где Нт = Н — ут — глубина заложения т-того тоннеля (т = 1,…, N).
Задача решена с использованием теории аналитических функций комплексного переменного [4], аналитического продолжения комплексных потенциалов через границу полуплоскости [2], метода Д. И. Шермана [5], аппарата конформных отображений и комплексных рядов.
После введения комплексных потенциалов (я), 0О (я) и ^& gt-т (я), 0 т (я)
(т = 1,…, N), характеризующих напряженно-деформированное состояние соответственно области Б0 и колец Бт (т = 1,… ^), сформулированная задача теории упругости сводится к решению краевой задачи теории аналитических функций комплексного переменного при следующих граничных условиях:
на границе ?0
(4)
на контурах ?0,т (т = 1,…, N)
(5)
на контурах (т = 1,…, N)
контуров? о, т (т = 1,…, N) — стР1, т)(1), тр,'т)(1) (1 = 0, 1- т = 1, …, N)
т П п 1 1 Л, А (0,т)(0) (0,т)(0)
на внешность контуров (1 = 0, 1- т = 1, …, N) — стр, т0
(7)
& lt-0 (і) + і & lt-0 (і) +0 (і) = 0 на ?0
& lt-1, т (і) + і & lt-1,™ (і) + Фі, т (і) =
& lt-0 (і) + і & lt-0 (і) + 00 (і) + і І (х (°'т)(0) + гГ"(0'т)(0)) ^,
на ?0,т (т = 1,…, N)
(9)
*т& lt-1, т (і) — і & lt-1 т (і) — 01, т (і) = - *0& lt-0 (і) — і & lt-<-0 (і) — 00 (і)

& lt-1,т (і) + і& lt-1,т (і) + 01, т (і) = 0 на р1, т (т = 1, …, N), (10)
где і = х + іу — комплексная координата точки границы ?0 или контуров
N
N
?0т ?1т & lt-0(я) = Е & lt-0, (я — ^ 00(я) = Е 00,^ (я — г,) — г,& lt-0,(я —)
,=1 ,=1 _
— функции, регулярные в среде Б0, & lt-/0, (я — я,), •00,'- (я — я,) — функции,
регулярные в нижней полуплоскости вне ]-го отверстия, & lt-1, (я — 2,),
01, (я — я,) — функции, регулярные в кольцах Бт,
*т — 3 4^т-т —
Ет
2 (1 + ^т)
(т = 1, …, N)
(11)
і ! ^Х0, т)(0) +га (0,т)(0)) ^ = - 2 |Нт [(1 + Л) (і - ^т) + (1 — Л) (і - ^т)] +
Ьо,ї
і
+ 4
(1 + Л) (і - ^т) — (1 — Л) (і - 2т)
(1 + Л) ^ (і - ^т)^ (і - ^т) —
— (1 — Л) J (і - ^т)^(і - ^т^ - Р (і - ^т)
(12)
Следуя работе [2], осуществляем аналитическое продолжение комплексных потенциалов & lt-/0-, (я — 2,), 00, (я — я,) через границу ?0,т в верхнюю полуплоскость и получаем следующее представление комплексных потенциалов:
& lt-0, (2 — 2,) = & lt-0, (2 — 2,) — (2 — 2,) & lt-0 ,(2 — 2, — 2іЯ,) — 00, (2 — 2, — 2іЯ,) +
+
К,
1+*0
2−2
-2і
Я
^0,
,
-1
-І 1п (2−2,)-і*0 1п (2 -2,-2іЯ,)
00, (^ - 2,) — 00, (^ - 2,) — & lt-0, (^ - 2, — 2іЯ,) + (2 — 2, — 2іЯ,)х
(13)
К,(2 — 2, — 2іЯ,) + (2 — 2,) & lt-0/, 7 (2 — 2, — 2іЯ,) + 00, (2 — 2, — 2іЯ,^ +
+
К ^ 1 + *0
2
Я,
0,А *0,
— 2і-
_Яї
^0,
-1
— і*0 1п (2 — 2,) — і 1п (2 — 2, — 2іЯ,)
X
где 2
7^о ,
К,, (і = 1,…, N), (15)
Я, — расстояние от центра і-го отверстия до границы ?0, р, — некоторые коэффициенты, определяемые для каждого отверстия.
Комплексные потенциалы & lt-0, (2 — 2,), 00, (2 — 2,) (і = 1, …, N),
регулярные в полной плоскости ?0 + ?0 вне контуров ?0, (і = 1, … ^), отыскиваются в виде рядов
го / -к
2 — 2,
& lt-0, (2 — 2,) = Е ск1)(0^(
& quot-к г& gt-
к=1 '- ^
го / -к
«(2)(0,) / 2 — 2,
го / ч -к
00, (2 -2,)=? С& lt-2)(0,)(І,. (16)
к=1
— к /, -к
С учетом разложений выражений, (йт1 — 2*^,^ и 1п ^,
1п ^1−1 — 2*Л,^, предложенных в работе [6], получим следующие формулы для комплексных потенциалов в окрестности т-го отверстия (^ = 1, …, N)
& lt-0, (і - 2,) = Л, т& lt-0,т (2 — 2т) +
т
к=0
, Ч^(1 — Л-)с (1)(0,)і (, т) +
/, (1 Л, т) сп 1 к, П +
п=1
гого
+ V пС (1)(0,)0,т Гр (, т) +-1 7(, тМ — V С (2)(0,) 7(, т) +
+ / у П, ^ ^ 1 к-1,п+1 + «т, 1 к, га+1у / у 1 к, п +
1 Я0о 0
п=1, с/ п=0
I 2К,^,^, р (, т) (1 Л) іК,^, (1)к0, к «к
+ 1 + *0 1 к, 1 (1 ^)1 + *0 • к «т,
іК, Р, *0 (- 1) к $ 0,к / к
1 + *0 к
і 2 т іКт^т п і 2 т /-, гуч
«Б---- - Л, т------1п -------, (17)
Я0, т — 11 *0 ^0,т
гого
2т) 1
00, (і - 2,) = Л, т00, т (і - 2т) + ^ ^ (1 — Л, т) сП2)(0,) —
к=0 1п=0
го го
-ЕЕ к& quot- + !)сП1)(0Л + & quot-40)(0
г (, т) + 1 к, га +
к=0 га=1
гого
,& quot- к=0 га=1
го го «
?? & quot-("-+1}г (1)(0,) ^ (їк-т!& gt-+1+"т,, 1) +
+ 2К,^,^, 7(, т) (1 Л) іК, Р,*0 (1)к0, к «к
+ 1 + *0 1 к, 1 (1 ^) 1 + *0 • к
іК,*, — • (-1)к?р, к / к! /і 2 т л, іКтРт*0 1п і
2 т (18)
1 + *0 к ^ / V -0,т /, т 1 + *0 -0,т
где
/1 при р = 1- /1 при р & gt- 1-
^ = Я,/-й0,., Л, р0 Пр» р = ^ = (0 при р& lt-(.
(19)
г (, т) = (1)га (к + & quot- 1)! -0,& quot-^ «п+к «= -0,т (20)
^ ^ (к — 1)!& quot-! і& quot-, «т, ¦ = 2-,. (20)
т-(, т) = (рп у* 1 у •0,т & gt- «/
П, к () (к — 1)!& quot-! V -0, / ^

(, т) ^ (к + & quot- 1)! /& quot- -0,т ^/ к+п
2 т 2, 0., -0,
-1
Введя коэффициенты (к = 0,…, то)
го
СИ (, т) = ?(1 —тИ, 1,^!
го
-И (, т) = ?(1 — Л, m}c1)(°-,)^kІm) —
п=1
го Т-)
V (1)(0,) -0т Г/(, т) + «-1 —
/ ^ п — - V к-1,п+1 + «т, к, п+1у
п=1
Ес (2)(0,7'-) г (, т) + 2К, Р,^, г (, т) (1) іК, Р, (1)к0, к «к
Сп 1 к, п + 1 + * 1 к-1 (1 ^) 1 + * ^ к
п=0
1 + *0 ~^ (1 лт& gt-3) 1 + *, '- к «т^'-
іК,^,*0 (-1)к0, к «/ к (22)
1 + *0 ^ к, (22)
го
т)
, т) п к, п
п=0
Ск4)(, т) =? (1 — Л, тк
п=0
го
— ^ [(«+ 1) сП1)(0-,) + ПсП2)(0-,)
п=1
7(, т) +
1 к, п +
+ & quot-("- + 1) С (1)(0,) -0'т Г р (, т) + «-1 Р (, т) + 2К^^ Г (, т) —
+ / - & quot-("- + 1) сп —, ^ к- 1, п+1 + «т, 1 к, га+1^ + 1 + * 1 к, 1
п=1
— Л) іК, Е,*0 (-1)к0, к «к — іК, Е, (-1)кУк «к
(1 ^) 1 + *0 • к 1 + *0 • к ,
формулы (17), (18) можно записать в виде
& lt-0, (і - 2,) = Л, т& lt-0,т (2 — 2т) +
+ Ё Ср’т) (- Л, т 1п, (24)
к=0 V -^0,т / 1 + Ж0 ^0,т
00, (^ - 2,) = Л, т00, т (я — 2т) +
, п!(4)(, т) / 2 — 2 т, *Кт^т*^ ^ - 2т
+ & gt-^ Ск -б------ - Л, т-^-,------1п--------.
к=0 V0,т / 1 + ®0 ^0,т
Произведем конформное отображение внешности единичной окружности на внешность каждого их контуров ?1, (^ = 1, …, N)
га+1
2 — 2, = Ш,© = #0, ^ д, 1-к, (25)
к=1
где дк, — коэффициенты отображающей функции, найденные одним из известных способов.
Комплексные потенциалы & lt-0,т (2 — 2т), 00, т (2 — 2т) (т = 1,…, N) в окрестности т-го отверстия представим в виде:
Го / -к
го / -
& lt-0,т (2 — 2,)= Ё 4=-^)
к=1 V Д», т)
го / -к
~
0, т
к=1
00, т (2 — 2,)=? С& lt-2)(0'-тЧ. (26)
Комплексные потенциалы, регулярные в кольцах Бт, отыскиваются в виде рядов Лорана:
гого
& lt-1,т (я — 2,) =? а11)(1,т)С-к +? а (3)(1,т)Ск,
к=1 к=0
гого
01, т (2 — 2,) =? а& lt-2)(1,т)С-к +? 44)(1'-т)Ск• (27)
к=0 к=1
Учитывая выражения
-к го = Е ^-к)с
2 2 т V& quot-'- -(-к)^-к-V
V
к^ те), (28)
, т кго
кго
/2_^ =? ^к)(к-, (к = 1,…, те),
V Я°, т У ^
где коэффициенты ^ к), 5(к) определяются по рекуррентным формулам
V
га=0
V
^ к) = 2 ^-1)^П1 к)^п, й+2, ^к) = ^ qVk-n1)qП1)^n, й+2, (29)
п=0 п=0
и разложения выражений 1п в ряд по степеням переменного (
і - го
1п Ь-Ї& quot- = V йк3) ст-к + 1п С, (30)
-0-т к=0 к
где
«(3) = - V V (-1)П ^ - 1)! а (га) (31)
к V (V — п)!п! к ,
v=1п=0
после несложных преобразований выражения (24) можно представить в виде:
го
& lt-0, (і - 2,) = Л, т2 ак1,0)(т)С к + к=1
го
+ ^рк1,0^& quot-^-к + ^ ак3−0)(, т) Ск — Л, тіК!-т 1пС, (32)
к=1 к=0 + *0
го
00-, (і - 2,) = Л, т ^ ак2,0)(т)С к + к=0
ОО ОО. JУ Т-1
+? акад (, т) Ск +? ак4−0)(, т) ск — Л,-т 1|т*01п с, (33)
где
кк _(1,0)(т) = ^ с (1,0)(т)П (-V) (2,0)(т) = ^ с (2,0)(т)у (-V) («4)
ак = ^ Ск Ук-V, ак = ^ Ск Ук-V, (34)
V=1 V=1
~(1,0)(, т) = ^ с (3)(, т) Ы іКтРт ,(3)
ак = °к qk+v — Л, т 1 + * «к ,
V=1
~(2−0)(, т) = ^ с (4)(, т)"м — іКт^т *0 «(3) (35)
1к = 2_^ Ск qk+v Л, т II* «к, (35)
і 1 + *0 V=1
гого
(3,0)(, т) = ^ С (3)(, т)(V) (4,0)(, т) = ^ С (4)(, т) Ы («6)
ак = Ск- к, ак = Ск- к. (36)
V=1 V =1
После подстановки выражений (32), (33) в формулы (13), (14) и граничные условия (8)-(10) решение рассматриваемой задачи сводится к итерационному процессу, предложенному в работе [3], в каждом приближении которого используется решение задачи для одного кольца, подкрепляющего отверстие в полной плоскости, при граничных условиях, содержащих дополнительные слагаемые, отражающие влияние других
подкрепленных отверстий и границы полуплоскости. Указанные слагаемые представляются в виде рядов Лорана, коэффициенты которых уточняются на основе предыдущих приближений.
Напряжения в кольцах Бт (т = 1,… ^) определяются по формулам Колосова-Мусхелишвили [4], а в среде Б0 — по формулам, аналогичным приведенным в работе [2].
На основе полученного решения разработаны метод расчета [7], алгоритм и соответствующая компьютерная программа. Область применения метода расчета ограничивается случаем, когда окружности, описанные вокруг наружных контуров колец, не пересекаются и не касаются границы полуплоскости.
Рис. 2. Расчетная схема
Рис. 3. Расчетные эпюры напряжений о^пП, возникающих на внутренних
контурах колец
В качестве примера приведены результаты определения напряженного состояния колец, подкрепляющих три отверстия произвольной формы в весомой полуплоскости с модулем деформации Ео = 8500 МПа и коэффициентом Пуассона Vo = 0,3 при следующих исходных данных: Л = 0, 43, y = 0, 02 МН/м3, P = 0, 75 МПа. Кольца выполнены из материала с деформационными характеристиками Е1 = 23 000 МПа, Е2 = 32 500 МПа, Е3 = 27 000 МПа, Vj = 0, 2 (j = 1, 2, 3). Схема расположения подкрепленных отверстий и их геометрические характеристики представлены на рис. 2.
№о «(in)
рис. 3 показаны эпюры нормальных тангенциальных напряжений (в МПа), возникающих на внутренних контурах колец.
Список литературы
1. Булычев Н. С. Механика подземных сооружений. М: Недра, 1994. 382 с.
2. Араманович И. Г. Распределение напряжений в упругой полуплоскости, ослабленной подкрепленным круговым отверстием // Докл. АН СССР. 1955. Вып. 104. № 3. С. 372−375.
3. Fotieva N.N., Bulychev N.S., Sammal A.S. Design of shallow tunnel linings // Proc. ISRM Int. Symp., Torino, Italy, 1966. P. 654−661.
4. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.
5. Шерман Д. И. О напряжениях в плоской весомой среде с двумя одинаковыми симметрично расположенными круговыми отверстиями // ПММ. 1951. T. XV. Вып. 6. С. 751−761.
6. Деев П. В. Расчет обделок параллельных тоннелей произвольного поперечного сечения, расположенных на небольшой глубине, на действие собственного веса пород // Вестник ТулГУ. Сер. Геомеханика. Механика подземных сооружений. 2007. Вып. 1. С. 21−28.
7. Воронина И. Ю. Расчет обделок параллельных подводных тоннелей произвольного поперечного сечения // Теория и практика геомеханики для повышения эффективности горного производства и строительства: тр. IV Межд. конф. по геомеханике. Варна, Болгария, 2010. С. 323−330.
Воронина Ирина Юрьевна (virena_29@mail. ru), к.т.н., доцент, кафедра механики материалов, Тульский государственный университет.
Stress state of rings supporting the finite number of non-circular openings in the weighty semi-plane
I. U. Voronina
Abstract. The analytical solution of the elasticity theory plane contact problem for a weighty semi-plane weakened by some non-circular openings supported
by rings is proposed in the paper. The solution has been obtained with the application of the complex variable function theory.
Keywords: contact problem, analytical solution, complex potentials, stress state.
Voronina Irina (virena_29@mail. ru), candidate of technical sciences, associate professor, department of material mechanics, Tula State University.
Поступила 20. 06. 2013

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой